两角和与差的关系教师版

§1同角三角函数的基本关系课标解读1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(重点)2.会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．(难点)]\同角三角函数的基本关系1．关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2 α＝__1__； (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α. 2．文字叙述：同一个角 α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 α的正切． 3．变形形式：(1)1＝sin 2 α＋cos 2 α；(2)sin 2 α＝1－cos 2_α；cos 2 α＝1－sin 2_α. (3)sin α＝±1－cos 2 α；cos α＝±1－sin 2 α.(4)sin α＝cos αtan α.(5)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.已知一个角的三角函数值，求另外两个三角函数值(1)若sin α＝－45且α是第四象限角，求cos α，tan α；(2)已知tan α＝－4且α是第二象限角，求sin α，cos α.【自主解答】 (1)∵sin α＝－45且α是第四象限角．∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－1625＝35， tan α＝sin αcos α＝(－45)×(53)＝－43.(2)∵tan α＝－4，∴sin αcos α＝－4，即sin 2αcos 2α＝16， ∴sin 2α＝16cos 2α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴17cos 2α＝1，cos 2α＝117.∵α是第二象限角，∴cos α<0，∴cos α＝－1717. sin α>0，sin α＝1－cos 2α＝41717.已知角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其他三角函数的值时，关键在于利用平方关系sin 2α＋cos 2α＝1，在开平方确定符号时，若角所在的象限只有一种可能，则所求结果只有一组，若角所在象限有两种可能，则一般所求结果有两组．sin θ＝35，tan θ>0求cos θ，tan θ的值．【解】 ∵tan θ>0且sin θ＝35>0知θ是第一象限角．∴cos θ>0，∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－925＝45，tan θ＝sin θcos θ＝35×54＝34.条件求值 已知tan θ＝2，求：(1)2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ； (2)sin 2 θ＋sin θcos θ－2cos 2 θ的值．【自主解答】 (1)分子、分母同时除以cos θ(cos θ≠0)得，2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ＝2sin θ－cos θcos θsin θ＋2cos θcos θ＝2tan θ－1tan θ＋2＝34. (2)sin 2 θ＋sinθcos θ－2cos 2 θ＝sin 2 θ＋sin θcos θ－2cos 2 θsin 2 θ＋cos 2 θ＝tan 2 θ＋tan θ－2tan 2 θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.1．本例(2)中，把分母1换为sin 2 θ＋cos 2 θ，体现了三角函数式化简中的一种常用技巧． 2．已知tan α的值，求关于sin α，cos α的分式值的问题，有以下两种情况(1)若分子、分母中sin α，cos α的次数相同(称为齐次式)，由cos α≠0，令分子、分母同除以cos n α(n ∈N *)，将待求式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α的值求解．(2)若待求式形如a sin 2 α＋b sin αcos α＋c ，注意可将分母1化为sin 2 α＋cos 2 α，通过进一步转化，变为关于tan α的表达式，然后再求值．3．若已知sin α与cos α的关系式，可以先求出tan α的值再求解，也可以直接代入求解．条件不变，求1sin 2θ－cos 2θ的值．【解】 1sin 2θ－cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θsin 2θ－cos 2θ ＝tan 2 θ＋1tan 2 θ－1＝4＋14－1＝53.三角函数式的化简与证明 (1)化简：tan α＋tan αsin αtan α＋sin α·(1＋1cos α)·sin α1＋sin α；(2)求证：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α.【自主解答】 (1)原式＝sin αcos α＋sin αcos α·sin αsin αcos α＋sin α·cos α＋1cos α·sin α1＋sin α＝sin α(1＋sin α)sin α(1＋cos α)·1＋cos αcos α·sin α1＋sin α＝tan α. (2)证明：左边＝(sin α－cos α＋1)(sin α＋cos α＋1)(sin α＋cos α－1)(sin α＋cos α＋1)＝(sin α＋1)2－cos 2α(sin α＋cos α)2－1＝sin 2α＋2sin α＋1－1＋sin 2α1＋2sin αcos α－1 ＝2sin α(1＋sin α)2sin αcos α＝1＋sin αcos α＝右边．1．解答化简题(如(1))的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．如本题中的“化切为弦”．2．对于含有三角函数的二次根式化简问题，常把被开方数配成完全平方式，然后借助角的范围开方化简．若给出的范围不明确，对函数值产生影响时，应注意讨论．3．证明三角恒等式要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识，使证明更加简便．(1)化简：1－sin 2400°；(2)若tan α·sin α＜0，化简1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α.