概率统计第九讲2003学年第一学期用
概率统计课件
4
2
x+y=4
0
2
x 图 3 .1
由 图 3 .1得
P ( X + Y 4 ) = 1
8
0 2
4 x
(6
2
x
y )d yd x
= 1
8
0 2
(0 .5
x
2
4x
6 )d x
2. 3
6 .设 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p(x,y)=
k e - ( 3 x + 4 y ) , x
y
( 0 . 5
0
y y )d y
9 .设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 联 合 随 机 密 度 为
p ( x , y ) =
6(1-y), 0<x<y<1,
0,
其他.
(1 ) 求 P ( X 0 .5 , Y 0 .5 ) ;
( 2 )求 P ( X 0 .5 )和 P (Y 0 .5 );
13.设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p(x,y)=
1/2, 0<x<1,0<y<2, 0 ,其 他 .
求X与Y中至少有一个小于0.5的概率。
解 ： 两 件 事 {X<0.5}与 {Y<0.5}中 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率 为
P({X<0.5}{Y<0.5})=1-P(X 0.5,Y 0.5)=1-
行和
0.02814 0.15295 0.31891 0.31891 0.15295 0.02814 1.00000
概率统计各章节知识点总结.ppt
第一章
概率的计算
1）统计定义： fn ( A) n 稳定值 P( A)
2）概率的性质：1~5
3）等可能概型：P(
A)
m n
4）条件概率：P(B
A)
k m
P( AB) P( A)
独立
5）乘法定理： P( AB) P( A)P(B A) P(A)P(B)
1 P(A B)
A AB1 U AB2
1 n
n k 1
Xk
P
p
X1, X 2 , , X n , 相互独立
E( Xk ) 同分布
1
n
n k 1
Xk
P
n
X1 , X 2 , , X n , 相互独立
X k n 近似
同分布E( X k ) D( X k ) 2 k1 n
~ N (0,1)
Xn ~ B(n, p)
Xn np
X ~ N (, 2 ) Th1 X ~ N (, 2 n),
Th2
X1, X 2 , , X n (n 1)S 2 2 ~ 2(n 1) 独立
X , S 2
1n X n i1 X i
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
X ~ t(n 1)
Sn
第六章
常用统计量及抽样分布
2统计量
6）全概率公式：P( A) P(B1 )P( A B1 ) P(B2 )P( A B2 )
7）贝叶斯公式：P(B1
A)
P(B1 )P( A B1 ) P( A)
A
B1
互斥
B2
第二章
随机变量概率分布
离散型随机变量
连续型随机变量
概率统计课件
概率统计课件每位教师都需要撰写教案课件，以便上好课。
但是，教案课件中的知识点需要设计得好。
为了适应学生反应多样性的特点，需要调整教学策略。
本文将从多个角度全面阐述并探讨“概率统计课件”，希望您能从中获得有用的信息！概率统计课件【篇1】教学目标：1、经历收集数据、整理数据、分析数据的活动，体现统计在实际生活中的应用。
2、在运用统计知识解决实际问题的过程中，发展统计观念。
教学重点和难点：发展统计观念教学准备：投影片教学过程：一、创设情境我们班要和希望小学的六（1）班建立手拉手班级。
你准备怎样向他们介绍我们班的情况呢？（1）列出几个你想调查的问题，全班交流后，选择3个问题开展调查。
（2）你需要收集哪些数据？与同伴交流收集数据的方法。
（3）实际开展调查，把数据记录下来，并进行整理。
（4）分析上面的数据，，你能够得到到哪些信息？【设计意图】教师注重在以下方面引导：第一，调查问题的提出。
教师可以引导学生调查他们在以下比较感兴趣的问题。
需要注意的是，学生提出的问题的意识是非常重要的，对于没有采纳的问题，教师可以通过多种评价方式激励学生。
第二，组织讨论需要收集那些数据以及收集数据的方法。
第三，组织小组有效的开展收集和整理数据的活动。
统计活动往往需要小组合作进行，教师应引导学生讨论小组如何分工、如何实施调查和记录数据、如何整理数据等。
第四，组织学生对数据进行比较充分的讨论。
第五，引导学生回顾统计活动，使学生体会到，在统计活动中我们一般经历提出问题收集数据整理数据分析数据做出决策的过程。
二、收集在生活中应用统计的例子，并说说这些例子中的数据报告诉人们哪些信息？例如，调查我们班级近视情况，这个统计活动既可以帮助学生建立统计观念，也可以引导学生探讨近视的原因，改善不良习惯。
也可以选择班级同学的身高、体重、姓氏、喜欢的颜色等开展统计调查。
【设计意图】重点让学生体会本次统计数据给我们带来的信息，从而引导做出相应的决策。
三、教师空间（针对班级情况适当补充）作业设计：教师可以组织一次班会活动，目的是增进同学之间的互相了解和交流。
第九讲 区间数、模糊数.模糊积分
为模糊数, 除运算如下： 定义 设A, B为模糊数 则定义其加、减、乘、除运算如下： 为模糊数 则定义其加、 ∀z∈R, ∈ (A+B)(z)=∨x+y=z(A(x)∧B(y)), ∨ ∧ (A−B)(z)=∨x−y=z(A(x)∧B(y)), − ∨− ∧ (A⋅B)(z)=∨x⋅⋅y=z(A(x)∧B(y)), ⋅ ∨ ∧ (A÷B)(z)=∨x÷y=z(A(x)∧B(y)). ÷ ∨÷ ∧ 直接利用上述定义计算是非常困难的, 直接利用上述定义计算是非常困难的, 就是计算简单 的三角模糊数的和, 也要用到条件极值的相关知识。 的三角模糊数的和 也要用到条件极值的相关知识。
2. 区间数的运算 问题：如何定义区间数的运算呢? 问题：如何定义区间数的运算呢 考虑对加法运算的基本要求： 考虑对加法运算的基本要求 ： (1) 区间数相 加的结果应是区间数; 加的结果应是区间数 (2) 参与运算的两个区间 中的实数, 按普通实数加法相加的结果, 中的实数 按普通实数加法相加的结果 应包含 和区间数”所代表的区间中, 在“和区间数”所代表的区间中 即
