08--数值计算
数值计算中的迭代法研究
数值计算中的迭代法研究迭代法是数值计算中一种重要的方法，广泛应用于各个领域。
本文将从理论和实践两个方面展开对数值计算中迭代法的研究。
一、迭代法的基本原理迭代法是通过逐步逼近解的方法，将一个计算问题转化为逐步逼近问题的方法。
其基本原理是通过不断重复迭代过程，使得逼近序列不断趋近于问题的解。
在数值计算中，迭代法主要用于求解方程的根和解线性方程组等问题。
通过构建递推公式和迭代公式，可以在有限次迭代后得到近似解。
二、迭代法的分类根据迭代公式的形式和计算精度的要求，迭代法可以分为固定迭代法和逐次逼近法两种。
固定迭代法是指对于给定的初值，不断使用同一个迭代公式进行计算，直到满足预定的停止准则为止。
常见的固定迭代法包括简单迭代法、试位法等。
逐次逼近法是指根据当前的近似解，不断调整迭代公式，使得每一次迭代都逼近于问题的解。
常见的逐次逼近法有牛顿法、高斯-赛德尔迭代法等。
三、迭代法的应用举例1.方程的根的迭代求解对于一个非线性方程 f(x) = 0，可以通过迭代法求解其根。
比如使用牛顿法，首先选取一个初值x0，然后根据迭代公式x_{n+1} = x_n -f(x_n) / f'(x_n)进行迭代，直到满足停止准则。
2.线性方程组的迭代求解对于一个线性方程组Ax = b，可以通过迭代法迭代求解。
比如使用雅可比迭代法，首先将线性方程组改写为x = Bx + d的形式，然后选取一个初值x0，根据迭代公式x_{n+1} = Bx_n + d进行迭代，直到满足停止准则。
四、迭代法的优缺点迭代法作为一种数值计算方法，具有以下优点：1. 算法相对简单，易于实现；2. 可以通过调整迭代次数和停止准则控制计算精度；3. 适用于各种类型的数值计算问题。
然而，迭代法也存在一些缺点：1. 初始值的选择对结果有较大影响，可能会导致迭代过程发散或收敛很慢；2. 可能会出现数值不稳定的情况，导致计算结果出现误差；3. 迭代法的收敛性无法得到完全的保证，可能需要进行大量的迭代计算。
数值计算1-5章
数值计算1-5章数值计算⽅法第1章绪论1.1数值计算⽅法的研究对象和特点数值计算⽅法也称数值分析，它研究⽤计算机求解各种数学问题的数值⽅法及其理论。
数学学科内容⼗分⼴泛，数值计算⽅法属于计算数学的范畴，这⾥只涉及科学和⼯程计算中常见的数学问题，如函数的插值、逼近、离散数据的拟合、数值积分与数值微分、线性和⾮线性⽅程数值解法和矩阵特征值问题数值解法和微分⽅程数值解法等.由于计算机科学与技术的迅速发展，数值计算⽅法的应⽤已经普遍深⼊到各个科学领域，很多复杂和⼤规模的计算问题都可以在计算机上进⾏计算，新的、有效的数值⽅法不断出现.现在，科学与⼯程中的数值计算已经成为各门⾃然科学和⼯程技术科学研究的⼀种重要⼿段，成为与实验和理论并列的⼀个不可缺少的环节.所以，数值计算⽅法既是⼀个基础性的，同时也是⼀个应⽤性的数学学科分⽀，与其他学科的联系⼗分紧密.⽤数值⽅法求解数学问题⾸先要构造算法，即由运算规则（包括算术运算、逻辑运算和运算顺序）构成的完整的解题过程.同⼀个数学问题可能有多种数值计算⽅法，但不⼀定都有效.评价⼀个算法的好坏主要有两条标准：计算结果的精度和得到结果所付出的代价.我们⾃然应该选择代价⼩⼜能满⾜精度要求的算法.计算代价也称为计算复杂性，包括时间复杂性和空间复杂性.时间复杂性好是指节省时间，主要由运算次数决定.空间复杂性好是指节省存储量，主要由使⽤的数据量决定.⽤计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉及多⽅⾯的理论问题，例如，算法的收敛性和稳定性等.除理论分析外，⼀个数值⽅法是否有效，最终要通过⼤量的数值实验来检验.数值计算⽅法具有理论性、实⽤性和实践性都很强的特点.作为数值计算⽅法的基础知识，本课程不可能⾯⾯俱到.除构造算法外，各章根据内容⾃⾝的特点，讨论的问题有所侧重.学习时我们⾸先要注意掌握⽅法的基本原理和思想，要注意⽅法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论.其次，要通过例⼦，学习使⽤各种数值⽅法解决实际计算问题，熟悉数值⽅法的计算过程.最后，为了掌握本课程的内容，还应做⼀定数量的理论分析与计算练习.1.2数值计算的误差1.2.1误差的来源应⽤数学⼯具解决实际问题，⾸先，要对被描述的实际问题进⾏抽象、简化，得到实际问题的数学模型.数学模型与实际问题之间会出现的误差，我们称之为模型误差.在数学模型中，通常要包含⼀些由观测数据确定的参数.数学模型中⼀些参数观测结果⼀般不是绝对准确的.我们把观测模型参数值产⽣的误差称为观测误差.例如，设⼀根铝棒在温度t时的实际长度为Lt,在t=0时的实际长度为L0，⽤lt来表⽰铝棒在温度为t时的长度计算值，并建⽴⼀个数学模型l t =L(1+at), a≈0.0000238/℃,其中a是由实验观测得到的常数，a∈[0.0000237,0.0000239],则称Lt -lt为模型误差，a-0.0000238是a 的观测误差.在解实际问题时，数学模型往往很复杂，因⽽不易获得分析解，这就需要建⽴⼀套⾏之有效的近似⽅法和数值⽅法.我们可能⽤容易计算的问题代替不易计算的问题⽽产⽣误差，也可能⽤有限的过程代替⽆限的过程⽽产⽣误差.我们将模型的准确解与⽤数值⽅法求得的准确解之间的误差称为截断误差或⽅法误差.例如，对函数()()35721sin 13!5!7!21!n x x x xn x x n +=-+-+++-+,该式右边有⽆限多项，计算机上⽆法计算.然⽽，根据微积分学中的泰勒（Taylor ）定理，当|x |较⼩时，我们若⽤前3项作为sin x 的近似值，则截断误差的绝对值不超过77!x .⽤计算机做数值计算时，⼀般也不能获得数值计算公式的准确解，需要对原始数据、中间结果和最终结果取有限位数字.我们将计算过程中取有限位数字进⾏运算⽽引起的误差称为舍⼊误差.例如，13=0.33333…,如果我们取⼩数点后4位数字，则13-0.3333=0.000033…就是舍⼊误差.在数值分析中，除了研究数学问题的算法外，还要研究计算结果的误差是否满⾜精度要求，这就是误差估计问题.在数值计算⽅法中，主要讨论的是截断误差和舍⼊误差.1.2.2 误差与有效数字定义1.1 设x 是某实数的精确值，A x 是它的⼀个近似值，则称x -A x 为近似值A x 的绝对误差，或简称误差.Ax x x-称为x A 的相对误差.当x =0时，相对误差没有意义.在实际计算中，精确值x 往往是不知道的，所以通常把AAx x x -作为A x 的相对误差.定义1.2 设x 是某实值的精确值，A x 是它的⼀个近似值，并可对A x 的绝对误差作估计|x -A x |?A ε，则称εA 是A x 的绝对误差界,或简称误差界.称AAx ε是A x 的相对误差界.例 1.1 我们知道π=3.1415926…,若取近似值πA =3.14,则π-πA =0.0015926…,可以估计绝对误差界为0.002，相对误差界为0.0006.例 1.2 测量⼀⽊板长是954 cm,问测量的相对误差界是多⼤？解因为实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界⼀般不超过最⼩刻度的半个单位，所以当x =954 cm 时，有A ε=0.5 cm ，其相对误差界为0.50.00052410.053%954AAx ε==< .定义1.3 设A x 是x 的⼀个近似值，将A x 写成12100.,k A i x a a a =±? , (1.1) 它可以是有限或⽆限⼩数的形式，其中i a (i =1,2,…)是0，1，…，9中的⼀个数字，1a ≠0,k 为整数.如果|x －A x |?0.5×10k n -,则称A x 为x 的具有n 位有效数字的近似值.可见，若近似值A x 的误差界是某⼀位的半个单位，该位到A x 的第⼀位⾮零数字共有n 位,则A x 有n 位有效数字.通常在x 的准确值已知的情况下，若要取有限位数的数字作为近似值，就采⽤四舍五⼊的原则，不难验证，采⽤四舍五⼊得到的近似值，其绝对误差界可以取为被保留的最后数位上的半个单位.例如|π－3.14|?0.5×210-, |π－3.142|?0.5×310-.按定义，3.14和3.142分别是具有3位和4位有效数字的近似值.显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差界就越⼩，反之也对.下⾯，我们给出相对误差界与有效数字的关系.定理1.1 设x 的近似值A x 有(1.1)式的表达式. (1) 如果A x 有n 位有效数字,则 111×102A nAx x x a --≤; (1.2)(2) 如果()111×1021A nAx x x a --≤+, (1.3)则A x ⾄少具有n 位有效数字.证由(1.1)式可得到()111--?+≤≤?k A k a x a . (1.4)所以，当A x 有n 位有效数字时11110.5101×10,×102k nA nk Ax x x a a ----?