高考专业精品文档 (1910)

上面两个结论证明较易，此处略去.事实上，以上给出的几乎所有的结论都不要刻意地记忆，而是通过一 定量的相关问题的训练，达到“得其神而忘其形”的效果. 近年来，上述本属于竞赛内容的数列知识逐渐普及到高中常规教学内容中，并常在高考中以压轴题形 式出现.因此本讲假定各位学生对这些基础知识已有一定程度的理解，本讲除前几道问题较为基础以外后 面都需要一些变形的技巧. 教师版特别备注：部分班次可能层次较高，前几道基础性问题可选择讲述.
高一 ·联赛班·春季第 2 讲·教师版
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8 4 ，公比为 等比数列， 3 3 8 4 n 1 8 4 n 1 4 n 故 bn ( ) an 3 an 3 ( ) 3 2 ( ) 3 3 3 3 3 2 2 （2） an Sn Sn1 (an1 n 2n 3) [an (n 1) 2(n 1) 3] an1 an 2n 3 a 1 an 2n 3 a 2n 3 an 1 2an 2n 3 n n n 1 ，取 bn n ，则 bn 1 bn n 1 ， n 1 n 2 2 2 2 2
设 bn 【例5】 已知 a1＝1， an 1
n 1
【例3】 求满足下列条件数列的通项： a1 1, a2 2, an2 5an1 6an ； 【解析】 这是典型的 2 阶齐次线性递归数列，可直接利用特征方程法求解： 原递归关系式对应的特征方程为 r 5r 6 ，其根为 2,3.
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设通项为 an A 2n B 3n ，并由 a1 1, a2 2, an 2 5an 1 6an a0
a2 （2） a1 2a, an 2a an1
【解析】 本例两道题目都符合不动点方法的形式，故以下用不动点方法求解： （1）易求得不动点为 1, 4 ； 此处给出不用套公式的普通方法：
3 an 4 4 bn a pc ， 代入原式并整理得 bn bn 1 （也可直接代入公式 k ） an 2 a qc an 1 1 bn 4 bn 3 20 从而 bn 4 ( )n1 an 4 2 2 1 bn 4 ( )n1 3 1 1 n 1 a bn bn 1 bn an a a （2）设 bn an a a a bn n 1 注 (1)中找到不动点之后也可设 bn ，亦可化简，可能运算量还要小一些. an 4
第二讲 递推数列（1）
本讲概述
竞赛中出现的数列问题绝大部分是递推数列，即给出数列若干项之间的关系式及初始值，由此确定整 个数列.这种递推数列问题主要应用于计算机技术中，因此近年来随着科技发展越来越受到重视，在高考 和竞赛中经常出现此类问题. 递推数列问题一般出法有：1、给出初值与递推式，探讨该数列各种性质，如通项、求和、增减性、 界、数论性质等等；2、对于一个组合问题或代数问题，通过归纳给出其递推模型进而求解； 对于第一类问题，往往给出的递推式较为晦涩，难以直接看出其关系，需要较高的变形技巧才能将其 变为“可识别”的已解决问题；第二类问题的难点则主要在于如何通过实际情境建立递推模型，至于求解 往往是平凡的.本讲主要解决第一类问题，并侧重于利用代数变形技巧进行转化的问题，下一讲则结合数 学归纳法讲述先猜后证的方法. 本讲首先给出关于递推数列的一些常见结论，以及常见的递推数列变形技巧，相当大比例的递推数列 问题最终将利用这些基本结论和方法求解. 定义 1 对任意 n∈N，由递推关系
a1 a (a为常数）
(1) an1 pan q(n)
( p 0)
当 p 1 时， an1 an q(n) 称为等差型数列；进一步，当 q(n) d 时即为等差数列 (2) an1 p(n)an q
( p(n) 0)
当 q 0 时， an1 p(n)an 称为等比型数列；进一步，若 p(n) d （非零常数） ，即为等比数列 二、二阶递归数列 二阶齐次线性递推数列的递推关系可表示为：
例题精讲
【例1】 求解下列各数列的通项：
1 1 , an an 1 2 2 n 1 （2） a1 1, nan1 2(a1 a2 ... an ), n 1, 2,3... 1 1 【解析】 (1) a1 , an an 1 2 , 2 n 1 n 1 1 n1 1 1 1 n1 1 1 an a1 (ak 1 ak ) ( ) 2 2 k 1 (k 1) 1 2 2 k 1 k k 2 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ... ) 2 2 3 2 4 3 5 n 2 n n 1 n 1 5n(n 1) 4n 2 5n2 n 2 4n(n 1) 4n(n 1) （2） nan1 2(a1 a2 ... an ) 2(a1 a2 ... an1 ) 2an (n 1)an 2an (n 1)an (n 1)an 2 3 n an 1 an a1 f (1) f (2) ... f (n 1) ... n n 1 2 n 1 注 本题实际上给出了类似 an1 an f (n) 型与 an1 f (n)an 型数列求通项的一般方法
