大庆一中菱形性质与判定

菱形的性质与判定一．选择题（共9小题）则CF与GB的大小关系是（）的大小为（）5．（2013•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）cm7．（2011•台湾）如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）8．（2011•西藏）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ADC=120°，则菱形ABCD的面积是（）D．二．填空题（共5小题）10．如图，两张宽度均为3cm的纸条交错叠放在一起，相交成锐角α，且两张纸片中重叠部分的面积为9cm2，则锐角α的度数_________．11．（2011•河北）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为﹣4和1，则BC=_________．12．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．13．（2013•历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点p1，p2，…，p2013，过p i（i=1，2，…，2013）作P i E i⊥AB于E i，P i F i⊥AD于F i，则P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…P2013E2013+P2013F2013的值为_________．14．（2009•黑河）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为_________．三．解答题（共16小题）15．（2014•盐城）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=2dm，AD=3dm，BD=dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．16．如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB．17．（2013•晋江市）如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．18．（2009•安徽）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60度．（1）若d=26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；（2）当d=20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．20．（2006•盐城）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．21．（2012•鼓楼区二模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，CD=ED．连接CE，交AD于点H．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）点F在AD上，连接CF，EF．现有三个论断：①EF∥BC；②EF=FC；③CE⊥AD．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形CDEF是菱形．22．如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AB=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．23．（2013•安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．24．（2008•岳阳）如图（1），四边形ABCD为平行四边形，E在CD上，将△CBE沿BE翻折，点C正好落在AD边上的点C′处．（1）在图（1）中，请直接写出四对相等的线段；（2）将图（1）中的△ABC′剪下拼接在图（2）中△DCF的位置上（其中△ABC′的三个顶点A、B、C′分别与△DCF 的三个顶点D、C、F重合，并且图（2）的点C′、D、F三点在同一直线上）试证明图（2）中的四边形BCFC′是菱形．25．（2010•河源）如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：PE=PF；（2）当点P在边AC上运动时，四边形AECF可能是矩形吗？说明理由；（3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且．求此时∠BAC的大小．26．如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，∠1=60°，求在墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离．27．（2012•温州）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．28．（2013•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．29．将▱ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处（如图）．（1）求证：△ABE≌△AGF．（2）连接AC，若▱ABCD的面积等于16，，AC•EF=y，试求y与x之间的函数关系式．30．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），在运动过程中，保持∠PAQ=60°不变．（1）试说明：△PAQ是等边三角形；（2）求四边形APCQ的面积；（3）填空：当BP=_________时，S△PCQ最大．2014年07月12日赵烈猛的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（），3．（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（）∠BAD=×OA=BAC=OA=OC=AC=BAC=BAD=BD=2OB=4，该菱形的面积是：BD==85．（2013•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）BAC=∠BAD=cmcmAC=20cmBDDE=107．（2011•台湾）如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE 的长度为何？（）BO=DO==8AO===15OE==208．（2011•西藏）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ADC=120°，则菱形ABCD的面积是（）D．AE=AB==33=18S==二．填空题（共5小题）10．如图，两张宽度均为3cm的纸条交错叠放在一起，相交成锐角α，且两张纸片中重叠部分的面积为9cm2，则锐角α的度数45°．，BC=CD=3（==11．（2011•河北）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为﹣4和1，则BC=5．12．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=．AB．故答案为：13．（2013•历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点p1，p2，…，p2013，过p i（i=1，2，…，2013）作P i E i⊥AB于E i，P i F i⊥AD于F i，则P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…P2013E2013+P2013F2013的值为2013．AO=OC=AO=OC=AC==S∴AB14．（2009•黑河）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1．BM=，AM==AC=（AC（个菱形的边长为（故答案为（三．解答题（共16小题）15．（2014•盐城）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=2dm，AD=3dm，BD=dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．∴AB PD+AC ∴AB﹣DC=∴．AB=2BD=（）DM=EM=AE BE．6+216．如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB．17．（2013•晋江市）如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．18．（2009•安徽）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60度．（1）若d=26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；（2）当d=20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？ABO=1019．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．20．（2006•盐城）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．中，21．（2012•鼓楼区二模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，CD=ED．连接CE，交AD于点H．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）点F在AD上，连接CF，EF．现有三个论断：①EF∥BC；②EF=FC；③CE⊥AD．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形CDEF是菱形．，22．如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AB=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．FAD=∠23．（2013•安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．，2．24．（2008•岳阳）如图（1），四边形ABCD为平行四边形，E在CD上，将△CBE沿BE翻折，点C正好落在AD 边上的点C′处．（2）将图（1）中的△ABC′剪下拼接在图（2）中△DCF的位置上（其中△ABC′的三个顶点A、B、C′分别与△DCF 的三个顶点D、C、F重合，并且图（2）的点C′、D、F三点在同一直线上）试证明图（2）中的四边形BCFC′是菱形．25．（2010•河源）如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：PE=PF；（2）当点P在边AC上运动时，四边形AECF可能是矩形吗？说明理由；（3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且．求此时∠BAC的大小．（∠×BAC==，26．如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，∠1=60°，求在墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离．20cm2027．（2012•温州）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．AC==28．（2013•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．，29．将▱ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处（如图）．（1）求证：△ABE≌△AGF．（2）连接AC，若▱ABCD的面积等于16，，AC•EF=y，试求y与x之间的函数关系式．31∵=，30．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），在运动过程中，保持∠PAQ=60°不变．（1）试说明：△PAQ是等边三角形；（2）求四边形APCQ的面积；（3）填空：当BP=1时，S△PCQ最大．××=3233。