三角形的性质一思维训练题
经典初中数学三角形专题训练及例题解析
经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。
③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。
B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。
9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。
②多边形的外角和等于360°。
三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。
①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。
②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。
初中数学竞赛专项训练之三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖附答案
初中数学竞赛专项训练之三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖一、填空题：1、G 是△A BC 的重心，连结AG 并延长交边BC 于D ，若△ABC 的面积为6cm 2， 则△BGD 的面积为（ ）A. 2cm 2B. 3 cm 2C. 1 cm 2D. 23 cm 22、如图10-1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点，则∠AEB 是（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35°3、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝20°，如图10-2，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转角α到∠A ’C ’B ’的位置，其中A ’、B ’分别是A 、B 的对应点，B 在A ’B ’上，CA ’交AB 于D ，则∠BDC 的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°4、设G 是△ABC 的垂心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则三角形的面积为（ ） A. 58 B. 66 C. 72 D. 845、如图10-3，有一块矩形纸片AB CD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，△CEF 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 86、在△ABC 中，∠A ＝45°，BC ＝a ，高BE 、CF 交于点H ，则AH ＝（ ）A.a 21 B. a 22C. aD. a 2 7、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1、B 1、C 1分别是点I 关于BC 、CA 、AB 的对称点，若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°8、已知AD 、BE 、CF 是锐角△ABC 三条高线，垂心为H ，则其图中直角三角形的个数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12二、填空题1、如图10-4，I 是△ABC 的内心，∠A ＝40°，则∠CIB ＝＿＿2、在凸四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠ABC ＝90°，则∠DAB 的度数是＿＿＿＿＿3、如图10-5，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，将矩形ABCD 沿对角线对折，图10-1B 图10-2 D A EB C AD E B C F图10-3 图10-4A BCD E D ’图10-5然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是＿＿＿＿＿＿＿4、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB 的面积第一次达到最大。
小学数学 三角形 专题训练 完整版例题+课后作业
小学数学三角形专题训练完整版例题+课后作业小学数学三角形专题训练完整版例题+课后作业【前言】三角形是小学数学中的重要内容之一，对于学生的几何思维和逻辑推理能力有很大的培养作用。
为了帮助同学们更好地掌握三角形的相关知识，本文整理了一些完整版例题和课后作业，希望能够对同学们的学习有所帮助。
【例题一】已知△ABC中，∠A=90°，AB=5cm，AC=12cm，求BC的长度。
解析：根据勾股定理可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
代入已知数据，得到BC的平方为：BC² = AC² - AB²= 12² - 5²= 144 - 25= 119因此，BC≈√119≈10.92cm。
【例题二】已知△ABC中，AB=7cm，BC=4cm，∠ABC=30°，求AC的长度。
解析：根据余弦定理可知，三角形中一个边的平方等于另外两边的平方和减去它们的乘积的两倍再乘以这两边之间夹角的余弦。
代入已知数据，得到AC的平方为：AC² = AB² + BC² - 2×AB×BC×cos∠ABC= 7² + 4² - 2×7×4×cos30°= 49 + 16 - 56×0.866≈ 65.4因此，AC≈√65.4≈8.09cm。
【例题三】已知△ABC中，∠A=45°，AB=10cm，AC=8cm，求BC的长度。
解析：此题为45°-45°-90°特殊角三角形。
根据特殊角三角形的性质可知，两直角边的长度相等，和为斜边的根号2倍。
代入已知数据，得到BC=AB=10cm。
【例题四】已知△ABC中，△DEF为等边三角形，AB=DE=5cm，AC=DF=7cm，求BC的长度。
解析：由于△DEF为等边三角形，DE=EF=5cm。
三角形的性质习题(有答案)