其中X是基本 样本) 是基本(样本 所谓概率空间是指三元组 (X, Α, P), 其中 是基本 样本 空间, Α是X上的σ-域(σ-代数 P是概率测度 严格的定义如 空间 上的 域 代数), 是概率测度, 代数 是概率测度 下： 若满足： 定义 设Α ⊆P(X), 若满足： (1) X∈Α; ∈ (2) A∈Α ⇒ Ac∈Α; ∈ (3) An∈Α ⇒ ∪∞n=1An∈Α． 则称Α为σ-域, 亦称σ-代数。称(X, Α)为可测空间 A称为 域 代数。 为可测空间, 称为 代数 为可测空间 可测集。 可测集。 n 容易验证: 容易验证 ∅∈Α; Ai∈Α ⇒∪ i=1Ai∈Α; A, B∈Α ⇒ A∩B∈Α, ∈ ∩ ∈ A−B∈Α; An∈Α ⇒ ∩∞n=1An∈Α． − ∈
第9讲条件分布
f X ( x)
f ( x, y)dy
2
1 21 2 x y d y , | x | 1 , x 4 0, 其他 .
21 2 4 8 x (1 x ), | x | 1, 0, 其他 .
当 x(-1,1)时，fX(x)>0，
定义2：设X和Y是随机变量，给定 y, 若对 任意固定正数ε，P( y-ε<Y ≤ y+ε) > 0，且对任意 实数 x，极限 P{ X x, y Y y } lim 0 P{ y Y y }
存在，则称此极限为在条件 Y=y下X的条件分 布函数，记成 FX|Y(x|y)。若存在 fX|Y(x|y), 使得
2y 2 f ( x, y ) 1 x 4 , x y 1, fY | X ( y | x ) f X ( x) 0, 其他 .
2y 2 1 x 4 ， x y 1， 1 将 x 代入 fY | X ( y | x) 2 0， 其他，
3.5.2 离散型随机变量的条件分布 定义1: 设 (X, Y) 是二维离散型随机向量， 对固定的 j，若 P(Y=yj) > 0，则称
P(X=xi |Y=yj)=
P ( X xi , Y y j ) P (Y y j )
pi j p j
，i=1,2, …
为在Y=yj 条件下, 随机变量X的条件概率分布。
对固定的 i，若P(X=xi) > 0，则称
P(Y=Yj |X=xi)=
P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) pi j pi
，j=1,2, …
《概率统计》
《概率统计》作为数学的一门重要分支，概率统计始终是各个学科领域中必备的一门学科。
概率统计研究的是随机现象，通过对概率和统计的定量研究，可以让我们更好地理解某些规律性现象，并可以提高我们对未知事物的预测能力。
概率是用来研究和描述随机事件发生的可能性的。
在概率统计中，我们把事件发生的概率用P(A)表示，其中A表示某个事件。
在这个统计学领域中，我们基于一些假设，可以计算出某个事件发生的概率。
概率是在一些可重复的事件中，我们所感兴趣的特定事件发生的可能性，通常表示为百分数或比率。
对于任何一个随机事件，概率的大小范围是[0,1]，其中0表示这个事件从未发生，而1表示这个事件一定会发生。
统计学是用来研究人群中某种特定性质的学科。
在概率统计中，我们可以通过数量化样本来推断人群或总体的性质。
统计学包括描述统计和推断统计。
描述统计可以通过对样本中的数据进行总结和分析，描述样本性质的分布。
推断统计是通过样本数据推断总体数据的特征。
概率统计是千变万化的，它应用于众多领域，包括风险管理、天气预报、金融市场等一系列领域。
在金融市场中，概率统计可以应用于股票分析、期货交易等各个领域。
在医学领域，概率统计可以用来预测某种治疗方法的有效性或某种疾病的发病率。
在社会科学领域，概率统计可以用来研究人口趋势、教育程度和就业状况等。
除了应用于各个领域，概率统计也是很多学生学习时必须具备的基本知识。
学习概率统计可以帮助我们理解和预测某些事物发生的概率，从而帮助我们做出更好的决策。
总之，概率统计是一门重要的学科，应用广泛，涵盖众多领域，不管是各个学科领域还是应用于实际生活中，概率统计都有着重要的作用。
学习概率统计可以让我们更好地理解和分析数据，并且可以在实际生活中给我们提供更多的决策参考。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第九讲 统计与概率(含答案)
第九讲统计与概率趣题引路】1991年1月美国人塞望（M.Savan）女士在《检阅》杂志上刊登了一则趣题，当时曾引来了从小学生到大学教授上万封来信讨论.题目是：主持人指着三扇关闭的门，说：“其中两扇门是空的，有一扇门里有1辆车，请你选一扇门，如果选中了有车的那一扇，就可开走这辆车．”同时问约翰：“你是否愿意重选另一扇未被打开的门？”请你帮助约翰出个主意.解折由概率理论应该换，若不换的话得到车的概率是12；若换的话得到车的概率是23.知识延伸】自从出现了人类社会，就不可避免地产生社会性的生产活动、经济活动、教育活动和军事活动，这些活动中处处都有数据存在，于是也就出现了各种统计工作，如人口统计、资源统计、经济统计等等．统计学是一门与数据密切相关的学问，研究如何搜集、整理、计算和分析数据，然后从中找出一些规律．众数、中位数、平均数都是从不同的侧面反映了一组数据的集中趋势；方差则是反映一组数据波动大小的量；频率分布表和频率分布直方图则是从数和形的角度反映了落在某一范围内数据的多少．在日常生活中概率也是应用最广的运算．如早晨去上学，要不要带雨具，就要根据“降水概率”的大小来决定；又如每个家庭除了日常生活开支之外，都要有点积蓄，因为对于一个有学前儿童的家庭来说，儿童从六岁起要进行九年义务教育，需要各种开支，这是必然事件；家庭成员在某种情况下可能会生病，这是随机事件.不管你是自觉的，还是不自觉的，概率都在我们的头脑中起作用．事件A的概率（Probab i l i ty）用P（A）来表示，有0≤P（A）≤1.若A是必然事件，则它的概率是1，即P（A）＝1；若A是不可能事件，则它的概率是0，即P（A）＝0.