广东省阳春市第一中学2018届高三第六次月考数学(理)试题扫描版含答案
广东省阳春市第一中学2018届高三第九次月考数学(理)试题(精编含解析)
阳春一中2018届高三级月考(9)理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，由函数的值域化简集合，根据集合并集的定义求解即可.详解：，，，故选C.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．2. 复数在复平面内的对应点关于虚轴对称的点的坐标为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用复数乘方与除法的运算法则化简，可得其坐标，关于虚轴对称即可得即可.详解：，对应点关于虚轴对称点的坐标为，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝1－4m<0，∴m>.∴“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.4. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题:“今有勾五步股一十二步，问勾中容圆.径几何?其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点则此点取自内切圆内的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用三角形内角相等求出内切圆半径，从而求得内切圆面积，利用几何概型概率公式可得结果.详解：由勾股定理得弦长为，设内切圆半径为，由等积法可知，，，内切圆面积为，三角形面积为，此点取自内切圆内的概率是，故选C.点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 已知定义在上的偶函数在上单调递减则函数的解析式不可能为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由偶函数的性质可得，即有是上的偶函数，且在单调递减，对照选项，一一判断奇偶性和单调性，即可得到结果.详解：因为函数是上的偶函数，所以，解得，即有是上的偶函数，且在单调递减，对于，为偶函数，且在递减；对于，，可得为偶函数，且在递增，不符合题意；对于，为偶函数，且在递减；对于，为偶函数，且在递减，故选B.点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线与渐近线垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得结果.详解：双曲线的渐近线方程为，又直线可化为，可得斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直，，得到，双曲线的离心率，故选C.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．7. 若的展开式的各项的系数和为32，则的展开式的常数项为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由的展开式的各项的系数和为，可得，展开式通项为的系数分别为，从而可得结果.详解：的展开式的各项的系数和为，令，展开式通项为的系数分别为，的展开式的常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8. 如图给出的是计算的程序框图，判断框和处理框应分别填的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：分析程序中各变量，各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是累加并输出的值，由已知中程序的功能，结合循环变量的初值及步长，分析出循环终值，可得到循环的条件.详解：因为计算时，每项分母依次增加，所以处理框应填，程序运行过程中，各变量值如图所示：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，第次循环：，依次类推，第次循环：，退出循环，判断框内应填入的条件是：，故选D.点睛：算法是新课程中新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视，程序填空也是重要的考试典型，这种题考试的重点有：①分支的条件；②循环的条件；③变量的赋值；④变量的输出，其中前两点考试的概率更大，此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误.9. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，题中的几何体是三棱锥P－ABC(如图所示)，其中△ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝2，PA2＋y2＝102，(2)2＋PA2＝x2，因此xy＝x当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64故答案为：C。
广东省阳春市第一中学2018届高三第九次月考数学(理)试题(解析版)
阳春一中2018届高三级月考(9)理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，由函数的值域化简集合，根据集合并集的定义求解即可.详解：，，，故选C.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．2. 复数在复平面内的对应点关于虚轴对称的点的坐标为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用复数乘方与除法的运算法则化简，可得其坐标，关于虚轴对称即可得即可.详解：，对应点关于虚轴对称点的坐标为，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝1－4m<0，∴m>.∴“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.4. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题:“今有勾五步股一十二步，问勾中容圆.径几何?其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点则此点取自内切圆内的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用三角形内角相等求出内切圆半径，从而求得内切圆面积，利用几何概型概率公式可得结果. 详解：由勾股定理得弦长为，设内切圆半径为，由等积法可知，，，内切圆面积为，三角形面积为，此点取自内切圆内的概率是，故选C.点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 已知定义在上的偶函数在上单调递减则函数的解析式不可能为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由偶函数的性质可得，即有是上的偶函数，且在单调递减，对照选项，一一判断奇偶性和单调性，即可得到结果.详解：因为函数是上的偶函数，所以，解得，即有是上的偶函数，且在单调递减，对于，为偶函数，且在递减；对于，，可得为偶函数，且在递增，不符合题意；对于，为偶函数，且在递减；对于，为偶函数，且在递减，故选B.点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线与渐近线垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得结果.详解：双曲线的渐近线方程为，又直线可化为，可得斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直，，得到，双曲线的离心率，故选C.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．7. 若的展开式的各项的系数和为32，则的展开式的常数项为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由的展开式的各项的系数和为，可得，展开式通项为的系数分别为，从而可得结果.详解：的展开式的各项的系数和为，令，展开式通项为的系数分别为，的展开式的常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8. 如图给出的是计算的程序框图，判断框和处理框应分别填的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：分析程序中各变量，各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是累加并输出的值，由已知中程序的功能，结合循环变量的初值及步长，分析出循环终值，可得到循环的条件.详解：因为计算时，每项分母依次增加，所以处理框应填，程序运行过程中，各变量值如图所示：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，第次循环：，依次类推，第次循环：，退出循环，判断框内应填入的条件是：，故选D.点睛：算法是新课程中新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视，程序填空也是重要的考试典型，这种题考试的重点有：①分支的条件；②循环的条件；③变量的赋值；④变量的输出，其中前两点考试的概率更大，此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误.9. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，题中的几何体是三棱锥P－ABC(如图所示)，其中△ABC是直角三角形，AB⊥BC，P A⊥平面ABC，BC＝2，P A2＋y2＝102，(2)2＋P A2＝x2，因此xy＝x当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64故答案为：C。
广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第三次月考数学(理)---精校解析Word版
已知集合，B. C. D.因为集合，所以，，记复数的虚部为，已知复数（为（D.【解析】已知命题：“对任意，都有”，则命题的否定是（对任意，都有 B. 存在，使得对任意，都有 D. 存在，使得，都有”的否定是“存在，使得”，故选，，B. 2个C. 3上是减函数，不合题意；是奇函数，不合题意；不是奇函数又不是偶函数，不合题意；是偶函数，又在上是增函数，符合题意，所以分题意的函数有个，故选已知曲线在点处的切线的倾斜角为，B. 2C.D.【答案】【解析】由，得，故的图象大致是（B.D.【解析】为偶函数，图象关于轴对称，排除，当时，若向量的夹角为，且，则向量与向量B. C. D.【答案】【解析】，设向量与向量的夹角为，，8. 定义在上的奇函数满足：，且当，则B. C. D.【答案】B，则函数的周期是，又因为B.式方向留下了很多宝贵的成果，设函数上的导函数为，在上的导函数为，上则称函数已知在的取值范围是（B. C. D.【解析】由可得，在上为“凸函数”，所以在上递增，所以，所以，实数的取值范围是已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数是减函数的区间为（B. C. D.【答案】,所以则即已知在中，，，，若三角形有两个解，则B. C. D.【解析】在中，，，，由正弦定理可得,可得的取值范围是，故选C.设点为函数图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（B. C. D.【答案】【解析】设与在公共点处的切线相同，，即，由或（舍去），即有，令，则，于是当时，；当，即时，，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为，故的最大值为，故选【方法点晴】利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，恒成立(或（上方即可)；③ 讨论最值恒① 求得等于【答案】【解析】，故答案为14. 已知函数的定义域为（其中，则“在，函数，“在和上分别单调递增”，但是上不是增函数，充分性不成立；根据函数递增的定义可得若“上为增函数”必有“在和上分别单调递增”，所以，在上分别单调递增”是“在已知函数，若，，则实数的最小值为，若，，，时实数的最小值为，故答案为.16. 设函数是定义在上的可导函数，且满足条件【答案】【解析】，故函数，解得【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题已知数列的前项和，其中.）证明，求.