三角形的性质习题(有答案)1. 两边之和大于第三边题目：对于三角形ABC，已知AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 11cm，请判断三角形ABC是否成立。
答案：根据三角形的性质，两边之和大于第三边，我们可以计算：AB + AC = 5cm + 11cm = 16cmBC = 8cm由于16cm大于8cm，所以三角形ABC成立。
2. 等腰三角形题目：若三角形ABC中，AB = AC，请判断三角形ABC是什么类型的三角形？答案：根据三角形的性质，若两边相等，则为等腰三角形。
所以三角形ABC为等腰三角形。
3. 直角三角形题目：对于三角形ABC，已知AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，请判断三角形ABC是否为直角三角形。
答案：根据三角形的性质，若两边的平方和等于第三边的平方，则为直角三角形。
我们计算：AB^2 + BC^2 = 6cm^2 + 8cm^2 = 36cm^2 + 64cm^2 = 100cm^2 AC^2 = 10cm^2由于AB^2 + BC^2等于AC^2，所以三角形ABC为直角三角形。
4. 等边三角形题目：若三角形ABC的三边长度都相等，请判断三角形ABC是什么类型的三角形？答案：根据三角形的性质，若三边长度都相等，则为等边三角形。
所以三角形ABC为等边三角形。
5. 锐角三角形题目：对于三角形ABC，已知角A = 40°，角B = 60°，角C = 80°，请判断三角形ABC是什么类型的三角形？答案：根据三角形的性质，若三个角度都小于90°，则为锐角三角形。
由题可知，三个角度A、B、C都小于90°，所以三角形ABC 为锐角三角形。
6. 拉普拉斯定理题目：对于任何三角形ABC，已知L是三角形ABC内部一点到三个顶点A、B、C的距离之和，请判断以下等式是否成立：AL + BL + CL = 2L答案：根据拉普拉斯定理，对于三角形ABC，上述等式成立。
三角形基础知识及习题
三角形基础知识及习题三角形是几何学中最基本的图形之一，其基础知识对于学习几何学和解决几何问题至关重要。
本文将介绍三角形的基本定义、分类和性质，并提供一些习题供读者练习。
一、三角形的定义和分类1. 定义：三角形是由三条线段（边）所围成的图形。
三角形的三个顶点（角）和三个边缘（边）都相互连接。
2. 分类：根据三个角的大小，三角形可以分为三种类型：a. 锐角三角形：三个角都小于90度。
b. 直角三角形：其中一个角为90度。
c. 钝角三角形：其中一个角大于90度。
二、三角形的性质1. 角度和：三角形的三个角的角度和总是等于180度。
无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，其内角之和都是180度。
2. 边长关系：a. 等边三角形：三个边的长度都相等。
b. 等腰三角形：两个边的长度相等。
c. 直角三角形：满足毕达哥拉斯定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 角度关系：a. 锐角三角形：三个角都是锐角。
b. 直角三角形：其中一个角是直角。
c. 钝角三角形：其中一个角是钝角。
三、三角形的习题下面是几个关于三角形的习题，供读者练习运用三角形的基础知识与技巧。
1. 题目：已知三角形的两边长分别为5厘米和8厘米，夹角为60度，求第三条边的长度。
解法：利用余弦定理，可以得到第三条边的长度：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
带入数值计算得到c≈7.53厘米。
2. 题目：在直角三角形ABC中，AB = 3厘米，BC = 4厘米，求AC的长度。
解法：根据毕达哥拉斯定理，可以得到AC的长度：AC^2 =AB^2 + BC^2。
带入数值计算得到AC = 5厘米。
3. 题目：已知三角形的两边长分别为6厘米和8厘米，以及夹角为30度，求第三条边的长度。
解法：利用正弦定理，可以得到第三条边的长度：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
带入数值计算得到第三条边的长度约为7.61厘米。
4. 题目：在锐角三角形ABC中，AB = 7厘米，BC = 9厘米，夹角为45度，求角度C的大小。
小升初数学思维拓展几何图形专项训练专题6-相似三角形的性质(份数、比例)
专题6-相似三角形的性质（份数、比例）小升初数学思维拓展几何图形专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）相似三角形性质定理：1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
6、若c b b =a ，即b 2=ac，b 叫做a，c 的比例中项。
7.b ad =c 等同于ad=bc。
8．不必是在同一平面内的三角形里。
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
【典例一】如图所示，ABCD 是边长为8厘米的正方形，E 、F 分别是两条边上的中点．阴影部分的面积是平方厘米．【分析】连接CG ，根据同底等高的三角形面积相等，得出四个三角形：BEG ∆、EGC ∆、GCF ∆、GFD ∆的面积相等，再求出BFC ∆的面积，即可求出一个三角形的面积，进而求出空白部分的面积，再利用正方形的面积减去空白部分的面积即可．【解答】解：如图，连接CG ．因为，正方形ABCD 的边长为8cm ，面积是8864⨯=（平方厘米）E 、F 分别是BC 、CD 的中点，所以，CDE CBF ∆≅∆，易得，BGE DGF ∆≅∆，所以BGE EGC S S ∆∆=，DGF CGF S S ∆∆=，于是BGE EGC DGF CGF S S S S ∆∆∆∆===，又因为11641622BFC S ∆=⨯⨯=（平方厘米），所以1161633BGE S ∆=⨯=（平方厘米）则空白部分的面积为：1664433⨯=（平方厘米），于是阴影部分的面积为：641286433-=（平方厘米），答：阴影部分的面积是1283平方厘米．故答案为：1283．【点评】此题将阴影部分的面积和正方形的性质相结合，有一定的难度．解题的关键是利用同底等高的三角形的面积相等．【典例二】用一张斜边30厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为50厘米的蓝色直角三角形，和一张黄色的正方形纸片拼成，如图的一个直角三角形．