一般地，在大量重复进行同一试验时，如果事件A发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做事件A的概率，记为P（A）.例1】在桌面上掷若干枚硬币，回答下列问题：（1）3枚硬币，第1枚出现正面，第2枚出现反面，第3枚出现正面的概率是多少？（2）3枚硬币，其中2枚出现正面，1枚出现反面的概率是多少？（3）3枚硬币，第1枚出现正面，第2枚出现反面，问第3枚出现正面的概率是多少？解析（1）设“依次掷3枚硬币，第1枚出现正面，第2枚出现反面，第3枚出现正面”这一事件为A，“第1枚出现正面”这一事件为A1，“第2枚出现反面”这一事件为A2，“第3枚出现正面”这一事件为A3，则事件A的发生过程包含三步：先发生事件A1，再发生事件A2，最后发生事件A3，P（A1）、P（A₂）、P（A3）都是12，所以P（A）＝P（A1）×P（A₂）×P（A3）＝1111=2228⨯⨯.(2) 因为掷3枚硬币从其正反面的情况来看共有8种可能：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）.其中“2正1反”的情况共有3种，所以3枚硬币其中2枚出现正面，1枚出现反面的概率是3 8（3）因为第3枚出现正面还是反面与前两枚的结果无关，所以第3枚出现正面的概率仍为12． 点评】（1）中首先要求事件A 1出现，在这个条件下有事件A 2出现，然后再有事件A 3的出现，这三个事件全部先后发生才意味着事件A 出现，所以是相乘关系.（2）（3）两题.虽然3枚硬币的最终情况都是“2正1反”，但题（3）中，由于“第1枚出现正面第2枚出现反面”的前提已经存在，因此只要考虑“第3枚出现正面”的概率．例2】已知一组数x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…x k 出现f k 次，且I 2k f f f n +++=，求()()()1121k k f x x f x x f x x ++-++-的值.（x 是这n 个数的平均数）.解析 ∵1122112212k k k kk f x f x f x f x f x f x x f f f n++++++==+++∴1122k k f x f x f x nx +++=∴()()()1122k k f x x f x x f x x -+-++-＝()()112212k k k f x f x f x f f f x +++-+++＝0nx nx -=点评】这是应用加权平均数公式，在推导过程注意灵活运用公式和法则．好题妙解】佳题新题品味例1】（1）五个数3，1，6，3，x 的平均数是4，求x ；（2）一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差是a ，则x 1－2，x ₂－2，…，x n －2的方差是多少？（3）某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，求这个射手在这次射击中：①射中10环或9环的概率；②不够8环的概率．解析（1）由题意知1(1336)45x ++++=，解得x ＝7；（2）设12,,,n x x x 的平均数为x ，则()()()222121n a x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦.数122,2,,2n x x x ---的平均数为()()()()12121122222n n x x x x x x x n n ⎡⎤-+-+⋯+-=+++-=-⎣⎦，∴122,2,,2n x x x ---的方差＝()()(){}2221212(2)]2(2)2(2)n x x x x x x n ⎡⎤---+---++---⎡⎡⎤⎣⎣⎦⎣⎦＝()()()222121n x x x x x x a n ⎡⎤-+-++-=⎣⎦（3）①射中10环或9环的概率＝0.24＋028＝0.52，②不够8环的概率＝1－（Q .24＋0.28＋0.19）＝0.29. 点评】弄清平均数，方差、概率的概念是解题的关键．例2】已知样本容量为30，样本频率分布直方图如图9－1，各小长方形的高之比为AE :BF :CG :DH ＝2：4：3：1.求：（1）第二组的频率； （2）第二小组的频数.图91数据解析（1）∵小长方形的面积表示相应范围的数据的频率如设AE ＝2x ，BF ＝4x ，CG ＝3x ，DH ＝x .小方形的底长为a ，故有从左到右四个范围内的数据频率之比为2xa ：4xa ：3xa :xa ＝2：4：3：1 ∴第二组的频率为40.41234=+++，第二组的频数为0.4×30＝12.点评】（1）在频率分布直方图中小长方形的面积为频率．因而这样的小长方形面积之和为1；小长方形的高之比为频率之比.（2）要在给出数据和具体要求下会画频率分布直方图.例3】对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查，分别抽取5件、10件、60件、150件、600件、900件、1200件、1800件，检查结果如下表所示：求该厂产品的合格率 解析 从上表的数据可看到，当抽取件数（即重复试验次数）n 越大，“一件产品合格”事件发生的频率mn越接近n 常数0.9，所以“一件产品合格”的概率约为0.9，我们通常说该厂产品的合格率为90%. 点评】事件A 发生的频率接近某个常数这个常数就是事件A 的概率，反映了事件A 发生的可能性的大小.中考真题赏析例1】（福州市中考题）甲，乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射靶10次，将射击结果作统计分析如下：（1）请你填上表中乙同学的相关数据；（2）所学的统计学知识，利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平.解析（1）均数是7，众数是7，方差是1.2；（2）根据甲、乙两学生的射击环数、平均数、众数、方差，用一种数据或多种数据进行合理评价． 点评】本题综合运用统计学知识来解决实际问题，因未说明从何种角度来考虑，所以这是一道开放性试题..