≤=即(1.2)式得证.由(1.3)式和(1.4)式有()()nk nk AAA A a a x x x x x x ---?=?+?+≤-=-105.0101211011111,即说明A x 有n 位有效数字，(2)得证.例1.30.1%,应取⼏位有效数字？解由于因此1a =4,设有n 位有效数字，则由(1.2)式，可令11110a -?≤,即410n -?18,得n ?4.故只要对4位有效数字，其相对误差就可⼩于0.1%,4.472.例1.4 已知近似数A x 的相对误差界为0.3%，问A x ⾄少有⼏位有效数字？解设A x 有n 位有效数字，由于A x 的第⼀个有效数1a 没有具体给定，⽽我们知道1a ⼀定是1,2,…,9中的⼀个，由于()12311101000210291A Ax x x --≤<=+,故由(1.3)式知n=2,即A x ⾄少有2位有效数字.1.2.3 函数求值的误差估计对⼀元函数ｆ(x )，⾃变量x 的⼀个近似值为A x ，以ｆ(A x )近似ｆ(x )，其误差界记作ε(ｆ(A x )).若ｆ(x )具有⼆阶连续导数，ｆ′(A x )与ｆ″(A x )的⽐值不太⼤，则可忽略|x -A x |的⼆次项，由Taylor 展开式得到ｆ(A x )的⼀个近似误差界ε(ｆ(A x ))≈|ｆ′(A x )|ε(A x ).对n 元函数ｆ(x 1,x 2,…,x n )，⾃变量x 1,x 2,…,x n 的近似值分别为x 1A ,x 2A ,…,x n A ，则有()()()12121,,,,,,nn A A nA k kA k k Af f x x x f x x x x x x=??-≈- ∑ ,其中()12,,,A A nA k k f f x x x x x A.因此，可以得到函数值的⼀个近似误差界()()()121,,,nAA nA kA k k Af f x x x x x εε=??≈ ∑. 特别地，对ｆ(x 1,x 2)=x 1±x 2有ε(x 1A ±x 2A )=ε(x 1A )+ε(x 2A ).同样，可以得到ε(x 1A x 2A )≈|x 1A |ε(x 2A )+|x 2A |ε(x 1A ),()()12211222A A A A A A A x x x x x x x εεε+??≈，20A x ≠例1.5 设有长为l,宽为d 的某场地.现测得l 的近似值l A =120 m,d 的近似值d A =90 m ，并已知它们的误差界为|l-l A |?0.2 m,|d-d A |?0.2 m.试估计该场地⾯积S=ld 的误差界和相对误差界.解这⾥ε(l A )=0.2,ε(d A )=0.2,并且有2,,10800A A A S S d l S l d mld====.于是有误差界()21200.2900.242A S m ε≈?+?=,相对误差界()()420.39%10800A r A AS S l dεε=≈=.例1.6 设有3个近似数a=2.31, b=1.93, c=2.24,它们都有3位有效数字.试计算p=a+bc 的误差界和相对误差界，并问p 的计算结果能有⼏位有效数字?解 p=2.31+1.93×2.24=6.6332.于是有误差界ε(p)=ε(a)+ε(bc)≈ε(a)+|b|ε(c)+|c|ε(b) =0.005+0.005(1.93+2.24)=0.02585,相对误差界εr (p)=()0.025856.6332p pε≈≈0.39%.因为ε(p)≈0.02585<0.05,所以p=6.6332能有2位有效数字.1.2.4 计算机中数的表⽰任意⼀个⾮零实数⽤(1.1)式表⽰，是规格化的⼗进制科学记数⽅法.在计算机中通常采⽤⼆进制的数系(或其变形的⼗六进制等),并且表⽰成与⼗进制类似的规格化形式，即浮点形式±2m ×0.β1β2…βt ,这⾥整数m 称为阶码，⽤⼆进制表⽰为m=±α1α2…αs , αj =0或1(j=1,2,…,s),s 是阶的位数.⼩数0.β1β2…βt 称为尾数,其中β1=1,βj =0或1(j=2,3,…,t)，t 是尾数部位的位数.s 和t 与具体的机器有关.由于计算机的字长总是有限位的，所以计算机所能表⽰的数系是⼀个特殊的离散集合,此集合的数称为机器数.⽤浮点⽅式表⽰的数有⽐较⼤的取值范围.⼗进制输⼊计算机时转换成⼆进制，并对t 位后⾯的数作舍⼊处理，使得尾数为t 位，因此⼀般都有舍⼊误差.两个⼆进制数作算术运算时，对计算结果也要作类似的舍⼊处理，使得尾数为t 位，从⽽也有舍⼊误差.在实现算法时，计算的最后结果与算法的精确解之间的误差，从根本上说是由机器的舍⼊误差造成的，包括输⼊数据和算术运算的舍⼊误差.因此有必要对计算机中数的浮点表⽰⽅法和舍⼊误差有⼀个初步的了解.有时为了分析某⼀个计算⽅法可能出现的误差现象，为了适应⼈们的习惯，我们会采⽤⼗进制实数系统进⾏误差分析.1.3 数值稳定性和要注意的若⼲原则 1.3.1 数值⽅法的稳定性实际计算时，给定的数据会有误差，数值计算中也会产⽣误差，并且，这些误差在进⼀步的计算中会有误差传播.因此，尽管数值计算中的误差估计⽐较困难，我们还是应该重视计算过程中的误差分析.定义 1.4 对于某个数值计算⽅法，如果输⼊数据的误差在计算过程中迅速增长⽽得不到控制，则称该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定的.下⾯举例说明误差传播的现象.例 1.7 计算积分值105nxdx I x =+?, n=0,1,…,6.解由于要计算系列的积分值，我们先推导In 的⼀个递推公式.由1110555n n n n x x I I dx x --++=+?111n xdx n-==,可得下⾯两个递推算法.算法1：115n n I I n-=-,n=1,2, (6)算法2：1115n n I I n -??=-,n=6,5, (1)直接计算可得0ln 6ln 5I =-.如果我们⽤4位数字计算，得I 0的近似值为0I *=0.1823.记n n n E I I *=-,I n *为In 的近似值.对算法1，有15n n E E -=-=…=()5n-E 0.按以上初始值I0的取法有|E 0|?0.5×410-,事实上|E 0|≈0.22×410-.这样，我们得到|E 6|=65|E 0|≈0.34.这个数已经⼤⼤超过了I 6的⼤⼩，所以6I *连⼀位有效数字也没有了，误差掩盖了真值.对算法2,有E k-n =15n ??-E k ,|E 0|=615??|E 6|.如果我们能够给出I 6的⼀个近似值，则可由算法2计算I n (n=5,4,…,0)的近似值.并且，即使E 6较⼤，得到的近似值的误差将较⼩.由于()()11011616551kkk xxI d d x x k k =<<=++??,因此，可取Ik 的⼀个近似值为()()11126151k I k k *=+?? ? ?++??. 对k=6有6I *=0.0262.按0I *=0.1823和6I *=0.0262，分别按算法1和算法2计算，计算结果如表1-1，其中()1n I 为算法1的计算值, ()2n I 为算法2的计算值.易知，对于任何⾃然数n,都有0表1-1n()1nI()2nInI （4位）0 0.1823 0.1823 0.18231 0.0885 0.0884 0.08842 0.0575 0.0580 0.05803 0.0458 0.0431 0.04314 0.0210 0.0344 0.03435 0.0950 0.0281 0.02856-0.3083 0.0262 0.0243当然，数值不稳定的⽅法⼀般在实际计算中不能采⽤.数值不稳定的现象属于误差危害现象.下⾯讨论误差危害现象的其他表现及如何避免问题.1.3.2 避免有效数字的损失在数值计算中，参加运算的数有时数量级相差很⼤，⽽计算机位数有限，如不注意，“⼩数”的作⽤可能消失，即出现“⼤数”吃“⼩数”的现象. 例1.8 ⽤3位⼗进制数字计算x =101+δ1+δ2+…+δ100,其中0.1?δi ?0.4,i =1,2, (100)解在计算机内计算时，要写成浮点数形式，且要对阶.如果是101与δ1相加，对阶时，101=0.101×103,δ1=0.000×103.因此,如果我们⾃左⾄右逐个相加，则所有的δi 都会被舍掉，得x ≈101.但若把所有的δi 先加起来，再与101相加，就有111=101+100×0.1?x ?101+100×0.4=141.可见，计算的次序会产⽣很⼤的影响.这是因为⽤计算机计算时，在运算中要“对阶”，对阶引起了⼤数吃⼩数的现象.⼤数吃⼩数在有些情况下是允许的，但有些情况下则会造成谬误.在数值计算中，两个相近数相减会使有效数字严重损失.例1.9 求实系数⼆次⽅程20ax bx c ++=的根，其中b 2-4ac>0,ab ≠0. 解考虑两种算法. 算法1:1,22x a=算法2:(12b sign b x a--=, 21c x ax =,其中sign 表⽰取数的符号，即()1,0,0,0,1,0.b sign b b b >??