函数综合复习教案(精)
三角函数复习教案
三角函数复习教案整理第一章:三角函数的基本概念1.1 角的概念复习角度的定义和分类:锐角、直角、钝角、周角。
介绍弧度和度的转换关系。
1.2 正弦函数、余弦函数和正切函数复习正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。
解释正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。
1.3 特殊角的三角函数值复习30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。
第二章:三角函数的图像和性质2.1 正弦函数的图像和性质复习正弦函数的图像和性质:周期性、对称性、奇偶性、最大值和最小值。
2.2 余弦函数的图像和性质复习余弦函数的图像和性质:周期性、对称性、奇偶性、最大值和最小值。
2.3 正切函数的图像和性质复习正切函数的图像和性质:周期性、对称性、奇偶性、最大值和最小值。
第三章:三角函数的运算3.1 三角函数的加减法复习三角函数的加减法运算规则。
3.2 三角函数的乘除法复习三角函数的乘除法运算规则。
3.3 三角函数的复合复习三角函数的复合运算规则,包括正弦函数、余弦函数和正切函数的复合。
第四章:三角函数的应用4.1 三角函数在直角三角形中的应用复习三角函数在直角三角形中的应用,包括正弦定理、余弦定理。
4.2 三角函数在三角形测量中的应用复习三角函数在三角形测量中的应用,包括角度测量、距离测量。
4.3 三角函数在物理学中的应用复习三角函数在物理学中的应用,包括振动、波动、声音等。
第五章:三角函数的进一步研究5.1 三角函数的导数复习三角函数的导数,包括正弦函数、余弦函数和正切函数的导数。
5.2 三角函数的积分复习三角函数的积分,包括正弦函数、余弦函数和正切函数的积分。
5.3 三角函数的限制条件和极端值复习三角函数的限制条件和极端值,包括最大值、最小值、临界点。
第六章:三角恒等式6.1 三角恒等式的基本形式复习基本的三角恒等式,如和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
6.2 三角恒等式的证明学习并证明一些基本的三角恒等式,如正弦定理、余弦定理等。
三角函数复习教案
三角函数复习教案整理一、教学目标1. 知识与技能:(1)掌握三角函数的定义及性质;(2)了解三角函数在实际问题中的应用;(3)熟练运用三角函数公式进行计算。
2. 过程与方法:(1)通过复习,巩固三角函数的基本概念;(2)通过例题解析,提高学生解决实际问题的能力;(3)培养学生运用三角函数解决几何问题的技巧。
3. 情感态度与价值观:(1)激发学生对三角函数的学习兴趣;(2)培养学生的团队合作精神;(3)鼓励学生勇于探索,提高自主学习能力。
二、教学内容1. 三角函数的定义及性质(1)正弦函数、余弦函数、正切函数的定义;(2)三角函数的周期性;(3)三角函数的奇偶性;(4)三角函数的单调性。
2. 三角函数的图像与性质(1)正弦函数、余弦函数、正切函数的图像;(2)三角函数的值域;(3)三角函数的零点与极值。
三、教学重点与难点1. 教学重点:(1)三角函数的定义及性质;(2)三角函数的图像与性质;(3)三角函数在实际问题中的应用。
2. 教学难点:(1)三角函数的图像分析;(2)三角函数在实际问题中的运用;(3)复杂三角函数计算。
四、教学方法1. 采用讲解法,引导学生复习三角函数的基本概念;2. 利用多媒体展示三角函数的图像,帮助学生直观理解;3. 通过例题解析,培养学生解决实际问题的能力;4. 组织小组讨论,促进学生团队合作,共同探索;5. 鼓励学生提问,及时解答学生疑惑。
五、教学过程1. 导入:回顾三角函数的基本概念,引导学生进入复习状态;2. 讲解:讲解三角函数的定义及性质,引导学生理解和记忆;3. 展示:利用多媒体展示三角函数的图像,让学生直观感受;4. 例题解析:分析实际问题,运用三角函数解决问题;5. 小组讨论:学生分组讨论,共同探索三角函数的应用;6. 提问与解答:学生提问,教师解答,及时巩固知识点;7. 总结:对本节课复习内容进行总结,强调重点知识点;8. 作业布置:布置适量作业,巩固复习成果。
三次函数复习(教案)
三次函数复习(教案)三次函数复 (教案)1. 教学目标- 了解三次函数的定义和特点- 掌握三次函数的图像、性质和变化规律- 练应用三次函数解决实际问题2. 教学内容- 三次函数的定义和表示方法- 三次函数图像的绘制和性质分析- 三次函数的变化规律和图像的平移、伸缩操作- 三次函数的应用示例和问题解决方法3. 教学过程第一步:引入- 通过提问和简短讲解介绍三次函数的定义和基本性质- 引导学生思考三次函数与一次函数、二次函数的区别和联系第二步:图像绘制与性质分析- 按照给定的三次函数表达式,绘制对应的图像- 分析图像的对称性、拐点、零点等特点,引导学生发现规律第三步:变化规律和图像操作- 改变三次函数的系数和常数项,观察图像的变化规律- 引导学生总结不同系数对图像的影响,并解释其原因- 通过平移、伸缩等操作,展示学生如何调整图像位置和形态第四步:应用示例和问题解决方法- 给出一些实际问题,如求解方程、求极值、求最值等- 教授相关的问题解决方法和思路,引导学生独立思考和解决- 鼓励学生提出自己的问题和应用案例,进行讨论和分享第五步:总结和巩固- 对三次函数的定义、性质和变化规律进行简要总结- 提供复材料和练题,以巩固学生对三次函数的掌握程度4. 教学资源- 课件/幻灯片:包括三次函数的定义、性质及图像演示等内容- 白板或黑板:用于绘制三次函数的图像和解题过程- 课堂练题:用于巩固学生对三次函数的掌握程度5. 教学评估- 课堂参与度:观察学生在课堂中的积极参与程度和回答问题的准确性- 课堂练:通过布置的练题,检验学生对三次函数的理解和应用能力- 结果分析:评估学生的研究成果,统计掌握程度和需要重点关注的问题6. 教学延伸- 鼓励学生进一步研究三次函数的应用领域和相关概念- 提供相关参考资料和参考书目,拓宽学生的数学视野7. 参考资料- 数学教材:根据教材提供相关的教学内容和练题- 在线资源:如视频教程、数学网站、学术论文等,增加学生的研究资源。
函数定义域的综合问题(一轮复习教案)
求函数的定义域的常用方法适用学科数学适用年级高二年级适用区域全国课时时长(分钟)120 知识点求函数的定义域学习目标1 理解和掌握函数的定义域是研究函数的开始,如果给一个函数不知道它的定义域,这样研究函数没有意义,要函数的定义域方法要掌握熟练。
2 能应用常用的方法来正确求函数的定义域,来培养学生应用数学分析、解决实际函数的能力.3 培养学生学习的积极性和主动性,发现问题,善于解决问题,探究知识,合作交流的意识,体验数学中的美,激发学习兴趣,从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质学习重点函数定义域的综合问题;复合函数的定义域。
学习难点函数定义域是R的情况,定义域在其他知识点上的应用学习过程一、复习预习f是函数的符号,其中x是自变量,它代表着函数图象上每一点的横坐标,自变量(x)的取值范围就是函数的定义域。