例2】（江苏省徐州市中考题）为了了解高中学生的体能情况，对100名学生进行了引体向上次数测试，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图如图9－2，图中从左到右依次为第1，2，3，4，5组. （1）第1组的频率为多少？频数为多少？（2）若次数在5次（含5次）以上为达标，求达标率； （3）这100个数据的众数和中位数一定落在第3组吗？图92解析（1）：对于第一小组而言，频率组距＝0.05，而组距为2， ∴频率＝0.05×2＝0.1， 又∵频数数据总数＝0.1∴频数＝0.1×100＝10（人）；（2）次数在5次或5次以上的频率为（0.175＋0.125＋0.05）×2＝0.65，达标率为65%；（3）显然，次数出现最多的数不能确定在哪一组.故众数不一定在第三组.又因为引体向上次数由小到大排列，第一组有10个数据，第二组有25个数据，第三小组有35个数据，前三组共计有70个数据，.可以断定，中位数一定在第三组内点评】要真正弄清频率与频数的关系，再弄清频率分布直方图的意义和其中小长方形的意义．竞赛样题展示例1】（2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题）已知数据x 1，x ₂，x 3的平均数为a ；y 1、y 2、y 3的平均数为b ，则数据2x 1＋3y 1，2x 2＋3y 2，2x 3＋3y 3的平均数为.解析∵x 1，x ₂，x 3的平均数为a ，∴3a ＝x 1，x ₂，x 3， ∵y 1、y 2、y 3的平均数为b ， ∴3b ＝y 1、y 2、y 3∴2x 1＋3y 1，2x 2＋3y 2，2x 3＋3y 3的平均数()()()1122332323233x y x y x y x +++++=＝()()12312323233333x x x y y y a b+++++⨯+⨯==＝2a ＋3b .点评】弄清研究的对象，了解平均数的概念是关键例2】（第16届江苏省竞赛题）编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中，15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加14，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加14，问原来在篮子A 中有多少个弹珠？ 解析设原来篮子A 中有弹珠x 个，则篮子B 中有弹珠（25－x ）个，又设原来A 中弹珠号码数的平均数为a ，B 中弹珠号码数的平均数为b ，由题意，得 (25)122532515114(25)151264ax x b ax a x b x b x ⎧⎪+-=+++=⎪-⎪-=⎨-⎪-+⎪-=⎪-⎩①②③ 由②得，+59=4x a ④，由③得344x b +=⑤ 将④⑤代入①得1125(59)(34)(34)=325444x x x x x +-+++解得x ＝9.即原来篮子A 中有9个弹珠.点评】用字母分别表示篮子A 、B 弹珠数及相应的平均数，运用方程、方程组来求解．过关检测】A 级1.为了检查库存的500箱袜子的质量，从每箱的100双袜子中抽取2%进行检查，在这个问题中总体、个体、样本、样本容量分别是什么？2.数据a 、4、2、5、3的平均数是b ，且a 、b 是方程x ²－4x ＋3＝0的两根，求a ，b 的值3.已知样本方差22221210116010S x x x ⎡⎤=+++-⎣⎦，则这个样本的平均数x ＝.4.下列事件中哪些是随机事件？哪些是必然事件？ （1）在标准大气压下水在0℃时开始结成冰；（2）计划中“神舟8号”太空飞行器能进入预定轨道；（3）把10g 白糖放入1kg 纯净水中能够全部溶化．5.从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品的概率约为多少？B 级1.已知样本甲为a 1，a 2，a 3方差为21S ；样本乙为b 1，b 2，b 3，方差为22S .若a 1－b 1＝a 2－b 2＝a 3－b 3，则21S 和22S 的大小关系是.2.为了从甲、乙、丙三名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，三人在相同的条件下各射靶10次，命中环数如下：甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4， 乙 9 5 7 8 6 8 7 6 7 7， 丙 7 5 7 7 5 6 5 5 7 6. 问：应派谁去参加比赛？3.某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8和第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他们前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数，如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得的环数都精确到 0.1环）.4.一次抽奖活动中印发奖券1000张，其中一等奖20张，二等奖80张，三等奖200张，那么第一位抽奖者（仅买一张奖券）中奖的概率是多少？5.某电视台综艺节目接到热线电话3000个，现要从中抽取“幸运观众”10名，张华同学打通了一次热线电话，那么他成为“幸运观众”的概率为多少？6.小丽拟将1，2，3…，n这n个数输入电脑求其平均值，当她认为输完时，电脑上只显示输入（n－1）个数，且平均值为5357，假设这（n－1）个数输入无误，则漏输入的一个数是多少？。
第九讲定类或定序因变量回归分析课件
n
L
1
( xi )2
e 2 2
i1 2
ln L n ( xi ) 0
2
i 1
ln L n [ 1 (xi )2 ] 0
i1
3
n
xi
ˆ i 1
x
n
n
2
( xi x)
ˆ 2 i1
n
例3、估计logistic回归模型中的参数 由于logistic模型是二项分布，其似然函数为：
P = a + ∑βiXi + ε
对二项分布线性概率模型的结果解释：
在其他变量不变的情形下，x每增加一个单位，事件发生概率的
期望将变动β个单位。
例如，林楠和谢文（1988）曾用线性概率模型估测入党（政治