红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少平方厘米？【分析】根据题干分析可得，红色直角三角形和蓝色直角三角形是相似三角形（三个角分别相等的三角形是相似三角形），将红三角形绕点A 旋转90︒，一直角边与蓝三角形直角边重合，就组成了一个新直角三角形，如图所示：红蓝三角形的面积之和就是一个大三角形的面积了．【解答】解：根据题干分析可得：⨯÷，50302=÷，15002=（平方厘米）．750答：红、蓝两张三角形纸片面积之和是750平方厘米．【点评】此题关键是将红色三角形旋转90︒与蓝色三角形组成一个新直角三角形，从而利用三角形面积公式进行计算．【典例三】如图：我国《九章算术》中三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”，著名数学家刘徽注释时用“以盈补虚”的方法，配图加以说明．请你将图形补充完整．如果DE长20厘米，(D、E分别是两边的中点），高是15厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？【分析】“半广以乘正从”．“广”是指三角形的底边，“正从”是指底边上的高．整句话的意思是：三角形的面积等于高与底边边长乘积的一半；用“以盈补虚”的方法，将右下角的三角形，翻转补到右上方，得到了一个平行四边形，平行四边形的底是20厘米，又由于D、E分别是两边的中点，高为15230⨯=厘米，然后根据平行四边形的面积公式解答即可．【解答】解：⨯=（厘米）15230⨯=（平方厘米）2030600答：三角形ABC的面积是600平方厘米．【点评】本题还可以这样解答：三角形ADE的面积是：20152150⨯÷=（平方厘米），由于三角形ADE和三角形ABC是相似三角形，所以面积比等于对应边的平方比，又由于D、E分别是两边的中点，所以三角形ADE的面积：三角形ABC 的面积221:21:4==，所以11506004÷=（平方厘米）．一．选择题（共3小题）1．如果在ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::BC AC AB 等于()A．1:2:3B．1:2:3C．1:3:2D．3:1:22．如图，90ABC CDB ∠=∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =，当ABC ∆与CDB ∆相似时，BD 是()A．2a cB．2b ac C．ab c D．以上答案都不对3．如图，将ABC ∆的各边长都延长一倍至A B C '''这些点，得到一个新的△A B C '''，若ABC ∆的面积为2，则△A B C '''的面积为()A．14B．12C．11D．不确定二．填空题（共8小题）4．如图，ABC ∆中，1AB AC ==，45BAC ∠=︒，AEF ∆是由ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE 、CF 相交于点D ，当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．5．如图中，图形B 按:的比例放大后可以得到图形A ；图形A 与图形B 的面积比是:。
(完整版)三角形的性质和判定练习题
(完整版)三角形的性质和判定练习题一、三角形的性质1. 三条边的关系- 三角形的任意两条边之和必须大于第三条边。
2. 三个角的关系- 三个角的和等于180度。
3. 顶角和底角的关系- 顶角和底角互补，其和等于180度。
4. 等腰三角形- 两边相等的三角形称为等腰三角形。
- 等腰三角形的顶角相等，底角相等。
5. 直角三角形- 有一个角等于90度的三角形称为直角三角形。
- 直角三角形的两条边相互垂直。
二、三角形的判定练题1. 判断下列三组边是否能构成三角形：- a) 3cm, 4cm, 9cm- b) 5cm, 7cm, 10cm- c) 6cm, 6cm, 10cm2. 判断下列三角形是何种三角形，并给出理由：- a) 6cm, 8cm, 10cm- b) 4cm, 4cm, 4cm- c) 5cm, 12cm, 13cm3. 判断下列三角形是否为直角三角形，并给出理由：- a) 3cm, 4cm, 5cm- b) 6cm, 8cm, 10cm- c) 7cm, 24cm, 25cm4. 如果一个三角形的两边长分别为7cm和10cm，那么第三边的可能长度有哪些？5. 如果一个三角形的三个角分别为30度、60度和90度，那么它的形状是什么？三、答案与解析1. 判断下列三组边是否能构成三角形：- a) 3cm, 4cm, 9cm* 不能构成三角形，因为任意两边之和小于第三边。
- b) 5cm, 7cm, 10cm* 可以构成三角形，因为任意两边之和大于第三边。
- c) 6cm, 6cm, 10cm* 可以构成三角形，因为任意两边之和大于第三边。
2. 判断下列三角形是何种三角形，并给出理由：- a) 6cm, 8cm, 10cm* 这是一个直角三角形，因为边长符合勾股定理的条件（8^2 + 6^2 = 10^2）。
- b) 4cm, 4cm, 4cm* 这是一个等边三角形，因为三条边都相等。
- c) 5cm, 12cm, 13cm* 这是一个直角三角形，因为边长符合勾股定理的条件（5^2 + 12^2 = 13^2）。
三角形的性质习题
三角形的性质一、选择题1．一个三角形的三个内角中（）A 、至少有一个钝角B 、至少有一个直角C 、至多有一个锐角 D、至少有两个锐角2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A、 3，4，8B、 5，6，11C、 1，2，3D、 5，6，103．关于三角形的边的叙述正确的是（）A、三边互不相等B、至少有两边相等C、任意两边之和一定大于第三边D、最多有两边相等4．图中有三角形的个数为（）A、 4个B、 6个C、 8个D、 10个5. 如图在△ABC中，∠ACB=900，CD是边AB上的高。
