2013届广东六校联考高二文科数学试题

广东省六校2013届高三第二次联考数学(文)试题

2013届高三广东六校第二次联考（文科）数学试题命题：中山纪念中学周建刚参考学校：惠州一中广州二中东莞中学中山纪中深圳实验珠海一中本试题共4页，20小题，满分150分，考试用时120分钟一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 1. 函数()f x =A ．(0,3) 2.复数311(i i-A ．(1,1) 3.“1x =A.C.充要条件4.tan 330°Ａ．5.下图为函数f 论正确的是A . 311a a >>B. 321a a >>C. 121a a >>D. 211a a >>6.若2()(0)f x ax bx c a =++≠是定义在R 上的偶函数,则b 的值为（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．无法确定7.在1和256之间顺次插入三个数,,a b c ，使1,,,,256a b c 成一个等比数列，则这5个数之积．．为（） A ．182B ．192C ．202D ．2128.若函数3()1f x x x =-+在区间(,)a b （,a b 是整数，且1b a -=）上有一个零点，则a b +的值为（） A ．3B ．2-C ．2D ．3-9.如右图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=（）A ．FOB ．OGC ．OHD ．EO10. 如图，将等比数列{}n a 的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形的顶点所填的三项也成等比数列，数列{}n a 的前2013项和20134026,S =则满足na nn n a >的n 的值为（） A ．2 B ．3 C ．2013 D ．4026二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 11.已知函数2log ()3xx f x ⎧=⎨⎩(0)(0)x x >≤，则(0)f =12.已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C所对的边，若11,cos 2a b B ===，则sin A =13.已知1||=a ，2||=b ，()a b a +⊥，则a 与b 夹角为Q14.已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 均有1(2)()2f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,2上有表达式2()2f x x x =-+，则函数)(x f 在区间[3,2]--上的表达式为()f x = _______________ 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分）已知函数()cos 2sin 2f x x x =+ （1）求()f x 的最大值和最小正周期；（2）设,[0,]2παβ∈，()()2822f f απβπ+=+=sin()αβ+的值16. （本小题满分12分）已知(sin ,cos )a θθ= 、b =（1）若//a b，求tan θ的值；（2）若()f a b θ=+， ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的三条边分别为a 、b 、c ，且(0)a f =，()6b f π=-，()3c f π=，求AB AC ⋅。

广东省广州市2013届普通高中毕业班综合测试文科数学试题

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科） 2013.4本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是A ．x ∃∈R ，2450x x ++>B ．x ∃∈R ，2450x x ++≤ C ．x ∀∈R ，2450x x ++> D ．x ∀∈R ，2450x x ++≤ 2．如果函数()()ln 2f x x a =-+的定义域为(),1-∞，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．=a b a b B ．+=+a b a b C ．()()= a b c a b c D ．2= a a a 4．若直线()1y k x =+与圆()2211x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 的值为A ．2B ．1C ．12D ．与k 有关的数值 5．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q += A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 6．执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为A ．225B ．196C ．169D ．144（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“﹕”）7．若函数cos y x ω=()*ω∈N的一个对称中心是06π⎛⎫⎪⎝⎭，，则ω的最小值为 A ．2 B ．3 C ．6 8．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π9．已知01a <<，01x y <<≤，且log log 1a a x y =，那么xy 的取值范围是 A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，10．某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：图2A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为． 12．已知α为锐角，且3cos 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ，则BFFC的值为． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任一点，设点P 到直线 cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．图3某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上．（1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离．18．（本小题满分14分）如图4，在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时，求BC 的长． 19．（本小题满分14分）在等差数列{}n a 中，125a a +=，37a =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、n 的值；若不存在，请说明理由．PAB图4已知函数2()2ln f x x a x =-()0a a ∈≠R 且．（1）若()f x 在定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值． 21．（本小题满分14分）经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ．（1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠；（3）若点D 到直线AB ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．50分．二、填空题：分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．11．14π-12．10 13．36；3981 14．1415三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分）解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．………………………………………………3分（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，， ()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，， ()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．…………………………………………………7分其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． ……………………10分所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分 17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分（2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分因为70BC =，由（1）知3A π=，所以sin 2A =．所以2R ==，即R =8分过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD中，3OB R ==，703522BC BD ===，所以OD ==………………………………………………………11分3=．所以点O 到直线BC的距离为3m ．……………………………………………………………12分方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分由（1）知3BAC π∠=，所以3BOC 2π∠=．所以3BOD π∠=．在Rt △BOD 中，703522BC BD ===，所以35tan tan 60BD OD BOD ===∠11分所以点O 到直线BC m ．……………………………………………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）（1）证明：因为90PAB PAC ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．………………………………1分因为AB AC A = ，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………2分因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PA ⊥．………………………………………………………………3分因为90ACB ∠=，所以BC CA ⊥．……………………………………………………………………4分因为PA CA A = ，所以BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………5分因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．………………………………………………6分（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分P所以AC ===．…………9分因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△16=10分= ()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分当且仅当224x x =-，即x =13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ． (14)分方法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．………………………………………………………………………7分因为90ACB ∠=，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，……………………………………………………8分则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．……………………………………………9分所以112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．………………………………………10分所以13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=． ………………………………………………………………………………11分因为02πθ<<，所以当4πθ=，P ABC V -有最大值13． …………………………………………………………………12分此时2cos 4BC π==． (13)分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ． (14)分19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………………………2分解得11,3.a d =⎧⎨=⎩ ………………………………………………………………………………………………3分所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． …………………………………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………………………………5分所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 1223341111111n n n n n S a a a a a a a a a a -+=+++++1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11133131nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………7分假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列，则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………………9分所以224361m n m m =-++．因为0n >，所以23610m m -++>．即23610m m --<．因为1m >，所以1133m <<+<．因为*m ∈N ，所以2m =．……………………………………………………………………………12分此时22416361m n m m ==-++．…………………………………………………………………………13分所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ………………………14分20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………………………………………1分且2()2af x x x'=-．………………………………………………………………………………………2分若()f x 在定义域上是增函数，则2()20af x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………………………………3分即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，所以0a ≤． …………………………………………………………4分由已知0a ≠，所以实数a 的取值范围为(),0-∞．……………………………………………………………………5分（2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．…………………………………………………6分②若0a >，由于(2222()x x x a f x x x+-'==，所以函数()f x在区间(上为减函数，在区间)+∞上为增函数．………………………7分1≤，即01a <≤时，)[1,2]⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………………………………………9分（ⅱ）若12<≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x x a x =-在区间(为减函数，在)上为增函数，所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为ln f a a a =-．……………………………………11分2>，即4a >时，([1,2]⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ……………………………………………13分综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为ln fa a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．………………14分21．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y1y =+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分（2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=．设点2001,4D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2212120121114442BC x x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．………………………………………………4分因为2210101011444AC x x x x k x x --==+，2220202011444ABx x x x k x x --==+．……………………………5分A B C DOxy lE由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………………………6分所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………………………………7分（3）方法1：由点D 到AB，可知BAD ∠45= ．………………………………8分不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+．由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分所以)()00042AB x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得02AC =+．………………………………11分所以△ABC的面积200012244202S x =⨯-⨯+=-=，解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =，直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-，直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分方法2：由点D 到ABAD ，可知BAD ∠45= ．…………………………………8分由（2）知CAD BAD ∠=∠45= ，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥．由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=．所以1020144AC AB x x x x k k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ①由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分因为02AB ==-，同理02AC =+． ………………………………………………………………………………11分以下同方法1．。