【答案】(1)证明见解析，；(2)（Ⅰ）首先利用公式，得到数列的递推公式，即可得是等比数列及的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前，结合的值，建立方程可求得的值．，故，，，，，得.是首项为，公比为的等比数列，于是（Ⅱ）由（Ⅰ）得由，即【考点】数列的通项与前项和的关系，等比数列的定义、通项公式及前）定义法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．中，已知）证明：；，求【答案】(1)证明见解析；(2)4.）由及正弦定理可得，通分后利用两角和的正弦函数公式整理即可证明；（2）根据余弦定理，有，利用（）由及正弦定理可得中，由，有.，根据余弦定理，有1）得，所以【名师点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于中档题②如果用）直接由已知表中信息求出产假为周”为事件概率；②首先由题意可得随机变量算公式分别计算出周时某家庭有生育意愿的概率为法共有种，由古典概型概率计算公式得②由题知随机变量，因而的分布列为在四棱锥中，平面，的中点，）求证：的余弦值(2)的中点，则，先根据线面垂直的性质证明；进而可得，再由线面判定定理即可证明平面，从而可得与平面的的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，即可求二面角）取的中点，则，所以.平面，平面，所以又平面平面，所以；又，所以；,，所以平面平面，所以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.，，.的法向量为，则所以，所以）知平面，平面，所以，所以平面所以平面的一个法向量，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量求二面角，属于难题已知函数）求函数的单调递增区间；时，设函数，函数恒成立，求实数的取值范围；②证明：；②证明见解析.，第二步讨论时，，再求其导数若即②由①知时，上恒成立，当，令），令时，解得；当时，解得，时函数的单调递增区间是的单调递增区间是，由题意得，所以当时，，单调递减；，单调递增；由得，则实数的取值范围是②由（1）知时，上恒成立，当，令在直角坐标系中，圆的方程为.轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；）直线的参数方程是（为参数）与交于两点，，求直线(1)或.）把圆的标准化为一般方程，由此利用，）整理圆的方程得，由可知圆⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知：，整理得，则点睛：本题考查了圆的标准方程与一般方程的转化，圆的极坐标方程的求法，直线的参数方程与一般方程解题时要认真审题，注意极坐标公式- 11 -。
广东省阳春市第一中学2018届高三第九次月考数学理试题 含答案 精品
阳春一中2018届高三级月考(9)理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|(4)(1)0}A x x x =+-≥，{|B y y =，则AB =( )A ．(,1]-∞B ．[0,1]C ．[4,)-+∞D ．(,4][0,)-∞-+∞2. 复数201821i z i=-在复平面内的对应点关于虚轴对称的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ．(1,1)- 3. “不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．14m >B ．01m <<C ．0m >D ．1m > 4. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题:“今有勾五步股一十二步，问勾中容圆.径几何?其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点则此点取自内切圆内的概率是( ) A ．15π B ．25 C. 215π D ．415π 5. 已知定义在[2,26]m m --上的偶函数()f x 在[2,0]m -上单调递减则函数()f x 的解析式不可能 为( )A ．2()f x x m =+ B ．||()x f x m =- C. ()mf x x = D ．()1o (||1)m f xg x =+6. 已知双曲线2222:1y x a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线与直线3210x y -+=垂直，则双曲线的离心率为( )A B D ．1347. 若21()(1n x xx -+的展开式的各项的系数和为32，则21()(1nx x x -++的展开式的常数项为( )A ．5-B ．15- C. 5 D ．15 8. 下图给出的是计算11113599++++的程序框图，判断框和处理框应分别填的是( )A ．101,2i i i >=+B ．98,1i i i >=+ C. 99,1i i i >=+D ．99,2i i i >=+9. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 最大值为( )A ．32B ． C. 64 D ．10. 将函数()sin 4f x x =-22x 6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的对称中心是( )A ．5(,0),224k k Z ππ+∈B ．5(,0),424k k Z ππ+∈ C. (,0),412k k Z ππ+∈ D ．(,0),212k k Z ππ+∈ 11. 已知点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的体对角1AC 线上运动，当异面直线BP 与1AD 所成的角取得最小值时，1A P 的长度为( )A ．0 B．3C. 3D．3 12. 已知函数()()f x x R ∈的导函数为()f x '，若2()()2f x f x '+≥，且(0)8f =，则不等式2()71x f x e -->的解集为( )A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞ C. (,1)(0,)-∞-+∞ D ．(1,)+∞二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 命题“,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 ．14. 已知,x y 满足不等式组11421y x y x x ≥+⎧⎪⎪≤-+⎨⎪≥⎪⎩，则2x z y +=的取值范围为 ．15. 已知抛物线Γ以原点O 为顶点，以x 轴为对称轴，且Γ与圆22:40C x y y +-=相交于两点若这两点间的距离为3，则Γ的焦点到其准线的距离为 ． 16. 已知在ABC ∆中， O 为其外心，且满足1255AO AB AC =+，则cos BAC ∠的值为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分. 17. 已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且n S 为n a 与1na 的等差中项. (1)求证:数列2{}n S 为等差数列；(2)设(1)nn nb a -=，求{}n b 的前n 项和n T .18. 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PD PB =，H 为PC 上的点，过A 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN(1)证明: MN PC ⊥(2)当H 为PC 的中点， PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60， 求二面角P AM N --的余弦值.19. 某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为,,A B C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)：已知,,A B C 三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元. (1)求保险公司在该业务所获得利润的期望值： (2)现有如下两个方案供企业远择:方案1:企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2:企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支. 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -和2(,0)F c 椭圆交y 轴正半轴于2,OSF S S ∆=12e >，直线l 交椭圆于,D E 两点，当直线l 过点2F 时，1F DE ∆的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线t 经过点(1,0)P ，且与椭圆C 有两个交点,A B ，是否存在直线00:l x x =(其中02x >)使得,A B 到0l 的距离,A B d d 满足。
阳春市第一中学2018届高三第六次月考(理数)
阳春市第一中学2018届高三第六次月考(理数)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN阳春市第一中学2018届高三第六次月考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|(2)(2)0A x N x x =∈+-<，{}1,2B =，那么A B 等于（ ） A ．{}0,1,2B ．{}2,1C ．{}2D ．{}12.设复数1()z bi b R =+∈且||2z =，则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．3±C ．1±D ．3i ±3.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（ ）A ．4B ．8C ．10D ．125.若x ，y 满足约束条件20,10,50,y x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则y x 的最大值是（ ）A．32B ．1C ．2D ．36.已知锐角α满足cos 2cos()4παα=-，则sin 2α等于（ ）A ．21B ．12-C ．22D ．22-7.5()()x y x y -+的展开式中，24x y 的系数为（ ） A ．10-B ．5-C ．5D ．108.数列{}n a 中，已知11S =，22S =，且1123n n n S S S +-+=，（2n ≥且*n N ∈），则此数列为（ ） A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．310.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为'()y f x =，当0x ≠时，()'()0f x f x x +>，若11()22a f =，2(2)b f =--，11(ln )(ln )22c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c a b <<11.已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12.设函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A ．15 B ．25 C ．12D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线2y x =在2x =处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲线图形的面积为 ．14.设ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，c =，cos A =b = ． 15.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 为边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影为BCD ∆的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为A BCD -外接球的表面积为 ． 16.