资本）的概率，模型为：
P = -0.39 +0.01A +0.04E +0.03U 其中：P—党员概率， A—年龄， E—受教育年限， U—单位身份
n
L=
i1
p yi i
(1
p )(1 yi ) i
n
ln( L)
ln[ i 1
p yi i
(1
pi )(1 yi ) ]
n
[ yi ln( pi ) (1 yi ) ln(1 pi )] i 1
n i 1
[
yi
ln( pi 1 pi
)
ln(1
pi )]
n
[ yi ( xi ) ln(1 e xi )] i 1
2 x2
e e1x1 e2x2 ek xk
k xk )
预测概率
将系数估计和自变量值代入logistic函数，便可得到
概率统计及统计案例知识点汇总
概率统计及统计案例知识点汇总知识点一随机抽样（一）、1．定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（“wy,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫作简单随机抽样．2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．3．应用范围：总体中的个体数较少．（二）、系统抽样1．定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.2．系统抽样的操作步骤第一步编号：先将总体的N个个体编号；第二步分段：确定分段间隔匕对编号进行分段，当¥（〃是样本容量）是整数时,取k=务；第三步确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l w k）；第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l+k）,再加k得到第3个个体编号（l+2k），依次进行下去，直到获取整个样本.3．应用范围：总体中的个体数较多.（三）、分层抽样1．定义：在抽样时，将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层），然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．2．应用范围：当总体是由差异明显的若干类型组成时，往往选用分层抽样．知识点二用样本估计总体（一）、用样本的频率分布估计总体分布1．频率分布表与频率分布直方图频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：①求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；②定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．2．频率折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．3．茎叶图①茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．②对于样本数据较少，但较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶，样本数据为小数时做类似处理．（二）、用样本的数字特征估计总体的数字特征1．众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响而且不唯一.2．中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数．它不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个，且在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．3.平均数:样本数据的算术平均数，即T=n（X i+x2+-+x n）,它与每一个样本数据有关，仅有一个．4.极差:一组数值中最大值与最小值的差，它反映一组数据的波动情况，但极差只考虑两个极端值，可靠性极差.5.标准差:①考查样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示：y —1工yn i—1相关系数r —②标准差的平方s 2叫作方差： 1 s 2=n [(x i —x )2+(X 2—x )2(x n -x)2].知识点三变量间的相关关系及统计案例(一)、回归直线方程：y —bx+a,其中(x ,y ),(x ,y ),•-,(x ,y )为样本点,1122nny —bx +a 中系数计算公式：线性回归方程贝yx ——工x ,n i—1工xy -nxyii厶x 2-nx 2*厶y 2-ny 2i —i 丿'i —i 丿)、相关系数当厂＞0时，表明两个变量正相关；M0时，表明两个变量负相关.厂的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近刊，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．三)、独立性检验1.设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A 】，A 2=A ］；变量B ：B 1，B 2=B 1.2X 2列联表B1B2总计A 1a b a +b A2c d c +d 总计a+cb+da+b+c+d构造一个随机变量^(°+b )(c +J )(Q +c )(b +J )'其中n =a+b+c+d 为样本容2．独立性检验:利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验3．当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断①当/W2.706时，没有充分的证据判定变量A,B有关联，可以认为变量A,B是没有关联的；②当护＞2.706时，有90%的把握判定变量A,B有关联；③当护＞3.841时，有95%的把握判定变量A,B有关联；④当x2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联.