2013年高考文科数学广东卷word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类(广东卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，文1)设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，T ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则S ∩T ＝( )．A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2} 答案：A解析：∵S ＝{－2,0}，T ＝{0,2}，∴S ∩T ＝{0}． 2．(2013广东，文2)函数lg 11x y x (+)=-的定义域是( )． A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：要使函数有意义，则10,10,x x +>⎧⎨-≠⎩解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．3．(2013广东，文3)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：D解析：∵i(x ＋y i)＝－y ＋x i ＝3＋4i ， ∴4,3.x y =⎧⎨=-⎩∴x ＋y i ＝4－3i.∴|x ＋y i| 5. 4．(2013广东，文4)已知5π1sin 25α⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α＝( )． A ．25- B ．15- C ．15 D ．25答案：C解析：∵5ππsin sin 2π22αα⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α＝15，∴cos α＝15.5．(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )．A ．1B ．2C ．4D ．7 答案：C解析：i ＝1，s ＝1，i ≤3，s ＝1＋0＝1，i ＝2； i ≤3，s ＝1＋1＝2，i ＝3； i ≤3，s ＝2＋2＝4，i ＝4；i ＞3，s ＝4.6．(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )．A ．16 B ．13 C ．23D ．1 答案：B解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2，故V 三棱锥＝13×12×1×1×2＝13.7．(2013广东，文7)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )．A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＝0 答案：A解析：由于所求切线垂直于直线y ＝x ＋1，可设所求切线方程为x ＋y ＋m＝0.1=，解得m =.又由于与圆相切于第Ⅰ象限，则m =.8．(2013广东，文8)设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 答案：B解析：如图，在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，对于A ，设l 为AA 1，平面B 1BCC 1，平面DCC 1D 1为α，β. A 1A ∥平面B 1BCC 1，A 1A ∥平面DCC 1D 1，而平面B 1BCC 1∩平面DCC 1D 1＝C 1C ；对于C ，设l 为A 1A ，平面ABCD 为α，平面DCC 1D 1为β.A 1A ⊥平面ABCD ， A 1A ∥平面DCC 1D 1，而平面ABCD ∩平面DCC 1D 1＝DC ；对于D ，设平面A 1ABB 1为α，平面ABCD 为β，直线D 1C 1为l ，平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，D 1C 1∥平面A 1ABB 1，而D 1C 1∥平面ABCD ．故A ，C ，D 都是错误的．而对于B ，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B 正确．9．(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )． A ．22134x y += B ．2214x += C ．22142x y += D ．22143x y += 答案：D解析：由中心在原点的椭圆C 的右焦点F (1,0)知，c ＝1.又离心率等于12，则12ca=，得a＝2.由b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为221 43x y+=.10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：对于①，由向量加法的三角形法则知正确；对于②，由平面向量基本定理知正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，故③不正确；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④不正确．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(11～13题)11．(2013广东，文11)设数列{a n}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝__________.答案：15解析：由数列{a n}首项为1，公比q＝－2，则a n＝(－2)n－1，a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.12．(2013广东，文12)若曲线y＝ax2－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.答案：1 2解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－1x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝1 2.13．(2013广东，文13)已知变量x，y满足约束条件30,11,1,x yxy-+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z＝x＋y的最大值是__________．答案：5解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l0，当l过点A(1,4)，即当x＝1，y＝4时，z max＝5.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为__________．答案：1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)解析：由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ知以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x －1)2＋y 2＝1，故参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)．15．(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD 中，AB ，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝__________.答案：2解析：在Rt △ABC 中，AB ，BC ＝3，tan ∠BAC ＝BCAB=则∠BAC ＝60°，AE ＝12AB 在△AED 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3， ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD cos ∠EAD＝22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＋32－2×2×3×cos 30°＝34＋9－23＝214.∴ED.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈R.(1)求π3f⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π6fθ⎛⎫-⎪⎝⎭.解：(1)ππππ1 33124f⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin θ＝45 =-，∴ππ64fθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1 cos cos sin sin445θθ⎫+=-⎪⎭.17．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4；(2)重量在[80,85)的有4×5515+＝1个；(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A，则事件A包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，所以P(A)＝3162=.18．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC.图(1)图(2)(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG . (1)证明：在等边三角形ABC 中， ∵AD ＝AE ，∴AD AEDB EC=. 又AD AEDB EC=，在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立， ∴DE ∥BC ．∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，∵F 是BC 的中点，BC ＝1，∴AF ⊥CF ，BF ＝CF ＝12. ∵在三棱锥A －BCF 中，BC＝2， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)解：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE＝11111323323324⎛⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭. 19．(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：2a =(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，∴a 22＝4a 1＋5. ∵a n ＞0，∴2a =(2)解：当n ≥2时，4S n －1＝a n 2－4(n －1)－1，① 4S n ＝a n ＋12－4n －1，②由②－①，得4a n ＝4S n －4S n －1＝a n ＋12－a n 2－4， ∴a n ＋12＝a n 2＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 52＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1. ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(3)证明：12231111n n a a a a a a ++++＝11111335572121n n ++++⨯⨯⨯(-)⋅(+) ＝1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝11112212n ⎛⎫⨯-< ⎪+⎝⎭. 20．(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为2.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意d ==c ＝1(负根舍去)． ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线P A 的方程为y －y 1＝12x (x －x 1)，即y ＝12x x ＋y 1－12x 12. ∵y 1＝14x 12，∴y ＝12x x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在切线P A 上，∴y 0＝12x x 0－y 1.① 同理，y 0＝22xx 0－y 2.②综合①，②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝2xx 0－y . ∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y 0＝2xx 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， ∴|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1) ＝y 1＋y 2＋y 1y 2＋1.联立2004,220,x y x x y y ⎧=⎨--=⎩消去x 得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0， ∴y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02.∵点P (x 0，y 0)在直线l 上，∴x 0－y 0－2＝0. ∴|AF |·|BF |＝x 02－2y 0＋y 02＋1 ＝y 02－2y 0＋(y 0＋2)2＋1＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值为92.21．(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ＜0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M .解：f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1， (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，Δ＝4－12＝－8＜0， ∴f ′(x )＞0，即f (x )的单调递增区间为R .(2)(方法一)当k ＜0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴3kx =，且过(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k k -≤0，即k ＜0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．从而当x ＝k 时，f (x )取得最小值m ＝f (k )＝k ；当x ＝－k 时，f (x )取得最大值M ＝f (－k )＝－k 3－k 3－k ＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12＝4(k k -＞0，即k ＜令f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1＝0，解得：13k x =，23k x =，注意到k ＜x 2＜x 1＜0.(注：可用韦达定理判断x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝23k＞k ，从而k ＜x 2＜x 1＜0；或者由对称结合图象判断)∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}． ∵f (x 1)－f (k )＝x 13－kx 12＋x 1－k＝(x 1－k )(x 12＋1)＞0， ∴f (x )的最小值m ＝f (k )＝k .∵f (x 2)－f (－k )＝x 23－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]＜0，∴f (x )的最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上所述，当k ＜0时，f (x )的最小值m ＝f (k )＝k ，最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k . (方法2)当k ＜0时，对∀x ∈[k ，－k ]，都有f (x )－f (k )＝x 3－kx 2＋x －k 3＋k 3－k ＝(x 2＋1)(x －k )≥0，故f (x )≥f (k )．f (x )－f (－k )＝x 3－kx 2＋x ＋k 3＋k 3＋k ＝(x ＋k )(x 2－2kx ＋2k 2＋1)＝(x ＋k )[(x －k )2＋k 2＋1]≤0. 故f (x )≤f (－k )．∵f (k )＝k ＜0，f (－k )＝－2k 3－k ＞0， ∴f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k ，f (x )min ＝f (k )＝k .。