在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则2PB PC BC ⋅+的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量(sin ,cos )a x x =，(cos ,3cos )b x x =-，函数()f x a b =⋅． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若()0f C =，02C π<<，1c =，求ABC ∆面积的最大值．18.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈；②若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，FC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，AD DC CF ==． （1）求证：//FC 平面AED ；（2）求直线AF 与平面BDF 所成角的余弦值．20.已知抛物线C 的标准方程为22(0)y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，(,0)A a （0a ≠）为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为18．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）记11||||t AM AN =+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由． 21.已知函数()(1)x f x x a e =--，21()2g x x ax =-． （1）曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值； （2）记()()(1)()F x f x a g x =-+． （i ）讨论()F x 的单调性；（ii ）若314a -<<-，()h a 为()F x 在(ln(1),)a ++∞上的最小值，求证：()0h a <．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲设函数()|2||2|f x x x =+--． （1）解不等式()2f x ≥；（2）当x R ∈，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-．数学（理科）参考答案一、选择题1-5:ABCBC 6-10:ABDAD 11、12： 二、填空题13.23 14.2或4 15.6π 16.三、解答题17.解：（1）由题意得：21()sin cos sin 221)sin(2)23f x x x x x x x π=-=+=+，令222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，整理得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴函数()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）由题意得：()sin(2)03f C C π=-=，∴sin(2)3C π-=，∵02C π<<，∴22333C πππ-<-<，∴3C π=， 由余弦定理可得：2212cos3a b ab ab π+-==，又22ab a b ≤+，∴1ab ≤，当且仅当1a b ==时等号成立，∴1sin 2ABC S ab C ∆==≤，∴ABC ∆面积的最大值为4． 18.解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布2(,)N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈， ∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826．②根据题意得1~(4,)2X B ，04411(0)()216P X C ===，14411(1)()24P X C ===，24413(2)()28P X C ===，34411(3)()24P X C ===，44411(4)()216P X C ===．∴X 的分布列为∴()422E X =⨯=． 19.（1）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒， ∴BC DC =，120ADC BCD ∠=∠=︒，∴30CDB ∠=︒， ∴90ADB ∠=︒，即BD AD ⊥． 又AE BD ⊥，AEAD A =，∴BD ⊥平面AED ，又BD ⊂平面ABCD ，∴平面AED ⊥平面ABCD ， 如图，过E 作EG AD ⊥于G ，则EG ⊥平面ABCD ，又FC ⊥平面ABCD ，∴//FC EG ， 又EG ⊂平面AED ，FC ⊄平面AED ， ∴//FC 平面AED ．（2）解：如图，连接AC ，由（1）知AC BC ⊥， ∵FC ⊥平面ABCD ， ∴CA ，CB ，CF 两两垂直．以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -．设2BC =，则3AC =4AB =，(0,0,2)F ，(0,2,0)B ，(3,1,0)D -，(23,0,0)A ，∴(3,0,2)AF =-，(3,3,0)BD =-，(0,2,2)FB =-， 设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BD n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即330,0,x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令1y =，则3x =1z =，则(3,1,1)n =． 设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，则||sin ||||n AF n AF θ⋅=⋅5= 故直线AF 与平面BDF 所成角的余弦值为255．20.解：（1）由题意，11||||218222MON p S OA MN p ∆=⋅=⋅⋅=，∴6p =， 抛物线C 的标准方程为212y x =．（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，设直线MN 的方程为x my a =+，联立2,12,x my a y x =+⎧⎨=⎩得212120y my a --=，∴2144480m a ∆=+>，1212y y m +=，1212y y a =-，由对称性，不妨设0m >，（i ）0a <时，∵12120y y a =->，∴1y ，2y 同号， 又221211||||1||1||t AM AN m y m y =+=++ ∴2221222222212()1114411(1)1()11441y y m t m y y m a a m +=⋅=⋅=-+++， 不论a 取何值，t 均与m 有关，即0a <时，A 不是“稳定点”； （ii ）0a >时，∵12120y y a =-<，∴1y ，2y 异号， 又221211||||1||1||t AM AN m y m y =+=++∴222212121222222222121211()()41111444813(1)1()1()11441a y y y y y y m a t m y y m y y m a a m --+-+=⋅=⋅=⋅=+++++，∴仅当1103a -=，即3a =时，t 与m 无关． 21.解：（1）'()()x f x x a e =-，'(1)(1)f a e =-，因为()f x 在(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以'(1)0f =，所以1a =；（2）21()(1)(1)(1)2x F x x a e a x a a x =---+++， （i ）'()(1)(1)(1)()(1)()x x x F x e x a e a x a a x a e a x a =+---+++=--+-()(1)x x a e a ⎡⎤=--+⎣⎦，若10a +≤，即1a ≤-时，则由'()0F x =得x a =，当(,)x a ∈-∞时，'()0F x <； 当(,)x a ∈+∞时，'()0F x >；所以'()F x 在(,)a -∞单调递减，在(,)a +∞单调递增．若1a >-，则由'()0F x =，得x a =或ln(1)x a =+，构造函数()ln(1)k a a a =-+（1a >-）， 则'()1a k a a =+，由()0k a =，得0a =， 所以()k a 在(1,0)-单调递减，在(0,)+∞单调递增，min ()(0)0k a k ==，所以ln(1)a a ≥+（当且仅当0a =时等号成立）．①若0a =，'()0F x ≥，()F x 在(,)-∞+∞单调递增；②若10a -<<或0a >，当(ln(1),)x a a ∈+时，'()0F x <；当(,ln(1))(,)x a a ∈-∞++∞时，'()0F x >； 所以()F x 在(ln(1),)a a +单调递减，在(,ln(1))a -∞+，(,)a +∞单调递增．（ii ）若314a -<<-，()F x 在(ln(1),)a a +单调递减，在(,)a +∞单调递增． 32min 1()()()2a F x f a a a e ==+-，令321()()2a h a a a e =+-，则23'()2a h a a a e =+-， 令23()'()2a a h a a a e ϕ==+-，'()310a a a e ϕ=+-<，23'()2a h a a a e =+-在3(1,)4--单调递减， 11'(1)02h e -=->，3433'()0432h e --=-<，所以存在唯一的03(1,)4a ∈--使得0'()0h a =，所以()h a 在0(1,)a -单调递增，在03(,)4a -单调递减，故当03(1,)4a ∈--时，max 0()()h a h a =， 又020003'()02a h a a a e =+-=，所以322max 0000013()()()()22h a h a a a a a ==+-+20001(22)02a a a =--<， 所以当3(1,)4a ∈--时，321()()02a h a a a e =+-<． 22.解：（1）∵1sin()62πρθ-=，∴11cos )22ρθθ-=，1122y x -=，10x -+=． （2）曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为32， 所以，最大距离为37222+=． 23.解：（1）由已知可得：4,2,()2,22,4, 2.x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩所以，()2f x ≥的解集为{}|1x x ≥．（2）由（1）知，|2||2|4x x +--≤，[]11111()(1)24111y y y y y y y y y y -+=++-=++≥---， ∴11|2||2|1x x y y+--≤+-．。
广东省阳春市第一中学高三上学期第二次月考理数试题Word版含答案
噼噼啪啪 噼噼啪 啪
则 P( A)
1 3 2 2 C2 C5 C2 C5 6 4 C7 7
所以取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为 （2）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4
6 7
1 3 2 2 3 1 C4 C3 C4 C3 18 C4 C 12 4 ， ， P( X 1) 4 P( X 2) P( X 3) 4 3 ， 4 C7 35 C7 35 C7 35 4 3 C4 C3 1 4 C7 35
n2 DC 0 n2 DM 0
即，可取 n2 ( 2,0, 1)
1 3 1 3
显然二面角 A - DM C 的大小为钝角，所以二面角 A - DM C 的余弦值为 20.解： （1）设“取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件 A，
房东是个大帅哥
1 1 2 2
2 ) 2
设 n1 ( x, y, z ) 是平面 ADM 的法向量，则
n1 DA 0 n1 DM 0
即，可取 n1 (0, 2, 1)
同理，设 n2 (u, v, w) 是平面 CDM 的法向量则 ∴ cos n1 , n2
6
与圆 C : 2 交于点 A ，椭圆 L 的方程为：
2
3 ，以极点为原点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 xoy . 1 2 sin 2
（1）求点 A 的直角坐标系和椭圆 L 的参数方程； （2）若 E 为椭圆 L 的下顶点，F 为椭圆 L 的任意一点，求 AE AF 的最大值以及点 F 的坐 标.