==??-对算法1，若ac b 42>>,则是不稳定的，否则是稳定的.这是因为在算法1中分⼦会有相近数相减的情形,会造成有效数字的严重损失,从⽽结果的误差很⼤.算法2不存在这个问题，在任何情况下都是稳定的.因此称算法1是条件稳定的，算法2是⽆条件稳定的.例如，对于⽅程262.10 1.0000x x ++=,⽤4位有效数字计算，结果如下：算法1:x 1=-62.08, x 2=-0.02000. 算法2:x 1=-62.08, x 2=-0.01611.准确解是x 1=-62.083892…,x 2=-0.016107237….这⾥，ac b 42>>,所以算法1不稳定，舍⼊误差对x 2的影响⼤.在进⾏数值计算时，如果遇到两相近数相减的情形，可通过变换计算公式来避免或减少有效数字的损失.例如，如果|x |≈0,有变换公式1cos sin sin 1cos x x xx-=+.如果x 1≈x 2,有变换公式1122lg lg lgx x x x -=.如果x 〉〉1,有变换公式.此外，⽤绝对值很⼩的数作除数时，舍⼊误差会很⼤，可能对计算结果带来严重影响.因此，要避免除数绝对值远远⼩于被除数绝对值的除法运算.如果⽆法改变算法，则采⽤增加有效位数进⾏计算，或在计算上采⽤双精度运算，但这要增加机器计算时间和多占内存单元.1.3.3 减少运算次数在数值计算中，要注意简化计算步骤，减少运算次数，这也是数值分析中所要研究的重要内容.同样⼀个计算问题，如果能减少运算次数，不但可节省计算机的计算时间，还能减少误差的积累.下⾯举例说明简化计算公式的重要性.例1.10 给定x ,计算多项式()110nn n n n P x a x a xa --=+++的值.如果我们先求ak x k ，需要进⾏k 次乘法，再相加，则总共需要()12n n +次乘法和n次加法才能得到⼀个多项式的值.如果我们将多项式写成下⾯的形式()(){}1210n n n n P x x x x a x a a a a --??=+++++?? ,则只需n 次乘法和n 次加法即可得到⼀个多项式的值，这就是著名的秦九韶算法，可描述为1,,1,2,,0,n n k k k u a u u x a k n n +=??=+=--?最后有()0n u P x =.例1.11 计算ln2的值. 解如果利⽤级数()()11ln 11nn n xx n∞+=+=-∑计算ln2，若要精确到误差的绝对值⼩于10-5,要计算10万项求和，计算量很⼤，并且舍⼊误差的积累也⼗分严重.如果改⽤级数()35211ln 213!5!21!n xx x xx x n +??+=+++++ ? ?-+??来计算ln2，取x =1,则只要计算前9项，截断误差便⼩于10-10.1.4 向量和矩阵的范数为了对矩阵计算进⾏数值分析，我们需要对向量和矩阵的“⼤⼩”引进某种度量.在解析⼏何中，向量的⼤⼩和两个向量之差的⼤⼩是⽤“长度”和“距离”的概念来度量的.在实数域中，数的⼤⼩和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的.范数是绝对值概念的⾃然推⼴.1.4.1 向量的范数定义1.5 如果向量x ∈n R 的某个实值函数ｆ(x )=‖x ‖满⾜ (1) 正定性：x ?0,且x =0当且仅当x =0；(2) 齐次性：对任意实数α，都有αx =|α|x ； (3) 三⾓不等式：对任意x ,y ∈R n ,都有+x y ?x +y ,则称x 为n R 上的⼀个向量范数.在n R 中，记()12,,,Tn x x x =x ,实际计算中最常⽤的向量范数有： (1) 向量的∞范数1max i i nx ∞≤≤=x；(2) 向量的1范数11nii x ==∑x；(3) 向量的2范数12221in x i ==??∑x.容易验证，向量的∞范数和1范数满⾜定义1.5中的条件.对于2范数，满⾜定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对于条件（3），利⽤向量内积的Cauchy-Schwarz 不等式可以验证.更⼀般地，有如下向量的p 范数1pipn px i ==??∑x,其中p ∈ [1,+∞).容易验证1ppn∞∞≤≤xxx,由此可得如下定理.定理1.2 lim pp ∞→∞=xx.下⾯，我们利⽤向量范数的连续性来说明向量范数的重要特征.定理1.3 设给定A ∈R n ×n ,x =(x 1,x 2,…,x n )T ∈R n ,则对R n 上每⼀种向量范数，‖A x ‖都是x 1,x 2,…,x n 的n 元连续函数.证设a j 为A 的列向量，将A 写成A =(a 1,a 2,…,a n ). 则由三⾓不等式，对h =(h 1,h 2,…,h n )T ∈R n,有|‖A (x +h )‖-‖A x ‖|?‖A h ‖=‖1ni i h =∑a i ‖1ni i h =∑‖a i ‖M max|h i |,其中M=1ni =∑‖a i ‖.所以，对任意的ε>0,当max|h i |<Mε时，有|‖A (x +h )‖-‖A x ‖|<ε, 这就证明了‖A x ‖的连续性.推论1.1 ‖x ‖是x 的各分量的连续函数. 向量范数的⼀个重要特征是具有等价性.定理 1.4 R n 上的所有向量范数是彼此等价的，即对R n 上的任意两种向量范数‖x ‖s和‖x ‖t ，存在常数c 1,c 2>0,使得对任意x ，有c 1‖x ‖s ?‖x ‖t ?c 2‖x ‖s .证只要就‖x ‖s =‖x ‖∞证明上式成⽴即可，即证明存在常数c 1,c 2>0,对⼀切x ∈R n且x ≠0，有c 1‖x ‖∞?‖x ‖t ?c 2‖x ‖∞.记R n 上的有界闭集D={x :x =(x 1,x 2,…,x n )T ,‖x ‖∞=1}.由定理1.3的推论知，‖x ‖t 是D 上的n 元连续函数，所以在D 上有最⼤值c 2和最⼩值c 1,且x ∈D 时有x ≠0,故有c 2?c 1>0.现考虑x ∈R n ,且x ≠0,则有∞x x ∈D,所以有c 1?‖∞x x ‖t ?c 2, ?x ∈R n ,x ≠0.从⽽对x ≠0有c 1‖x ‖∞?‖x ‖t ?c 2‖x ‖∞.⽽x =0时上式⾃然成⽴，定理得证.由于向量范数之间具有等价性，对于范数的极限性质，我们只需对⼀种范数进⾏讨论，其余范数也都具有相似的结论.⽐如，我们可以⽅便地讨论向量序列的收敛性.定义1.6 设向量序列x (k)=()()()()12,,,Tk k k nx x x ∈R n ,k=1,2,…,若存在x *=()12 ,,,Tn x x x ***∈R n ,使得()lim k iik x x *→∞=, i =1,2,…,n,则称序列{x (k)}收敛于x *,记为()lim k ik *→∞=x x.按定义有)()lim lim 0k k k k **→∞→∞∞=?-=xx xx.⼜因为()()()12k k k c c ***∞∞-≤-≤-xxxxxx,所以有()()lim lim 0k k k k **→∞→∞=?-=xx xx.因此，若向量序列在⼀种范数下收敛，则在其他范数下也收敛.不必强调是在哪种范数意义下收敛.1.4.2矩阵的范数定义1.7 如果矩阵A ∈R n ×n 的某个实值函数ｆ(A )=‖A ‖满⾜ (1) 正定性：‖A ‖?0,且‖A ‖=0当且仅当A =0；(2) 齐次性：对任意实数α，都有‖αA ‖=|α|‖A ‖；(3) 三⾓不等式：对任意A ,B ∈R n ×n ,都有‖A +B ‖?‖A ‖+‖B ‖； (4) 相容性：对任意A ,B ∈R n ×n ,都有‖A B ‖?‖A ‖‖B ‖；则称‖A ‖为Rn ×n上的⼀个矩阵范数.可以验证，对()ij n na ?=A ,12211Fn n a ij i j ?? ?=∑∑ ?==??A是⼀种矩阵范数，称之为Froben i us 范数，简称F 范数.由于矩阵与向量常常同时参与讨论与计算，矩阵范数与向量范数之间需要有⼀种联系. 定义1.8 对于给定的R n 上的⼀种向量范数‖x ‖和R n ×n 上的⼀种矩阵范数‖A ‖，如果满⾜‖A x ‖?‖A ‖‖x ‖,则称矩阵范数‖A ‖与向量范数‖x ‖相容.上⾯的定义1.7是矩阵范数的⼀般定义，下⾯我们通过已给的向量范数来定义与之相容的矩阵范数.定义 1.9 设x ∈R n ,A ∈R n ×n ,对给出的⼀种向量范数v x ,相应地定义⼀个矩阵的⾮负函数m axvvx v≠=A x Ax.称之为由向量范数导出的矩阵范数，也称为算⼦范数或从属范数.由定义可得vvv≤A xAx，1max vvv==xAAx.算⼦范数满⾜矩阵范数⼀般定义中的条件(1)和(2)是显然的，现验证满⾜条件（3）和（4）.对任意的A ,B ∈R n ×n ,有()1maxvvv =+=+xA B x11max max v vvvvvxx==≤+=+Ax BxAB1max vvv==xABABx1max vvvvvv=≤=xABxA.因此，算⼦范数满⾜矩阵范数⼀般定义中的条件(3)和(4).