那么图中与∠A相等的角是（）A、∠BB、∠ACDC、∠BCDD、∠BDC6．下列图形中具有稳定性有（）A、 2个B、 3个C、 4个D、 5个7．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（）A 、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形8．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（）A、 6B、 7C、 8D、 9二、填空题9．一个三角形有条边，个内角，个顶点，个外角10．如图，图中有个三角形，把它们用符号分别表示为 _11．长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是12．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则根据图形填空：⑴BE= =；⑵∠BAD= =⑶∠AFB= =900；13．在△ABC中，若∠A=800，∠C=200，则∠B=0，若∠A=800，∠B=∠C，则∠C=0 14．已知△ABC的三个内角的度数之比∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠B=0，∠C=015．如图，在△ABC中，∠BAC=600，∠B=450，AD是△ABC的一条角平分线，则∠DAC=0，∠ADB=016．十边形的外角和是0；如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是017．如图，∠1=∠2=300，∠3=∠4，∠A=800，则，三、解下列各题18．求出下列图中的值：19．一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数20．在△ABC中，∠A=∠C=∠ABC， BD是角平分线，求∠A及∠BDC的度数21.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=1000，求的值。
三角形性质习题(已整理)
三角形性质习题(已整理)三角形性质题（已整理）题目一已知三角形ABC，点D是边BC的中点，点E是边AC的中点。
连接AD和BE，交于点F。
证明：AF=BF=CF。
解答一首先，根据线段的中点定理，我们可以得出AD=DC和BE=EC。
由于AF是由线段AD和BE所构成的，根据向量相等的性质，我们可以得出AF=AD+DF和BF=BE+EF。
将已知信息代入，我们可以得到AF=(AD+DC)+DF和BF=(BE+EC)+EF。
再结合AD=DC和BE=EC，我们可以简化得到AF=BC+DF和BF=AC+EF。
我们知道，三角形ABC中，边BC和边AC的长度是固定的。
所以，AF和BF的长度只与DF和EF有关。
根据三角形ABC的构造，我们可以得出DF=EF。
因此，AF=BF，在三角形ABC中，AF和BF的长度相等。
同时，根据向量相加的性质，我们可以得出CF=AF+BF。
因此，在三角形ABC中，AF=BF=CF。
题目二已知三角形ABC，通过顶点A作BC的垂线，交于点D。
证明：∠BAC=90°。
解答二根据垂线的性质，若点D是BC的垂足，那么∠BAC与∠DAC呈垂直关系。
考虑三角形DAC，我们知道∠DAC=90°。
由于直角是等于90°的，所以∠DAC=90°可以表示成∠DAC≡90°。
同理，若∠BAC=90°，那么∠DAC≡90°。
因此，在三角形ABC中，若通过顶点A作BC的垂线，交于点D，那么∠BAC=90°。
小学生数学思维拓展数学证明练习题
小学生数学思维拓展数学证明练习题在小学数学教学中，除了正常的计算和应用题外，为了拓展学生的数学思维能力，培养他们的逻辑推理与证明能力，数学证明题是一种常见的训练方式。
本文将介绍几个适合小学生的数学证明练习题，旨在帮助他们拓展数学思维。
题目一：等边三角形的性质证明证明等边三角形的三条边相等。
思路：1. 假设△ABC是一个等边三角形，需要证明AB=BC=AC。
2. 利用等边三角形的定义，说明三条边相等。
3. 通过直角三角形的性质，说明角度ABC和角度ACB都为60度。
4. 利用三角形内角和为180度的性质，说明角度BAC也为60度。
5. 由于△ABC的所有内角均为60度，所以它是等边三角形。
题目二：平行四边形的性质证明证明平行四边形的对边相等且对角线互相平分。
思路：1. 假设ABCD是一个平行四边形，需要证明AB=CD，BC=AD，并且对角线AC和BD互相平分。
2. 利用平行四边形的定义，说明四条边都平行。
3. 利用平行线的性质，说明∠BAD和∠ADC相等，∠ABC和∠BCD相等。
4. 利用同一边上的等角，说明∠BAD和∠BCD的对边AD、BC相等，∠ABC和∠ADC的对边AB、CD相等。
5. 综合前面的结果，得出AB=CD，BC=AD，并且AC和BD互相平分。
题目三：直角三角形勾股定理证明证明直角三角形勾股定理成立，即∠C为直角的三角形ABC中，满足AB²+BC²=AC²。
思路：1. 假设△ABC是一个直角三角形，其中∠C为直角，需要证明AB²+BC²=AC²。
2. 利用直角三角形的定义，说明∠C为直角，即AB和BC垂直。
3. 将△ABC按照直角的位置分成两个矩形，然后分别计算这两个矩形的面积。
4. 利用矩形的面积公式，将矩形的面积表示为边长的平方。
5. 将两个矩形的面积相加，并且将它们等于△ABC的面积，得到AB²+BC²=AC²。
等边三角形的性质及推论专项练习
等边三角形的性质及推论专项练习等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在几何学中，等边三角形有许多重要的性质和推论。
在本篇文章中，我们将探讨等边三角形的性质和推论，并进行一些专项练习。
一、等边三角形的性质：1. 三边相等：等边三角形的三条边长相等，即a = b = c。
2. 三个内角相等：等边三角形的三个内角均为60度，即∠A = ∠B = ∠C = 60°。
3. 具有对称性：等边三角形具有三个对称轴，分别是三条边的中垂线、三条边的角平分线以及连接顶点和中点的线段。
二、等边三角形的推论：1. 等边三角形的角平分线和边的垂直平分线重合。
证明：设在等边三角形ABC中，D和E分别是AB、AC的垂直平分线交BC的点。
由对称性可知，AD和AE也是AB和AC的垂直平分线。
由于AD和AE相交于A点，所以A点是BC的垂直平分线，即AD = AE。
又由于∠DAB = ∠EAC = 90°，所以AD与AE重合，即AD = AE = BC的垂直平分线。
2. 等边三角形的高线、中线和角平分线重合。
证明：设在等边三角形ABC中，D和E分别是BC和AC的中点。
连接DE，由于BC = AC，所以BD = CE，且∠BDC = ∠CEA。
又因为∠DBC = ∠ECA = 90°，所以△BDC与△CEA全等。