不是每一个函数的定义域都是R,因为不同的函数有不同的定义域,下面我们从三个方面一起来研究函数的定义域。
二、知识讲解1求函数定义域的常见形式:(1)分母不为0;(2)二次根式非负;(3))0(,10≠=a a ;(4)对数函数真数大于0【例题1】314)(+++=x x x f 。
【答案】}34{-≠-≥x x x 或【解析】:根据已知条件⎩⎨⎧≠+≥+0304x x ,解集为}34{-≠-≥x x x 或。
【例题2】261)(xx x f --=【答案】23≤≤-x【解析】:根据求函数定义域的方法23,062≤≤-≥--x x x 解得。
【例题3】函数2ln(1)34x y x x +=--+的定义域为 ( )A .(4,1)--B .(4,1)-C .(1,1)-D .(1,1]-【答案】 C【答案】 由21011141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩⎩.故选C2.求复合函数定义域的方法(1)已知)(x f 的定义域为],[b a ,求))((x g f 的定义域? 解:当b x g a ≤≤)(,求x 的解集。
八年级数学函数教案【6篇】
八年级数学函数教案【6篇】八年级数学函数教案篇1一、教学内容:本节内容是人教版教材八年级上册,第十四章第2节乘法公式的第二课时——完全平方公式。
二、教材分析:完全平方公式是乘法公式的重要组成部分,也是乘法运算知识的升华,它是在学生学习整式乘法后,对多项式乘法中出现的一种特殊的算式的总结,体现了从一般到特殊的思想方法。
完全平方公式是学生后续学好因式分解、分式运算的必备知识,它还是配方法的基本模式,为以后学习一元二次方程、函数等知识奠定了基础,所以说完全平方公式属于代数学的基础地位。
本节课内容是在学生掌握了平方差公式的基础上,研究完全平方公式的推导和应用,公式的发现与验证为学生体验规律探索提供了一种较好的模式,培养学生逐步形成严密的逻辑推理能力。
完全平方公式的学习对简化某些代数式的运算,培养学生的求简意识很有帮助。
使学生了解到完全平方公式是有力的数学工具。
重点:掌握完全平方公式,会运用公式进行简单的计算。
难点:理解公式中的字母含义,即对公式中字母a、b的理解与正确应用。
三、教学目标(1)经历探索完全平方公式的推导过程,掌握完全平方公式,并能正确运用公式进行简单计算。
(2)进一步发展学生的符号感和推理能力,了解公式的几何背景,感受数与形之间的联系,学会独立思考。
(3)通过推导完全平方公式及分析结构特征,培养学生观察、分析、归纳的.能力,学会与他人合作交流,体验解决问题的多样性。
(4)体验完全平方公式可以简化运算从而激发学生的学习兴趣;在自主探究、合作交流的学习过程中获得体验成功的喜悦,增强学习数学的自信心。
四、学情分析与教法学法学情分析:课程标准提出数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上,本节课就是在前面的学习中,学生已经掌握了整式的乘法运算及平方差公式的基础上开展的,具备了初步的总结归纳能力。
另外,14岁的中学生充满了好奇心,有较强的求知欲、创造欲、表现欲,所以只有能调动学生的学习热情,本节内容才较易掌握。
高中数学函数复习有哪些教案
高中数学函数复习教案一一、教学目标1、知识与技能:(1)建立增(减)函数的概念通过观察一些函数图象的特征,形成增(减)函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小)的规律,由此得出增(减)函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
(2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;(3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.3、情态与价值,使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学习函数的紧迫感.二、教学重点与难点重点:函数的单调性及其几何意义.难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性.三、学法与教学用具1、从观察具体函数图象引入,直观认识增减函数,利用这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈,巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具:投影仪、计算机.四、教学思路:(一)创设情景,揭示课题观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律。
以上就是育德教育为大家准备的高中数学教师试讲教案,希望大家都能通过试讲环节。
高中数学函数复习教案二一、教学背景《同角三角函数基本关系式》是人教版高中数学必修第四册第一章第二节中的内容。
本节课的内容在教材中有着承上启下的作用,是在学习了任意角和弧度,并了解正弦、余弦、正切的基本概念之后进行教学的,同时同角三角函数的基本关系也为之后学习两角和差公式奠定了基础,起着衔接作用。
运用同角三角函数关系,能够更好的解决有关三角函数中求同角的其他三角函数值使解题更方便。
学生在获得三角函数定义的过程中已经充分认识到了借助单位圆、利用数形结合思想是研究三角函数的重要工具。
本节课内容中所体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像;2. 掌握二次函数的求解方法,包括顶点式、标准式和一般式;3. 能够运用二次函数解决实际问题,提高数学应用能力;4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义:函数f(x) = ax^2 + bx + c(a≠0);二次函数的图像:开口方向、顶点、对称轴、单调区间。
2. 二次函数的图像与性质图像特点:开口方向、顶点、对称轴;性质:单调性、最值。
3. 二次函数的求解方法顶点式:f(x) = a(x h)^2 + k;标准式:f(x) = ax^2 + bx + c;一般式:ax^2 + bx + c = 0。
4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题;应用二次函数解决物理问题;应用二次函数解决生活中的问题。
5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合;二次函数与方程组的结合;二次函数与不等式的结合。