a 2( x 2) 2 x ax2 4(a 1) 1 ax ( x 2) 2 (1 ax)(x 2) 2
广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第二次月考理数试题Word版含答案
阳春市一中2018届高三级月考（2）理 科 数 学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知2{|60}A x x x =--=，{|21}x B x =>，AB =（ ）A ．{|13}x x ≤<B ．{|03}x x ≤<C ．{|12}x x ≤<D ．{|02}x x <<2.设命题:(0,),32x x p x ∀∈+∞>；命题:(,0),32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝3.已知集合2{|230}A x x x =--≤，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞ 4.设0.533,log 2,cos2x y z ===，则 （ ）A ．z x y <<B ．y z x << C. z y x << D ．x z y <<5.函数()xx xe f x e e -=-的图象大致是 （ ）A ．B ． C.D ．6.已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．(,[3,)-∞+∞ B ．(,(3,)-∞+∞C. [D．(7.已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的范围是 （ ）A ．(,2ln 2)-∞B ．(,2ln 22]-∞- C. (2ln 2,)+∞ D ．(,1]-∞- 8.若圆223450x y x y +---=关于直线0(0,0)ax by a b -=>>对称，则双曲线22221x y a b-=的离心率为（ ） A ． B ．53 C.54 D ．749.已知函数2()lg(4)f x x x =-，则 （ ） A ．()f x 在（0，4）单调递增B ．()f x 在（0，4）单调递减C.()y f x =的图象关于直线2x =对称 D ．()y f x =的图象关于点(2,0)对称 10.已知函数是定义在R 上的偶函数，若任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则(2017)(2018)f f -+= （ ）A ．4B ．3 C.2 D ．111.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且函数()2017f x +为奇函数，则不等式()20170x f x e +<的解集是 （ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞ C.1(,)e -∞ D ．1(,)e+∞12.已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2()3()0()f x f x a a R -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．1(0,)4 B ．1(,3)3 C.（1，2） D ．9(2,)4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数2sin 4sin 5y x x =-+的值域为 ． 14.413x x dx -+-=⎰．15.已知曲线2()ln f x ax x =-在点(2,(2))f 处的切线斜率为32，则()f x 的最小值为 ．16.若点P 是曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，满足(53)cos 3cos a b C c B -=⋅ （1）求cos C 的值； （2）若4c =，且三角形ABC 的面积为8，求,a b 的值. 18. n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+. (1)求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 19. 如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//,AB CD AD CD ⊥，1,AB AD ==2,CD PD M ==为棱PB 的中点.(1)证明：DM ⊥平面PBC ； （2）求二面角A DM C --的余弦值.20. 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4号，白色卡片3张，编号分别为2，3，4号，从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；（2）在取出的4张卡片中，取到红色卡片的张数设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.21. 已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围. 22.在极坐标系中，射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点A ，椭圆L 的方程为：22312sin ρθ=+，以极点为原点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系xoy . （1）求点A 的直角坐标系和椭圆L 的参数方程；（2）若E 为椭圆L 的下顶点，F 为椭圆L 的任意一点，求AE AF ⋅的最大值以及点F 的坐标.试卷答案一、选择题1-5:BBCCC 6-10:BBCCA 11、12：AD 二、填空题13.[2,10] 14.10 15. 12三、解答题17.解：因(53)cos 3cos a b C c B -=⋅由正弦定理得：(5sin 3sin )cos 3sin cos A B C C B -=⋅5sin cos 3(sin cos sin cos )3sin A C B C C B A =⋅+⋅=，又sin 0A ≠，3cos 5C ∴=. (2)∵4c =,3cos 5C =,2231625a b ab =+-⋅,14825ab ⋅= 故2240,20a b ab +==，解得a b ==18.解：（1）当1n =时，2111243a a a +=+，因为0n a >，所以13a =， 当2n ≥时，221112243434n n n n n n n a a a a S S a ---+--=+--=即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+；（2）由（1）知，1111()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++，所以数列{}n b 的前n 项和为：12111111111[()()()]235572123646n b b b n n n +++=-+-++-=-+++.19.解：（1）连接BD ，取DC 的中点G ，连接BG ，由此知1DG GC BG ===，即DBC ∆为直角三角形，∴BC BD ⊥. 又PD ⊥底面ABCD ，∴BC PD ⊥， 又PDBD D =，∴BC ⊥底面BDP ，BC MD ⊥，又PD BD ==PD BD ⊥，M 为PB 的中点，∴DM PB ⊥又PBBC B =，∴DM⊥底面PBC ；（2）以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，则A （1,0,0），B （1,1,0），C(0,2,0)，从而11(,,222M 设1(,,)n x y z =是平面ADM 的法向量，则1100n DA n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，可取1(0,2,1)n =-同理，设2(,,)n u v w =是平面CDM 的法向量则220n DC n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，可取2(2,0,1)n =-∴121cos ,3n n <>=显然二面角C DM A --的大小为钝角，所以二面角C DM A --的余弦值为13-20.解：（1）设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则13222525476()7C C C C P A C +== 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67（2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，41343474(1)35C C P X C ===，22434718(2)35C C P X C ===，31434712(3)35C C P X C ===，4343471(4)35C C P X C === 所以随机变量X 的分布列是 X 1234P435 1235 1835 135故随机变量X 的数学期望41218116()1234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 21. 解：（1）222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f 当1≥a 时，此时0)('>x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增当10<<a 时，0)('=x f ，得)12(1221舍去aax a a x --=-= 当),0(1x x ∈时，0)('<x f ；)(1∞+∈，x x 时，0)('>x f ； 故)(x f 在区间),0(1x x ∈上单调递减，在区间)(1∞+∈，x x 上单调递增 综上所述，当1≥a 时，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增；当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a x -∈上单调递减，在区间)12(∞+-∈，aax 上单调递增 （2）由（1）知，当1≥a 时，0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点，因而要使得)(x f 有两个极值点，必有10<<a又)(x f 的极值点只可能是aax a a x --=-=121221和，且由)(x f 的定义域可知21-≠->x a x 且，所以212112-≠--->--aa a a a 且解得21≠a ，此时21,x x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点 而2122)12ln(12)1(4)12ln(4)(2)(44])(1ln[22)1ln(22)1ln()()(22212121212122122211121--+-=----=+++++-+++=+-+++-+=+a a a a a x x x x x x x x x x a x x a x x ax x x ax x f x f令x a =-12由10<<a 且21≠a 知210<<a 时，；当121<<a ，时，10<<x 记22ln )(2-+=xx x g （i ）当01<<-x ，22ln )(2-+=x x x g ，所以02222)(22<-=-=xx x x x g 因此，)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g 故当121<<a 时，0)()(21<+x f x f（ii ）当10<<x ，22ln )(2-+=x x x g ，所以02222)(22<-=-=xx x x x g 因此，)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=->g x g 故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f 综上所述，满足条件的a 的取值范围为)1,21( 22. 解：（1）射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点)6,2(πA ，点A 的直角坐标为)1,3(椭圆L 的方程为：22312sin ρθ=+，直角坐标方程为1322=+y x 参数方程为θθθ(sin cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数）（2）设)sin ,cos 3(θθF ，∵E （0，-1），),1sin ,3cos 3(),2,3(---=--=θθ∴AE AF ⋅)1(sin 23cos 3--+-=θθ5)sin(135)cos 13133sin 13132(13++=+--=αθθθ则13133sin ,13132cos -=-=αα 当1)sin(=+αθ时，AE AF ⋅的最大值为513+ 则2παθ=+，即απθ-=2所以13393sin 3)2cos(3cos 3-==-=ααπθ 13132cos )2sin(sin -==-=ααπθ 所以当F 的坐标为），（1313213393--时，AE AF ⋅的最大值为513+。
2018届广东省阳春市第一中学高三上学期第三次月考 数学(理)