an2 pan1 qan
(1)
这里 p, q 都是常数，且 p, q 0 .一般地，我们称（1）式所对应的一元二次方程 r 2 pr q 为特征方 程，并记其两解为 , ，那么： （1） 当两解互异时，可设 an A n B n ，其中 A,B 为待定系数，可由初值确定； （2） 当两解相同时，可设 an ( An B) ，其中 A,B 为待定系数，可由初值确定；
则 {bn } 为首项为 以下可完全按照例 1（1）连消法来解：
2k 3 T n 1 2k 3 ，则 ，将两式相减最后得到 b T 1 k 1 2 k 1 2k 2 k 1 2 1 2n 1 1 2n 1 3 2 n 1 T n bn b1 T 1 ( n ) n 2 2 2 2 2 2 注 本题实际上给出了类似 an1 pan q 型与 an1 pan q(n) 型数列求通项的一般方法 bn b1
xk 1xk 1 2 xk 2 k (k 0)
③
称为 k 阶齐次线性递归数列{an}的特征方程。 例如，公比为 q 的等比数列是一阶线性递归数列，递归方程为 an+1 =q an（n∈N，a1≠0，q≠0） 。等差 数列是二阶线性递归数列，递归方程为 an+2=2 an+1―an（n∈N） 。著名的裴波那契（Fibonacci）数列也是二 阶线性递归数列，递归方程为 an+2= an+1+an (n≥1)，初始条件为 a1= a2=1。 但在竞赛问题中，我们不必过多理会上述严格的定义,而只需要对二阶、三阶的递推数列问题掌握一些 常见技巧就可以了. 竞赛中的递归数列一般有以下类型： 一、一阶递归数列 1．常系数的一阶递归数列 一般形式为： a n1 pan q
an k f (an k 1 , an k 2 ,, an )
确定的数列{an}称为递推数列，或称递归数列。 若 f 是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列。 定义 2 若数列{an}从第 k 项以后任一项都是其前 k 项的线性组合，即
ank 1ank 1 2ank 2 k an r
高一·联赛班·春季第 2 讲·教师版
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x1 f ( x1 ) 。
①若 f 有两个相异不动点 p，q，则
un p u p a pc . 其中 k k n1 a qc un q un1 q
②若 f 只有唯一不动点 p，则
2c 1 1 k ，这里 k ad un p un1 p
1 2
1 1 A B A n 1 从而 2 2 an 2 2 A 3B 1 B 0
注 本题利用先猜后归纳证明的方法可方便地猜出通项. 【例4】 求解下列各数列的通项： （1） a1 0, an
an1 4 (n 2) ； an1 2
（1） a1 【例2】 求解下列各数列的通项： （1） Sn 4an 3n 2 ； （2） a1 2, Sn an1 n 2n 3
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【解析】 （1）原式中取 n=1 得到 a1
1 ， 3 an Sn Sn1 (4an 3n 2) (4an1 3(n 1) 2) 4an 4an1 3 ， 4 q 1 an an 1 1 ，取 3 ，并令 bn an an 3 ， 3 1 p 1 4 3
( p 0) ，其特例为： a1 a (a为常数）
一 ·联赛班·春季第 2 讲·教师版
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(2 ) an1 pan q
( p 0)
当 p=1 时数列为等差数列； 当 p≠1，p≠0，q=0 时数列为等比数列。 (可以看到，我们以前所学的等差等比数列只是递推数列的 最简单情况) 2．变系数的一阶递归数列 一般形式为： a n1 p(n)a n q(n) ( p(n) 0) ，其特例为：
①
其中 n∈N， 1 , 2 ,, k , r 是常数， k 0 ，则称{an}为 k 阶线性递推数列，①称为{an}的线性递归方程。 如果 r
0 ，则有
②
ank 1ank 1 2ank 2 k an
由此所确定的数列{an}称为 k 阶齐次线性递推数列，与递归方程组②相应的代数方程
n
对于 3 阶乃至一般的 n 阶的情形，由于联赛中一般不涉及，此处不再赘述，有兴趣的同学请自行查看 相关资料；对于特征方程的来由，由于篇幅关系也直接给出结论. 三、其它递推数列 对于非线性或非齐次递推数列，常用的思考方法是将非线性转化为线性关系，非齐次转化为齐次，也 可以先用不完全归纳法探求猜测通项公式或求和公式，再用数学归纳法进行证明。当然还有一些其它的方 法,如换元法，不动点法，幂函数方法等.其中幂函数方法高中阶段原则上不涉及；下面我们再给出不动点 法的几个结论： 定义 3 方程 f ( x) x 的根称为 f ( x ) 的不动点。 若 f (u ) au b, a 0,1 ，p 是 f 的不动点， {un } 满足递推关系 un f (un1 ) (n≥1)，则