三、教学过程1. 复习导入:回顾一次函数和指数函数的相关知识,为二次函数的学习打下基础;2. 知识讲解:分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法;3. 案例分析:分析实际问题,引导学生运用二次函数解决实际问题;4. 课堂练习:布置练习题,巩固所学知识;四、教学评价1. 课堂表现:观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况;2. 练习完成情况:检查学生完成练习题的情况,巩固所学知识;3. 课后作业:布置课后作业,检查学生对知识的掌握程度;4. 小组讨论:评估学生在小组讨论中的表现,培养团队合作精神。
五、教学资源1. PPT课件:展示二次函数的相关概念、性质、图像等;2. 练习题:提供不同难度的练习题,巩固所学知识;3. 实际问题案例:提供与生活相关的实际问题,引导学生运用二次函数解决;4. 教学视频:讲解二次函数的求解方法和解题技巧。
六、教学策略1. 案例分析:通过分析具体案例,让学生了解二次函数在实际问题中的应用;2. 数形结合:利用图形展示二次函数的性质,加深学生对二次函数的理解;3. 小组讨论:鼓励学生进行小组讨论,培养团队合作精神和沟通能力;4. 分层教学:针对不同学生的学习水平,给予相应的指导和辅导;5. 激励评价:及时给予学生鼓励和评价,提高学生的学习积极性。
二次函数复习教案
二次函数复习教案
一、教学目标:
1. 理解二次函数的定义和性质;
2. 能够将二次函数的图像进行标注和解释;
3. 掌握二次函数的顶点、轴对称、对称轴和对称点的相关概念;
4. 能够通过顶点坐标或其他已知条件求解二次函数的参数;
5. 能够解二次方程和二次不等式。
二、教学内容:
1. 二次函数的定义和性质讲解;
2. 二次函数的图像标注和解释;
3. 二次函数的顶点、轴对称、对称轴和对称点的相关概念;
4. 二次函数参数的求解;
5. 二次方程和二次不等式的解法。
三、教学过程:
1. 探究:通过变化a、b、c的值,观察二次函数图像的变化,并总结二次函数的性质。
2. 概念讲解:介绍二次函数的定义和性质,引入顶点、轴对称、对称轴和对称点的概念。
3. 例题演练:通过给定顶点坐标或其他已知条件,求解二次
函数的参数。
4. 解二次方程和二次不等式:介绍解二次方程和二次不等式
的方法和步骤。
5. 课堂练习:提供一些练习题,学生独立完成,然后进行批
改和讲解。
6. 拓展训练:布置课后作业,要求学生进一步加深对二次函数的理解和掌握。
四、教学评价:
1. 在课堂练习和课后作业中,观察学生解题过程和答案,评价学生对二次函数的掌握程度。
2. 对课堂练习中出现的常见错误进行讲解和纠正。
3. 针对学生困惑的问题进行答疑和解释。
五、教学资源:
1. 教材教辅资料;
2. 多媒体教学设备;
3. 课前准备好的例题、练习题和答案;
4. 批改和讲解学生练习的纸质材料。
函数单调性复习教案
函数单调性复习教案教案标题:函数单调性复习教案教学目标:1. 确定学生对函数单调性的理解程度,并能够准确地定义函数的单调性。
2. 帮助学生回顾和巩固函数单调性的相关概念和性质。
3. 培养学生通过图像、表格和符号等多种方式判断函数的单调性的能力。
4. 提供练习和应用机会,以加深学生对函数单调性的理解和运用。
教学准备:1. 教师准备多媒体投影仪、电脑和投影屏幕。
2. 教师准备白板、白板笔和彩色粉笔。
3. 教师准备教材、教辅资料和练习题。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 教师通过提问或展示一个函数图像的方式引入本节课的话题。
2. 引导学生回顾函数的基本概念和性质,例如定义域、值域、图像、奇偶性等。
二、概念复习(10分钟)1. 教师通过多媒体投影仪展示函数单调性的定义和相关概念。
2. 引导学生参与讨论,共同理解函数单调性的含义和特点。
3. 教师通过示例函数的图像和数学表达式,引导学生判断函数的单调性。
三、性质讲解(15分钟)1. 教师通过多媒体投影仪展示函数单调性的性质和判断方法。
2. 引导学生思考和讨论函数单调性与导数的关系,进一步理解函数单调性的特点。
3. 教师通过具体的例子和练习题,帮助学生掌握函数单调性的判断方法。
四、练习与应用(20分钟)1. 教师提供一些练习题,要求学生通过图像、表格和符号等方式判断函数的单调性。
2. 学生个别或小组合作完成练习,教师及时给予指导和反馈。
3. 教师引导学生应用函数单调性的概念和性质解决实际问题,培养学生的应用能力。
五、总结与拓展(10分钟)1. 教师与学生一起总结本节课的重点内容和学习收获。
2. 教师提供一些拓展问题,鼓励学生进一步思考和探索函数单调性的相关问题。
3. 教师布置课后作业,巩固和拓展学生对函数单调性的理解和应用。
教学评估:1. 教师观察学生在课堂上的参与度和表现情况。
2. 教师检查学生完成的练习题和课后作业,评估学生对函数单调性的掌握情况。
3. 教师与学生进行互动问答,检验学生对函数单调性的理解和运用能力。
函数单调性与最值的综合(一轮复习教案)
学习过程一、复习预习1.函数的值域1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。
2.确定函数的值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。
二、知识讲解常见函数的值域:1 一次函数的)0(≠+=a b ax y 的定义域为R ,值域为R ,对于一个R 中的任意一个数,对R 中都有为唯一的数与它相对应。
2 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域为R ,值域为B 。
当0>a 时,}44{2ab ac y y B -≥=,当0<a 时,}44{2a b ac y y B -≤=,对R 中都有为唯一的数与它相对应。
3反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠.4求函数值域的方法:观察法,配方法,换元法,分离常数法,反解法,判别式法等。
单调性(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数);注意:函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1<x 2时,总有f (x 1)<f (x 2)(2)如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
二次函数综合复习课教案
二次函数综合复习课一、教学目标:(1)使学生进一步理解二次函数解析式的求法,通过例题讲解,使学生了解二次函数与已学过有关知识之间的联系(2)全面回顾平行四边形,相似形的判定,一元二次方程的解法。
二、重点、难点:几何图形在二次函数中综合运用。
三、教学过程:1、复习(1)、二次函数解析式的三种求法;(2)、平行四边形的判定、矩形的判定;(3)、一元二次方程的解法。