2018届广东省阳春市第一中学高三上学期第三次月考数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x =≤，{}320B x x =-<，则（ ）A ．AB R =U B ．A B =∅IC ．{}2A B x x =≤I D ．322A B x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭U 2．记复数z 的虚部为lmz ，已知复数5221iz i i =--，（i 为虚数单位），则lmz 为（ ） A ．2 B ．3 C ．3i - D ．3-3．已知命题p ：“对任意0x >，都有()ln 1x x +<”，则命题p 的否定是（ ） A ．对任意0x >，都有()ln 1x x +≥ B ．存在00x >，使得()00ln 1x x +≥ C ．对任意0x ≤，都有()ln 1x x +≥ D ．存在00x ≤，使得()00ln 1x x +≥4．下列函数：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2y x =，3y x =+，3y x =在()0,+∞上是增函数且为偶函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+（ ） A ．12 B ．2 C ．35 D ．38- 6．函数cos ln xy x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若向量,a b r r 的夹角为3π，且2a =r ，1b =r ，则向量a r 与向量2a b +r r 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 8．定义在R 上的奇函数()f x 满足：()()2f x f x +=，且当01x <<时，()2xf x =，则12log 2017f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．10242017-B ．20171024-C ．12017D ．11024- 9．丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”，已知()2323432x t f x x x =-+在()1,4上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．51,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=->的图象与轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =是减函数的区间为（ ） A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知在ABC ∆中，a x =，2b =，30B =︒，若三角形有两个解，则x 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()2,22 C ．()2,4 D ．()2,23 12．设点P 为函数()2122f x x ax =+与()()23ln 20g x a x b a =+>图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为（ ）A ．3423eB ．3432e C ．2343e D ．2334e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．()sin135cos 15cos 225sin15︒-︒+︒︒等于 ．14．已知函数()y f x =的定义域为()(),,a b -∞+∞U （其中a b <），则“()y f x =在(),a -∞和(),b +∞上分别单调递增”是“()y f x =在()(),,a b -∞+∞U 上为增函数”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要条件”） 15．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数ω的最小值为 ．16．设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足条件()()0f x xf x '+>，则不等式()()2111fx x fx +>-⋅-的解集为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠. （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ. 18．在ABC ∆中，已知cos cos sin A B Ca b c+=. （1）证明：sin sin sin A B C =； （2）若22265b c a bc +-=，求tan B . 19．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择.①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望.20．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，2AC AP ==.（1）求证：PC AE ⊥；（2）求二面角A CE P --的余弦值.21．已知函数()()()ln 10f x ax x a =-≠. （1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）当0a >时，设函数()()316g x x f x =-，函数()()h x g x '=. ①若()0h x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； ②证明：()2ln 123en ⨯⨯⨯⨯<L ()2222*123N n n ++++∈L .22．在直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=.（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A B 、两点，10AB =，求直线l 的斜率.阳春一中2018届高三级月考（3）理科数学答案一、选择题1-5:BDBAC 6-10:CABCA 11、12：CD二、填空题13．1214．必要不充分 15．3 16．[)1,2 三、解答题17．解：（1）由题意得1111a S a λ==+，故1λ≠，111a λ=-，10a ≠. 由1n n S a λ=+，111n n S a λ++=+得11n n n a a a λλ++=-， 即()11n n a a λλ+-=，由10,0a λ≠≠得0n a ≠，所以11n n a a λλ+=-. 因此{}n a 是首项为11λ-，公比为1λλ-的等比数列，于是1111n n a λλλ-⎛⎫= ⎪--⎝⎭（2）由（1）得11nn S λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭.由53132S =得5311132λλ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭即51132λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，解得1λ=-. 18．解：（1）由cos cos sin A B C a b c +=及正弦定理可得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+=化简得sin sin sin cos A B A B =+()cos sin sin A B A B =+在ABC ∆中，由A B C π++=，有()()sin sin sin A B C C π+=-= 所以sin sin sin A B C =.（2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==所以24sin 1cos 5A A =-=由（1）得sin sin sin cos cos sin A B A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+ 故sin tan 4cos BB B==. 19．解：（1）由表信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有()14,18，()15,17，()15,18，()16,17，()16,18，()17,18，共6种 由古典概型概率计算公式得()63105P A ==. ②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.()1290.110P ξ===，()1300.110P ξ===，()2310.210P ξ===， ()2320.210P ξ===，()2330.210P ξ===，()1340.110P ξ===，()1350.110P ξ===因而ξ的分布列为()290.1300.1310.2320.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯330.2340.1350.132+⨯+⨯+⨯=.20．解：（1）取PC 的中点F ，连接,EF AF ，则EF CD ∥. 因为2AC AP ==，所以PC AF ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥又AC CD ⊥ 所以CD ⊥平面PAC因为PC ⊂平面PAC ，所以CD PC ⊥；又EF CD ∥，所以EF PC ⊥； 又因为PC AF ⊥,AF EF F =I ，所以PC ⊥平面AEF 因为AE ⊂平面AEF ，所以PC AE ⊥.（2）以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -. 则()0,0,0B ，()0,1,0A ，()3,0,0C，()23,3,0D ，()3,2,1E，()0,1,2P()3,1,0AC =-uuu r，()0,2,1CE =uur.设平面ACE 的法向量为()1,,n x y z =u r ，则110,0.AC n CE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r u r uur u r 所以30,220.x y y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，所以()11,3,23n =-u r.由（1）知CD ⊥平面PAC ，AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥. 同理PC AF ⊥，所以AF ⊥平面PCE所以平面PCE 的一个法向量231,,122n AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u r uu u r .所以1212126cos ,4n n n n n n ⋅==-⋅u r u u ru r u u r u r u u r， 由图可知，二面角A CE P --为锐角， 所以二面角A CE P --的余弦值为6421．解：（1）∵()()1ln 1ln f x a x x a x x⎡⎤'=-+⋅=⎢⎥⎣⎦，令()0f x '>，当0a >时，解得1x >；当0a <时，解得01x <<， 所以当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间是()1,+∞； 当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间是()0,1. （2）①∵()()()212h x g x x f x ''==-21ln 2x a x =-，由题意得()min 0h x ≥， 因为()2a x ah x x x x -'=-==()()x a x a x+-， 所以当()0,x a ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；∴()()min 1ln2h x h a a a a ==-，由1ln 02a a a -≥，得ln 1a ≤，解得0e a <≤， 所以实数a 的取值范围是(]0,e . ②由（1）知e a =时，()21eln 02h x x x =-≥在()0,x ∈+∞上恒成立，当e x =时等号成立， ∴*x ∈N 时，22eln x x <，令1,2,3,x n =L ，累加可得()2e ln1ln 2ln 3ln n ++++L 2222123n <++++L ，即()2ln 123en ⨯⨯⨯⨯<L 2222123n ++++L ，()*n ∈N .22．解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,ρρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=，()21212124AB ρρρρρρ=-=+-2144cos 44α=-，由10AB =得23cos 8α=，15tan 3α=±，所以l 的斜率为153或153-.。
广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第一次月考数学文试题Word版含答案
阳春一中2018届高三级月考（1）文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题:2,230x p x ∀>->的否定是（ ） A ．002,230xx ∃>-≤ B ．2,230x x ∀≤-> C ．2,230x x ∀>-≤ D ．002,230xx ∃>->2．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+≥，4{|}5B x x =<-，则A B ⋂=（ ）A ．{|1}x x ≤- B ．{|3}x x ≥ C ．4{|}5x x <- D ．4{|1}5x x -≤<- 3．下列函数中，奇函数是（ ）A ．()sin ||f x x =B ．()sin f x x x =C ．2y =D ．22x x y -=-4．下列说法中错误．．的是（ ）A ．“s i nθ=3πθ=”的必要不充分条件．B ．当0a <时，幂函数ay x =在区间(0,)+∞上单调递减．C ． 设命题:p 对任意2,10x R x x ∈++>；命题:q 存在,cos sin 2x R x x ∈-=，则()()p q ⌝∨⌝为真命题．D ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若x y 、都不是偶数，则x y +不是偶数”．5．已知函数2()lg(4)f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在(0,4)单调递增B ．()f x 在(0,4)单调递减C ．()y f x =的图象关于直线2x =对称D ．()y f x =的图象关于点(2,0)对称6．已知 1.22a =，0.21()2b -=，152log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ． c b a <<D ．b c a << 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则(2017)(2018)f f -+=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．设命题:(0,),32x x p x ∀∈+∞>；命题:(,0),32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．(p q ∧⌝）C ． (p q ⌝∧）D ．((p q ⌝∧⌝））9．若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(,6]-∞- C ．[6,2]- D ．