由于BD = EC，所以DC = EA，即DC与EA重合，即DC = EA。
又由DE是BC和AC的中垂线，所以DE为高线。
因此，高线DE重合于中线CD和AE，且角平分线重合于高线DE。
3. 等边三角形的外接圆的半径等于边长的一半。
证明：设等边三角形ABC的边长为a，外接圆的半径为R。
连接AB、BC、CA分别与外接圆的切点为D、E、F。
由于等边三角形的三个角均为60°，所以△ABC为等边三角形。
由于AD是正弦定理中的角的对边，所以AD = a/√3。
由于BE是正弦定理中的角的对边，所以BE = a/√3。
五年级上册数学思维训练题2套 家长收藏
五年级上册数学思维训练题2套家长收藏正文：一、引言在学习数学的过程中，数学思维是一个非常重要的能力。
数学思维训练可以帮助学生提高解决问题的能力，激发他们对数学的兴趣，培养逻辑思维和分析问题的能力。
二、数学思维训练题简介数学思维训练题是指那些注重启发学生思维，培养学生解决问题能力的题目。
这些题目通常具有一定的难度，需要学生进行一定的思考和推理。
通过解答这些题目，学生可以不断锻炼自己的逻辑思维能力，培养解决问题的技巧和方法。
为了帮助五年级学生更好地进行数学思维训练，我们精心整理了五年级上册的数学思维训练题，共计2套。
这些题目涵盖了五年级上册的各个知识点，题型多样，涉及面广，适合用于课堂练习、家庭作业或者小测验。
以下将依次介绍这两套数学思维训练题的内容。
三、第一套数学思维训练题1. 整数的加减法2. 分数的运算3. 质数与合数4. 三角形的性质5. 长方体和正方体的计算6. 图形的轴对称和中心对称7. 数据的收集和整理这套数学思维训练题分为七个大的知识点，每个知识点下设立了多个具体题目，涵盖了五年级数学课程的各个方面，能够帮助学生加深对知识点的理解，并培养他们的解决问题的能力。
四、第二套数学思维训练题1. 分数的乘除法2. 平行线和垂直线的性质3. 小数的运算4. 阶梯形和梯形的计算5. 折线图和柱状图的绘制与分析6. 二维图形的周长和面积7. 等式的变形与推理这套数学思维训练题同样包含七个大的知识点，涉及的题目也涵盖了五年级数学课程的各个方面。
通过这些题目的训练，学生可以更好地掌握所学知识，培养解决问题的方法和技巧。
五、数学思维训练题的重要性数学思维训练题对学生的成长和发展起着重要的作用。
这些题目能够激发学生的学习兴趣，提升他们学习数学的积极性。
通过解答这些题目，学生可以不断地锻炼自己的逻辑思维和分析问题的能力，提高解决问题的能力。
数学思维训练题还可以帮助学生深化对所学知识的理解，加深对数学的兴趣。
三角形的性质练习题
三角形的性质练习题三角形的性质练习题在数学中，三角形是一个基础的几何形状，具有许多有趣的性质和特点。
通过练习题的方式，我们可以更好地理解和应用这些性质。
本文将为您提供一些有趣的三角形性质练习题，帮助您巩固对三角形的理解。
1. 平面上的三角形有多少个顶点？答案：三角形有三个顶点。
2. 三角形的内角和是多少？答案：三角形的内角和是180度。
3. 如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是什么类型的？答案：这个三角形是等腰三角形。
4. 如果一个三角形的三个角都小于90度，那么这个三角形是什么类型的？答案：这个三角形是锐角三角形。
5. 如果一个三角形的一个角大于90度，那么这个三角形是什么类型的？答案：这个三角形是钝角三角形。
6. 如果一个三角形的三个边长相等，那么这个三角形是什么类型的？答案：这个三角形是等边三角形。
7. 如果一个三角形的两个边长相等，那么这个三角形是什么类型的？答案：这个三角形是等腰三角形。
8. 如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形的两边也相等吗？答案：不一定。
两个角相等只能保证这个三角形是等腰三角形，但不能保证两边相等。
9. 如果一个三角形的两边相等，那么这个三角形的两个角也相等吗？答案：不一定。
两边相等只能保证这个三角形是等腰三角形，但不能保证两个角相等。
10. 如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形的第三个角是多少度？答案：这个三角形的第三个角也是相等的，所以是60度。
通过以上练习题，我们可以更深入地理解三角形的性质和特点。
三角形作为几何学中的基础形状，它的性质和特点对于解决各种几何问题都有着重要的作用。
希望这些练习题能够帮助您巩固对三角形的理解，并在解决实际问题时能够灵活运用。
直角三角形性质与判定练习题
C'B CADE E N M DCBA 1.1直角三角形性质和判定练习题直角三角形性质：1、直角三角形两锐角互余。
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30度。
直角三角形的判定：5、两角互余的三角形是直角三角形。
一、选择题1、下列定理中，没有逆定理的是 （ ） A 、两直线平行，同旁内角互补。
B 、等边对等角。
C 、全等三角形对应角相等。
D 、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
2、如图，∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有 （ ） A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个第2题 第3题 第4题 第5题3、在直角三角形ABC 中，若∠C=90°，D 是BC 边上的一点，且AD=2CD ，则∠ADB 的度数是 （ ） A ．100° B ．110° C ．120° D ．150°4、三角形ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线MN 交AB ，AC 于D,E ，若∠A=400，则∠EBC=（ （ ）。
A.15°B.20°C.30°D.无法判断。
5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE ，分别是斜边AB 上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线。