知识点四随机事件的概率一）、事件的分类二）、频率与概率1．在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中n 事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f（A）=n为事件A出现的频率.2．在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P（A）.三）、事件的关系与运算(四)概率的几个基本性质1.概率的取值范围：O W F(/)W1.2.必然事件的概率P(E)=1.3.不可能事件的概率P(F)=0.4.互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B).②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)=1-P(B).知识点五古典概型与几何概型(一)、基本事件的特点1.任何两个基本事件是互斥的・(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.(二)古典概型1.定义:具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.②每一个试验结果出现的可能性相同.概率八式》,、—事件A包含的可能结果数2-概率八式：P(A)—试验的所有可能结果数•(三)几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在子区域$G的概G的面积率与G］的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即F（点M落在G J=G的面积,则称这种模型为几何概型．（四）、几何概型中，事件A的概率计算公式的扩展构成事件A的区域长度（面积或体积）尸（A）—试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.（五）、几何概型试验的两个基本特点1．无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；2．等可能性：每个结果的发生具有等可能性．。
03—04第1学期概率统计B答案
2003—2004学年第一学期概率统计试卷(B)参考答案一、填空题（本题满分20分，每题4分） 1、127 2、y41 3、)6,0(N 4、0.975 5、]588.5,412.4[二、选择题（本题满分20分，每题4分）1、D2、A3、D4、C5、B 三、（本题满分10分）家设同一年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生，在两班中任意选一个班，然后从中任选两名学生，试求选出的都是女生的概率？解：设A 表示“选出第一班”，则A 表示“选出第二班” B 表示“选出女生”依题意有：30/18)/(,50/10)/(,2/1)()(====A B P A B P A P A P 由全概率公式有5/2)/()()/()()(=+=A B P A P A B P A P B P 。
四、（本题满分10分） 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4.01.03.02.02101~ξ，试求12+=ξη的分布律？解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4.03.03.0521~η 五、（本题满分10分）设连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=ex e x xx x F 11ln 1)(，试求ξ的密度函数)(x f 及}2/52{<<ξP 的值？解：⎩⎨⎧≤<=其它1/1)(e x x x f45ln)2()2/5(}2/52{=-=<<F F x P六、（本题满分10分）甲乙两人进行射击比赛，以ξ与η分别表示他们的命中环数，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6.01.03.01098~ξ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛η3060101098...~，问甲乙两人谁的技术好一些？解：因为2939.E ,.E =η=ξ 所以，甲的技术比较好 七、（本题满分10分）设总体X 的均值μ及方差2σ都存在但未知，且有02>σ，又设),,,(21n X X X 是来自总体X的一简单随机样本，试求μ，2σ的矩估计量，并说出它们是否为各自所估参数的无偏估计。
概率统计经典讲义
一、中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随
机因素所产生的总的影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就 受着许多随机因素的影响.
如瞄准时的误差， 空气阻力所产生的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后，人们发现，正态分布 在自然界中极为常见.
则
n
Xi n
lim P{ i1
x}
x
1 e-t2 2dt(x)
n
n
- 2
定理1表明，当n充分大时，n个具有期望和方 差的独立同分布r.v.之和近似服从正态分布.
n
Xi n 近似
i1
~ N(0,1)
n
1 n
ni1
Xi
X
近似~/ n / nN(0,1)近似
X ~ N(,2/n)
定理2（Liapunov中心极限定理）
0.2
0.2
1 P{ X 14 0} 1 (0) 0.2
1 0.5 0.5
例２ 某单位有200部电话分机,每部电话约有5% 的时间要使用外线通话.设每部电话是否使用外线 通话是相互独立的.求该单位总机至少需要安装多 少条外线才能以90%以上的概率保证每部电话需 要使用外线时可以打通?