【解】 (1)1－sin 2400°＝cos 2400°＝|cos 400°|＝|cos(360°＋40°)|＝|cos 40°|＝cos 40°. (2)由于tan α·sin α＜0，则tan α，sin α异号， ∴α在第二或第三象限，∴cos α＜0，原式＝(1－sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)＋(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)＝(1－sin α)21－sin 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α＝(1－sin α)2cos 2α＋(1＋sin α)2cos 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.忽略讨论三角函数值的符号致误若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cos A －7的值．【错解】 因为sin A ＝45，所以cos A ＝1－sin 2 A ＝35，所以5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×35－7＝6.【错因分析】 由sin A ＝45说明A 是锐角或钝角，那么cos A 就有正、负之分，常见解法中忽视开方的符号而出现疏漏，上面解法就犯了此种错误．【防范措施】 使用开方关系sin α＝± 1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数值在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需按象限进行讨论．【正解】 ∵ sin A ＝45＞0，∴A 为锐角或钝角，当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝35，∴原式＝6.当A 为钝角时，cos A ＝－1－sin 2A ＝－35，∴原式＝5×45＋815×(－35)－7＝－34.课堂小结1．本节课学习了三角函数的基本关系，即sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2．学会了求解已知一个角的三角函数值，结合基本关系求另外两个三角函数值． 3．学会了关于sin α、cos α的齐次式的求值问题． 4．掌握了关于三角函数式的化简、证明的一般思路．1．已知α＝π，则sin 2 α＋cos 2α等于( ) A.π B ．0 C ．1 D ．无法确定【解析】 sin 2 α＋cos 2α＝1恒成立，故选C. 【答案】 C2．(2013·大纲全国卷)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513 C.513 D.1213【解析】 因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213. 【答案】 A3．已知α∈(π，32π)，tan α＝2，则cos α＝________.【解析】 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15.又α∈(π，32π)，因此cos α＝－55. 【答案】 －554．化简下列各式：(1)cos 4α＋sin 2α(1＋cos 2α)；(2)1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°. 【解】 (1)原式＝cos 4α＋(1－cos 2α)(1＋cos 2α)＝cos 4α＋1－cos 4α＝1.(2)原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.一、选择题1．下列等式中正确的是( )A ．sin 2α2＋cos 2α2＝12B ．若α∈(0,2π)，则一定有tan α＝sin αcos αC ．sin π8＝±1－cos 2π8D ．sin α＝tan α·cos α(α≠k π＋π2，k ∈Z )【解析】 选项A 中，sin 2α2＋cos 2α2＝1，所以A 不正确；利用同角的三角函数基本关系时一定要注意其隐含条件，对于B 中cos α≠0，也即α≠k π＋π2(k ∈Z )，因而B 不正确；因为0<π8<π2，所以sin π8>0，所以C 错．【答案】 D2．已知tan α＝－2，则14sin 2α＋cos 2α的值是( )A.15B.25C.225D.425【解析】 原式 14sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋1tan 2α＋1＝14×4＋14＋1＝25，故选B.【答案】 B3．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32 B ．－32 C.34 D ．－34【解析】 ∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，又π<α<54π，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32，故选B.4．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 4θ等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2【解析】 由sin θ＋sin 2θ＝1，解sin θ＝1－sin 2θ，即cos 2θ＝sin θ， 所以cos 2θ＋cos 4θ＝sin θ＋sin 2θ＝1. 【答案】 B5．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3＜m ＜9 【解析】 由平方关系得 (m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1 ∴m ＝0或8，故选C. 【答案】 C 二、填空题6．化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β的结果为________． 【解析】 原式＝sin 2α＋sin 2β(1－sin 2α)＋cos 2αcos 2β＝sin 2α＋sin 2βcos 2α＋cos 2αcos 2β＝sin 2α＋cos 2α(sin 2β＋cos 2β)＝1. 【答案】 17．(2013·大纲全国卷)已知α是第三象限角，sin α＝－13，则cot α＝________.【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－13，sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第三象限角，可得cos α＝－223，所以cot α＝cos αsin α＝2 2.【答案】 2 28．在△ABC 中，tan A ＝23，则sin A ＝________.【解析】 ∵tan A ＝sin A cos A ＝23，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝±2211.