则∠1与∠2的关系是 （ ）A ．∠1<∠2B ．∠1=∠2;C ．∠1>∠2D ．不能确定6、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于 ( ) A.2aB.3a C.4a D.以上结果都不对7、下列命题错误的是 （ ） A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形；B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30°C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。
初二三角形性质及判定练习题
初二三角形性质及判定练习题三角形是初中数学中的重要概念之一，了解三角形的性质以及如何判定不同类型的三角形是研究几何的基础。
本文档将介绍初二三角形的基本性质，并提供一些练题供同学们巩固所学知识。
三角形的基本性质直角三角形性质1：直角三角形的两条腿边长平方和等于斜边边长平方。
直角三角形的两条腿边长平方和等于斜边边长平方。
性质2：直角三角形的两个锐角之和等于90度。
直角三角形的两个锐角之和等于90度。
等腰三角形性质3：等腰三角形的两边相等。
等腰三角形的两边相等。
性质4：等腰三角形的两底角（底边所对的角）相等。
等腰三角形的两底角（底边所对的角）相等。
等边三角形性质5：等边三角形的三条边都相等。
等边三角形的三条边都相等。
性质6：等边三角形的三个角都是60度。
等边三角形的三个角都是60度。
锐角三角形性质7：锐角三角形的三个角都是锐角。
锐角三角形的三个角都是锐角。
性质8：锐角三角形的任意两边之和大于第三边。
锐角三角形的任意两边之和大于第三边。
判定练题1. 有一个三角形，其中两条边的长度分别为5cm和5cm，可以确定这个三角形是什么类型的三角形吗？为什么？2. 如果一个三角形的三条边都相等，你能判断出它的角度是多少吗？为什么？3. 一个三角形的两个角都是45度，这个三角形是直角三角形吗？为什么？4. 判断下列三角形是否是等腰三角形：- 两边分别为3cm和4cm，底边为5cm的三角形- 两边分别为5cm和5cm，底边为6cm的三角形答案和解析1. 这个三角形是等腰三角形。
因为两条边的长度相等。
2. 这个三角形的角度是60度。
因为三条边都相等的三角形是等边三角形，而等边三角形的三个角都是60度。
3. 这个三角形不是直角三角形。
直角三角形的一个角是90度，但这里给出的两个角都是45度。
4. 可以判断第一个三角形是等腰三角形，因为两边的长度相等。
第二个三角形不是等腰三角形，因为底边的长度与两边的长度不同。
三角形的概念及性质单元训练题
三角形的概念及性质单元训练题一、选择题1．三角形是指（）A．由三条线段所组成的封闭图形B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形2．下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则△ABC是锐角三角形C．若AB＝AC，∠B＝40°，则△ABC是钝角三角形D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则△ABC是等腰直角三角形3．观察下列图形，其中是三角形的是（）A．B．C．D．4．（2022春•西安期末）根据下列条件，能作出唯一三角形的是（）A．AB＝3，∠C＝50°B．AB＝4，BC＝4，AC＝8C．∠A＝50°，∠B＝60°，AC＝4D．∠C＝90°，AB＝65．（2022秋•蒙阴县校级月考）在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝6cm，AC＝3cm，则△ABD的周长比△ACD的周长多（）A．5 cm B．3 cm C．8 cm D．2 cm 6．（2022秋•宁陕县校级期中）如图，在△ABC中，CD为边AB的中线，若AB＝12，则AD＝（）A．2B．3C．4D．67．（2022秋•横县期中）不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的高B．三角形的中线C．三角形的角平分线D．以上答案均不正确8．（2022秋•拱墅区月考）三角形三条中线（）A．交点在三角形外B．交点在三角形内C．交点在三角形顶点D．交点在三角形边上9．（2022秋•鄞州区期中）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影等于（）cm2．A．2B．3C．4D．5 10．（2022•南京模拟）如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（）A．9B．12C．18D．2011．（2022春•长春期末）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（）A．B．C．D．12．（2022秋•云阳县校级月考）下列实际情景运用了三角形稳定性的是（）A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．活动挂架13．（2022秋•琼中县校级月考）下列图形中，不具有稳定性的是（）A．B．C．D．14．（2022•碑林区校级三模）如图，△ABC的中线AE、BF交于点O，且AE⊥BF，点D是OB的中点．若OE＝3，OF＝4．则AD的长为（）A．2√7B．4√2C．2√13D．515．（2022春•左权县期中）2022年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地”，实现“山水﹣写生﹣消费﹣产业“的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通信公司已经资助建设5G直播仓．目前，政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库P到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（）A．△ABC三条角平分线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条中线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点16．（2022春•仪征市期末）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3B．1，1，2C．2，2，3D．1，3，7 17．