2、例题分析与讲解:﹣,点P,对称轴为直线x=),B(是抛物,)A如图,已知二次函数的图象过点(0,﹣3PC=MPPMON上分别截取,⊥y轴于点N,在四边形PM线上的一动点,过点P分别作⊥x轴于点M,PN NF=NP.,OE=ON,MD=OM(1)求此二次函数的解析式;(2)求证:以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形;(3)在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形?若存在,请求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.考点:二次函数综合题.分析:(1)利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式;(2)证明△PCF≌△OED,得CF=DE;证明△CDM≌△FEN,得CD=EF.这样四边形CDEF 两1CDEF是平行四边形;组对边分别对应相等,所以四边PMO是正方形.这样∽MD,可以证明矩)根据已知条件,利用相似三角PC分别求的交点联立解析式解方程组与坐标象限角平分y=y就是抛物y=+的坐标.符合题意的有四个,在四个坐标象限内各一个P解答:2 +ky=a(x+),(1)解:设抛物线的解析式为:)在抛物线上,B(,∵点A(0,﹣3),,∴k=.解得:a=1,22 3.+xx+)=x﹣∴抛物线的解析式为:y=(FC.DE、EF、)证明:如右图,连接(2CD、,y轴于点N,∵PM⊥x轴于点MPN⊥∴四边形PMON为矩形,,PN=OM.∴PM=ON∵PC=MP,OE=ON,;∴PC=OE OMMD=,NF=NP,∵∴MD=NF,.∴PF=OD 中,PCF在△与△OED),SASOEDPCF∴△≌△(.∴CF=DE FEN≌△,CDM同理可证:△CD=EF∴.,CF=DE ∵CD=EF,∴四边形是平行四边形.CDEF2为矩形.,使四边形)解:假设存在这样的点PCDEF(3n,PF=n.,PMON的边长PM=ON=m,PN=OM=n,则PC=m,MC=mMD=设矩形△PCF,∽△MDC若四边形CDEF为矩形,则∠DCF=90°,易证22∴,即,化简得:m=n,为正方形.PMON ∴m=n,即矩形2 3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点.﹣∴点P为抛物线y=x+x联立,,解得,(﹣;),﹣P∴(,P),21,联立,解得,1).,P,P∴(﹣33),(﹣143为矩形.这样的点有四个,在四个坐标象限内各一个,其坐,使四边形CDEF∴抛物线上存在点P).11(﹣,33(﹣,,﹣(﹣,,(标分别为:P)P)P,)P,4213相似三角形、全等三角形、待定系数法、考查了二次函数的图象与性质、点评:本题是二次函数综合题型,)问的要2解方程、矩形、正方形等知识点,所涉及的考点较多,但难度均匀,是一道好题.第((第点是全等三角形的证明,PMON问的要点是判定四边形)3然后列方程组求解.必须是正方形,3:练习:课后作业:22+bx﹣,2),抛物线y=x,BAC=90°A(1,0),B(0如图,在坐标系xOy 中,△ABC是等腰直角三角形,∠C点.的图象过1)求抛物线的解析式;(的面积分为相等的两部分?.当ll移动到何处时,恰好将△ABC(2)平移该抛物线的对称轴所在直线点坐标;若不存P是抛物线上一动点,是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形?若存在,求出(3)点P 在,说明理由.二次函数综合题.如解答图所示:的坐标求出抛物线的解析,求出点C的坐标;然后利用点C△(1)首先构造全等三角形AOB≌△CDA 式;的表达式;根F,则可求出EF与BC、AC交于点E、AC(2)首先求出直线BC与的解析式,设直线l的解析式;=据SS,列出方程求出直线l ABC△△CEF P)首先作出?PACB,然后证明点在抛物线上即可.(3 .ACD=90°DC作CD⊥x轴于点,则∠CAD+∠1解:(1)如答图所示,过点,CAD=90∠OAB=90°,∠OAB+∠°∵∠OBA+ ,∠ACDOBA=∠CAD.∴∠OAB=∠中,△CDAAOB∵在△与≌△CDA(.ASA)AOB∴△,,∴CD=OA=1AD=OB=2 ,∴OD=OA+AD=34).(3,1∴C2﹣2上,3(,1)在抛物线y=x+bx∵点C.×9+3b﹣2,解得:b=﹣∴1=2.x﹣2∴抛物线的解析式为:y=x﹣,由勾股定理得:AB=.(2)在Rt△AOB中,OA=1,OB=22 =.=∴SAB ABC△)(3,1,2BC设直线的解析式为y=kx+b,∵B(0,),C,∴k=﹣,b=2,解得.﹣x+2∴y=的解析式为:同理求得直线ACy=x﹣.如答图1所示,.)=﹣x)﹣(,则分别交于点与设直线lBC、ACE、FEF=(﹣x+2x﹣.x=3CE△CEF中,边上的高h=OD﹣﹣x=SS,由题意得:ABC△△CEF S,h=EF即:?ABC△()﹣∴(x?3×)﹣x=,2)x=3,﹣3(整理得:x=3+﹣x=3解得或(不合题意,舍去),5 的面积分为相等的两部分.时,恰好将x=3﹣△ABC∴当直线l解析式为)存在.(3 如答图2所示,﹣OG=1.G,则CG=OD=3,OG=1,BG=OB⊥过点C作CGy轴于点PACB为平行四边形.BC,且AP=BC,连接BP,则四边形作过点AAP∥,,则易证△PAH≌△BCG⊥过点P作PHx轴于点H ,∴PH=BG=1,AH=CG=3 OH=AH﹣OA=2,∴1).P∴(﹣2,2 P在抛物线上.y=1x=x 抛物线解析式为:y=x﹣﹣2,当﹣2时,,即点P,点的坐标为(﹣2,).1P∴存在符合条件的点点评:是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、四边形、等腰直角三角形等知识点.试题难度不大,但需要仔细分析,认真计算.6。
《指数函数》复习课教案
《指数函数》复习课教案指数函数复课教案一、教学目标1. 了解指数函数的定义和性质。
2. 掌握指数函数的图像特点和变化规律。
3. 学会求解指数函数的基本问题,如解方程、求导等。
二、教学内容1. 指数函数的定义和性质介绍。
2. 指数函数的图像绘制和分析。
3. 指数函数的基本问题解决方法。
4. 指数函数与其他函数的关系。
三、教学过程1. 指数函数的定义和性质介绍- 介绍指数函数的定义和表示方法。
- 讲解指数函数的增长与衰减性质。
- 引导学生理解指数函数的图像特点。
2. 指数函数的图像绘制和分析- 指导学生通过给定函数表达式,绘制指数函数的图像。
- 分析指数函数图像的特点,如增长趋势、渐近线等。
- 提醒学生观察指数函数图像的反比关系。
3. 指数函数的基本问题解决方法- 解释如何求解指数方程。
- 带领学生通过例题练,掌握求解指数方程的步骤和技巧。
- 讲解指数函数求导的基本方法。
4. 指数函数与其他函数的关系- 比较指数函数与线性函数、二次函数等其他函数的特点和差异。
- 引导学生分析指数函数与其他函数之间的关系。
- 鼓励学生探索指数函数在实际问题中的应用。
四、教学资源1. PowerPoint幻灯片:包含指数函数的定义、性质介绍、图像绘制和分析的内容。
2. 白板、彩色笔:用于举例和讲解。
3. 课堂练题:用于学生的课堂练和讨论。
五、教学评估1. 课堂练:通过课堂练检验学生对指数函数的理解和应用能力。