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝2211. 【答案】 2211三、解答题9．化简： 1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2(0＜α＜π2)．【解】 原式＝ (cos α2－sin α2)2＋ (cos α2＋sin α2)2＝|cos α2－sin α2|＋|cos α2＋sin α2|，∵α∈(0，π2)，∴α2∈(0，π4)． ∴cos α2－sin α2＞0，sin α2＋cos α2＞0.∴上式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2.10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α.【解】 (1)由原条件得2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1⇒2＋3tan α－3tan 2αtan 2α＋1＝1⇒4tan 2α－3tan α－1＝0得tan α＝－14或tan α＝1；(2)原式＝2tan α－34tan α－9当tan α＝－14时，原式＝720；当tan α＝1时，原式＝15.11．已知θ∈(0,2π)，且sin θ，cos θ是方程x 2－kx ＋k ＋1＝0的两个实根，求k 和θ的值．【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝k ， ①sin θ·cos θ＝k ＋1， ②由①得1＋2sin θcos θ＝k 2， 把②代入①得k 2－2k －3＝0， 解得k ＝3或k ＝－1， 当k ＝3时，sin θ·cos θ＝4不合题意，舍去．当k ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝－1，sin θ·cos θ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝0cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0，sin θ＝－1. 又θ∈(0,2π)，∴θ＝π或3π2. 综上知k ＝－1，θ＝π或3π2.已知π6<α<2π3，cos(α＋π3)＝m (m ≠0)，求tan(2π3－α)的值．【解】 由于(α＋π3)＋(2π3－α)＝π，于是cos(2π3－α)＝－cos(α＋π3)＝－m .由于π6<α<2π3，所以0<2π3－α<π2. 则sin(2π3－α)＝1－m 2.所以tan(2π3－α)＝－1－m 2m .已知2sin 2α＋2sin αcos α1＋tan α＝k (0＜α＜π2)．试用k 表示sin α－cos α的值．【解】 2sin 2α＋2sin αcos α1＋tan α＝2sin α(sin α＋cos α)1＋sin αcos α＝2sin αcos α(sin α＋cos α)sin α＋cos α＝2sin αcos α＝k .当0＜α＜π4时，sin α＜cos α，此时sin α－cos α＜0，∴sin α－cos α＝－(sin α－cos α)2＝－1－2sin αcos α＝－1－k .当π4≤α＜π2时，sin α≥cos α， 此时sin α－cos α≥0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－k .§2两角和与差的三角函数课标解读1.了解两角差的余弦公式的推导过程．2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式，两角和的正弦、余弦公式．(重点) 3.会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)两角和与差的余弦公式1. cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.2. cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.两角和与差的正弦公式1．sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(S α＋β)2．sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin β.(S α－β)给角求值求值：(1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°；(2)cos 285°cos 15°－sin 255°sin 15°； (3)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)sin(x －40°)． 【自主解答】 (1)原式＝sin 163°sin 223°＋sin(163°＋90°)sin(223°＋90°)＝sin 163°sin223°＋cos 163°cos 223°＝cos(223°－163°)＝cos 60°＝12.(2)cos 285°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos(270°＋15°)cos 15°－sin(270°－15°)sin 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin(15°＋15°)＝sin 30°＝12.(3)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos[90°－(x ＋20°)]sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋sin(x ＋20°)sin(x －40°)＝cos(x ＋20°－x ＋40°)＝cos 60°＝12.1．逆用公式C α±β，S α±β时，应依据公式的结构特征，必要时把角度和名称进行调整． 2．公式中只有两个角，运用公式求值时务必熟记公式的结构特征和符号规律．求下列各式的值： (1)cos 215°－sin 215°；(2)sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°.【解】(1)cos 215°－sin 215°＝cos 15°cos 15°－sin 15°sin 15°＝cos(15°＋15°)＝cos 30°＝32. (2)sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°＝sin 7°cos 37°－cos 7°cos(270°＋37°)＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(7°－37°)＝－sin 30°＝－12.给值求值已知α、β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值．