（2022春•珠晖区校级期末）a，b，c是三角形的三边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c+a|+|c﹣a ﹣b|后等于（）A．b+a﹣3c B．b+c﹣a C．3a+3b+3c D．a+b﹣c 18．（2022春•邓州市期末）已知一个三角形的两边长分别为2cm、6cm，则此三角形第三边的长可以是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 19．（2021秋•南宁期末）下列长度的线段中，能组成三角形的是（）A．4，6，8B．1，2，4C．5，6，12D．2，3，5 20．（2022春•平南县期末）三角形是一种常见且神奇的图形，我们小学阶段就知道，三角形的内角和等于180°．如图，ABC的角平分线BE、CD相交于点F，∠A＝90°，GD ∥BC，BG⊥GD于点G，下列结论：①∠CBG＝90°；②∠BDG＝2∠ABE；③∠BFD＝∠FBC+∠FCB；④∠AEB＝∠EBG；⑤∠CFE＝45°，其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个21．（2022春•沂源县期中）如图，在△ABC中，将CA沿DE翻折，点A落在A'处，∠CEA'、∠BDA'、∠A三者之间的关系是（）A．∠CEA'＝∠BDA'+∠A B．∠CEA'﹣3∠A＝∠BDA'C．∠CEA'＝2（∠BDA'+∠A）D．∠CEA'﹣∠BDA'＝2∠A22．（2022秋•贵港期中）在△ABC中，如果∠A=12∠B=13∠C，那么△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形23．（2022春•海安市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E、F分别在边BC、AC 上，∠FEC＝28°，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，则∠P的度数为（）A．62°B．56°C．76°D．58°24．（2022春•朝阳区期末）如图，∠CBD是△ABC的一个外角，若∠A＝44°，∠CBD＝80°，则∠C的度数是（）A．46°B．44°C．36°D．26°25．（2022春•光明区期末）某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°二、填空题26．（2022春•绥棱县期末）三角形按照角可以分成锐角三角形，钝角三角形，．27．（2022春•金凤区校级期中）已知一个三角形的周长为15厘米，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为．28．（2022秋•通山县期中）如图，BD是△ABC的中线，AB＝7cm，BC＝4cm，那么△ABD 的周长比△BCD的周长多cm．29．（2022秋•安陆市期中）画三角形的角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是．30．（2022•苏州模拟）如图，点D是△ABC中AB边上的中点，连接CD，若△ABC的面积为8，则阴影部分的面积为．31．（2022秋•浠水县期中）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，那么点C到AB的距离是．32．（2022春•仓山区校级期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，∠AEC＝40°，在直线CD上方有一点F，连接CF，AF，EF，若EF平分∠CED，∠DCF＝∠BAE．则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）①AD∥CF；②∠AFE＝∠DCE；③∠BAF+∠AFE﹣∠ADC＝70；④三角形AEF的面积等于三角形BDE的面积．33．（2022秋•吉林月考）如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有性．34．（2022秋•北京期中）如图是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利用三角形的．35．（2022秋•市南区期中）如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DEBC =12；②S△DOES△COB=12；③ADAB=OEOB；④S△DOES△ADC=16；其中正确的个数有（写序号）．36．（2022秋•安溪县期中）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，G为△ABC的重心，若△ABC的面积为6，则△BDG的面积为．37．（2022•临海市一模）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE 相交于点F．若BF＝6，则EF的长是．38．（2022秋•安定区期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c为奇数，则c＝．39．（2022春•南京期末）若三角形两边的长分别为2和7，且第三边的长为奇数，则第三边的长为．40．（2022秋•瑶海区期中）有4条线段的长度分别是4cm，7cm，8cm和11cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作个不同的三角形．41．（2022秋•长兴县月考）如图，在△ABC中，∠A＝64°，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC＝°．42．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是，∠BOA的度数是．三、解答题43．如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC 的边AC的长（AC＜AB）．44．已知：△ABC中，AB＝5，BC＝2a+1，AC＝12，求a的范围．。
全等三角形思维训练
思维训练题----全等三角形（基础题部分一）姓名____________ 一、角平分线：性质定理：角平分线上的点到这个角的相等。
逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的上。