2013年广东高考数学文科试卷带详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|20,}S x x x x =+=∈R ，2{|20,}T x x x x =-=∈R ，则S T = ( ) A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【测量目标】集合的交集运算.【考查方式】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素. 【参考答案】A【试题解析】集合S ={0，2-}，T ={0，2}，故S T ={0}，故选A. 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 ( ) A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【测量目标】函数的定义域和集合的交集运算.【考查方式】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域. 【参考答案】C【试题解析】要使函数有意义，需1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得11x x >-≠且，（步骤1）故函数的定义域为1,11+∞ （-）（，），故选C. （步骤2）3．若i(i)34i x y +=+，,x y ∈R ，则复数i x y +的模是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【测量目标】复数的四则运算及复数的模.【考查方式】通过等式两边增添、通分等手段化简求出复数的代数形式，进而求出复数的模. 【参考答案】D【试题解析】方法一：因为i(i)34i x y +=+，所以()()()34i i 34i i ==43i i i i x y +-++=--，（步骤1）故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）方法二：因为i(i)34i x y +=+，所以+i=3+4i y x -，所以4x =，3y =-，（步骤1）故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）方法三：因为i(i)34i x y +=+，所以(i)i(+i)=(i)(34i)=43i x y --⋅+-，（步骤1）即i=43i x y +-，故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）4．已知5π1sin()25α+=，那么cos α= ( ) A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【测量目标】诱导公式.【考查方式】通过三角函数的化简变形，正弦和与余弦互化. 【参考答案】C【试题解析】因为5πππ1sin()sin(2π+)sin()2225ααα+=+=+=，故1cos =5α，故选C. 5．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 ( )A ．1B ．2C ．4D ．7【测量目标】程序框图和流程图.【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】C【试题解析】根据初始化条件，顺序执行程序就可以得到结果. 第一次执行循环：12s i ==，(23…成立)；（步骤1）第二次执行循环：23s i ==，(33…成立)；（步骤2）第三次执行循环：44s i ==，(43…不成立)，结束循环，故输出4s =，故选C. （步骤3）6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ()A ．16 B ．13 C ．23D ．1 第5题图第6题图【测量目标】平面图形的三视图的和棱锥的体积.【考查方式】由三视图还原出直观图，根据“长对正，高对齐，宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算. 【参考答案】B【试题解析】如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，（步骤1）故其体积为111112323V =⨯⨯⨯⨯=，故选B. （步骤2） 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 ( ) A ．20x y +-= B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．20x y ++= 【测量目标】直线与圆的位置关系、直线的方程.【考查方式】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数形结合法对所求参数值进行取舍. 【参考答案】A【试题解析】与直线1y x =+垂直的直线方程可设为0x y b ++=，（步骤1）由0x y b ++=与圆221x y +=相切，可得22||111b =+，得2b =±.（步骤2）由于两者相切于第一象限，则可知2b =-，故直线方程为20x y +-=，故选A. （步骤3）8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是. ( )A ．若l α∥，l β∥，则αβ∥ B ．若l α⊥，l β⊥，则αβ∥ C ．若l α⊥，l β∥，则αβ∥ D ．若αβ⊥，l α∥，则l β⊥ 【测量目标】空间中直线、平面之间的位置关系.【考查方式】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系. 【参考答案】B【试题解析】选项A ，若l α∥，l β∥，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B ，若l l αβαβ⊥⊥，，则∥，故正确；选项C ，若l l αβαβ⊥⊥，∥，则，故错误；选项D ，若,l αβα⊥∥，则l 与β的位置关系有三种可能：l l l βββ⊥⊂，∥，，故错误.故选B. 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 () 第6题图A ．14322=+y xB ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【测量目标】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质.【考查方式】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程. 【参考答案】D【试题解析】右焦点为(1,0)F 说明有两层含义：椭圆的焦点在x 轴上和1c =.又离心率为12c a =，故2a =，222413b a c =-=-=，（步骤1）故椭圆的方程为13422=+y x .（步骤2）10．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【测量目标】平面向量基本定理.【考查方式】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断. 【参考答案】C【试题解析】对于①，若向量a ，b 确定，因为-a b 是确定的，故总存在向量c ，满足=-c a b ，即=+a b c ，故正确.对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足λμ=+a b c ，故正确；对于③，如果λμ=+a b c ，则以||a ，||λb ，||μc 为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以||a ，||λb ，||μc 为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误. 因此选C二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=________ 【测量目标】等比数列的通项与性质.【考查方式】给定等比数列的首项和公比，求出通项公式，再构造新数列，求解新数列的部分和. 【参考答案】15【试题解析】由首项和公比写出等比数列的前四项，然后代入1234||||a a a a +++求值. 也可以构造新数列，利用其前n 项和公式求解.方法一：1234||||a a a a +++=()()()231|12||12||12|15+⨯-+⨯-+⨯-=.方法二：因为1234||||a a a a +++=1234||||||||a a a a +++，数列{||}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为4121512-=-.12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =________ ．【测量目标】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义【考查方式】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数. 【参考答案】12【试题解析】计算出函数2ln y ax x =-在点(1,)a 处的导数，利用导数的几何意义求a 的值. 因为12y ax x'=-，所以1|2 1.x y a ='=-（步骤1）因为曲线在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故210a -=，12a =.（步骤2） 13．已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩…剟…，则z x y =+的最大值是 ________【测量目标】线性规划问题的最值求解.【考查方式】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值. 【参考答案】5【试题解析】画出平面区域如图阴影部分所示，由z x y =+，得y x z =-+，z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距，（步骤1）由图知，当直线y x z =-+经过点(1,4)B 时，目标函数取得最大值，为145z =+=.（步骤2）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）第13题图14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________ ．【测量目标】极坐标方程、普通方程和参数方程的互化.【考查方式】已知极坐标方程，通过建立直角坐标系将其化为普通方程，从而得出参数方程.【参考答案】cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）【试题解析】先把极坐标方程化为普通方程，再把普通方程化为参数方程. 2cos ρθ=化为普通方程为22222x x y x y +=+，即22(1)1x y -+=，（步骤1）则其参数方程为1cos sin x y αα-=⎧⎨=⎩，（α为参数），即cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）（步骤2）15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3,AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =________ ．【测量目标】正弦定理和余弦定理在几何中的应用.【考查方式】由平面图形中给定线段，利用勾股定理和三角函数求解平面图形中线段的长度. 【参考答案】212【试题解析】由题意可求AE 的长及BAC ∠，故可把DE 放在AED △或ECD △中，利用余弦定理求解.也可以从E 点出发作辅助线，将DE 放在直角三角形中求解.方法一：因为3AB =，3BC =，所以223(3)23AC =+=，3tan 33BAC ∠==，所以π3BAC ∠=.（步骤1）在Rt BAE △中，π3cos 32AE AB ==，则3332322CE =-=. （步骤2）第15题图在ECD △中，2222cos DE CE CD CE CD ECD=+-⋅∠223333121()(3)232224=+-⨯⨯⨯=，故212DE =.（步骤3）方法二：如图，作EM AB ⊥交AB 于点M ，作EN AD ⊥交AD 于点N .（步骤1）因为3AB =，3BC =, 所以3tan 33BAC ∠==，则π3BAC ∠=，（步骤2）π3cos 32AE AB ==，π313cos 3224NE AM AE ===⨯=, π333sin 3224AN ME AE ===⨯=，39344ND =-=. （步骤3）在Rt DNE △中，22DE NE ND =+223921()()442=+=，（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数π()2cos(),12f x x x =-∈R ． (1) 求π()3f 的值； (2) 若33πcos ,(,2π)52θθ=∈，求π()6f θ-．【测量目标】正弦函数和余弦函数的图象与性质..【考查方式】给定余弦函数表达式，利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式等方法求出函数值. 【试题解析】(1)因为π()2cos()12f x x =-，所以ππππ2()2cos()2cos 21331242f =-==⨯= (2)因为3π(,2π)2θ∈，3cos 5θ=，所以22234sin 1cos 1()55θθ=--=--=-. （步骤1）所以π()6f θ-=ππ26θ--π24θ=-=222(cos sin )22θθ⨯+=cos sin θθ+=341555-=-. （步骤2）17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：第15题图分组（重量） [80,85) [85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【测量目标】频数分布表、频率、分层抽样、古典概型等概念的理解和相关运算.【考查方式】由频数分布表找出相应范围内的频数，由分层抽样确定在某范围内的个体数目，用列举法求解古典概型.【试题解析】（1）根据频数分布表，苹果重量在[90,95)范围内的频数为20，因为样本容量为50，故所求频率为200.450=. （2）重量在[80,85)和[95,100)范围内的苹果频数之比为5:151:3=，又1414⨯=，故重量在[80,85)内的苹果个数为1.（3）从苹果重量在[80,85)范围内抽出的苹果记为a ，从[95,100)范围内抽出的苹果记为1,2,3，则任取两个苹果的所有情况为{,1}a ，{,2}a ，{,3}a {1,2}，{1,3}，{2,3}，共六个结果，（步骤1）记事件{A =重量在[80,85)和[95,100)中各有一个苹果}，其包含的基本事件个数为3，故31()62P A ==. （步骤2）18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF △沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥ABCF -，其中22BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．【测量目标】线面平行、线面垂直和面面平行的判定与性质、平面图形的折叠问题和三棱锥的体积的求法. 【考查方式】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三棱锥的体积.第18题图【试题解析】（1）证法一：在折叠后的图形中，因为,AB AC AD AE ==, 所以AD AEAB AC=, 所以DE BC ∥. （步骤1）因为DE ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .（步骤2）证法二：在折叠前的图形中，因为,AB AC AD AE ==, 所以A D A EA B A C=, 所以D E B C ∥，即,D G B F E G C F ∥∥.（步骤1）在折叠后的图形中，仍有,DG BF EG CF ∥∥. 又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF . （步骤2）又,DG EG G DG =⊂ 平面DEG ,EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF . （步骤3）又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .（步骤4）（2）证明：在折叠前的图形中，因为ABC △为等边三角形，BF CF =，所以AF BC ⊥，则在折叠后的图形中，,.AF BF AF CF ⊥⊥（步骤1）又12,22BF CF BC ===，所以222BC BF CF =+, 所以BF CF ⊥. （步骤2）又BF AF F = ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .（步骤3） (3) 解：由（1）可知GE CF ∥，结合（2）可得GE ⊥平面DFG .（步骤1）1132F DEG E DFG V V DG FG GF --∴==⋅⋅⋅⋅1111313()323323324=⋅⋅⋅⋅⋅=（步骤2）19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n *+=--∈N 且2514,,a a a 构成等比数列．(1) 证明：2145a a =+；(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．【测量目标】等差数列、等比数列的定义及应用，函数与方程的思想以及不等式的证明.【考查方式】把等式、不等式、等差数列和等比数列等知识结合在一起来考查，考查了递推公式、等比中项、等差数列的概念和通项公式，会用列项相消法求数列的前n 项和，放缩法证明不等式的知识. 【试题解析】解：（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，（步骤1）21045n a a a >∴=+ （步骤2）（2）当2n …时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,（步骤1）102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n …时，{}n a 是公差2d =的等差数列. （步骤2）2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =,（步骤3）由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=（步骤4）21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. 为正等差数列∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（步骤5）（3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ （步骤1） 1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111.2212n ⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦（步骤2）-20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【测量目标】点到直线的距离公式、直线的点斜式方程、抛物线的定义和标准方程、导数的几何意义、直线与抛物线的交点、二次函数的最值以及待定系数法的应用.【考查方式】由点到直线的距离公式建立关于c 的方程，从而确定c 并写出抛物线的标准方程；设出点坐标并求出切线方程从而得到所求直线方程；利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，建立关于y 的目标函数，从而确定函数的最小值.【试题解析】（1）依题意023222c d --==，解得1c =（负根舍去）（步骤1） ∴抛物线C 的方程为24x y =.（步骤2）（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . （步骤1）∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. （步骤2） ∵21141x y =， ∴112y x xy -= . （步骤3） ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ①，同理 20202y x xy -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. （步骤4） ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=；（步骤5）（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ （步骤1）联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-=（步骤2）0020x y --= ()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2()+22y y y ++ （步骤3）∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92 （步骤4）21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()k ∈R ． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()2321f x x kx '=-+【测量目标】导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数来求函数的单调区间和最值.【考查方式】由抛物线与直线方程的位置关系来求解方程，通过导数来求函数及函数的单调区间；对于导数中含有未知数，需要讨论判别式∆的符号，然后比较区间端点的函数值与极值的大小从而确定最值.【试题解析】(1)当1k =时()2321,f x x x '=-+（步骤1）41280∆=-=-<()0f x '∴>,()f x 在R 上单调递增.（步骤2）（2）当0k <时，()2321f x x kx '=-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（步骤1）第21题图（i ）当()()2412433k k k ∆=-=+-…，即30k -<…时，()0f x '…，()f x 在[],k k -上单调递增，（步骤2）从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（步骤3）（ii ）当()()24124330k k k ∆=-=+->，即3k <-时，令()23210f x x kx '=-+=解得：221233,33k k k k x x +---==,注意到210k x x <<<,（步骤4）(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,（步骤5）()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--（步骤6）综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--（步骤7）解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-…，故()()f x f k …（步骤1）32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++…故()()f x f k -…（步骤2）而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==（步骤3）（1）解法3：因为2()321f x x kx '=-+，22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-；（步骤1） ○1当0∆…时，即30k -<…时，()0f x '…，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；（步骤2）○2当0∆>时，即3k <-时，令()0f x '=，解得22223363k k k k x +-+-==或22223363k k k k x ----==；（步骤2）令()0f x '>，解得233k k x --<或233k k x +->；（步骤3）令()0f x '<，解得223333k k k k x --+-<<；（步骤4）因为223033k k k k k +-+<=<-，2232333k k k k k k --->=>作()f x 的最值表如下：xk 23,3k k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 233k k --2233,33k k k k ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭233k k +-23,3k k k ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭k -()f x ' +- 0+()f xk极大值极小值32k k --则23min (),3k k m f k f ⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭，23max (),3k k M f k f ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤5）因为22222333313333k k k k k k k k f k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-+-⎢⎥=-⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3222(26)3927k k k k ----+=； 3223222(26)1832(26)318()32727k k k kk k k k k k f f k ⎛⎫----+-------=> ⎪ ⎪⎝⎭2480279k k -==->，所以23min (),()3k k m f k f f k k ⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪=== ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤6）因为22222333313333k k k k k k k k f k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--------⎢⎥=-⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3222(26)3927k k k k -+--+=；2322332(26)395427()327k k k k k k k k f f k ⎛⎫---+--+++--= ⎪ ⎪⎝⎭32322352(26)3652(26)33650420272727k k k k k k k k k k +-++--++=<=<；所以233max (),()23k k M f k f f k k k ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=-=-=-- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤7）综上所述，所以m k =，32M k k =--.（步骤8）。