由常⽤的向量范数，可以导出与其相容的矩阵算⼦范数.定理1.5 设A ∈R n ×n ,记()ij n na ?=A ,则(1)11max nij i nj a ∞≤≤==∑A,称之为矩阵A 的⾏范数；(2) 111m ax nij j ni a ≤≤==∑A ，称之为矩阵A 的列范数；(3)2=A称之为矩阵A 的2范数或谱范数，其中，()max TλA A 表⽰T A A的最⼤特征值.证这⾥只对(1)和(3)给出证明，(2)的证明同理可得. 先证明(1):设x =(x 1,x 2,…,x n )T ≠0,不妨设A ≠0，则有1111max max nnij j ij i ni nj j xa x xa ∞∞≤≤≤≤===≤∑∑A .111max max nij xi nj a ∞∞∞=≤≤===∑AAx.设矩阵A 的第p ⾏元素的绝对值之和达到最⼤，即111max nnpj ij i nj j a a ≤≤===∑∑.取向量()12,,,Tn ξξξ= ξ,其中1,0,1,0.a pj j apjξ≥??=?-显然，‖ξ‖∞=1,⽽且1111m ax m axnn∞∞=≤≤===≥==∑∑xAA xA ξ.于是(1)得证.再证明(3):显然，A TA 是对称半正定矩阵，它的全部特征值均⾮负，设为120n λλλ≥≥≥≥ .由实对称矩阵的性质，各特征值对应的特征向量必正交.设对应的标准正交特征向量为12,,,nu u u ,即T i i i λ=A Au u (i =1,2,…,n),(u i ,u j )=δi j (i ,j=1,2,…,n).对向量x ∈R n ,‖x ‖2=1,可由R n 的⼀组基u i (i =1,2,…,n)线性表⽰，即有1niii c ==∑x u ,22211nii c===∑x11nnT Ti ii i i cc λλλ====≤=∑∑A xx A A x .另⼀⽅⾯，取ξ=u 1,显然有‖ξ‖2=1,211112T T Tλλ===A ξξA A ξu u .因此，2221m ax ===xAA x得证.由定理1.5可见，计算⼀个矩阵的⾏范数和列范数是⽐较容易的，⽽矩阵的2范数计算却不⽅便，但由于它有许多好的性质，所以在理论上还是有⽤的.例1.12 设矩阵1234-??=解 {}m ax 3,77∞==A,{}1m ax 4,66==A ,10141420T-??=-A A ()21014det 3041420Tλλλλλ--==-+-I A A ,求得115λ=+215λ=-因此25.46=≈A.定义1.10 设A ∈R n ×n 的特征值为λi (i =1,2,…,n),称()1max i i nρλ≤≤=A为A 的谱半径.谱半径在⼏何上可解释为以原点为圆⼼，能包含A 的全部特征值的圆的半径中最⼩者.例1.13 计算例1.12中矩阵的谱半径.解由A 的特征⽅程()2=--=-I A得12λ=,22λ=所以() 5.372ρ=≈A .定理1.6 设A ∈R n ×n ,则有()ρ≤A A .证设A x =λx ,x ≠0,且|λ|=ρ(A ),必存在向量y ,使x y T 不是零矩阵.于是()TTTTA ρλ==≤A xyxyxyA xy,即得ρ(A )?‖A ‖.例1.14 设矩阵A 与矩阵B 是对称的，求证ρ(A +B )?ρ(A )+ρ(B ).证因T =A A ,于是有()()()222max max 2A A AA ,即‖A ‖2=ρ(A ).同理‖B ‖2=ρ(B ).由于A +B =(A +B )T,因此()()()222ρρρ+=+≤+=+A B A BABA B .定理1.7 如果‖B ‖<1,则I ±B 为⾮奇异矩阵，且()111-±≤-I B B,这⾥的矩阵范数是指矩阵的算⼦范数.证若I ±B 奇异，则存在向量x ≠0,使(I ±B )x =0,故有ρ(B )?1,这与‖B ‖<1⽭盾，所以I ±B ⾮奇异.由于()()11--±=± I B I B I B ,于是得()()11--±≤+±I B I BI B .上的任意两种矩阵范数都是等价的，即对Rn ×n上的任意两种矩阵范数sA和t A ，存在常数c 1,c 2>0,使得12stsc c ≤≤AAA.由矩阵范数的等价性，我们可以⽤矩阵的范数描述矩阵序列的极限性质.定义1.11 设矩阵序列()()()kk n nijn na ??=∈A R,k=1,2,…,若存在()n nij n na **=∈A R,使得()lim k ijijk a a *→∞()lim k k *→∞=AA.可以验证()()lim lim 0k k k k **→∞→∞=?-=AA AA.评注本章介绍了数值计算的研究对象、误差及相关概念、数值计算的稳定性及构造算法的基本原则.考虑到矩阵计算的数值分析，本章还介绍了向量范数和矩阵范数的基本概念和常⽤定理.误差分析问题是数值分析中重要⽽困难的问题.误差的基本概念和误差分析的若⼲原则，对学习本课程是很有必要的.但是，作为⼯程或科学计算的实际问题则要复杂得多，往往要根据不同问题分门别类地进⾏分析.例如，由于舍⼊误差有随机性，有⼈应⽤概率的观点研究误差规律.在⼯程计算中，常⽤⼏种不同办法（包括实验⽅法）进⾏⽐较，以确定计算结果的可靠性.20世纪60年代以来，发展了两种估计误差的理论：⼀种是J.H.W i lk i nson 等⼈针对计算机浮点算法提出了⼀套预先估计的研究误差的⽅法，使矩阵运算的舍⼊误差研究获得了新发展；另⼀种是R .E.Moore 等⼈应⽤区间分析理论估计误差，开创了研究误差的新⽅法. 关于范数⽅⾯，所述内容是为以下各章服务的⼀些初步概念和常⽤的定理，对本书够⽤就可以了.例如只讨论了R n ×n 的范数，⽽没有顾及R n ×m .⼜例如介绍了R n 和R n ×n 上范数的等价性，此性质对有限维空间都是成⽴的，⽽对于C[a,b]则没有这个性质，这些都是赋范线性空间有关的问题，详细讨论这些问题是泛函分析的内容.习题 11.1 已知e=2.71828…,问下列近似值A x 有⼏位有效数字，相对误差界是多少？ (1) x =e, A x =2.7； (2) x =e, A x =2.718； (3) x =e100, A x =0.027； (4) x =e100, A x =0.02718. 1.2 设原始数据的下列近似值每位都是有效数字：1x *=1.1021, 2x *=0.031, 3x *=56.430. 试计算(1) 1x *+2x *+3x *；(2)，并估计它们的相对误差界.1.3 设x 的相对误差界为δ,求n x 的相对误差界.1.4 设x >0，x 的相对误差界为δ，求ln2的绝对误差界.1.5 为了使计算球体体积时的相对误差不超过1%，问测量半径R 时的允许相对误差界是多少？1.6 三⾓函数值取4位有效数字，怎样计算1-cos2°才能保证精度？ 1.7 设0Y =28，按递推公式nY=1n Y --…,计算.若取27.982(5位有效数字)，试问计算Y 100将有多⼤误差?1.8 求解⽅程25610x x ++=，使其根⾄少具有4位有效数字(≈27.982).1.9 正⽅形的边长⼤约为100 cm ，应怎样测量才能使其⾯积的误差不超过21cm ? 1.10 序列{yn}满⾜递推关系1101n n y y -=-,n=1,2,….若y 0 1.41(3位有效数字)，计算到y 10时的误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?1.11 对积分11n x n I x edx -=,n=0,1,…,验证101I e-=-,11n n I nI -=-.若取e -1≈0.3679,按递推公式11n n I nI -=-，⽤4位有效数字计算I 0,I 1,…,I 9,并证明这种算法是不稳定的.1.12 反双曲正弦函数为()(ln f x x =+.如何计算ｆ(x )才能避免有效数字的损(1) sin x -siny ； (2) arctan x -arctany ；(3)2； (4)212xe-.1.14 已知三⾓形⾯积1sin 2s ab C=,其中C 为弧度，0π，且测量a,b,C 的误差分别为Δa,Δb,ΔC ，证明⾯积的误差Δs 满⾜s a b C s ab C≤++ .1.15 设P ∈R n ×n 且⾮奇异，⼜设‖x ‖为R n 上的⼀种向量范数，定义p=xP x.试证明‖ｘ‖P 是R n 上的⼀种向量范数.1.16 设A ∈R n ×n 为对称正定矩阵，定义()12,A=xA x x .试证明‖ｘ‖A 为R n 上的⼀种向量范数.1.17 设矩阵0.60.50.10.3??=2F≤≤AA,并说明‖A ‖F 与‖ｘ‖2相容.1.19 设P ∈Rn ×n且⾮奇异，⼜设‖ｘ‖为R n上的⼀种向量范数，定义范数‖ｘ‖P =‖P x ‖.证明对应于‖ｘ‖P 的算⼦范数1 p-=APAP.1.20 设A 为⾮奇异矩阵，求证：11m iny ∞-≠∞∞=A y yA.。
数值计算的基本概念
数值计算的基本概念数值计算是一种通过计算机程序进行数值操作和计算的过程。