2. 课堂讨论:鼓励学生提问、交流,并评估他们的思维能力和分析能力。
3. 作业评估:布置作业并对学生的作业进行批改和评分。
六、教学延伸1. 鼓励学生进一步研究和探索指数函数的应用领域。
2. 推荐相关的参考书和互联网资源,供学生深入研究和拓展知识。
七、教学反思- 教师反思教学过程中的不足和可以改进的地方。
- 学生反馈和评价收集,以便优化教学方案。
以上为《指数函数》复习课教案,希望能够帮助学生更好地理解和掌握指数函数的相关知识和应用能力。
高中数学函数的复习教案
高中数学函数的复习教案教学目标:1. 复习掌握函数的概念、性质以及相关定理;2. 掌握各种类型函数的图像特征、性质和应用;3. 提高解题能力,能够熟练运用函数知识解决实际问题。
教学内容:1. 函数的概念及基本性质;2. 基本初等函数及其性质;3. 复合函数、反函数、函数的奇偶性;4. 三角函数及其性质;5. 指数函数、对数函数及其性质;6. 函数图像的绘制与分析。
教学重点:1. 函数的概念及基本性质;2. 复合函数、反函数、函数的奇偶性;3. 函数图像的绘制与分析。
教学难点:1. 函数的概念及性质的理解和运用;2. 复合函数、反函数、函数的奇偶性的运用;3. 函数图像的绘制与分析的技巧掌握。
教学步骤:一、导入环节(5分钟)教师介绍函数的概念及其在数学中的重要性,并与学生讨论函数在现实生活中的应用。
二、知识点复习(20分钟)1. 复习函数的概念、符号表示、性质;2. 复习基本初等函数及其性质;3. 复习复合函数、反函数、函数的奇偶性。
三、概念强化与拓展(15分钟)1. 复习三角函数及其性质;2. 复习指数函数、对数函数及其性质。
四、图像绘制与分析(20分钟)1. 学生根据给定函数绘制函数图像,并分析函数的性质;2. 学生通过实例练习,加深对函数图像的理解。
五、练习与拓展(15分钟)教师布置相关练习题或拓展题,要求学生独立完成,并对答案进行讲解和讨论。
六、课堂总结与作业布置(5分钟)教师对本节课的重点知识进行总结,并布置相应作业,要求学生巩固复习所学内容。
教学反思:本节课通过复习高中数学函数的相关知识点,强化学生对函数的概念和性质的理解,提高学生的解题能力和应用能力。
在教学中注重理论与实践相结合,引导学生灵活运用函数知识解决实际问题,达到知识的巩固和能力的提升的目的。
函数复习教案(职业中专)
函数复习教案1. 函数的概念及其表示法:2. 函数的基本性质:3. 分段函数若在函数的定义域中,对于自变量的不同取值范围,以含有x的不同的式子或常数来表示对应法则,则称这种函数为分段函数.分段函数的图象特征:由各段函数表达式所确定的图象连接、组合而成.4 函数简单应用应用问题有两类:(1)数量关系有常规的公式.例如,在商品销售中,销售总金额、单价和销售量有如下的关系:销售总金额=单价×销售量;在路程问题中,路程、速度和时间有如下的关系:路程=速度×时间等等.(2)数量关系没有常规的公式.例如,各种球类比赛的记分规则等.对于这类问题,我们必须首先弄清问题的意思,分析问题中牵涉到哪些数量,弄清这些数量之间的关系.例题解析例1 哪些不是函数?哪些是函数?哪些是一一对应函数?(1)D ={x ∣-1<x <1}, M ={y ∣0<y <1},对应法则:y =x 2;(2)D ={x ∣x =1,2,3,4,5,6}, M ={y ∣y =2,3,4,5,6,7},对应法则:y =x +1;(3)D ={x ∣-1<x <1}, M ={y ∣0≤y ≤1},对应法则:y ;(4)D ={x ∣x ∈N }, M ={y ∣y ∈R },对应法则:y ;(5)D ={x ∣x ∈R ,x >0},M ={y ∣y ∈R ,y >0},对应法则:y . 解 (1)是函数,但不是一一对应函数; 例如,取y =14时,存在两个x 的值:±12,使x 2=(±12)2 =14. (2)是一一对应函数.(3)不是函数.因为当x ∈D ,且x <0无意义.(4)不是函数.因为当D ={x ∣x ∈N }, y 时,值域 M 不是R ,而应该是R 的真子集.(5)是一一对应函数.例2 求下列函数的(自然)定义域:(1)f(x)=2x 3-4x +5; (1)f(x)=21-x ;(2)f(x)=23+x ; (3)f(x)=1+x +21-x .解 (1)因为对于任意x ∈R ,f (x )=2x 3-4x +5都有意义,所以函数f(x)=2x 3-4x +5的定义域是D =R ;(2)由x -2≠0,得x ≠2, 所以函数f (x )=21-x 的定义域是D ={x |x ≠2} ;(3)由3x +2≥0,解得x ≥-32, 所以函数f(x)=23+x 的定义域是D ={x |x ≥-32},即D =[-32,+∞ ; (4)分析 使根式1+x 有意义的实数x 的集合是{x |x ≥-1};使分式21-x 有意义的实数x 的集合是{x |x ≠2}.所以,这个函数的定义域D 是既满足x ≥-1,又满足x ≠2的全体实数.解 x +1≥0,x ≠2.即 x ≥-1,x ≠2.所以所给函数的定义域是:D ={x |x ≥-1}∩{x |x ≠2} ,即 D =[-1,2)∩(2,+∞) . 例3 指出下列函数在定义域中的单调区间:(1)y =x1; (2)y =2x 2; (3)y =23+x . 解 (1)函数定义域为(-∞,0)⋃(0,+∞).从图象可见,(-∞,0)及(0,+∞)均为函数的单调减小区间(但函数在其定义域(-∞,0)⋃(0,+∞)上并不是单调函数); (2)函数定义域为(-∞,+∞).从图象可见,(-∞,0)为函数的单调减小区间,(0,+∞)为函数的单调增加区间; (3)函数定义域为(-∞,+∞)..从图象可见,(-∞,+∞)为函数的单调增加区间例4 利用定义,判断下列函数中,哪些是偶函数,哪些是奇函数(凡是不指明定义域的,表示它的定义域是自然定义域):(1)f (x )= -2x ; (2)f (x )=|x |; (3)f (x )=x 2 +1; (4)f (x )=x 2 -2, x ∈(0, +∞);(5)f (x )=-x 4+3x 2 –1;;解 (1) ∵x ∈(-∞,+∞)∴函数f (x )= -2x 定义域关于原点对称 又∵f (x )= -2x , f (-x )= -2(-x )= -2x = -f (x ), ∴f (x )是奇函数; (2) ∵x ∈(-∞,+∞),图2-9(1)yxO 图2-9(2) yxyxO∴函数f (x )=|x |定义域关于原点对称 又∵ f (-x )=|-x |=|x |=f (x ), ∴f (x )是偶函数; (3) ∵x ∈(-∞,+∞),∴函数f (x )=x 2 +1定义域关于原点对称 又∵f (-x )=(-x )2+1=x 2+1=f (x ), ∴f (x )是偶函数;(4)因为定义域(0,+∞)关于原点不对称,所以f (x )既非奇函数,也非偶函数;(5)∵x ∈(-∞,+∞),∴函数f (x )=-x 4+3x 2 –1定义域关于原点对称 ∵f (-x )= -(-x )4+3(-x )2+1= -x 4+3x 2-1= f (x ), ∴f (x )是偶函数;例5 已知函数f(x)=|2x -1|,(1)把f (x )写成分段函数的形式; (2)求当x =-2, -1, 0, 1, 2时的函数值; (3)作出函数f (x )=|2x -1|的图像.