【思路探究】 若将cos(α＋β)展开，再利用平方关系求sin β，运算量大，观察待求角β与条件角α＋β、α之间的关系，发现β＝(α＋β)－α，可利用两角差的正弦公式求解．【自主解答】 ∵α是锐角，且sin α＝437，∴cos α＝1－sin 2α＝1－(437)2＝17.又∵sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1－(－1114)2＝5314，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)．sin α＝5314×17－(－1114)×437＝32.1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系．2．常见角的变换为(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α； (2)α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)； (3)(π4＋α)＋(π4＋β)＝π2＋(α＋β)； (4)(π4＋α)＋(π4－β)＝π2＋(α－β)．将本例中条件“已知α、β是锐角”改为“α、β都是钝角”．仍求sin β的值．【解】 ∵α是钝角且sin α＝437，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(437)2＝－17.∵α、β为钝角且cos(α＋β)＜0，∴180°＜α＋β＜270°，∴sin(α＋β)＝－1－cos 2(α＋β)＝－1－(－1114)2＝－5314，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝－5314×(－17)－(－1114)×437＝32.给值求角已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．【思路探究】 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．【自主解答】 ∵α、β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22.又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0. 故α－β＝－π4.1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，角可求解．2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．【解】 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2 α＝1－(17)2＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－(1314)2＝3314.由β＝α－(α－β)得∴cos β＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.忽略讨论角的范围致误已知在△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .【错解】 ∵sin A ＝35，∴cos A ＝±45.∵cos B ＝513，∴sin B ＝1213，于是cos C ＝cos[π－(A＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35·1213－513·(±45)．故cos C ＝1665或cos C ＝5665.【错因分析】 这个解答看似正确，其实没有慎重讨论角的范围． 【防范措施】 若不注意三角形的内角和为180°，即不认真讨论角的范围，就会多出一个错误答案cos C ＝5665.处理的方法是找出正弦函数值与sin A ＝35最接近的角30°和45°以及余弦函数值与cos B ＝513最接近的角60°和90°，切忌找的角范围过大或过小．【正解】 ∵sin A ＝35，∴cos A ＝±45.∵cos B ＝513，∴sin B ＝1213，于是cos C ＝cos[π－(A＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×1213－1513×(±45)．即cos C ＝1635或cos C ＝5665.但12<sin A ＝35<22，∴30°<A <45°或135°<A <150°.又∵0<cos B＝513<12，∴60°<B <90°，∴90°<A ＋B <135°或195°<A ＋B <245°(舍去)．从而cos C ＝5665应舍去，故cos C ＝1665.课堂小结1．本节课学习了利用向量法推导cos(α－β)公式，并且利用诱导公式推出cos(α＋β)、sin(α±β)的公式．2．学会了给角求值、给值求值、给值求角等问题的处理思路． 3．初步掌握了cos(α±β)、sin(α±β)公式的正用、逆用、变形应用． 4．初步掌握了辅助角公式的应用，并体会了转化思想的应用．1．cos 57°cos 12°＋sin 57°sin 12°的值是( )A ．0 B.12 C.32 D.22【解析】 原式＝cos(57°－12°)＝cos 45°＝22. 【答案】 D2．在△ABC 中，如果sin A ·sin B ＜cos A ·cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 【解析】 ∵sin A ·sin B ＜cos A ·cos B ∴cos(A ＋B )＞0， 故－cos C ＞0，∴cos C ＜0，∴C 为钝角． 【答案】 D 3．(2013·江西高考)设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由于f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，则|f (x )|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6≤2，要使|f (x )|≤a 恒成立，则a ≥2. 【答案】 [2，＋∞)4．设α∈(0，π2)，若sin α＝45，求2cos(α－π4)的值．【解】 ∵α∈(0，π2)，sin α＝45， ∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－(45)2＝35，∴2cos(α－π4)＝2(cos αcos π4＋sin αsin π4) ＝2(35×22＋45×22)＝75.一、选择题1．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin 2x B ．cos 2y C ．－cos 2x D ．－cos 2y 【解析】 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos 2y .故选B. 【答案】 B 2．