它是数值分析领域的一个重要分支，用于解决科学和工程领域中的各种实际问题。
1.数值表示：计算机只能处理二进制数字，即0和1，所以需要一种方法将实际的数值转化为计算机可以理解的二进制形式。
数值表示包括整数表示和浮点数表示。
整数表示是将整数转换为二进制形式，而浮点数表示是将实数转换为二进制形式，并用一个符号位、指数位和尾数位来表示。
2.数值误差：数值计算中会出现一些误差，这些误差可以分为截断误差和舍入误差。
截断误差是由于计算中将无限的数值截断为有限位数而引入的误差，而舍入误差是由于计算中进行舍入而引入的误差。
数值误差会随着计算的进行而积累，可能导致最终结果的不准确性。
3.数值稳定性：数值计算中的算法可能会受到输入数据的微小变化而产生很大的输出差异。
数值稳定性指的是算法对于输入数据的微小变化具有较好的鲁棒性，即输出结果相对稳定，不会产生过大的误差。
4.数值精度：数值计算的精度指的是计算结果与实际值之间的差距。
数值精度可以通过数值计算的方法和所使用的计算机精度来确定。
计算机有限的存储空间和位数限制了数值计算的精度，因此需要权衡计算精度和计算速度之间的关系。
5.数值方法：数值计算中用于求解数值问题的具体算法和技术称为数值方法。
数值方法包括数值逼近、数值插值、数值积分、数值微分、线性代数问题的数值解法等。
数值方法的选择取决于具体的问题和计算要求。
在实际应用中，数值计算广泛应用于众多领域，如物理学、化学、工程学、金融学等。
通过数值计算，可以对复杂的数学模型和方程进行求解，预测和模拟实际情况，提供决策支持和优化设计。
然而，数值计算也存在着一些挑战和限制。
首先，数值计算可能会产生舍入误差和截断误差，从而引入不确定性和误差。
其次，数值计算需要计算机指令的执行，这需要时间和计算资源。
因此，对于大规模的数值计算问题，可能需要分布式计算或并行计算。
此外，数值计算也需要对问题进行合理的建模和参数设定，才能得到准确和可靠的结果。
数值计算08-线性方程组数值解法(优选.)
0
(k=1,2,…,n) ,则可通过高斯消元法求出Ax=b 的解。
引理
A的主元素
a(k) kk
0
(k=1,2,…,n) 的充要条件
是矩阵A的各阶顺序主子式不为零，即
a11
a1k
D1 a11 0 Dk
0, k 2, 3, , n
ak1
akk
定理2 Ax=b 可用高 斯消元法求解的充分必要条件是： 系数矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零。
Page 5
线性代数方程组的计算机解法常用方法：
直接法 迭代法
消去法 矩阵三角分解法
Page 6
直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组
的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程
组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原
始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收 敛性及收敛速度等问题
a(k) ik
a(k) kk
aijk
mik
a
k
kj
bik1 bik mikbkk
xn
bnn annn
bii
n
a
i
ij
x
j
,
xi
ji1
aiii
i, j k 1, k 2,, n
i n 1,,2,1
高斯消元法的条件
Page 20
定理1
如果在消元过程中A的主元素
a(k) kk
即:
a111
a112 a222
a11n a22n
x1 x2
bb1212
an22
an2n
xn
bn2
其中：
数值计算实验指导书
数值计算方法（一）实验指导书一、基本情况·课程名称：数值计算方法（一）·课程编号：01024002, 01025002, 01825059, 01826059·课程学时：授课 50学时，上机实验 20学时·适用专业：信息与计算科学、数学与应用数学、数学物理力学综合班等理科本科生·使用教材：《数值计算方法（一）》上海大学数学系编·数值实验：1）Lagrange插值多项式2)Newton差商插值法3）Aitken逐次线性插值法4）等距节点情况下的Newton差分插值法5）两点三次Hermite插值法6）Lagrange插值余项的极小化法求近似最佳一致逼近多项式7）Newton-cotes型求积公式8）Romberg算法9）Gauss型求积公式10)Remes算法(机动)·实验环境：装有FORTRAN 4.0以上系统或C语言系统的微型计算机·实验要求：在上机实验时完成相应实验的算法的程序编制，并上机运行，学会应用这些算法于实际问题，以便对算法有更进一步的认识和理解。
考察和体会数值计算中出现的一些问题和现象：误差的估计,算法的稳定性、收敛性、收敛速度以及迭代初值对收敛的影响等。
二、实验内容（一）实验一：Lagrange插值多项式1、目的：学会Lagrange插值算法,并应用算法于实际问题;观察Lagrange插值的龙格现象。
2、例题：1）取正弦函数x x f sin )(=;2）取函数 ]5,5[,15)(2-∈+=x xx f3、要求：要求用键盘输入,程序具有通用性.1)以0.32,0.34,0.36为节点,分别用线性插值和抛物插值求正弦函数在0.3367处的近似值;线性插值场合,比较内插与外插.2）分别取节点数 20,10,5===n n n 的等距节点为插值点，构造出 )(x L n ，并画出其图形，与 )(x f 的图形比较；观察在5±=x 附近的现象，写出分析结果。
《数值计算基础》课件
几何方法
01
02
03
数值几何
利用几何知识，通过代数 方法解决几何问题，如求 点到直线的距离、求两线 交点等。
图形图像处理
利用几何变换和图像处理 技术，对图形和图像进行 变换、滤波等操作，实现 图像识别和计算机视觉。
数值逼近
通过几何方法逼近函数， 如多项式逼近、样条逼近 等，以实现函数近似计算 。
概率统计方法
混合精度计算
研究混合精度计算方法，利用低精度数值进行高效计算，降低计算成 本和功耗。
可解释性与可信度
提升数值计算的解释性和可信度，确保计算结果的可靠性和实际应用 的有效性。
THANKS
感谢观看
误差传播是指由于一个或多个输入数据存在误差，导致输出数据也存在误 差，并且这个误差会随着计算的进行而逐渐积累和扩大。
在数值计算中，误差的传播通常表现为计算结果的精度降低，甚至导致结 果完全失真。
为了减小误差的传播，可以采用多种方法，如提高输入数据的精度、选择 合适的算法和数值稳定的方法等。
误差的控制
01
随机模拟
利用概率统计方法模拟随机事件 ，如蒙特卡洛模拟、随机抽样等 ，以解决实际应
通过概率统计方法估计未知参数 ，并进行假设检验，以判断假设 是否成立。
03
回归分析
利用概率统计方法分析变量之间 的关系，如线性回归、逻辑回归 等，以预测未来趋势和结果。
04
数值计算的误差分析
持。
数值计算面临的挑战与机遇
数据规模与复杂度增加
随着数据规模的扩大和复杂度的提升， 数值计算面临更高的计算要求和技术挑
战。
跨学科融合
与其他领域的交叉融合为数值计算带 来了新的机遇，促进跨学科研究和应
08结构动力学-数值分析方法
用两步法进行计算时存在起步问题，因为仅根据已知的 初始位移和速度，并不能自动进行运算，而必需给出 两个相邻时刻的位移值，方可开始逐步计算。 在初始时刻需要建立两个起步时刻 ( 即 i＝0, -1) 的位移 值，这即是逐步积分的起步问题。
22/87
中心差分法在计算ti+1时刻的运动ui+1时，需要已知ti和ti-1 两个时刻的运动 ui 和 ui-1，因此，中心差分法属于两步 法；
分段解析法 计算公式中 的系数
i ui 1 Aui Bu Cpi Dpi 1 i 1 Aui B u i u C pi D pi 1
D
2 2 1 1 2 2 e n t 1 t sin D t t cos D t k n n t D
5/87
5.1 数值算法中的基本问题 时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法： （1）分段解析法； （2）中心差分法； （3）平均加速度法； （4）线性加速度法； （5）Newmark－ 法； （6）Wilson－ 法； （7）Houbolt 法； （8）广义 法；
11/87
△ti
ti
ti+1
t
τ
分段解析法对外荷载的离散
12/87
3
5.2 分段解析法
p
实际荷载 pi+1 pi 插值荷载：p(τ)
5.2 分段解析法 将全解
△ ti
数值计算和符号计算
五、数值计算和符号计算 两种计算的特点数值计算符号对象和符号表达式 符号计算符号函数的可视化Maple函数的使用5.1 两种计算的特点数值计算特点：1）以数值数组作为运算对象，给出数值解；2）计算过程中产生误差累积问题，影响计算结果的精确性；3）计算速度快，占用资源少。