2013年广东高考文科数学试卷(含参考答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：球的体积34=3V R π，其中R 为球的半径.锥体的体积公式为1=3V Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合22S=|x|x +20,|,|x|x -20,|x x R T x x R =∈==∈，则S T ⋂=A. |0|B. |02|，C. |2,0|-D. |2,0,2|- 2.函数lg(1)1x y x +=-的定义域是 A.(1,)-+∞ B.[1,)-+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D. [)1,1(1,)-+∞ 3.若()34,,,i x yi i x y R +=+∈则复数x yi +的模是 A.2 B.3 C.4） D.54.已知51sin()25πα+=，那么cos α= 2.5A - 1.5B - 1.5C 2.5D5.执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输入s 的值是.1A .2B .3C .7D6.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是1.6A 1.3B 2.3C .1A 7.垂直于直线1y x =+且于圆的直线方程是.0A x y += .10B x y ++= .10C x y +-= .0D x y +=8.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是.,,A l l αβαβ 若则 .,,B l l αβαβ⊥⊥ 若则.,,C l l αβαβ⊥ 若则 .,,D l l αβαβ⊥⊥ 若则9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1,0），离心率等于12，则C 的方程是 22.134x y A += 22.14x B =22.142x y C += 22.143x y D +=10.设α是已知的平面向量且0α≠.关于向量α的分解，有如下四个命题： ①给定向量b,总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c,总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+； ③给定向量b 和正数，总存在单位向量c,使a b c λμ=+.④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+. 上述命题中的向量b,c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2013年高考文科数学广东卷-答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】由题意知{0,2}S =-，{0,2}T =，故{0}S T =I ，故选A ．【提示】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素．【考点】集合的交集运算． 2.【答案】C【解析】由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为(1,1)(1,)-+∞U 【提示】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域．【考点】函数的定义域和集合的交集运算． 3.【答案】D【解析】因为i(i)34i x y +=+，所以i 34i x y -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，i x y +的模5=；【提示】通过等式两边增添、通分等手段化简求出复数的代数形式，进而求出复数的模．【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积111112323V ==g ggg；【提示】由三视图还原出直观图，根据“长对正、高对齐、宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算．【考点】平面图形的三视图的和棱锥的体积． 7.【答案】A【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离1==，所以b =0b >，故b ，所以l 的方程为0x y +=；【提示】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数形结合法对所求参数值进行取舍．【考点】直线与圆的位置关系，直线的方程． 8.【答案】B【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若l l αβ⊥，∥，则αβ⊥，故C 错；l αβα⊥，∥，若l 平行交线，则l β∥，故D 错；【提示】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系．【考点】空间中直线、平面之间的位置关系．9.【答案】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系．【解析】由焦点可知(1,0F ）可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知1c =，12ca =，所以2a b ===，故椭圆标准方程为22143x y +=；【提示】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程．【考点】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质． 10.【答案】C【解析】对于①，若向量a ，b 确定，因为a b -是确定的，故总存在向量c ，满足c a b =-，即a b c =+，故正确．对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足a b c λμ=+，故正确；对于③，如果a b c λμ=+，则以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误．因此选C【提示】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断．【考点】平面向量基本定理．二、填空题 11.【答案】15【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234a a a a +++124815=+++=；【解析】因为2ln y ax x =-，所以12y ax x'=-，因为曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以12a =；【提示】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数．【考点】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义． 13.【答案】5【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1)-，(1,2)-，(1,1)，(1,4)代入可知z 的最大值为145z =+=；【提示】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值．【考点】线性规划问题的最值求解． 14.【答案】cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2cos 2cos 1cos2x ρθθθ===+①，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②；①可变形得：cos21x θ=-③，②可变形得：sin 2y θ=；由22sin 2cos 21θθ+=得：22(1)1x y -+=；【解析】因为在矩形ABCD 中，AB =，3BC =，BE AC ⊥，所以30BCA ∠=︒，所以cos30CE CB =︒=g CDE △中，因为60ECD ∠=︒，由余弦定理得： 2222021212cos60224DE CE CD CE CD =+-=+-=⎝⎭g g g ，所以CD ；（2）因为3cos 5θ=，3π,2π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5θ=-； ππππππcos cos sin sin 6612333f θθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭314525⨯-=⎭；（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80,85)的个数541515=⨯=+；（3）设在[80,85)中抽取的一个苹果为x ，在[95,100)中抽取的三个苹果分别为a b c ，，，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c 66种情况，其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c 种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()62P A ==；【提示】由频数分布表找出相应范围内的频数，由分层抽样确定在某范围内的个体数目，用列举法求解古典图5中，因为DG BF ∥，//GE FC ，所以平面DGE ∥平面BCF ，所以DE BCF ∥平面；（2）证明：在图4中，因为因为ABC 是等边三角形，且F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥；在图5中，因为在BFC △中，12BF FC BC ===，，所以222BF FC BC +=，BF CF ⊥，又因为AF CF ⊥，所以CF ABF ⊥平面（3）因为AF CF AF BF ⊥⊥，，所以AF ⊥平面BCF ，又因为平面DGE ∥平面BCF ，所以AF ⊥平面DGE ；所以11111113323233F DEG DGE V S FG DG GE FG -====g g g g g g g g g △；【提示】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三（2）当2n ≥时，2211444(41)4(1)1n n n n n a S S a n a n -+⎡⎤=-=------⎣⎦2214n n a a +=--，所以221(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+；因为2a ，5a ，14a 构成等比数列，所以22145a a a =g ，即2222(24)(6)a a a +=+，解得23a =，因为2a =，所以11a =，212a a =+，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，1(1)221n a n n =+-=-g；（3）因为111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭，所以1223111111111111121323522121n n a a a a a a n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111111111112133521212121212n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-=< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭；所以对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<L ．【提示】把等式、不等式、等差数列和等比数列等知识结合在一起来考查，考查了递推公式、等比中项、等差数列的概念和通项公式，会用列项相消法求数列的前n 项和，放缩法证明不等式的知识．【考点】等差数列、等比数列的定义及应用，函数与方程的思想以及不等式的证明．所以2d=，又因为0c>，所以解得1c=，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C的方程为24x y=；（2）因为抛物线的方程为24x y=，即214y x=，所以12y x'=，设过00(,)P x y点的切线l'与抛物线的切点坐标为21,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l'的斜率210412y mk mx m-==-，解得10m x=+或20m x=；不妨设A点坐标为2111,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，B点坐标为2221,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，==>，所以12m m≠；221112441201211()42ABm mk m m xm m-==+=-；所以直线AB的方程为210111()42y m x x m-=-，代入整理得：12y x=；（3）A点坐标为2111,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，B点坐标为2221,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，F点坐标为(0,1)，因为0020x y--=；所以10m x x=+=+200m x x==，1202m mx+=，12048m mx=-；因此=||AF BFg22222222121212121212 11111111()1()[()2]1 44164164m m m m m m m m m m m m⎛⎫⎛⎫=++=+++=++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭22220000001139(48)[(2)2(48)]1269216422x x x x x x⎛⎫=-+--+=-+=-+⎪⎝⎭，所以当32x=时，||||AF BFg取最小值92；【提示】由点到直线的距离公式建立关于c的方程，从而确定c并写出抛物线的标准方程；设出点坐标并求出切线方程从而得到所求直线方程；利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，建立关于y的目标函数，从而确定函数的最小值．【考点】点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，抛物线的定义和标准方程，导数的几何意义，直线与抛物线的交点，二次函数的最值以及待定系数法的应用．①当0∆≤时，即0k <时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；②当0∆>时，即k <时，令()0f x '=，解得x =或x =()0f x '>，解得x <或x ；令()0f x '<，解得x <0k <=<-23kk >=>作()f x 的最值表如下：【提示】由抛物线与直线方程的位置关系来求解方程，通过导数来求函数及函数的单调区间；对于导数中含有未知数，需要讨论判别式∆的符号，然后比较区间端点的函数值与极值的大小从而确定最值．【考点】导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数来求函数的单调区间和最值．。