1.OC是∠BOA的平分线，PE⊥OB，PD⊥OA，若PE=5cm，则PD= .2.如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，且∠A=40º，则∠BOC=_________3.如图，△AB E≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）。
A.120°B.70°C.60°D.50°4.如图，在△AB C中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为___________。
5.如图，已知AB=AD，要使△ABC≌△ADC，可增加条件__________，理由是_______________定理。
6.下列说法中正确的是（）A、两个直角三角形全等B、两个等腰三角形全等C、两个等边三角形全等D、两条直角边对应相等的直角三角形全等7.如图，△ABC中，∠C=90º，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且CD=6cm，则DE的长为（）A、4cmB、6cmC、8cmD、10cm8.三角形内到三条边的距离相等的点是（）A、三角形的三条角平分线的交点B、三角形的三条高的交点C、三角形的三条中线的交点D、三角形的三边的垂直平分线的交点9.三角形内到三个顶点的距离相等的点是（）A、三角形的三条角平分线的交点B、三角形的三条高的交点C、三角形的三条中线的交点D、三角形的三边的垂直平分线的交点10.在△ABC中，∠A=70º，∠B=40º，则△ABC是（）A、钝角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形11.如图，AC=DF，AC//DF，AE=DB，求证：①△ABC≌△DEF。
三角形基本性质习题
三角形基本性质一、选择1、 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 和∠1+∠2之间的关系是（ ）A ∠A=∠1+∠2B 2∠A=∠1+∠2C 3∠A=∠1+∠2D 3∠A=2（∠1+∠2）2、 至少有两条高在三角形内部的是（ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 无法确定3、 以长为14、11、6、8的四条线段中的三条为边，可组成三角形的个数是（ ）A 4B 3C 2D 14、 一个凸多边形的每一个内角都等于140，那从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A 9B 8C 7D 66、一个正多边形，它的一个外角等于它相邻的内角的41，则这个多边形是（ ） A 正十二边形 B 正十边形 C 正八边形 D 正六边形7、若等腰三角形的两条边长分别为5和10，则它的周长是（ ）A 20 B25或20 C 25 D 以上都不对8、有下列形状的地砖：正方形、长方形，三角形、正五边形、正六边形，只选购其中一种镶嵌，则可供选用的地砖共有（ ）A 3种B 4种 C1种 D2种二、填空题：1. 已知△ABC 中，则∠A + ∠B + ∠C = （度）2. 。
若AD 是△ABC 的高，则∠ADB = （度）。
3. 若AE 是△ABC 的中线，BC = 4，则BE = =4. 若AF 是△ABC 中∠A 的平分线，∠A = 70°，则∠CAF = ∠ = (度)。
5. △ABC 中，BC = 12cm ，BC 边上的高AD = 6cm ，则△ABC 的面积为 。
6. 直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为 。
7. 等腰三角形的一个角为45°，则顶角为 。
8. 在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C = 1:2:3，∠C = 。
9. 如图，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，则图中共有 个直角三角形；AB CDA B C DE10. △ABC 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB 若∠A=70°，则∠BOC= ；若∠BOC=120°，∠A= 。
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三角形的性质一思维训练题（2015、8、26）
1．△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________． 2．如图1，∠1+∠2+∠3+∠4=______度．
3.在△ABC 中，已知∠A=
13∠B=1
5
∠C ，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．
4.在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求各个内角的度数。
5.在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20度，求各个内角的度数。
14．（探究题）（1）如图，在△ABC 中，∠A=42°，∠ABC 和∠ACB•的平分线相交于点D ，求∠BDC 的度数．
（2）在（1）中去掉∠A=42°这个条件，请探究∠BDC 和∠A 之间的数量关系．
如图所示，l 1∥l 2，则下列式子中值为180°的是（ ）
如图所示，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C ，求∠BDC 的度数。
如图，是一个六角星，其中∠AOE=60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= _________ ．
27．如图
（1）如图（1），∠ADC=100°，试求∠A+∠B+∠C 的度数；
（2）如图（2）所示，DO 平分∠CDA ，BO 平分∠CBA ，∠A=20°，∠C=30°，试求∠O 的度数．
28．如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= _________ ．
29．如图，已知AB∥CD，∠1=∠F，∠2=∠E，试猜想AF与DE的位置关系，并证明你的结论．。