对任意的锐角α，β，下列不等关系中一定成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．sin(α－β)>sin α－sin β C ．cos(α＋β)<cos α＋cos β D ．cos(α－β)<cos α－cos β【解析】 α，β为任意锐角，在(0，π)上余弦函数是减函数，显然cos α>0，cos β>0，cos(α＋β)<cos α，所以C 一定成立． 【答案】 C3．已知α和β都是锐角，且sin α＝513，cos(α＋β)＝－45，则sin β的值是( )A.3365B.1665C.5665D.6365【解析】 ∵α、β都是锐角，∴cos α＝ 1－(513)2＝1213，sin(α＋β)＝ 1－(－45)2＝35.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝35×1213－(－45)×513＝5665.【答案】 C4．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( )A.925B.1625C.12 D ．－12【解析】 由sin α＋sin β＝45①cos α＋cos β＝35②①2＋②2，得2(sin αsin β＋cos αcos β)＝－1. ∴cos(α－β)＝－12. 【答案】 D5．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2，(x ∈[0，π2])的最小值是( )A ．2－2B ．2＋2C ．3D ．1【解析】 y ＝2(22sin x ＋22cos x )＋2＝2sin(x ＋π4)＋2.∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4]．当x ＝0或x ＝π2时，y min ＝2×22＋2＝3. 【答案】 C二、填空题6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.【解析】 由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， (cos α－sin α)(cos β＋sin β)＝0. 因为α，β均为锐角，所以cos β＋sin β>0， 所以cos α－sin α＝0，即tan α＝1. 【答案】 1 7．sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝________. 【解析】 原式＝sin(65°－x )·sin[90°－(x －20°)]＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝cos[(65°－x )－(110°－x )]＝cos(65°－110°)＝cos 45°＝22. 【答案】 228．(2013·课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.【解析】 y ＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫15sin x －25cos x ， 设15＝cos α，25＝sin α，则y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)．∵x ∈R ∴x －α∈R ，∴y max ＝ 5. 又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎩⎨⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255. 【答案】 －255三、解答题9．已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，求cos(α＋π4)的值．【解】 ∵α、β∈(3π4，π)，∴α＋β∈(3π2，2π)．∴cos(α＋β)＝1－sin 2(α＋β)＝45.又β－π4∈(π2，3π4)，∴cos(β－π4)＝－513.∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665. 10．如图3－2－2，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置P 0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α(0＜α＜π2)到达点P 1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动角π3到达点P 2，若点P 2的横坐标为－45，求cos α的值．【解】 由题意，结合三角函数的定义可知cos(α＋π3)＝－45，又α∈(0，π2)，∴sin(α＋π3)＝35，∴cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3)sin π3＝－45×12＋35×32＝33－410.11．(2012·广东高考)已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f (π3)＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值．【解】 (1)由f (π3)＝2得A cos(π12＋π6)＝2，即A ·cos π4＝2，∴A ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2cos(x 4＋π6)．由⎩⎨⎧f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85得⎩⎨⎧2cos (α＋π3＋π6)＝－3017，2cos (β－π6＋π6)＝85，解得⎩⎨⎧sin α＝1517，cos β＝45.∵α，β∈[0，π2]，∴cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.已知a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈R ，f (x )＝a·b . (1)求f (x )的表达式；(2)求函数f (x )的周期、值域、单调区间． 【解】 (1)f (x )＝a·b ＝(3，－1)·(sin x ，cos x )＝3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2(sin x cos π6－cos x sin π6)＝2sin(x －π6)．(2)T ＝2π|ω|＝2π，值域[－2,2]．由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z . 得单调增区间为[2k π－π3，2k π＋23π]，k ∈Z ；由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得单调减区间为[2k π＋23π，2k π＋53π]，k ∈Z .