符号计算特点：1）以符号对象和符号表达式作为运算对象，给出解析解；2）运算不受计算误差累积问题的影响；3）计算指令简单；4）占用资源多，计算耗时长。
5.2 数值计算MATLAB具有强大的数值计算功能，可完成矩阵分析、线性代数、多元函数分析、数值微积分、方程求解、边值问题求解、数理统计等常见的数值计算。
数值计算的常用运算单元是数值数组。
MATLAB给出了大量的数值计算函数，基本上与理论数学、数值数学的数学描述式表达方式相同，便于编程和掌握。
本节主要以例题的形式给出一些常用的数值计算问题的MATLAB解算过程，以【例5－1】矩阵常见运算% exm05_01.m A=[1 2 3; 4 7 2;7 4 3 ]; %A 为3×3矩阵b=[2; 4; 5;]; %b 为1×3矩阵%矩阵的分解[L U P]=lu(A) %矩阵的LU 分解，分成下三角和上三角阵,LU=PA [Q,R]=qr(A) %矩阵的QR 分解,分成正交方阵和上三角阵,A=QR%矩阵的特征参数Adet=det(A) %求矩阵的行列式Arank=rank(A) %求矩阵的秩Anorm=norm(A) %求矩阵的范数，通过带不同的参数可以求不同的范数P=poly(A) %求矩阵特征多项式Aroots=roots(P) %求特征根Aroots2=eig(A) %特征根的又一种求法L =1.0000 0 00.5714 1.0000 00.1429 0.3030 1.0000U =7.0000 4.0000 3.00000 4.7143 0.28570 0 2.4848P =0 0 10 1 01 0 0Q =-0.1231 -0.2641 -0.9566-0.4924 -0.8207 0.2899-0.8616 0.5067 -0.0290R =-8.1240 -7.1393 -3.93890 -4.2462 -0.91350 0 -2.3771Adet =-82Arank =3Anorm =11.9378P =1.0000 -11.0000 -6.0000 82.0000Aroots =10.8570-2.67762.8207Aroots2 =10.8570-2.67762.8207%线性方程组求解x=A\b %求方程组AX ＝b 的解x=inv(A)*b 方程组为：x 1+2x 2+3x 3=24x +7x +2x =4解为：x =0.4268【例5－2】求函数的零点% exm05_02.my=inline('cos(t)*exp(-0.1*t)-0.1','t ') %构造内联函数y ＝e -0.1t cost-0.1t=-10:0.01:10;%对自变量采样，采样步长不宜太大。
数值计算的基础知识与应用
数值计算的基础知识与应用数值计算的基础知识与应用数值计算是一种利用计算机来求解数学问题的方法。
它可以用来解决各种实际问题，如物理、工程、经济、金融等领域中的问题。
数值计算的基础知识包括数值方法、误差分析、计算机算法等方面，这些知识是数值计算的基础。
一、数值方法数值方法是指把一个数学问题转化为一系列计算机可以处理的数值运算的方法。
它通常包括离散化、数值逼近和数值积分等内容。
离散化是指将连续的数学问题转化为离散的数值问题，如用差分法将微分方程离散化。
数值逼近是指用有限个已知函数来逼近一个未知函数或一组数据的方法，例如多项式逼近和插值方法。
数值积分是指将一个函数在一定区间上求积分的数值方法，例如辛普森公式和龙格-库塔法。
二、误差分析误差分析是数值计算的一个重要问题。
因为数值计算中存在各种误差，如截断误差、舍入误差和传播误差等。
截断误差是指由于选择适当的数值方法而引入的误差，如差分法的截断误差。
舍入误差是由计算机对数值进行处理而引入的误差，如计算机中浮点数位数有限所引进的误差。
而传播误差是指由于误差在计算过程中逐步积累而引入的误差。
为了评估数值计算的精度和可靠性，需要进行误差分析。
误差分析既可以从理论上进行，也可以通过数值实验进行。
理论误差分析需要了解数值方法的理论误差，并利用数学分析技术来证明误差的收敛性和稳定性。
而数值实验误差分析则是通过计算机程序模拟数学问题，在人工或计算机实验中确定误差的大小和性质。
三、计算机算法计算机算法是指用计算机解决数学问题的方法和技术。
有很多数值计算的算法，如快速傅里叶变换、迭代求解法、高斯消元法、梯形法则等等。
这些算法都是经过几十甚至几百年不断研究和完善的，它们在实际应用中具有很高的有效性和精度。
由于计算机算法的复杂性和多样性，不同的算法适用于不同的数学问题。
在实际应用中，选择适当的算法对解决问题至关重要。
同时，为了提高计算机的效率，需要对算法进行优化，例如通过高性能计算和并行计算来提高算法的效率和精度。
数值计算第一章
6
0.1120
7
0.2180
算法不稳定。
8
-0.7280
9
7.5520
,9 。
精确值
0.63212… 0.36787… 0.26424… 0.20727… 0.17089… 0.14553… 0.12680… 0.11238… 0.10093… 0.09161…12
稳定的算法：
0
In
1 n 1
0 ，取
对阶时 0.0001 0.000000001105 ，计算机表示为 0，计算结果为
10000
0.12345105 ，结果不可靠。这时得改变算法：先计算 i =1 ，再 i 1
与第一项相加得到12345+1=12346 。
15
4. 绝对值较小的数不宜做分母。 用绝对值很小的数做除数，会使误差增大；还有可能因计算溢出 而停机。
例：取 3.141592653...的近似值为 3.14，3.141，3.142，3.14159，
3.141592 分别有几位有效数字？
注：四舍五入得到的近似数，从其最后一位数字开始到前面第一位 非零数字为止的所有数字，均是有效数字。
8
3. 有效数字与误差限的关系
有效数的浮点表示：具有 n 位有效数字的近似数 x* 可以写成标准
0.1709
5
0.1480
0.14553…
0.1455
6
0.1120
0.12680…
0.1268
7
0.2180
0.11238…
0.1125
8
-0.7280
0.10093…
0.1000
9
7.5520
0.09161…
数学中的数值计算方法
数学中的数值计算方法数学是一门先进而又神秘的学科，其中数值计算方法作为数学的重要分支之一，针对有限精度的数字计算机实现计算的一种数学方法，广泛应用于物理学、化学、工程学、经济学等领域。
那么今天我们就来探讨一下数学中的数值计算方法。
一、浮点数在数值计算中，我们有时会遇到浮点数，那么什么是浮点数呢？浮点数是一种用来表示实数的方式。
在计算机中，数据储存必须是有限比特，并且需要将数据转化成二进制来存储，所以将实数转化为二进制时就必须做一些适当的近似处理。
浮点数实际上是可以近似表示实数的一种方式，不是完全准确地表示实数的方式。
二、误差分析虽然计算机能够实现快速计算，但是由于计算时存在浮点误差、舍入误差等问题，导致计算结果会与真实值存在误差。
为了保证计算结果的准确性，在数值计算方法中，我们通常会用误差分析的方法来检验计算结果是否可靠。
误差分析通常分为绝对误差和相对误差，绝对误差是指真实值与计算值之间的差异，而相对误差则是绝对误差与真实值之间的比值。
三、数值计算方法为了更好地实现数值计算，我们需要掌握数值计算方法。
数值计算方法主要分为两类，一类是插值法，另一类是数值积分法。
插值法是一种处理数据不连续的方法，它将一些离散的数据点转化为一条平滑的曲线或曲面。
实际上，插值法的本质是利用数据的稠密程度将一个函数插入到区间内。
常见的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
数值积分法是一种处理函数面积、体积等问题的方法，通过对函数进行积分来求解。
数值积分法常见的有辛普森公式、龙贝格公式等。
四、小结综上所述，数值计算方法是数学的重要分支之一，能够在实际应用中解决很多实际问题，包括航天、地震、化学物理等领域。
了解浮点数、误差分析和数值计算方法可帮助我们更好地理解数学计算基本知识，提高自身数学建模能力，更好地应用数学方法去解决实际问题。
数值计算方法复习要点
数值计算方法复习要点数值计算方法是计算机科学中常用的一类方法，主要用于在计算机上对数值进行精确的计算和近似的计算。
数值计算方法的核心是数值计算技术，它包括离散化方法、插值方法、数值微积分和数值代数等。
本文将复习数值计算方法的要点，总结为以下几个方面。
一、离散化方法离散化是指将连续问题转化为离散问题的方法，在数值计算中广泛应用。
其基本思想是将连续问题的数学模型用离散点来逼近。
常用的离散化方法有有限差分法和有限元法。
1.有限差分法：将微分方程转化为差分方程，通过计算差分方程的数值解来近似原微分方程的解。
-常见的差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。
-一阶导数的差分近似公式有一阶向前差分公式和一阶中心差分公式。
-二阶导数的差分近似公式有二阶中心差分公式。