(,6][2,)-∞-⋃+∞ 10．若函数()y f x =为偶函数，且 (0,)+∞上单调递增，(2)0f =，则(2)0f x ->的解集为（ ）A ．{|40}x x x ><或B ．{|22}x x -<<C ．{|22}x x x ><-或D ．{|04}x x <<11．已知函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,2)-∞ B ．13(,]8-∞ C ． (,2]-∞ D ．13[,2)812．已知函数|ln |,0()2ln ,x x ef x x x e <≤⎧=⎨->⎩，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A ．2(,)e eB ．2(1,)e C ． 1(,)e e D ．21(,)e e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数()()221,1log 1,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则7(())3f f = ．14．若函数2()lg(2a )1f x x=++为奇函数，则实数a = ． 15．设0a <，若不等式22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x R ∈恒成立，则a 的取值范围是 ．16．已知函数()204,0x f x x x x >=-≤⎪⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线1C 的直角坐标方程为221:194x y C +=． （1）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的参数方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值． 18．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b csin cos A a B =． （1）求B ；（2）若3,sin b C A ==，求,a c ．19．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4的数据，求y 关于x 的线性回归方程^^y b x a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：^1122211()()()n ni iiii i nniii i x y n x y x x y y b xn xx x ====-⋅⋅--==-⋅-∑∑∑∑，^a y bx =-）20．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线的极坐标方程是2sin()4πρα+=曲线1C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，曲线1C 与圆C 的交点为,O P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长．21．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(),0,||3A a AF -=．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ，直线OM 与直线4x =交于D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ，求证：OE AP ∥． 22．已知函数21()(1)ln ()2f x ax a x x x R =-++-∈． （1）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0a =时，设函数()()()22g x xf x k x =-++．若函数()g x 在区间1[,)2+∞上有两个零点，求实数k 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:AADDC 6-10:CABDA 11、12：BA二、填空题13．13 14．12- 15． 2a ≤- 16． []6,0- 三、解答题17．解：（1）:2100C x y +-=．13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）． （2）设()3cos ,2sin M αα 则M 到直线C 的距离为d =|5sin 10|+-=，所以当()sin 1αϕ+=时，有min d ==．18．解：（1sin cos A a B =sin sin sin cos B A A B =．在ABC 中，sin 0A ≠cos B B =，∴tan 3B =． ∵0B π<<，∴6B π=．（2）由sin C A =及正弦定理，得c =，①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，22232cos6a c ac π=+-即229a c +=，②由①②，解得3,a c == 19．解：（1）由数据，求得()1111312123x =++=，()1253026273y =++=，3972x y ⋅=． 31112513*********i i i x y ==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434i i x ==++=∑，23432x =，由公式求得3^132213977972543443223i ii ii x y x yb xx==-⋅-===--∑∑，^^3a y b x =-=-∴y 关于x 的线性回归方程为^532y x =-． （2）当10x =时，^510322,|2223|22y =⨯-=-< 当8x =时，^58317,|1716|22y =⨯-=-< ∴（1）中所得的线性回归方程是可靠的．20．（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos tan 2ρθθ=⎧⎨=⎩解得11tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 设22(,)ρθ为点Q的极坐标，22222(sin cos cos sin )44tan 2ππρθθθ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得22tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩由于12θθ=，所以12||||PQ ρρ=-=，所以线段PQ21．解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得1,32c a c a =+=．解得2,1a c ==．所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是22143x y +=． （2）解法一：由（1）得()2,0A -．设AP 的中点0011(,),(,)M x y P x y ． 设直线AP 的方程为：()()20y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得()2222431616120kx k x k +++-=，所以21216243k x k --+=+． 所以202843k x k -=+，()0026243k y k x k =+=+， 即22286(,)4343k kM k k -++． 所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， 所以直线OM 的方程是34y x k =-．令4x =，得34,D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 由()1,0F ，得直线DF 的斜率是3141k k-=--，因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， 所以直线OE AP ∥．解法二：由（1）得()2,0A -．设()()111,2P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以112(,)22x y M -． 所以直线OM 的斜率是112OM y k x =-， 所以直线OM 的方程是112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -．由()1,0F ，得直线DF 的斜率是()11432DF y k x =-．因为直线AP 的斜率是112AP y k x =+， 所以()21214134DF APy k k x ⋅==--，所以AP DF ⊥． 因为OE DF ⊥， 所以OE AP ∥．22．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()11f x ax a x '=-++-()()11ax x x--=- ①当()0,1a ∈时11a >． 由()10,f x x a '<>或1x <．当()0,1x ∈，1(,)x a∈+∞时，()f x 单调递减．∴()f x 的单调递减区间为()10,1,(,)a+∞；②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减． ∴()f x 的单调递减区间为()0,+∞； ③当()1,a ∈+∞时11a<． 由()0f x '<，得11,x x a><． ∴1(0,),(1,)x x a∈∈+∞时，()f x 单调递减． ∴()f x 的单调递减区间为1(0,),(1,)a+∞．综上，当()0,1a ∈时，()f x 的单调递减区间为()10,1,(,)a+∞； 当1a =时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞；当()1,a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,),(1,)a +∞．（2）()()2ln 22g x x x x k x =--++在1[,)2x ∈+∞上有两个零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1[,)2x ∈+∞上有两个不相等的实数根．令函数()2ln 22x x x h x x -+=+，1[,)2x ∈+∞．则()2232ln 4(2)x x x h x x +--'=+． 令函数()232ln 4p x x x x =+--，1[,)2x ∈+∞． 则()()()212x x p x x-+'=在1[,)2x ∈+∞上有()0p x '≥．故()p x 在1[,)2x ∈+∞上单调递增．∵()10p =，∴1[,1)2x ∈时，有()0p x <即()0h x '<，∴()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，有()0p x >即()0h x '>，∴()h x 单调递增．∵19ln 2()2105h =+，()11h =， ()10210ln 2102102310012122h --=>=>∴k 的取值范围9ln 2(1,]105+．。
广东省阳春市第一中学高三上学期第二次月考理数试题Word版含答案
阳春市一中2018届高三级月考（2）理 科 数 学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知2{|60}A x x x =--=，{|21}x B x =>，AB =（ ）A ．{|13}x x ≤<B ．{|03}x x ≤<C ．{|12}x x ≤<D ．{|02}x x <<2.设命题:(0,),32x x p x ∀∈+∞>；命题:(,0),32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝3.已知集合2{|230}A x x x =--≤，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞ 4.设0.533,log 2,cos2x y z ===，则 （ ）A ．z x y <<B ．y z x << C. z y x << D ．x z y <<5.函数()xx xe f x e e -=-的图象大致是 （ ）A ．B ． C.D ．6.已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．(,[3,)-∞+∞B ．(,(3,)-∞+∞C. [D．(7.已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的范围是 （ ）A ．(,2ln 2)-∞B ．(,2ln 22]-∞- C. (2ln 2,)+∞ D ．(,1]-∞- 8.若圆223450x y x y +---=关于直线0(0,0)ax by a b -=>>对称，则双曲线22221x y a b-=的离心率为（ ） A ． B ．53 C.54 D ．749.已知函数2()lg(4)f x x x =-，则 （ ） A ．()f x 在（0，4）单调递增B ．()f x 在（0，4）单调递减C.()y f x =的图象关于直线2x =对称 D ．()y f x =的图象关于点(2,0)对称 10.已知函数是定义在R 上的偶函数，若任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则(2017)(2018)f f -+= （ ）A ．4B ．3 C.2 D ．111.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且函数()2017f x +为奇函数，则不等式()20170x f x e +<的解集是 （ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞ C.1(,)e -∞ D ．1(,)e+∞12.已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2()3()0()f x f x a a R -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．1(0,)4 B ．1(,3)3 C.（1，2） D ．9(2,)4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数2sin 4sin 5y x x =-+的值域为 ． 14.413x x dx -+-=⎰．15.已知曲线2()ln f x ax x =-在点(2,(2))f 处的切线斜率为32，则()f x 的最小值为 ．