已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求角φ的值．【解】 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，则cos 2θ＝15，sin 2θ＝45.又∵θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，∴cos φ＝sin φ，tan φ＝1. 又0<φ<π2，故φ＝π4.2．3 两角和与差的正切函数课标解读1.能利用两角和(或差)的正、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)2.掌握公式T α±β及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)两角和与差的正切函数公式名称 简记符号 公式使用条件两角和的正切T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z ) 且tan α·tan β≠1两角差的正切T (α－β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z ) 且tan α·tan β≠－1给角求值求下列各式的值： (1)1＋tan 75°1－tan 75°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.【自主解答】 (1)法一 tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋ 3. ∴1＋tan 75°1－tan 75°＝1＋2＋31－2－3＝3＋3－1－3＝－232＝－ 3.法二1＋tan 75°1－tan 75°＝tan 45°＋tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－tan 60°＝－ 3.(2)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，可变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，∴tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30° ＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝tan 45°＝1.1．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．已知α＋β＝45°，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值．【解】 ∵α＋β＝45°，∴tan(α＋β)＝tan 45°＝1.又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， 即tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴原式＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.给值求值已知tan(π12＋α)＝2，tan(β－π3)＝22，求(1)tan(α＋β－π4)；(2)tan(α＋β)．【自主解答】 (1)∵α＋β－π4＝(π12＋α)＋(β－π3)，∴tan(α＋β－π4)＝tan[(π12＋α)＋(β－π3)]＝tan (π12＋α)＋tan (β－π3)1－tan (π12＋α)tan (β－π3)＝2＋221－2×22＝32－3＝－ 2.(2)∵α＋β＝(α＋β－π4)＋π4，∴tan(α＋β)＝tan[(α＋β－π4)＋π4]＝tan (α＋β－π4)＋tanπ41－tan (α＋β－π4)tanπ4＝－2＋11＋2＝22－3.三角函数的条件求值问题，首先应从所求角和已知角的关系入手，分析寻找已知角与待求角的关系，然后再根据角的关系选择恰当的公式．本例条件不变，求tan(α－β＋5π12)．【解】 tan(α－β＋5π12)＝tan[(π12＋α)－(β－π3)]＝tan (π12＋α)－tan (β－π3)1＋tan (π12＋α)tan (β－π3)＝2－221＋2·22＝－25.给值求角已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值．【思路探究】由sin β求tan β→求α＋2β的范围→求tan(α＋β)→求tan(α＋2β)→求α＋2β的值【自主解答】 ∵tan α＝17＜1且α为锐角，∴0＜α＜π4.又∵sin β＝1010＜5010＝22且β为锐角，∴0＜β＜π4，∴0＜α＋2β＜3π4. ①由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010，∴tan β＝13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋131－17×13＝12.∴tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝12＋131－12×13＝1. ②由①②可得α＋2β＝π4.1．本题中，隐含着角α，β的范围，需通过tan α和sin β缩小其范围，这是本题的一个难点．2．已知三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角．必要时，可利用值缩小角的范围．已知tan α、tan β是方程x 2＋3 3x ＋4＝0的两根，－π2<α<π2，－π2<β<π2，求α＋β的值．【解】 ∵tan α＋tan β＝－3 3<0，tan αtan β＝4>0，∴tan α<0，tan β<0.∵－π2<α<π2，－π2<β<π2， ∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0.∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3 31－4＝ 3.∴α＋β＝－2π3.对角的范围讨论不准确而致误已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(－π，0)，求2α－β的值．【错解】 错解1 因为α＝(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(－π，0)，所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13.又因为2α－β＝α＋(α－β)，所以tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝13＋121－13×12＝1.而α，β∈(－π，0)，则2α－β∈(－2π，π)，所以2α－β＝π4或－3π4或－7π4.