解 (1)因为当x >12 时2x -1>0, x <12 时2x -1<0, x = 12 时2x -1=0,所以2x -1,(x >12),f (x )=|2x -1|=0, (x = 12),-(2x -1),(x <12).(2)f (-2)=-[2⨯(-2)-1]=5;f (-1)=-[2⨯(-1)-1]=3;f (0)=-[2⨯(-0)-1]=1; f (1)=2⨯1-1=1;f (2)=2⨯2-1=3. (3)图象如图2-22.例6 一种商品共20件,采用网上集体议价的方式销售.规则是这样的:其价格将随着定购量的增加而不断下降,直至底价.每件价格x 元与定购量n 件的关系是:50100=+x n,比方说,在规定时间内只定购一件(n =1),单价就是150元;而20件商品都被定购完的话,单价就只有102.5元.(1)请写出该商品的销售总金额y 元与销量件数n 之间的关系; (2)求购买12件时的销售总金额.分析 商品的销售总金额y 元是随着销量件数n 的变化而变化的.在商品销图2-22售中,有几个基本的量,它们之间的关系是:销售总金额=单价⨯销售量.解 (1)本题中,单价50100=+x n元,销售量是n 件,所以y=(50100=+x n)⨯n=100n +50,所以,销售总金额y 元与销量件数n 之间的函数关系是:y = 100n +50,(0<n ≤20,n ∈N ). (2)当x =12时,y = 100⨯12+50=1250(元). 所以,购买12件时的销售总金额为1250元.例7某商店规定:某种商品一次性购买10kg 以下按零售价格50元/kg 销售;若一次性购买量满10kg ,可打9折;若一次性购买量满20kg ,可按40元/kg 的更优惠价格供货.(1)试写出支付金额y 元与购买量x 公斤之间的函数关系式; (2)分别求出购买15 kg 和25 kg 应支付的金额.分析 在销售商品问题中,销售总金额=单价⨯销售量.本题中,不同的购买量单价不同,所以这是一个分段函数.解 (1) 50x , (0<x <10);y = 50⨯90%⨯x ,(0≤x <20);40x , (20≤x ).(2)当x =15时,y =50⨯90%⨯x =50⨯90%⨯15=675;当x = 25时, y = 40x =1000. 所以,购买15 kg 和25 kg 应支付的金额分别为675元和1000元. 作业1.求下列函数的定义域: (1)f(x)=321+x ; (2)f(x)=52-x ; (3)f(x)=4+x +12-x ;(4)f(x)=43-x -152-x +6. 2利用定义,判断下列函数中,哪些是偶函数,哪些是奇函数(1)f (x )=x 3-x (2)f (x )=31x+1; (3)f (x )=x 5+2x , x ∈[-2,3].。
中考函数专题复习教案
九年级数学补课教案3月21日课题初中函数专题复习两课时一、教学目标1、知识技能:学生构建知识体系;通过解决典型的题目,抓住本章要点;解决易出错的题目,找出错陷阱和错因;联系一次函数、反比例函数、二次函数及一元一次方程、分式方程、一元二次方程等相关知识进行综合运用.2、过程与方法:从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力;经历观察、思考、交流,熟练、灵活解题.3、情感、态度、价值观:培养学生数形结合的数学思想,提高学生的数学应用意识。
二、教学重难点1、教学重点:深化理解函数与方程的概念和性质,熟练进行函数的综合应用。
2、教学难点:进一步理解函数与方程的性质和关系,并能熟练进行函数的综合应用。
三、课型课时:复习课,2课时四、教学工具:多媒体课件、导学案五、教学方法六、教学过程设计函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)(一)平面直角坐标系1、定义:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限:(+,+)点P(x,y),则x>0,y>0;第二象限:(-,+)点P(x,y),则x<0,y>0;第三象限:(-,-)点P(x,y),则x<0,y<0;第四象限:(+,-)点P(x,y),则x>0,y<0;3、坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点,纵坐标为零;y轴上的点,横坐标为零;原点的坐标为(0 , 0)。
两坐标轴的点不属于任何象限。
4、点的对称特征:已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同,纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同,横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横,纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:平行于x轴的直线上的任意两点:纵坐标相等;平行于y 轴的直线上的任意两点:横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征:第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
轮总复习教师教案(函数)完
函数总复习教师教案(一)一、教学目标1. 理解函数的概念,掌握函数的表示方法。
2. 掌握函数的性质,包括单调性、奇偶性、周期性等。
3. 学会运用函数解决实际问题,提高数学建模能力。
二、教学内容1. 函数的概念与表示方法函数的定义函数的表示方法:解析式、表格、图象2. 函数的性质单调性:增函数、减函数奇偶性:奇函数、偶函数周期性:周期函数、周期三、教学重点与难点1. 重点:函数的概念、表示方法,以及函数的性质。
2. 难点:函数性质的运用,以及实际问题的解决。
四、教学方法1. 采用讲授法,系统地讲解函数的概念、表示方法,以及函数的性质。
2. 利用案例分析法,分析实际问题,引导学生学会运用函数解决实际问题。
3. 运用数形结合法,结合图象讲解函数的性质,提高学生的直观理解能力。
五、教学过程1. 导入:回顾函数的概念,引导学生思考函数在实际生活中的应用。
2. 讲解:讲解函数的表示方法,如解析式、表格、图象。
3. 练习:让学生举例说明函数的表示方法,并进行点评。
4. 讲解:讲解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
5. 案例分析:分析实际问题,引导学生运用函数解决实际问题。
6. 练习:让学生举例说明函数性质的运用,并进行点评。
7. 总结:对本节课的内容进行总结,强调重点和难点。
8. 作业布置:布置相关练习题,巩固所学知识。
函数总复习教师教案(二)一、教学目标1. 掌握函数的图像,学会分析函数图像的特点。