1 n
每箱产品的平均强度为 n i1 X i X
X =
X14=X14
2
0.2
近 似
~ N(0,1)
n 100
(1) P{X 14.5} P{X 14 14.514}
0.2
0.2
P{X 14 2.5}1 P{X 14 2.5}
0.2
概率统计每章知识点总结
概率统计每章知识点总结第一章：基本概念1.1 概率的概念1.2 随机变量及其分布1.3 大数定律和中心极限定理第一章主要介绍了概率统计的基本概念，包括概率的定义、随机变量的概念以及大数定律和中心极限定律。
概率是描述事物发生可能性的数学工具，是对随机事件发生规律的度量和描述。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以用来描述随机现象的特征和规律。
大数定律和中心极限定律则是概率统计中重要的两个定律，它们描述了大量独立随机变量的和的分布规律。
第二章：随机事件的概率计算2.1 古典概型2.2 几何概型2.3 等可能概型2.4 条件概率2.5 独立性第二章主要介绍了随机事件的概率计算方法，包括古典概型、几何概型、等可能概型、条件概率和独立性。
古典概型是指实验的样本空间是有限的且每个样本点的概率相等的情形，可以直接计算出随机事件的概率。
几何概型是指随机事件的概率与其所在的几何形状有关，需要通过几何方法来计算。
等可能概型是指实验的样本空间是有限的，但不同样本点的概率不一定相等，需要通过计算总体概率来计算随机事件的概率。
第三章：随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布3.2 数学期望3.3 方差3.4 常用离散型随机变量的分布3.5 常用连续型随机变量的分布第三章主要介绍了随机变量及其分布的知识，包括随机变量的概念、数学期望、方差以及常用的离散型和连续型随机变量的分布。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以是离散型的也可以是连续性的。
数学期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标，它们能够描述随机变量的集中程度和离散程度。
离散型随机变量常用的分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布；连续型随机变量常用的分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
第四章：多维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 多维随机变量4.3 边际分布4.4 条件分布4.5 独立性第四章主要介绍了多维随机变量及其分布的知识，包括二维随机变量、多维随机变量、边际分布、条件分布和独立性。
《概率统计》学习课件
134 第4章概率统计本章介绍MATLAB在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于MatlabR12\Toolbox\Stats中。
4.1 随机数的产生4.1.1 二项分布的随机数据的产生命令参数为N，P的二项随机数据函数binornd格式R = binornd(N,P) %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。
R = binornd(N,P,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。
R = binornd(N,P,m,n) %m,n分别表示R的行数和列数例4-1>> R=binornd(10,0.5)R =3>> R=binornd(10,0.5,1,6)R =8 1 3 7 6 4>> R=binornd(10,0.5,[1,10])R =6 8 4 67 5 3 5 6 2>> R=binornd(10,0.5,[2,3])R =7 5 86 5 6>>n = 10:10:60;>>r1 = binornd(n,1./n)r1 =2 1 0 1 1 2>>r2 = binornd(n,1./n,[1 6])r2 =0 1 2 1 3 14.1.2 正态分布的随机数据的产生命令参数为μ、σ的正态分布的随机数据函数normrnd格式R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。
R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。
R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n分别表示R的行数和列数例4-2>>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6))n1 =2.1650 2.31343.02504.0879 4.8607 6.2827>>n2 = normrnd(0,1,[1 5])n2 =0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462>>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu为均值矩阵n3 =0.9299 1.9361 2.96404.12465.0577 5.9864>> R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu为10，sigma为0.5的2行3列个正态随机数R =9.7837 10.0627 9.42689.1672 10.1438 10.59554.1.3 常见分布的随机数产生常见分布的随机数的使用格式与上面相同表4-1 随机数产生函数表函数名调用形式注释Unifrnd unifrnd ( A,B,m,n) [A,B]上均匀分布(连续) 随机数Unidrnd unidrnd(N,m,n) 均匀分布（离散）随机数Exprnd exprnd(Lambda,m,n) 参数为Lambda的指数分布随机数Normrnd normrnd(MU,SIGMA,m,n) 参数为MU，SIGMA的正态分布随机数chi2rnd chi2rnd(N,m,n) 自由度为N的卡方分布随机数Trnd trnd(N,m,n) 自由度为N的t分布随机数Frnd frnd(N1, N2,m,n) 