16.若点P 是曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，满足(53)cos 3cos a b C c B -=⋅ （1）求cos C 的值； （2）若4c =，且三角形ABC 的面积为8，求,a b 的值. 18. n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+. (1)求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 19. 如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//,AB CD AD CD ⊥，1,AB AD ==2,CD PD M ==为棱PB 的中点.(1)证明：DM ⊥平面PBC ； （2）求二面角A DM C --的余弦值.20. 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4号，白色卡片3张，编号分别为2，3，4号，从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；（2）在取出的4张卡片中，取到红色卡片的张数设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.21. 已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围. 22.在极坐标系中，射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点A ，椭圆L 的方程为：22312sin ρθ=+，以极点为原点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系xoy . （1）求点A 的直角坐标系和椭圆L 的参数方程；（2）若E 为椭圆L 的下顶点，F 为椭圆L 的任意一点，求AE AF ⋅的最大值以及点F 的坐标.试卷答案一、选择题1-5:BBCCC 6-10:BBCCA 11、12：AD 二、填空题13.[2,10] 14.10 15. 12三、解答题17.解：因(53)cos 3cos a b C c B -=⋅由正弦定理得：(5sin 3sin )cos 3sin cos A B C C B -=⋅5sin cos 3(sin cos sin cos )3sin A C B C C B A =⋅+⋅=，又sin 0A ≠，3cos 5C ∴=. (2)∵4c =,3cos 5C =,2231625a b ab =+-⋅,14825ab ⋅= 故2240,20a b ab +==，解得a b ==18.解：（1）当1n =时，2111243a a a +=+，因为0n a >，所以13a =， 当2n ≥时，221112243434n n n n n n n a a a a S S a ---+--=+--=即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+；（2）由（1）知，1111()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++，所以数列{}n b 的前n 项和为：12111111111[()()()]235572123646n b b b n n n +++=-+-++-=-+++.19.解：（1）连接BD ，取DC 的中点G ，连接BG ，由此知1DG GC BG ===，即DBC ∆为直角三角形，∴BC BD ⊥. 又PD ⊥底面ABCD ，∴BC PD ⊥， 又PDBD D =，∴BC ⊥底面BDP ，BC MD ⊥，又PD BD ==PD BD ⊥，M 为PB 的中点，∴DM PB ⊥又PBBC B =，∴DM⊥底面PBC ；（2）以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，则A （1,0,0），B （1,1,0），C(0,2,0)，从而11(,,222M 设1(,,)n x y z =是平面ADM 的法向量，则1100n DA n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，可取1(0,2,1)n =-同理，设2(,,)n u v w =是平面CDM 的法向量则220n DC n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，可取2(2,0,1)n =-∴121cos ,3n n <>=显然二面角C DM A --的大小为钝角，所以二面角C DM A --的余弦值为13-20.解：（1）设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则13222525476()7C C C C P A C +== 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67（2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，41343474(1)35C C P X C ===，22434718(2)35C C P X C ===，31434712(3)35C C P X C ===，4343471(4)35C C P X C === 所以随机变量X 的分布列是 X 1234P435 1235 1835 135故随机变量X 的数学期望41218116()1234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 21. 解：（1）222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f 当1≥a 时，此时0)('>x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增当10<<a 时，0)('=x f ，得)12(1221舍去aax a a x --=-= 当),0(1x x ∈时，0)('<x f ；)(1∞+∈，x x 时，0)('>x f ； 故)(x f 在区间),0(1x x ∈上单调递减，在区间)(1∞+∈，x x 上单调递增 综上所述，当1≥a 时，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增；当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a x -∈上单调递减，在区间)12(∞+-∈，aax 上单调递增 （2）由（1）知，当1≥a 时，0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点，因而要使得)(x f 有两个极值点，必有10<<a又)(x f 的极值点只可能是aax a a x --=-=121221和，且由)(x f 的定义域可知21-≠->x a x 且，所以212112-≠--->--aa a a a 且解得21≠a ，此时21,x x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点 而2122)12ln(12)1(4)12ln(4)(2)(44])(1ln[22)1ln(22)1ln()()(22212121212122122211121--+-=----=+++++-+++=+-+++-+=+a a a a a x x x x x x x x x x a x x a x x ax x x ax x f x f令x a =-12由10<<a 且21≠a 知210<<a 时，；当121<<a ，时，10<<x 记22ln )(2-+=xx x g （i ）当01<<-x ，22ln )(2-+=x x x g ，所以02222)(22<-=-=xx x x x g 因此，)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g 故当121<<a 时，0)()(21<+x f x f（ii ）当10<<x ，22ln )(2-+=x x x g ，所以02222)(22<-=-=xx x x x g 因此，)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=->g x g 故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f 综上所述，满足条件的a 的取值范围为)1,21( 22. 解：（1）射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点)6,2(πA ，点A 的直角坐标为)1,3(椭圆L 的方程为：22312sin ρθ=+，直角坐标方程为1322=+y x 参数方程为θθθ(sin cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数）（2）设)sin ,cos 3(θθF ，∵E （0，-1），),1sin ,3cos 3(),2,3(---=--=θθ∴AE AF ⋅)1(sin 23cos 3--+-=θθ5)sin(135)cos 13133sin 13132(13++=+--=αθθθ则13133sin ,13132cos -=-=αα 当1)sin(=+αθ时，AE AF ⋅的最大值为513+ 则2παθ=+，即απθ-=2所以13393sin 3)2cos(3cos 3-==-=ααπθ 13132cos )2sin(sin -==-=ααπθ 所以当F 的坐标为），（1313213393--时，AE AF ⋅的最大值为513+。
广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第三次月考数学(理)试题含答案
阳春一中2018届高三级月考（3)理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2A x x =≤，{}320B x x =-<，则（ ）A ．AB R = B ．A B =∅C ．{}2A B x x =≤D ．322A B x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭ 2．记复数z 的虚部为lmz ,已知复数5221iz i i =--，（i 为虚数单位),则lmz 为（ ）A ．2B ．3C ．3i -D ．3- 3．已知命题p :“对任意0x >，都有()ln 1x x +<"，则命题p 的否定是（ ）A ．对任意0x >，都有()ln 1x x +≥B ．存在00x >，使得()00ln 1x x +≥C ．对任意0x ≤,都有()ln 1x x+≥ D ．存在00x ≤,使得()00ln 1x x +≥4．下列函数:12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2y x =，3y x =+，3y x =在()0,+∞上是增函数且为偶函数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α,222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+（ ） A ．12 B ．2 C ．35 D ．38-6．函数cos ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若向量,a b 的夹角为3π，且2a =，1b =，则向量a 与向量2a b +的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π8．定义在R 上的奇函数()f x 满足：()()2f x f x +=,且当01x <<时，()2xf x =，则12log 2017f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．10242017-B ．20171024-C ．12017D ．11024-9．丹麦数学家琴生（Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x ',()f x '在(),a b 上的导函数为()f x '',若在(),a b 上()0f x ''<恒成立,则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数"，已知()2323432x t f x x x =-+在()1,4上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是( )A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．51,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 10．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的图象与轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =是减函数的区间为（ ） A ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知在ABC ∆中,a x =，2b =,30B =︒，若三角形有两个解,则x 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B．(2, C ．()2,4 D．(2,12．设点P 为函数()2122f x x ax =+与()()23ln 20g x a x b a =+>图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,则实数b 的最大值为（ )A ．3423eB ．3432e C ．2343e D ．2334e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上) 13．()sin135cos 15cos225sin15︒-︒+︒︒等于 ．14．已知函数()y f x =的定义域为()(),,a b -∞+∞（其中a b <），则“()y f x =在(),a -∞和(),b +∞上分别单调递增”是“()y f x =在()(),,a b -∞+∞上为增函数”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要条件”）15．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数ω的最小值为 ．16．设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足条件()()0f x xf x '+>，则不等式()()2111fx x fx +>-⋅-的解集为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠。