2.有限元法：将连续问题的域划分为有限个子域，构建一个适当的函数空间，在每个子域上选择一个适当的试函数进行逼近。
-有限元法的基本步骤包括离散化、建立有限元方程、计算有限元解和后处理。
二、插值方法插值方法是一种用已知数据构造出逼近其中一种连续函数的近似函数的方法，它可以用于求解函数值，也可以用于构造近似函数。
1.拉格朗日插值多项式：给定n+1个互不相同的节点，可以构造出一个n次多项式，该多项式在这n+1个节点上取得实际值。
2.牛顿插值多项式：给定n+1个节点和与这些节点对应的函数值，可以通过差商构造一个n次多项式。
3.线性插值：在相邻的两个节点之间，用线性函数来逼近目标函数。
三、数值微积分数值微积分主要包括数值求导和数值积分两个方面。
1.数值求导：通过差分方法，计算函数在其中一点的导数近似值。
-前向差分法和后向差分法是一阶求导的差分方法。
-中心差分法是一阶求导的更精确的方法。
2.数值积分：通过数值方法计算函数的定积分或不定积分的近似值。
-区间分割方法是一种常见的数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则和复化求积公式等。
-变换方法是另一种常见的数值积分方法，如换元积分法和对称性积分法等。
数值计算基础
数值计算基础数值计算是一门涉及利用计算机进行数值模拟、数值逼近、数值优化等数学问题求解的学科。
它在工程、科学和金融等领域具有广泛的应用。
本文将从数值计算的定义、基本方法和应用三个方面，对数值计算进行介绍。
一、数值计算的定义数值计算是一种通过近似方法求解数学问题的技术。
它主要基于数值分析的理论和计算机科学的方法，利用计算机进行数学计算。
数值计算的目的是通过数值近似方法，以高效、准确和可靠的方式求得数学问题的近似解。
二、数值计算的基本方法1. 数值逼近方法数值逼近方法是数值计算的基础。
它通过一系列近似计算来拟合原始问题，并求得近似解。
常见的数值逼近方法包括插值法、拟合法和逼近法等。
2. 数值积分方法数值积分方法用于求解定积分。
它将积分问题转化为数值求和问题，并通过数值逼近来求得近似解。
常见的数值积分方法有梯形公式、辛普森公式和高斯公式等。
3. 数值微分方法数值微分方法用于求解微分方程。
它通过数值逼近方式，将微分方程转化为差分方程，并通过差分方程的迭代求解来得到近似解。
常见的数值微分方法有欧拉法、龙格-库塔法和变步长法等。
4. 数值优化方法数值优化方法用于求解优化问题。
它通过定义优化目标函数和约束条件，并通过迭代计算方法来寻找最优解。
常见的数值优化方法有梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法等。
三、数值计算的应用数值计算在众多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用领域。
1. 工程领域在工程领域，数值计算被广泛应用于结构分析、流体力学、热传导、电磁场模拟等问题的求解。
通过数值计算，工程师们可以快速、准确地预测和优化工程系统的性能。
2. 科学研究数值计算在科学研究中起到了关键的作用。
例如，在物理学、化学学和生物学等科学领域，科学家们可以借助数值计算模拟分子运动、研究物质性质、预测反应动力学等。
3. 金融领域在金融领域，数值计算被广泛应用于金融衍生品定价、投资组合优化、风险评估等问题的求解。
通过数值计算，金融机构可以快速、准确地进行金融风险管理和决策分析。
大学数学数值计算
大学数学数值计算数值计算是应用数学的一种重要分支，旨在通过数学算法和计算机方法解决数学问题。
作为现代科学和工程领域的基础，数值计算在大学数学课程中占据重要位置。
本文将探讨大学数学数值计算的基本原理、方法以及应用。
一、数值计算的基本原理数值计算是一种近似计算的方法，其基本原理是将复杂的数学问题转化为简化的数值计算问题。
数值计算的基本原理包括离散化、近似求解和误差控制。
1. 离散化离散化是指将连续的数学问题转化为适合计算机处理的离散形式。
常用的离散化方法包括网格法、有限差分法和有限元法等。
通过将求解区域划分为离散点或区域，可以减少问题的复杂性，并使其适合进行数值计算。
2. 近似求解近似求解是指通过一系列数学计算方法，得到原问题的近似解。
常用的近似求解方法包括插值法、数值积分和数值微分等。
这些方法利用离散化的结果，通过一系列计算步骤逐步逼近原问题的解。
3. 误差控制在数值计算中，误差是不可避免的。
误差分为舍入误差和截断误差两种类型。
舍入误差由计算机的有限精度引起，而截断误差是由于近似求解过程中的近似方法引起的。
对于数值计算来说，控制误差是非常重要的，可以通过增加计算精度、使用更精确的算法和合理选取计算参数等方法来实现。
二、数值计算的方法数值计算涉及到许多不同的方法，常用的数值计算方法包括插值与逼近、数值微积分、常微分方程的数值解法和线性方程组的数值解法等。
1. 插值与逼近插值与逼近方法旨在通过已知数据点之间的函数近似来求解问题。
其中，插值方法用于构造经过给定数据点的插值函数，而逼近方法则用较简单的函数近似原函数。
2. 数值微积分数值微积分方法用于计算函数的导数和定积分。
常用的数值微积分方法包括数值微分和数值积分。
数值微分通过近似计算函数的导数，而数值积分则通过数值方法求解函数的定积分。
3. 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法用于数值求解一阶和高阶常微分方程。
常用的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法和改进的欧拉法等。
数值计算原理
数值计算原理
数值计算原理是指利用数值方法对数学问题进行计算和求解的过程和原则。
数值计算原理包括离散化原理、近似原理和计算误差分析原理等。
离散化原理是将连续的问题转化为离散的问题进行计算。
在数值计算中，往往需要将连续的变量或函数离散化为有限个离散的数值，从而能够进行计算和求解。
近似原理是指在数值计算中，常常需要用近似的方法来处理问题，即用一些近似公式或近似方法来代替数学问题的精确解。
这是因为很多实际问题的解析解很难或者无法求出，只能通过近似方法来计算。
计算误差分析原理是指在数值计算中，由于计算机的存储和运算精度有限，所以计算结果往往会产生误差。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
截断误差是指将无限的数学问题截断为有限的数值过程所引入的误差，而舍入误差是由于计算机运算过程中所采用的有限位数表示和有限运算精度所引入的误差。
数值计算原理是数值方法的理论基础，它为数值计算提供了一套科学的原则和方法。
在实际应用中，我们需要根据具体的数学问题和计算机环境选择合适的数值计算方法和技巧，以保证计算结果的准确性和可靠性。
数值计算原理在科学计算、工程计算、金融计算等领域都有广泛的应用。
数值计算知识点总结
数值计算知识点总结.txt
数值计算知识点总结
1.精确数值 vs。
近似数值
精确数值是指在计算中保持了数值的准确性，无误差。
近似数值是指在计算中考虑了误差，结果可能略有偏差。
2.计算误差与舍入误差
计算误差是指计算结果与真实结果之间的差距。
舍入误差是指在进行计算时对数字进行舍入所引入的误差。
3.数值稳定性
数值稳定性是指在计算过程中输入数据的微小变化对结果产生的影响程度。
稳定性好的算法能够在输入数据变化较小的情况下产生结果的相对稳定性。
4.数值格式与表示
数值格式是指数值在计算机中的内部表示方式，如整数、浮点数等。
数值表示是指数值在实际应用中的表现形式，如科学计数法、十进制表示法等。
5.数值误差分析与控制
数值误差分析是指对数值计算中产生的各种误差进行分析，找出误差的来源和大小。
数值误差控制是指采取合适的方法和技巧来降低误差的产生和影响。
6.数值计算方法
数值计算方法是指用数值近似的方法来解决实际问题，如迭代法、插值法等。
不同的数值计算方法适用于不同类型的问题，需要根据问题特点选择合适的方法。
7.数值计算软件
数值计算软件是指用于进行数值计算的专门软件，如MATLAB、Python的NumPy库等。
数值计算软件提供了丰富的数值计算工具和算法，使得数值计算更加方便和高效。
8.数值计算的应用领域
数值计算被广泛应用于科学、工程和金融等领域。
通过数值计算，可以模拟和预测实际问题，为决策和优化提供支持。
以上是数值计算的一些重要知识点总结，希望对您有所帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方法三：累加计算用重复命令 TO JS100C MAKE "N 1 MAKE "S 0 REPEAT 100[MAKE "S :S+:N \ MAKE "N :N+1] (PR [S=] :S) END ? JS100C ↙ S = 5050 【指导说明】: ? PR JSD1 69 2415 ? PR JSD1 70 太多的递归过程调用！ 在函数JSD1 状态[OP :N + (JSD1 :N - 1)] ?
