大学物理课件16

Jx J y
例：对质量均匀的薄圆板
Jz
1 m R2 2
1 1 J x J y J Z mR 2 2 4
4m
2
m
l l
2m
3m
( 4m 5m )( 2l )2
32ml
2
A l
l
5m
质元的选取
dm dl
线密度 ： , 线元 ：dl
线分布
dm dS
面密度 ： , 面元 ：dS
面分布
dm dV
体密度 : , 体积元 : dV
体分布
例 如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量。 1）转轴过棒的中心并与棒垂直； A dm O C dx x C dm B x
O d
dx
几种均匀刚体的转动惯量
决定刚体转动惯量的三个因素 刚体的质量 刚体的转轴位置 刚体的质量相对转轴的分布
ห้องสมุดไป่ตู้
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
例2 如图所示，一轻质细杆长为l，有质量为m的两质点分别固定 于杆的中心和一端 。1）求此系统绕杆另一端点及绕杆中心转动的 J；2）若两质点皆固定于杆的一端，求绕杆另一端点及绕杆中心转 动的J；3）若杆质量亦为m，求上述两种情况下系统的J。 解: 1） J m( 1 l ) 2 ml 2 5 ml 2 1
验证：
转轴过棒的一端并与棒垂直
2
A
d
C
转轴过棒上离中心距离为d的一点并与棒垂直
O l/2
x
O d
x
1 1 2 1 2 2 J ml m( l ) ml 12 2 3
1 J ml 2 md 2 12
例:一长为l，质量为m的细杆，绕过其一端且与之垂直的转轴 转动，其J1=___________；若其另一端上固定一质量为m的质 点，该系统J2=_____________；若其另一端固定一半径为R， 质量为M的圆球，该系统J3=__________。 O 1 2 解: J ml
转动惯量
刚体对于固定转轴的转动惯量（J）可以由下式计算
m
l
m
l m
J mi ri
i
2
A
B
C
对于质量连续分布的刚体，当∆mi→0,i→ 时，可用积分计算
J
r dm
2
例1 如图所示，有5个由长为l 的轻杆连接的质点，求质点 系对过A垂直于纸面的轴的转动惯量。
解:
2 3 m ( 2 l ) J 2ml
1 2 1 2 19 2 2 J1 ' m( l ) ml ml ml 2 3 12
1 2 1 7 2 J 4 ' 2m( l ) ml ml 2 2 12 12
平行轴定理:刚体对任一轴A的转动惯量JA和通过质心并与A轴 平行的转动惯量Jc有如下关系:
J A J C md
1
3
1 4 2 2 2 J 2 ml ml ml 3 3
R
1 2 2 2 2 J 3 ml MR M (l R ) 3 5
例3：如图所示，在半径为R的匀质薄圆盘中挖出一直径为R的圆 形面积后，其所剩面积质量为m。若圆形空面积的中心距大圆盘 的中心为R/2，求大圆盘所剩部分对通过其盘心且与盘面垂直的 转动轴的转动惯量。 （圆盘对通过其盘心且与盘面垂直的转动 轴的转动惯量J=½ MR²） 解：大圆盘质量 M S R R 2 1 小圆盘质量 m' ( ) R 2
2
则
m ': M 1 : 4
4 M m 3
且
2
4
可得
大圆盘转动惯量
J1
1 m' m 32 1
2 MR 2 3
M m' m
mR 2
O
O'
R
1 R 2 R 2 1 小圆盘转动惯量 J 2 m' ( ) m' ( ) mR 2 2 2 2 8 可得所剩部分转动惯量 J J J 13 mR 2
1 2
24
垂直轴定理:薄板形刚体对于板面内的两条正交轴的转动惯量 之和等于过该两轴交点并垂直于板面的轴的转动惯量。
Jz Jx J y
z
J z mi ri
2
x
o
r
mi ( xi , yi )
y
mi ( xi2 yi2 )
m x m y
2 i i 2 i i
1
2
2）
3）
1 2 1 2 J 4 2m( l ) ml 2 2
J3 2ml2
1 2 1 2 J 2 m( l ) ml 2 4
3 4
2
4
1 2 7 2 J 3 ' 2ml ml ml 3 3
2
1 2 1 1 2 J 2 ' m( l ) ml 2 ml 2 12 3
J
l 2 l 2
1 2 x dx ml 12 12
2
l
3
2）转轴过棒的一端并与棒垂直；
A
B x
1 2 2 J x dx ml 0 3 3
l
l 3
O
x
dx
3）转轴过棒上离中心距离为h的 一点并与棒垂直；
A
C dm
B
x
J
l d 2 2 l d 2
1 2 2 x dx m l m d 12