2013年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．解答：解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选A．点评：本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）（2013•广东）函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，D．[﹣1，1）∪（1，+∞）+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．解答：解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选C．点评：本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）（2013•广东）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5考点：复数求模；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．解答：解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•广东）已知，那么cosα=（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C．点评：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）（2013•广东）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．解答：解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A点评：本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）（2013•广东）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．解答：解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选B点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．解答：解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）（2013•广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．解答：解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误．故选B点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2013•广东）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．解答：解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．点评：本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）（2013•广东）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．解答：解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）（2013•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大=1+4=5．故答案为：5．点评：本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．考点：圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．解答：解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．点评：本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．解答：解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）（2013•广东）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）把x=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．解答：解：（1）（2）∵，，∴．点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合． 17．（13分）（2013•广东）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100）频数（个） 5 10 20 15 （1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．解答：解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．点评：本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF 中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．解答：解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）（2013•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n ﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵a n＞0，∴a n+1=a n+2，∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．解答：解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB 的斜率，所以直线AB 的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性． 21．（14分）（2013•广东）设函数f （x ）=x 3﹣kx 2+x （k ∈R ）．（1）当k=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）当k ＜0时，求函数f （x ）在[k ，﹣k ]上的最小值m 和最大值M ．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）当k=1时，求出f ′（x ）=3x 2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，f （x ）﹣f （k ）及f （x ）﹣f （﹣k ）．解答：解：f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1 （1）当k=1时f ′（x ）=3x 2﹣2x+1， ∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增．（2）当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i ）当，即时，f ′（x ）≥0，f （x ）在[k ，﹣k ]上单调递增，从而当x=k 时，f （x ）取得最小值m=f （k ）=k ，当x=﹣k 时，f （x ）取得最大值M=f （﹣k ）=﹣k 3﹣k 3﹣k=﹣2k 3﹣k ．（ii ）当，即时，令f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1=0 解得：，注意到k ＜x 2＜x 1＜0，∴m=min{f （k ），f （x 1）}，M=max{f （﹣k ），f （x 2）}， ∵，∴f （x ）的最小值m=f （k ）=k ， ∵，∴f （x ）的最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ．综上所述，当k ＜0时，f （x ）的最小值m=f （k ）=k ，最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k 解法2：（2）当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，都有f （x ）﹣f （k ）=x 3﹣kx 2+x ﹣k 3+k 3﹣k=（x 2+1）（x ﹣k ）≥0，故f （x ）≥f （k ）．f （x ）﹣f （﹣k ）=x 3﹣kx 2+x+k 3+k 3+k=（x+k ）（x 2﹣2kx+2k 2+1）=（x+k ）[（x ﹣k ）2+k 2+1]≤0，故f （x ）≤f （﹣k ），而 f （k ）=k ＜0，f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ＞0．所以，f （x ）min =f （k ）=k ．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。