2. 掌握函数的变换,包括平移、翻折、缩放等。
3. 学会运用函数图像解决实际问题,提高数学建模能力。
二、教学内容1. 函数的图像直线函数的图像二次函数的图像指数函数、对数函数的图像2. 函数的变换平移:上移、下移翻折:关于x轴翻折、关于y轴翻折缩放:放大、缩小三、教学重点与难点1. 重点:函数图像的特点,以及函数图像的变换。
2. 难点:函数图像变换的运用,以及实际问题的解决。
四、教学方法1. 采用讲授法,系统地讲解函数图像的特点,以及函数图像的变换。
中职复习函数教案
中职复习函数教案教案标题:中职复习函数教案教学目标:1. 复习函数的基本概念和特性;2. 掌握函数的定义、表示方法以及函数图像的绘制;3. 理解函数的性质,包括奇偶性、单调性和周期性等;4. 进一步熟悉函数的运算和复合函数的概念;5. 能够解决与函数相关的实际问题。
教学重点:1. 函数的定义和表示方法;2. 函数图像的绘制;3. 函数的性质;4. 函数的运算和复合函数。
教学准备:1. 教学课件和投影设备;2. 教材和练习册;3. 函数图像绘制工具(如纸和铅笔);4. 计算器。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 利用一些生活中的实际问题引入函数的概念,如温度随时间的变化、汽车油耗与速度的关系等。
二、复习函数的基本概念和特性(15分钟)1. 回顾函数的定义和函数的自变量与因变量的关系;2. 复习函数的表示方法,包括显式函数、隐式函数和参数方程;3. 复习函数图像的绘制方法,强调坐标轴、坐标点和连线的关系。
三、函数的性质(20分钟)1. 复习函数的奇偶性,引导学生通过函数的定义和图像来判断函数的奇偶性;2. 复习函数的单调性,引导学生通过函数的导数和图像来判断函数的单调性;3. 复习函数的周期性,引导学生通过函数的定义和图像来判断函数的周期性。
四、函数的运算和复合函数(20分钟)1. 复习函数的四则运算,包括函数的加减乘除;2. 引导学生通过例题来巩固函数的运算方法;3. 复习复合函数的概念,引导学生通过例题来理解复合函数的计算方法。
五、实际问题的应用(15分钟)1. 给出一些实际问题,如利润与销售量的关系等,引导学生运用函数的概念和性质来解决问题;2. 引导学生进行实际问题的建模和求解,培养学生的实际问题解决能力。
六、小结与作业布置(5分钟)1. 对本节课的重点知识进行小结;2. 布置相关的课后练习,巩固所学内容。
教学反思:本节课主要通过复习函数的基本概念和特性,帮助学生巩固函数的定义、表示方法和图像绘制。
正弦函数复习(教案)
正弦函数复习(教案)教学目标- 了解正弦函数的定义和性质- 掌握正弦函数在单位圆上的几何意义- 理解正弦函数的周期性和对称性- 学会用正弦函数表示周期性现象教学内容1. 正弦函数的定义和性质- 正弦函数的定义:$y = \sin(x)$,其中 $x$ 表示角度或弧度,$y$ 表示正弦函数的值。
- 正弦函数的图像:讲解正弦函数的图像,强调其周期性和振幅。
- 正弦函数的取值范围:介绍正弦函数的值域为 $[-1, 1]$。
2. 正弦函数在单位圆上的几何意义- 单位圆的定义:一个半径为 $1$ 的圆。
- 正弦函数和单位圆的关系:解释正弦函数和单位圆上一个角的正弦值之间的关系。
3. 正弦函数的周期性和对称性- 正弦函数的周期:讲解正弦函数的周期为 $2\pi$,即在 $[0,2\pi]$ 区间内取遍所有的值。
- 正弦函数的对称性:介绍正弦函数的奇偶对称性,即$\sin(-x) = -\sin(x)$。
4. 正弦函数的应用- 正弦函数在物理学中的应用:举例说明正弦函数在描述周期性现象中的应用,如声波、振动等。
教学步骤1. 引入正弦函数的概念和公式,引发学生兴趣。
2. 通过示意图解释正弦函数的图像和性质。
3. 使用单位圆图解释正弦函数的几何意义。
4. 引导学生观察正弦函数的周期性和对称性。
5. 通过实例演示正弦函数在物理学中的应用。
6. 练题和互动讨论,巩固学生对正弦函数的理解。
教学资源- PowerPoint 幻灯片- 单位圆示意图- 实例演示视频- 练题集教学评估- 课堂互动讨论及回答问题- 练题的解答情况- 学生对正弦函数的理解和应用能力的展示教学延伸- 探究余弦函数和正切函数的性质和应用- 引导学生自主研究正弦函数的其他性质和应用,并进行报告展示以上是《正弦函数复习(教案)》的内容和教学步骤,希望能对您的教学工作有所帮助。
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8、求函数 的值域。
由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式,因此可以考虑使用判别式法,将原函数变形为: 整理得: 当 时,上式可以看成关于 的二次方程,该方程的 范围应该满足 即 此时方程有实根即△ ,△
九、单调性法(利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域)
21、求函数 的值域。
由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令: 配方得: 由复合函数的单调性(同增异减)知: 。
当函数 在 上单调,譬如 在 上递增时,自然有函数 在 上的值域为 (其中 ,当 时, 也称其存在,记为 );若 在 上递减,函数 在 上的值域为 。在闭区间 上也有相应的结论。
二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域)
3、求函数 的值域。
设: 配方得: 利用二次函数的相关知识得 ,从而得出: 。
说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为: 。
4、求函数 的值域。
解答:此题可以看作是 和 两个函数复合而成的函数,对 配方可得: ,得到函数 的最大值 ,再根据 得到 为增函数且 故函数 的值域为: 。
23求函数 在 内的值域。
分析:显然 在 可导,且 。由 得 的极值点为 。
。 。
所以,函数 的值域为 。
十一、最值法(对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a)、f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域)
24已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
14、求函数 的值域。
分析:此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数。
在对应的区间内,画出此函数的图像,如图1所示,易得出函数的值域为 。
例求函数y= + 的值域
解:原函数可变形为:y= +
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y =∣AB∣= = ,
10、求函数 的值域。
由于题中含有 不便于计算,但如果令: 注意 从而得: 变形得 即:
注意:在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围,否则将会发生错误。
11、已知 是圆 上的点,试求 的值域。
在三角函数章节中我们学过: 注意到 可变形为: 令 2)则 )即 故
12、试求函数 的值域。
题中出现 ,而 由此联想到将 视为一整体,令 由上面的关系式易得 故原函数可变形为:
22、求函数 的值域。
此题可以看作 和 , 的复合函数,显然函数 为单调递增函数,易验证 亦是单调递增函数,故函数 也是单调递增函数。而此函数的定义域为 。
当 时, 取得最小值 。当 时, 取得最大值 。
故而原函数的值域为 。
十、利用导数求函数的值域(若函数f在(a、b)内可导,可以利用导数求得 在(a、b)内的极值,然后再计算 在a,b点的极限值。从而求得f的值域)
∴原函数的知域为{y|y≥5}。
点评:对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
十三、比例法(对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域)
26已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
例3已知 ,求
解:令 ,则 ,
四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。
例4已知:函数 的图象关于点 对称,求 的解析式
解:设 为 上任一点,且 为 关于点 的对称点
则 ,解得: ,
点 在 上
把 代入得:
整理得
五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。
解:设 ,则
二、配凑法:已知复合函数 的表达式,求 的解析式, 的表达式容易配成 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 的值域。
例2已知 ,求 的解析式
解: ,
三、换元法:已知复合函数 的表达式时,还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。
第一章
1.1
1、下列各对函数中,相同的是()
A、 B、
C、 D、f(x)=x,
2、 给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()
A、0个B、1个C、2个D、3个
1.2
1
1. 2.
1.2.2解析式求法
一、待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
例1设 是一次函数,且 ,求
故所求函数的值域为[ ,+∞)。
七、不等式法(能利用几个重要不等式及推论来求得最值。(如: ),利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取 成立的条件。)
15、当 时,求函数 的最值,并指出 取最值时 的值。
因为 可利用不等式 即: 所以 当且仅当 即 时取“=”当 时 取得最小值12。
点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。
解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。
例5设 求
解
显然 将 换成 ,得:
解 联立的方程组,得:
例6设 为偶函数, 为奇函数,又 试求 的解析式
解 为偶函数, 为奇函数,
又 ,
用 替换 得:
即
解 联立的方程组,得
,
六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。
19、求函数 的值域。
观察分子、分母中均含有 项,可利用部分分式法;则有 不妨令: 从而
注意:在本题中应排除 ,因为 作为分母。所以 故
20、如对于函数 ,利用恒等变形,得到: ,
容易观察得出此函数的值域为 。
注意到分时的分子、分母的结构特点,分离出一个常数后,再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。
函数的值域为{z|z≥1}。
点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。
(10).倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例 求函数y= 的值域
多种方法综合运用
点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。
解:原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位
正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。
由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。
将上面等式的左边展开,有: ,
故而 , 。
解得 , 。
从而原函数 ;
ⅰ)当 时, , ,此时 ,等号成立,当且仅当 。
ⅱ)当 时, , ,此时有 ,
等号成立,当且仅当 。
综上,原函数的值域为: 。
八、部分分式法(分离常数法)(分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为 ( 常数)的形式)
解 ,
不妨令 ,得: ,
又
分别令 式中的 得:
将上述各式相加得: ,
3函数值域求法
1.2.
一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数)
1、求 的值域。
由绝对分析:首先由 0,得 +1 1,然后在求其倒数即得答案。
解: 0 +1 1, 0< 1, 函数的值域为(0,1].
注意:判别式法解出值域后一定要将端点值(本题是 )代回方程检验。
将 分别代入检验得 不符合方程,所以 。
9、求函数 的值域。
解答:先将此函数化成隐函数的形式得: ,(1)
这是一个关于 的一元二次方程,原函数有定义,等价于此方程有解,即方程(1)的判别式 ,
解得: 。
故原函数的值域为: 。
五、换元法(通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是无理函数、三角函数(用三角代换)等)
6、求函数 的值域。
由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。
反解得 即
故函数的值域为: 。(反函数的定义域即是原函数的值域)
(5)、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y= , , 的值域。
此法可以灵活运用,对于分母为一次多项式的二次分式,当然可以运用判别式法求得其值域,但是若能变通地运用此法,可以省去判别式法中介二次不等式的过程。
18、求函数 的值域。