十进制数 二进制数 十 进 制 数 十六进制数 十 进 制 数 十六进制数 0 0 0 0 9 9 1 1 2 10 1 1 10 0A 3 11 2 2 11 0B 4 100 5 101 3 3 12 0C 6 110 4 4 13 0D 7 111 5 5 14 0E 8 1000 6 6 15 0F 9 1001 7 7 16 10 10 1011 8 8 26 1A
2、基本函数
命 令 格 式 RANDOM :X INT :X REMAINDER :X :Y SQRT :X 说 明 产生一个从1～:X之间(包括1 和:X)的随机的整数。 取X的整数部分,小数部分截去。 求X除以Y所得的余数。 求X的平方根。
求随机数 取整函数 求余函数 求平方根
3、运算与表达式 由常数、变量、函数进行各种运算的式子称为表达式。 表达式的写法与数学中有些不同，注意：参量符号中不要 忘了冒号（:）,乘号不能省略。下面举例说明： X+Y 应写成 :X+:Y 3a+2b－1 应写成 3*:a+2*:b－1
②、使用TYPE命令
TO JF2 MAKE "X RANDOM 101-1 MAKE "Y RANDOM 101-1 MAKE "Z :X+:Y (TYPE :X [+] :Y [=]) MAKE "C READ IF :C=:Z PR [对了！] STOP (PR [错了!正确的答案是] \ :X[+]:Y[=]:Z) PR [再试做一道!] JF2 END
想一想，做一做：把下列表中的补写完整。
十进制数 二进制数 十六进制数 3A 18 101010 10000001 63 160
2、基本算术运算 ⑴、基本运算符。 加 减 乘 除 + – 数学中的运算符号 × ÷ + – / Logo中的运算符号 ＊ 在Logo语言中无论大括号、中括号、小括号, 一律用圆括号。 ⑵、运算规则。 有括号时则括号优先，无括号时则先乘除，后加减，这与 数学中的运算顺序相同。 想一想，做一做：写出下列算术运算的结果 ①、(2+(3+(7+9/3)/2)/2)*5 ②、1+2-3*4/5 ③、(5/15+(18-12)/12)/(5/(2*3)) ④、(37+8)/9-2)*4 ⑤、((15+5)*3/2-(12*2+3)) -9/3 ⑥、2/2/2/2/(2/2/2) ⑦、(9/3+3*5+(88-33)/11*3)） ⑧、1*2*3/3*2*1
⑸、数制函数 ①、输出数定制函数(BASE)：[十进制数转换为多进制数] 【格式】：MAKE "BASE 数 【功能】：BASE是一个预设的变量，它决定了LOGO输出的数的 进制数。BASE的输入数必须是介于2和16之间的整数。 例题： ？MAKE "BASE 2 ？PRINT 10 1010 ？MAKE "BASE 16 ？PRINT 10 0A
1 1 2 −1 3 7
结果： 353
结果： 1.19
想一想，做一做：使用Logo计算器计算下列算式的结果
(105 + 15) ÷ (20 − 5)
[(75 − 25) × 4 − 30] ÷ 10
4 1 2 1 ÷ ( + 2.4 − 2 ) 7 5 3
1 3 18.125 − (8 − 2 ) 8 7
2、在屏幕上打印显示计算。 ⑴、知识点：
命 令 打印输出 显示输出 显示输入 全 称 简 写 说 明
PRINT 输出项 TYPE 输出项 TURTLETEXT 字 或表 OUTPUT 输入项
PR 输出项
在屏幕上打印显示输出 后面的内容。 印出后不换行, 参数间 无空格。
TT 字或表
打印它的输入在图形区 中当前海龟位置上。 把执行的结果应用到其 它过程或命令中去, 不 直接输出到屏幕上。 把表达式的值赋给变量。
③、使用TT命令
TO JF3 DRAW HT PU SETY 120 PD JF3A END
？JF3 ↙(结果在图形窗口显示) TO JF3A ? 100 ↙ MAKE "A RANDOM 101-1 ? 121 ↙ MAKE "B RANDOM 101-1 MAKE "C :A+:B PU SETXY SE -100 YCOR-20 PD (TT :A[+]:B[=]) MAKE "Q READ PU SETX -40 PD TT :Q IF :Q=:C PU SETXY SE -100 YCOR-20 PD TT [对了!] STOP PU SETXY SE -100 YCOR-20 PD (TT [错了!正确的答案是]:A[+]:B[=]:C[ ][再试做一道!]) JF3A END
说 明
步长型循环
FOR “变量名 初值 终值[命令序列] (FOR “变量名 初值 终值[命令序列]步长)
变量由初值开始，只要不超过终 值就重复执行所规定的命令序列， 每执行一次命令序列，变量增加 一个步长。 当条件为真时，重复执行所规定 的命令序列,直到条件为假结束循 环。
当型循环
WHILE [条件] [命令序列]
3、使用Lo许多趣味数学题目,让计算机进 行复杂的计算，可以用不同的方法或命令进行编程。 例题分析：求前100个自然数的和。
方法一：简便运算法 TO JS100A TYPE [1+2+3+...+100=] TYPE (1+100)*50 PR " END ? JS100A ↙ 1+2+3+...+100=5050 方法二：累加计算用尾部递归 TO JS100B :N MAKE "S 0 MAKE "M 1 E :N END TO E :N IF :M>:N (PR [S=] :S) STOP MAKE "S :S+:M MAKE "M :M+1 E :N END ? JS100B 100↙ S = 5050
–7
⑶、各种进位制数：Logo的数可用多种进位制数表示。 ①、十进制数，如123、－123 ②、二进制数，如（1010）2是表示二进制数1010。 1010的值：1*23+0*22+1*2+0=8+2=10，是十进数的10。 ③、十六进制数，如：（12）16表示十六进制数12。 12的值：1*16+2=18，是十进制数18。 ⑷、十进制数与二进制数、十六进制数换算对照表
方法五：用步长型循环语句 TO JS100E MAKE "S 0 FOR "N 1 100[MAKE "S :S+:N] (PR [S=] :S) END ? JS100E ↙ S = 5050
【指导说明】：
命 令 格 式
方法六：用当型循环语句 TO JS100F MAKE "S 0 MAKE "N 1 WHILE [:N<=100][MAKE "S :S+:N \ MAKE "N :N+1] (PR [S=] :S) END ? JS100F ↙ S = 5050
二、变量、函数及表达式
1、变量 变量即前面程序中用到的形式参数，它可以用在数值和函 数运算中。变量名可以用一个或多个字母和数字符号组成。在 为变量取名时，必须注意Logo语言的命令不能再作变量名。含 有多个字符的变量名中不能夹杂空格或运算符号。 变量名前一定带有冒号，这是Logo变量同其它语言变量最 明显的区别。 例如：⑴、以下的变量名是正确的： :X , :Y , :AM , :A2 , :M123 , :3B ⑵、以下的变量名是错误的： :FD , :CS , :A+B , :M N , :4
图1-连加数的图形
? JGQX 20 ↙
想一想，试一试： 修改上面的过程，设 计出如右图的模式图形。
? LJTX 20 ↙
例题2分析：日本科学家角谷有个猜想：对于任意正整数 N，总可通过若干次以下的变换，使得N变为1。 变换的规则是：如果N为偶数，N变为它的一半；如果N为奇 数，N变为它的3倍加1。 请你编写一个程序，验证角谷猜想，并以每次变换后的N 为长度画出一组线段，相邻两条线之间间隔30，同时在每条 线段下面用TT命令显示出变换过程中N的值。(如图2)
Logo程序设计
(授课讲稿) 吴剑辉
第八讲 数值计算
Logo语言是一种绘画功能很强的程序设计语言。同时， 它的计算功能也毫不逊色。可以说，其他计算机语言提供的 计算能力，Logo语言都能实现。
一、Logo的数和算术运算 二、变量、函数及表达式 三、数值计算程序选编
一、Logo的数和算术运算
1、Logo的数 ⑴、大家熟悉的十进制整数和小数在Logo语言中任意使用。 例如：198913，–60285，4.73，–13.85，18.0。 ⑵、Logo可以小数形式表示在1.00E–6到1.00E+6之间的数。超 过此范围的数，Logo会自动转换为科学记数法。 例如：1000000应写成：1.00E+06，1356×108应写成：1.36E+11， –4.27 ×106应写成： –4.27E+06， 5. 3×10–15 应写成：5.30E–15。 说明：E前面保留两位小数的数，而E后面表示正或负指数。 想一想，做一做： 123×108 0.000012 12344566 – 0.0000034 987654321 –765432111 1000000000 –1.698 ×10