错解2 因为α＝(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(－π，0)，所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13.又因为2α－β＝α＋(α－β)，所以tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝13＋121－13×12＝1.而tan α＝13>0，tan β＝－17<0，α，β∈(－π，0)，则α∈(－π，－π2)，β∈(－π2，0)，那么2α－β∈(－2π，－π2)，所以2α－β＝－3π4或－7π4.【错因分析】 以上解答过程中，错解1没有对角的取值范围进一步精确化，而错解2对角的取值范围的考虑不全面，均存在一定的问题，造成解答错误．【防范措施】 在给值求角问题的求解过程中，要善于根据题设中角的取值范围对给出的三角函数值(式)进行分析，利用三角函数值(式)的特征对角的取值范围进一步加以精确化．【正解】 因为α＝(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(－π，0)，所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13.又因为2α－β＝α＋(α－β)，所以tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝13＋121－13×12＝1.而tan α＝13>0，tan β＝－17<0，α，β∈(－π，0)，则α∈(－π，－π2)，β∈(－π2，0)，那么α－β∈(－π，0)，而tan(α－β)＝12>0，则有α－β∈(－π，－π2)，结合α∈(－π，－π2)，则有2α－β∈(－2π，－π)，所以2α－β＝－7π4.课堂小结1．本节课学习了两角和与差的正切函数，明确了它的产生过程以及公式成立的条件． 2．掌握了tan(α±β)公式的正用、逆用、变形灵活运用，以及角的拼凑．3．掌握了正弦、余弦、正切公式综合应用的技巧和方法，能处理一些简单的综合问题．1．若α、β∈(0，π2)且tan α＝12，tan β＝13，则tan(α＋β)＝( )A ．－1B ．1 C.32 D ．－32【解析】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋131－12·13＝1. 【答案】 B2．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(2α－β)的值为( )A ．－34 B.98 C ．－98 D.112【解析】 ∵tan α＝12，tan(α－β)＝－25，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝12＋(－25)1－12×(－25)＝112.【答案】 D3．若锐角α，β满足(1＋3tan α)·(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.【解析】 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝3，又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3. 【答案】 π34．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan (α＋β)－tan α－tan βtan 2βtan (α＋β)的值．【解】 原式＝tan (α＋β)－(tan α＋tan β)tan 2βtan (α＋β)＝tan (α＋β)－tan (α＋β)(1－tan αtan β)tan 2βtan (α＋β)＝tan (α＋β)[1－(1－tan αtan β)]tan 2βtan (α＋β)＝tan αtan β＝sin α·cos βsin β·cos α. 由条件知，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12. ①sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13. ②∴①×6－②×9，得sin αcos βsin βcos α＝5，即原式＝5.一、选择题1．已知α∈(－π2，0)，sin α＝－45，则tan(α＋π4)＝( )A ．－7B ．－17 C.17D ．7【解析】 ∵α∈(－π2，0)，sin α＝－45，∴cos α＝35，∴tan α＝－4535＝－43，∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－431＋43＝－17. 【答案】 B2．tan 20°tan 50°＋tan 20°tan 60°－tan 60°tan 50°等于( ) A ．1 B ．－1 C. 3 D ．－ 3 【解析】 原式＝tan 20°(tan 50°＋tan 60°)－tan 60°tan 50°＝tan 20°tan 110°(1－tan 50°tan 60°)－tan 60°tan 50°＝tan 20°(－tan 70°)(1－tan 50°tan 60°)－tan 50°tan 60° ＝－(1－tan 50°tan 60°)－tan 50°tan 60°＝－1. 【答案】 B 3．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【解析】 (1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°，①又∵tan 45°＝tan(17°＋28°) ＝tan 17°＋tan 28°1－tan 17°tan 28°，∴①式＝1＋(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°＝2. 同理(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝2. ∴原式＝4.故选B. 【答案】 B4．在△ABC 中，tan A ＝13，tan B ＝－2，则角C 的值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】 C ＝π－(A ＋B )，∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－13－21＋13×2＝1， ∴C ＝π4，故选B. 【答案】 B5．设tan θ和tan(π4－θ)是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则p 、q 之间的关系是( )A ．p ＋q ＋1＝0B ．p －q ＋1＝0C ．p ＋q －1＝0D ．p －q －1＝0【解析】 ∵tan θ＋tan(π4－θ)＝－p ，tan θ·tan(π4－θ)＝q ，π4＝θ＋(π4－θ)，∴tan π4＝tan[θ＋(π4－θ)]＝－p 1－q ＝1，∴p －q ＋1＝0. 