阳春市第一中学2018年度高三第六次月考(理数)
阳春市第一中学2018届高三第六次月考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|(2)(2)0A x N x x =∈+-<，{}1,2B =，那么A B U 等于（ ） A ．{}0,1,2B ．{}2,1C ．{}2D ．{}12.设复数1()z bi b R =+∈且||2z =，则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．3±C ．1±D ．3i ±3.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（ ）A ．4B ．8C ．10D ．125.若x ，y 满足约束条件20,10,50,y x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则y x 的最大值是（ ）A ．32B ．1C ．2D ．36.已知锐角α满足cos 2cos()4παα=-，则sin 2α等于（ ）A ．21 B ．12-C ．22D ．22-7.5()()x y x y -+的展开式中，24x y 的系数为（ ）A ．10-B ．5-C ．5D ．108.数列{}n a 中，已知11S =，22S =，且1123n n n S S S +-+=，（2n ≥且*n N ∈），则此数列为（ ） A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．310.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为'()y f x =，当0x ≠时，()'()0f x f x x +>，若11()22a f =，2(2)b f =--，11(ln )(ln )22c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c a b <<11.已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为（ ） A ．213B ．42C ．313D ．4612.设函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A ．15B ．25C ．12D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线2y x =在2x =处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲线图形的面积为 ．14.设ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，23c =，3cos A =，则b = ．15.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 为边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影为BCD ∆的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为22，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为 ．16.在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则2PB PC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量(sin ,cos )a x x =r ，(cos ,3cos )b x x =-r ，函数()f x a b =⋅r r．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若()0f C =，02C π<<，1c =，求ABC ∆面积的最大值．18.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈； ②若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，FC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，AD DC CF ==． （1）求证：//FC 平面AED ；（2）求直线AF 与平面BDF 所成角的余弦值．20.已知抛物线C 的标准方程为22(0)y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，(,0)A a （0a ≠）为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为18． （1）求抛物线C 的标准方程； （2）记11||||t AM AN =+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由． 21.已知函数()(1)xf x x a e =--，21()2g x x ax =-． （1）曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值； （2）记()()(1)()F x f x a g x =-+． （i ）讨论()F x 的单调性； （ii ）若314a -<<-，()h a 为()F x 在(ln(1),)a ++∞上的最小值，求证：()0h a <． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）． （1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||2|f x x x =+--． （1）解不等式()2f x ≥；（2）当x R ∈，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-．数学（理科）参考答案一、选择题1-5:ABCBC 6-10:ABDAD 11、12：二、填空题13.2314.2或4 15.6π 16.三、解答题17.解：（1）由题意得：21()sin cos sin 221)sin(2)2232f x x x x x x x π=-=-+=+-，令222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，整理得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴函数()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）由题意得：()sin(2)032f C C π=--=，∴sin(2)32C π-=， ∵02C π<<，∴22333C πππ-<-<，∴3C π=， 由余弦定理可得：2212cos3a b ab ab π+-==，又22ab a b ≤+，∴1ab ≤，当且仅当1a b ==时等号成立，∴1sin 2ABC S ab C ∆==≤，∴ABC ∆面积的最大值为4． 18.解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布2(,)N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826． ②根据题意得1~(4,)2X B ，04411(0)()216P X C ===，14411(1)()24P X C ===，24413(2)()28P X C ===，34411(3)()24P X C ===，44411(4)()216P X C ===．∴X 的分布列为∴()422E X =⨯=． 19.（1）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒， ∴BC DC =，120ADC BCD ∠=∠=︒，∴30CDB ∠=︒， ∴90ADB ∠=︒，即BD AD ⊥．又AE BD ⊥，AE AD A =I ，∴BD ⊥平面AED ， 又BD ⊂平面ABCD ，∴平面AED ⊥平面ABCD ， 如图，过E 作EG AD ⊥于G ，则EG ⊥平面ABCD ， 又FC ⊥平面ABCD ，∴//FC EG ， 又EG ⊂平面AED ，FC ⊄平面AED ， ∴//FC 平面AED ．（2）解：如图，连接AC ，由（1）知AC BC ⊥， ∵FC ⊥平面ABCD ， ∴CA ，CB ，CF 两两垂直．以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -．设2BC =，则23AC =4AB =，(0,0,2)F ，(0,2,0)B ，3,1,0)D -，(23,0,0)A ，∴(3,0,2)AF =-u u u r ，3,3,0)BD =-u u u r ，(0,2,2)FB =-u u u r， 设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n BD n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即330,0,x y y z -=-=⎪⎩ 令1y =，则3x =1z =，则3,1,1)n =r．设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，则||sin ||||n AF n AF θ⋅=⋅r u u u rr u u u r 55=，故直线AF 与平面BDF 25．20.解：（1）由题意，11||||218222MON pS OA MN p ∆=⋅=⋅⋅=，∴6p =， 抛物线C 的标准方程为212y x =．（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，设直线MN 的方程为x my a =+，联立2,12,x my a y x =+⎧⎨=⎩得212120y my a --=，∴2144480m a ∆=+>，1212y y m +=，1212y y a =-，由对称性，不妨设0m >，（i ）0a <时，∵12120y y a =->，∴1y ，2y 同号， 又221211||||1||1||t AM AN m y m y =+=++ ∴2221222222212()1114411(1)1()11441y y m t m y y m a a m+=⋅=⋅=-+++， 不论a 取何值，t 均与m 有关，即0a <时，A 不是“稳定点”； （ii ）0a >时，∵12120y y a =-<，∴1y ，2y 异号， 又221211||||1||1||t AM AN m y m y =+=++ ∴222212121222222222121211()()41111444813(1)1()1()11441a y y y y y y m a t m y y m y y m a a m--+-+=⋅=⋅=⋅=+++++， ∴仅当1103a -=，即3a =时，t 与m 无关．21.解：（1）'()()x f x x a e =-，'(1)(1)f a e =-， 因为()f x 在(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以'(1)0f =，所以1a =；（2）21()(1)(1)(1)2x F x x a e a x a a x =---+++， （i ）'()(1)(1)(1)()(1)()x x x F x e x a e a x a a x a e a x a =+---+++=--+-()(1)x x a e a ⎡⎤=--+⎣⎦，若10a +≤，即1a ≤-时，则由'()0F x =得x a =，当(,)x a ∈-∞时，'()0F x <； 当(,)x a ∈+∞时，'()0F x >；所以'()F x 在(,)a -∞单调递减，在(,)a +∞单调递增．若1a >-，则由'()0F x =，得x a =或ln(1)x a =+，构造函数()ln(1)k a a a =-+（1a >-）， 则'()1a k a a =+，由()0k a =，得0a =， 所以()k a 在(1,0)-单调递减，在(0,)+∞单调递增，min ()(0)0k a k ==，所以ln(1)a a ≥+（当且仅当0a =时等号成立）．①若0a =，'()0F x ≥，()F x 在(,)-∞+∞单调递增；②若10a -<<或0a >，当(ln(1),)x a a ∈+时，'()0F x <；当(,ln(1))(,)x a a ∈-∞++∞U 时，'()0F x >； 所以()F x 在(ln(1),)a a +单调递减，在(,ln(1))a -∞+，(,)a +∞单调递增． （ii ）若314a -<<-，()F x 在(ln(1),)a a +单调递减，在(,)a +∞单调递增．32min 1()()()2a F x f a a a e ==+-，令321()()2a h a a a e =+-，则23'()2a h a a a e =+-， 令23()'()2a a h a a a e ϕ==+-，'()310a a a e ϕ=+-<，23'()2a h a a a e =+-在3(1,)4--单调递减，11'(1)02h e -=->，3433'()0432h e --=-<，所以存在唯一的03(1,)4a ∈--使得0'()0h a =，所以()h a 在0(1,)a -单调递增，在03(,)4a -单调递减，故当03(1,)4a ∈--时，max 0()()h a h a =， 又020003'()02a h a a a e =+-=，所以322max 0000013()()()()22h a h a a a a a ==+-+20001(22)02a a a =--<， 所以当3(1,)4a ∈--时，321()()02a h a a a e =+-<． 22.解：（1）∵1sin()62πρθ-=，∴11cos )22ρθθ-=1122y x -=，10x +=．（2）曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为32， 所以，最大距离为37222+=． 23.解：（1）由已知可得：4,2,()2,22,4, 2.x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩所以，()2f x ≥的解集为{}|1x x ≥．（2）由（1）知，|2||2|4x x +--≤，[]11111()(1)24111y y y y y y y y y y-+=++-=++≥---， ∴11|2||2|1x x y y+--≤+-．。