2013年高考广东卷文科数学试题及答案

21．（本小题满分14分）
设函数．
(1)当时,求函数的单调区间；
(2)当时,求函数在上的最小值和最大值．
【解析】：
(1)当时
, 在上单调递增.
（2）当时，，其开口向上，对称轴，且过
（i）当，即时，，在上单调递增，
从而当时，取得最小值 ,
当时，取得最大值 .
7．垂直于直线且与圆相切于第Ⅰ象限的直线方程是
A． B．
C． D．
【解析】直接法可设所求的直线方程为：，再利用圆心到直线的距离等于，求得 .选A.
8．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【解析】借助长方体判断，可知B正确..
分组（重量）
频数（个）
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？
(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．
【解析】（1）苹果的重量在的频率为；
（2）重量在的有个；
【解析】：考查三角函数诱导公式，，选C.
5．执行如图1所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值是
A．1 B．2 C．4 D．7
【解析】根据程序框图，s=1+0+1+2=4.选C.
6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是
A． B． C． D．
【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.
（ii）当，即时，令

2013年高考数学广东卷(文科)超详细解析

图 2俯视图侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．锥体的体积公式：13V Sh =．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【品题】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ，5分到手，妙！ 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【品题】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【品题】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D. 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【品题】：考查三角函数诱导公式，51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7 【品题】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 【品题】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则11=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B. 图 17．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=【品题】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【品题】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了. 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【品题】基础题，1,2,c a b === D.10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【品题】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 【品题】这题相当于直接给出答案了1512．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．【品题】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴= 13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．【品题】画出可行域如图，最优解为()1,4，故填 5 ；（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为．【品题】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数） 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【品题】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而302AE CAD =∠= ，2DE ==. 【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.图 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ=-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．【品题】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450；（2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个；（3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：图 4（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==. 【品题】这个基础题，我只强调：注意格式！18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F V -【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BFCF ==. 在三棱锥A BCF -中，2BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭【品题】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列． (1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 【品题】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【解析】（1）依题意2d ==，解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=；（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92【品题】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．【解析】：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321fx x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=≤，即0k ≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii）当(241240k k k ∆=-=>，即k <()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<,(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=--> 所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==【品题】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.。

2013年广东高考试卷文科数学试题及答案(word)版

图 2俯视图侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}- 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．255．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是A ．1B ．2C ．4D ．76．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是图 1A ．20x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．20x y ++=8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 10．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程图 3ECBDA为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中2BC =．(1) 证明：DE //平面BCF ；(2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<． 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c>到直线:20l x y --=的距离为．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．2013年广东高考文科数学A 卷参考答案二、填空题11. 15 12. 12 13.5 14. 1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学文科试题含答案(纯word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

参考公式：球的体积，其中R为球的半径.锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合，，则＝（）A．{0} B.{0，2} C.{－2，0} D.{－2，0，Array 2}2、函数的定义域是（）A．（－1，+∞） B.，+∞）C. D.3、若，x，R，则复数的模是（）A．2 B.3 C.4 D.54、已知，则（）A． B. C. D.5、执行如图1所示的程序框图，若输入的值为3，则输出s的值为A．1 B.2 C.4 D.76、某三棱锥的三视图如图2所示，则该棱锥的体积是（）A． B. C. D. 17、垂直于直线且与圆相切于第Ⅰ象限的直线方程是（）A． B.C. D.8、设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若l ∥,l ∥，则∥ B.若，，则∥ C.若，l ∥，则∥ D.若，l ∥，则9、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为，离心率等于，则C 的方程是（） A ． B. C. D.10、设是已知的平面向量，且。

2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(广东卷带解析)答案解析

2013年全国普通高等学校招生统一考试文科（广东卷）数学答案解析1、【答案】A【解析】【考点定位】集合的运算.2、【答案】C【解析】要使函数有意义，则故函数的定义域为【考点定位】函数的定义域3、【答案】D【解析】【考点定位】复数相等与复数的模4、【答案】C【解析】，选C.【考点定位】三角函数诱导公式5、【答案】C【解析】【考点定位】程序框图6、【答案】B【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.【考点定位】三视图与几何体的体积7、【答案】A【解析】设所求的直线方程为：，圆心到直线的距离等于【考点定位】直线与圆的位置关系8、【答案】B【解析】A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，也可能相交；D中，也可能在平面内.【考点定位】点线面的位置关系9、【答案】D【解析】选D.【考点定位】椭圆的方程10、【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题.综上，本题选B.【考点定位】平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.11、【答案】【解析】【考点定位】等比数列的通项公式12、【答案】【解析】依题意【考点定位】切线方程13、【答案】5【解析】画出可行域如图，最优解为，的最大值5 。