【答案】 B二、填空题6．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.【解析】 ∵α为第三象限的角，则2k π＋π≤α≤2k π＋3π2，∴4k π＋2π≤2α≤4k π＋3π(k∈Z )．又cos 2α＝－35，∴sin 2α＝45，tan 2α＝－43，∴tan(π4＋2α)＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－17.7．已知α、β、γ都是锐角，且tan α＝12，tan β＝15，tan γ＝18，则α＋β＋γ＝________.【解析】 ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋151－12×15＝79，tan(α＋β＋γ)＝tan (α＋β)＋tan γ1－tan (α＋β)tan γ＝79＋181－79×18＝1，由于tan α＝12＜33.且α为锐角，∴0＜α＜π6，同理0＜β＜π6，0＜γ＜π6∴0＜α＋β＋γ＜π2，∴α＋β＋γ＝π4.【答案】 π48．若a ，b 是非零实数，且a sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5＝tan 8π15，则ba ＝________.【解析】 ∵a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝tan π5＋b a 1－b a tan π5＝tan 8π15＝tan(π5＋π3)＝tan π5＋tanπ31－tan π5·tanπ3，∴b a ＝tan π3＝ 3. 【答案】 3 三、解答题9．已知tan α，tan β是方程mx 2＋(2m －3)x ＋(m －2)＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．【解】 由题设知，tan α＋tan β＝－2m －3m ，tan α·tan β＝m －2m.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3－2m m 1－m －2m＝32－m ，又Δ＝(2m －3)2－4m (m －2)≥0，∴4m 2－12m ＋9－4m 2＋8m ≥0，∴－4m ＋9≥0，即m ≤94，∴－m ≥－94，∴32－m ≥32－94＝－34，即tan(α＋β)≥－34.因此tan(α＋β)的最小值为－34.10．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．【解】 由tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C ) ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝3－3tan B tan C tan B tan C －1＝－3， 而0°<A <180°，∴A ＝120°. 由tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan B tan A tan B －1＝tan A ＋tan B 3tan A ＋3tan B ＝33，而0°<C <180°，∴C ＝30°，∴B ＝30°，∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．【解】 (1)由cos β＝55，β∈(0，π)得sin β＝255，tan β＝2.于是tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝1010，cos α＝－31010.f (x )＝2(sin x ·cos α－cos x ·sin α)＋cos x ·cos β－sin x ·sin β＝2(－31010·sin x －1010·cos x )＋55cos x －255sin x＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x ，所以f (x )的最大值为 5.是否存在锐角α和β，使得(1)α＋2β＝2π3.(2)tan α2tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．【解】 由(1)得α2＋β＝π3，∴tan(α2＋β)＝tan π3，即tan α2＋tan β1－tan α2·tan β＝ 3.把条件(2)代入上式，得tan α2＋tan β＝3×(1－2＋3)＝3－3 (3)由(2)(3)知tan α2tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个实数根．解这个方程，得⎩⎪⎨⎪⎧tan α2＝2－3tan β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧tan α2＝1tan β＝2－3.∵α是锐角，∴0＜α2＜π4，∴tan α2≠1，故tan α2＝2－3，tan β＝1.∵0＜β＜π2，由tan β＝1，得β＝π4，代入(1)，得α＝π6.∴存在锐角α，β使两个条件同时成立．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求证：tan A ＝2tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．【解】 (1)已知sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，⎩⎨⎧sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin (A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝15，解得⎩⎨⎧sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15，两式相除可得tan A ＝2tan B ，得证；(2)∵△ABC 是锐角三角形，∴π2＜A ＋B ＜π，由sin(A ＋B )＝35可求得cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－45，∴tan(A ＋B )＝sin (A ＋B )cos (A ＋B )＝－34， 即tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B＝－34(*)将(1)tan A ＝2tan B 代入(*)式整理可得2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，舍去负值，所以tan B ＝2＋62则tan A ＝2tan B ＝2＋6， 设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6由AB ＝3，可得CD ＝2＋6， 所以AB 边上的高等于2＋ 6.。