【考点定位】线性规划求最值问题14、【答案】（为参数）【解析】先化成直角坐标方程，则曲线C的参数方程为（为参数）. 【考点定位】坐标系与参数方程15、【答案】【解析】由，可知从而，.【考点定位】几何证明选讲16、【答案】(1)1 (2)【解析】(1)（2），，．（1）考查三角函数求值问题，较为简单；（2）利用两角和的余弦公式进行化简，然后再借助同角的三角函数的关系公式进行求解，解题时需注意角的范围对三角函数值的影响.【考点定位】三角函数求值与化简，考查学生的转化分析能力和计算能力.17、【答案】(1) (2)1个(3)【解析】（1）苹果的重量在的频率为；（2）重量在的有个；（3）设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在和中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以.（1）利用频数分布表，确定数据，然后利用公式求解频率；（2）根据分层抽样的比例不变性求解；（3）利用古典概型公式求解，关键是明确好明确条件的数量.【考点定位】频数分布表和古典概型18、【答案】(1)见解析(2) 见解析(3)【解析】（1）在等边三角形中，,在折叠后的三棱锥中也成立， ,平面，平面，平面；（2）在等边三角形中，是的中点，所以①，.在三棱锥中，，②；（3）由（1）可知，结合（2）可得.解决折叠问题，需注意一下两点：1.一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变;位于棱两侧的位置关系与数量关系变；2.折前折后的图形结合起来使用.本题第一问关键是利用相似比在折叠完以后没有变化，达到证明目的；第二问中借助勾股定理和不变的垂直关系，借助线面垂直的判断定理证明；第三问利用体积转化，充分借助第一问的平行关系和第二问的垂直关系进行求解.【考点定位】线面平行于垂直、几何体的体积问题.19、【答案】(1)见解析(2) (3) 见解析【解析】（1）当时，，（2）当时，，,,当时，是公差的等差数列.构成等比数列，，，解得,由（1）可知，是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为.（3）(1)直接将n换为1代入递推式求解；（2）借助进行递推转化，进而构造数列为等差数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)采用列项相消法求和之后再证明.【考点定位】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，以及不等式的证明.20、【答案】(1) (2) (3)【解析】（1）依题意，解得（负根舍去）抛物线的方程为；（2）设点,，，由,即得.∴抛物线在点处的切线的方程为，即.∵，∴ .∵点在切线上, ∴. ①同理，. ②综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过两点的直线是唯一的，∴直线的方程为，即；（3）由抛物线的定义可知，所以联立，消去得，当时，取得最小值为(1)利用点到直线的距离公式直接求解C的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点P，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理和抛物线定义将进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最值，需注意变量的范围.【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义、切线方程以及直线与抛物线的位置关系，考查学生的分析问题的能力和转化能力、计算能力.21、【答案】(1) 在上单调递增(2) 当时，的最小值,最大值【解析】(1)当时,在上单调递增.（2）当时，，其开口向上，对称轴，且过（i）当，即时，，在上单调递增，从而当时，取得最小值 ,当时，取得最大值.（ii）当，即时，令解得：,注意到,(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)的最小值,的最大值综上所述，当时，的最小值,最大值解法2（2）当时，对，都有，故故，而，所以，(1)根据k的取值化简函数的表达式，明确函数的定义域，然后利用求导研究函数的单调区间，中规中矩；（2）借助求导，通过对参数K的正负讨论和判别式的讨论进行分析求解最值.【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的最值问题，考查学生的分类讨论思想和构造函数的解题能力.。

2013届高三六校第一次联考文科数学试题

2013届高三六校第一次联考文科数学试题命题学校：珠海一中本试题共4页，20小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=z （）A 、2i -B 、12i +C 、12i -+D 、12i --2、集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B 等于（）A 、{|01}x x <≤B 、{|12}x x ≤<C 、{|12}x x <≤D 、{|01}x x ≤<3、已知向量,a b 满足||1,||2,1a b a b ==⋅=,则a 与b 的夹角为 ( ) A 、3π B 、34π C 、4π D 、6π 4、函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x gx a b =+的图象是（）5、已知x ，y 满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值与最小值的比值为（）A 、12 B 、2 C 、32 D 、436、右边程序执行后输出的结果是S = ( ) A 、1275 B 、1250C 、1225D 、1326俯视图侧视图正视图7、已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a = （） A 、1.30 B 、1.45 C 、1.65 D 、1.808、已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（）A 、1,22⎛⎫⎪⎝⎭B 、(1,)+∞C 、(1,2)D 、1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A 、B 、6 C、D、10、如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有(1,)n n n N *>∈个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则233445201220139999a a a a a a a a ++++=（）A 、20102011B 、20112012C 、20122013 D、20132012二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

经典2013广东文科高考试卷(含详细解析)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷) 本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，文1)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T ＝()．A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}答案：A解析：∵S＝{－2,0}，T＝{0,2}，∴S∩T＝{0}．2．(2013广东，文2)函数lg11xyx(+)=-的定义域是()．A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：要使函数有意义，则10,10, xx+>⎧⎨-≠⎩解得x＞－1且x≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．3．(2013广东，文3)若i(x＋y i)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋y i的模是()．A．2 B．3 C．4 D．5答案：D解析：∵i(x＋y i)＝－y＋x i＝3＋4i，∴4,3. xy=⎧⎨=-⎩∴x＋y i＝4－3i.∴|x＋y i| 5.4．(2013广东，文4)已知5π1sin25α⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α＝()．A．25-B．15-C．15D．25答案：C解析：∵5ππsin sin2π22αα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝πsin 2α⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos α＝15，∴cos α＝15.5．(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )．A ．1B ．2C ．4D ．7 答案：C解析：i ＝1，s ＝1，i ≤3，s ＝1＋0＝1，i ＝2； i ≤3，s ＝1＋1＝2，i ＝3； i ≤3，s ＝2＋2＝4，i ＝4； i ＞3，s ＝4.6．(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )．A ．16 B ．13 C ．23D ．1 答案：B解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2，故V 三棱锥＝13×12×1×1×2＝13. 7．(2013广东，文7)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )．A ．x ＋y 0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y 0 答案：A解析：由于所求切线垂直于直线y ＝x ＋1，可设所求切线方程为x ＋y ＋m ＝0.由圆心到切1=，解得m=.又由于与圆相切于第Ⅰ象限，则m=.8．(2013广东，文8)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()．A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：B解析：如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，对于A，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为α，β.A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C；对于C，设l为A1A，平面ABCD为α，平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD，A1A∥平面DCC1D1，而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；对于D，设平面A1ABB1为α，平面ABCD为β，直线D1C1为l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD．故A，C，D都是错误的．而对于B，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B正确．9．(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()．A．22134x y+=B．2214x=C．22142x y+=D．22143x y+=答案：D解析：由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知，c＝1.又离心率等于12，则12ca=，得a＝2.由b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为221 43x y+=.10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B解析：对于①，由向量加法的三角形法则知正确；对于②，由平面向量基本定理知正确；对于③，以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，故③不正确；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|a |，故④不正确．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题(11～13题)11．(2013广东，文11)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝__________.答案：15解析：由数列{a n }首项为1，公比q ＝－2，则a n ＝(－2)n －1，a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋2＋4＋8＝15.12．(2013广东，文12)若曲线y ＝ax 2－ln x 在(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝__________.答案：12解析：由曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴得切线的斜率为0，由y ′＝2ax －1x及导数的几何意义得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，解得a ＝12. 13．(2013广东，文13)已知变量x ，y 满足约束条件30,11,1,x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z ＝x ＋y 的最大值是__________．答案：5解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l 0，当l 过点A (1,4)，即当x ＝1，y ＝4时，z max ＝5.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为__________．答案：1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)解析：由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ知以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x －1)2＋y 2＝1，故参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)．15．(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD 中，AB BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝__________.答案：2解析：在Rt △ABC 中，AB BC ＝3，tan ∠BAC ＝BCAB=则∠BAC ＝60°，AE ＝12AB 在△AED 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD cos ∠EAD＝2⎝⎭＋32－2×3×cos 30°＝34＋9－23 ＝214.∴ED ＝2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π6f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：(1)ππππ133124f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin θ＝45 =-，∴ππ64fθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1 cos cos sin sin445θθ⎫+=-⎪⎭.17．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4；(2)重量在[80,85)的有4×5515+＝1个；(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A，则事件A包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，所以P(A)＝31 62 =.18．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC.图(1)图(2)(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG . (1)证明：在等边三角形ABC 中， ∵AD ＝AE ，∴AD AEDB EC=. 又AD AEDB EC=，在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立， ∴DE ∥BC ．∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，∵F 是BC 的中点，BC ＝1，∴AF ⊥CF ，BF ＝CF ＝12. ∵在三棱锥A －BCF 中，BC＝2， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)解：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE＝1111132333⎛⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭19．(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：2a =(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< . (1)证明：当n ＝1时，4a＝a 22－5，∴a 22＝4a 1＋5. ∵a n ＞0，∴2a =(2)解：当n ≥2时，4S n －1＝a n 2－4(n －1)－1，①4S n ＝a n ＋12－4n －1，②由②－①，得4a n ＝4S n －4S n －1＝a n ＋12－a n 2－4， ∴a n ＋12＝a n 2＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列， ∴a 52＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3.由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1. ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(3)证明：12231111n n a a a a a a ++++ ＝11111335572121n n ++++⨯⨯⨯(-)⋅(+)＝1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝11112212n ⎛⎫⨯-< ⎪+⎝⎭. 20．(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为2.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意d ==c ＝1(负根舍去)． ∴抛物线C 的方程为x ＝4y .(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线P A 的方程为y －y 1＝12x (x －x 1)，即y ＝12x x ＋y 1－12x 12. ∵y 1＝14x 12，∴y ＝12x x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在切线P A 上，∴y 0＝12x x 0－y 1.① 同理，y 0＝22xx 0－y 2.②综合①，②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝2xx 0－y . ∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y 0＝2xx 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， ∴|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1) ＝y 1＋y 2＋y 1y 2＋1.联立2004,220,x y x x y y ⎧=⎨--=⎩消去x 得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0， ∴y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02.∵点P (x 0，y 0)在直线l 上，∴x 0－y 0－2＝0. ∴|AF |·|BF |＝x 02－2y 0＋y 02＋1 ＝y 02－2y 0＋(y 0＋2)2＋1＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值为92.21．(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ＜0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解：f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1， (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，Δ＝4－12＝－8＜0， ∴f ′(x )＞0，即f (x )的单调递增区间为R .(2)(方法一)当k ＜0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴3kx =，且过(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k k ≤0，即k ＜0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．从而当x ＝k 时，f (x )取得最小值m ＝f (k )＝k ；当x ＝－k 时，f (x )取得最大值M ＝f (－k )＝－k 3－k 3－k ＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12＝4(k k ＞0，即k ＜令f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1＝0，解得：1x =2x =，注意到k ＜x 2＜x 1＜0.(注：可用韦达定理判断x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝23k＞k ，从而k ＜x 2＜x 1＜0；或者由对称结合图象判断)∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．∵f (x 1)－f (k )＝x 13－kx 12＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 12＋1)＞0， ∴f (x )的最小值m ＝f (k )＝k .∵f (x 2)－f (－k )＝x 23－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]＜0， ∴f (x )的最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上所述，当k ＜0时，f (x )的最小值m ＝f (k )＝k ，最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k . (方法2)当k ＜0时，对∀x ∈[k ，－k ]，都有f (x )－f (k )＝x 3－kx 2＋x －k 3＋k 3－k ＝(x 2＋1)(x －k )≥0，故f (x )≥f (k )．f (x )－f (－k )＝x 3－kx 2＋x ＋k 3＋k 3＋k ＝(x ＋k )(x 2－2kx ＋2k 2＋1)＝(x ＋k )[(x －k )2＋k 2＋1]≤0.故f (x )≤f (－k )．∵f (k )＝k ＜0，f (－k )＝－2k 3－k ＞0， ∴f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k ，f (x )min ＝f (k )＝k .。

2013年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．解答：解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选A．点评：本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）（2013•广东）函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，D．[﹣1，1）∪（1，+∞）+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．解答：解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选C．点评：本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）（2013•广东）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5考点：复数求模；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．解答：解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•广东）已知，那么cosα=（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C．点评：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）（2013•广东）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．解答：解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A点评：本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）（2013•广东）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．解答：解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选B点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．解答：解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）（2013•广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．解答：解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误．故选B点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2013•广东）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．解答：解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．点评：本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）（2013•广东）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．解答：解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）（2013•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大=1+4=5．故答案为：5．点评：本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．考点：圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．解答：解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．点评：本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．解答：解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）（2013•广东）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）把x=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．解答：解：（1）（2）∵，，∴．点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合． 17．（13分）（2013•广东）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100）频数（个） 5 10 20 15 （1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．解答：解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．点评：本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF 中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．解答：解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）（2013•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n ﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵a n＞0，∴a n+1=a n+2，∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．解答：解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB 的斜率，所以直线AB 的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性． 21．（14分）（2013•广东）设函数f （x ）=x 3﹣kx 2+x （k ∈R ）．（1）当k=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）当k ＜0时，求函数f （x ）在[k ，﹣k ]上的最小值m 和最大值M ．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）当k=1时，求出f ′（x ）=3x 2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，f （x ）﹣f （k ）及f （x ）﹣f （﹣k ）．解答：解：f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1 （1）当k=1时f ′（x ）=3x 2﹣2x+1， ∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增．（2）当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i ）当，即时，f ′（x ）≥0，f （x ）在[k ，﹣k ]上单调递增，从而当x=k 时，f （x ）取得最小值m=f （k ）=k ，当x=﹣k 时，f （x ）取得最大值M=f （﹣k ）=﹣k 3﹣k 3﹣k=﹣2k 3﹣k ．（ii ）当，即时，令f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1=0 解得：，注意到k ＜x 2＜x 1＜0，∴m=min{f （k ），f （x 1）}，M=max{f （﹣k ），f （x 2）}， ∵，∴f （x ）的最小值m=f （k ）=k ， ∵，∴f （x ）的最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ．综上所述，当k ＜0时，f （x ）的最小值m=f （k ）=k ，最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k 解法2：（2）当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，都有f （x ）﹣f （k ）=x 3﹣kx 2+x ﹣k 3+k 3﹣k=（x 2+1）（x ﹣k ）≥0，故f （x ）≥f （k ）．f （x ）﹣f （﹣k ）=x 3﹣kx 2+x+k 3+k 3+k=（x+k ）（x 2﹣2kx+2k 2+1）=（x+k ）[（x ﹣k ）2+k 2+1]≤0，故f （x ）≤f （﹣k ），而 f （k ）=k ＜0，f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ＞0．所以，f （x ）min =f （k ）=k ．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。

广东省六校联合体1月10日2013届高二级联考文科数学试题

2011-2012学年度上学期联合考试高二数学（文科）命题、审题：普宁二中陈左华、林建庭一、选择题（本题共10小题；每小题5分，共50分） 1.已知集合}4,3,2,1{=I , }1{=A ,}4,2{=B , 则A ( I B )= A ．}1{ B ． }3{ C ．}3,1{ D ．}3,2,1{2.已知a ÎR 且0a ¹，则“11<a”是 “a >1”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.某路段200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为A ．65辆B ．76辆C ．88辆D ．95辆 4.如图表示一个几何体的三视图及相应数据，则该几何体的体积是A ．348π+B ．344π+C π48+D ．310π（第3题图）（第4题图）（第5题图） 5.如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===，用,a b 表示AD ，则AD =A ．34a b +B ．1144a b +C ．1344a b +D ．3144a b +6. 函数5()3f x x x =+-的零点落在的区间是ABCDA ．[0,1]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[3,4]7.在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠A=30°，则△ABC 的面积是A ．43 B ．23 C ．23 D ．43 8.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是A ．)32sin(π-=x yB ．)62sin(π-=x yC ．)62sin(π+=x yD ．)62sin(π+=x y9. 等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于 A ．99B ．66C ．144D ．29710. 两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为A ．53B ．4C ．54D ．5二、填空题：（本题共4小题，满分20分）11．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。