第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数gamrnd gamrnd(A, B,m,n) 参数为A, B的γ分布随机数betarnd betarnd(A, B,m,n) 参数为A, B的β分布随机数lognrnd lognrnd(MU, SIGMA,m,n) 参数为MU, SIGMA的对数正态分布随机数nbinrnd nbinrnd(R, P,m,n) 参数为R，P的负二项式分布随机数ncfrnd ncfrnd(N1, N2, delta,m,n) 参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数nctrnd nctrnd(N, delta,m,n) 参数为N，delta的非中心t分布随机数ncx2rnd ncx2rnd(N, delta,m,n) 参数为N，delta的非中心卡方分布随机数raylrnd raylrnd(B,m,n) 参数为B的瑞利分布随机数weibrnd weibrnd(A, B,m,n) 参数为A, B的韦伯分布随机数binornd binornd(N,P,m,n) 参数为N, p的二项分布随机数geornd geornd(P,m,n) 参数为p的几何分布随机数hygernd hygernd(M,K,N,m,n) 参数为M，K，N的超几何分布随机数Poissrnd poissrnd(Lambda,m,n) 参数为Lambda的泊松分布随机数4.1.4 通用函数求各分布的随机数据命令求指定分布的随机数135函数random格式y = random('name',A1,A2,A3,m,n) %name的取值见表4-2；A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的行和列例4-3 产生12（3行4列）个均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数>> y=random('norm',2,0.3,3,4)y =2.3567 2.0524 1.8235 2.03421.9887 1.94402.6550 2.32002.0982 2.2177 1.9591 2.01784.2 随机变量的概率密度计算4.2.1 通用函数计算概率密度函数值命令通用函数计算概率密度函数值函数pdf格式Y=pdf(name，K，A)Y=pdf(name，K，A，B)Y=pdf(name，K，A，B，C)说明返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表4-2。
概率统计培训课件(ppt 29页)
|
x
|
1
e|x|dx
1
2
E(| X |2)
|
x |2
1 e|x |dx
x
2
1
exdx
2
2
2 1 x2exdx 2
20
D(| X |) 1
27
(2) E( X | X |)
x
|
x
|
1
e|x|dx
2
1 0 x2exdx 1 x2exdx 0
1, XY 0,
A, B同时发生 A, B不同时发生
E(XY) P(AB)
P(AB) P(A)P(B) 事件A ,B相互独立
？ X ,Y 相互独立.
23
错误原因
P(AB) P(A)P(B) P(X 1, Y 1) P(X 1)P(Y 1)
而这并不表明 X ,Y 相互独立. 本题要证明离散随机变量 X ,Y 相互
记 E(X ) C . 若结论不成立, 则
P(X C) 1 或等价地 P(X C) 0
于是
D(X ) (x C)2 P(X C) (x C)2 P(X x)
x: xC
4
右端第二项和式中至少有一项 P(X a) 0, a C
从而对应的(a C)2 0,因此 D(X ) (a C)2 P(X a) 0
i 1
i 1
12
4 - 10 设 X 表示试开次数 , 则其分布律为
X1 2
3 n
p 1 n 1 1 n 1 n 2 1 1
概率统计各章小节
，
这种概率称为古典型概率.
(4). 几何型概率
当随机试验的样本空间是某个区域, 并且任意一点 落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的, 则事件 A 的概率定义为
P ( A)
A
的度量 ， 的度量
这种概率称为几何型概率.
3. 条件概率的定义及运算
(1). 条件概率的定义：
设 P(B) 0, 称 P( A | B) P(AB) P(B)
(iii)对任意的( x1, y1)和( x2, y2 )，x1 x2, y1 y2, 有 F ( x2, y2) F ( x1, y2) F ( x2, y1) F( x1, y1) 0.
(3) 边缘分布函数：二维随机向量(X,Y )中,X,Y各自的
分布函数FX (x), FY ( y)分别称为X ,Y的边缘分布函数, 且FX (x) F (x, ), FY ( y) F (, y).
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )
则称A1，A2， An相互独立.
P( Aik )
注意：
(i). 若 n 个事件 A1, A2, , An (n 2)相互独立,则将 A1, A2, , An 中任意多个事件换成它们的对立事件, 所得的 n 个事件仍相互独立.
(ii). 若 A, B,C两两独立，不能保证 A, B,C 相互独立. (iii). 在实际应用中，事件的独立性往往根据实际意义来判别.
(3)联合分布律性质
(i) pij 0,(i, j 1, 2, ); (ii)
pij 1.
i1 j1
(4) P( X xi ) pij pi , (i 1, 2, )称为X的边缘分布律.
j 1
第九讲-2 非参数检验-差异显著性检验
单个样本的Wilcoxon符号秩和检验
• 单个样本中位数和总体中位数比较，目的 是推断样本所来自的总体中位数M与某个已 知的中位数M0是否有差别。
• 用样本各变量与M0的差值，即推断差值的 总体中位数和0是否有差别。
• 已知某地正常人尿氟含量的中位数为 45.30µmol/L,今在该地某厂随机抽取12名 工人，测得尿氟含量如表所示。
T界值表（配对比较的符号秩和检验用）
N
单侧：0.05 双侧：0.10
5 0--15
6 2--19
7 3--25
8 5--31
9 8--37
10 10--45
11 13--53
12 17--61
单侧：0.025 单侧：0.01 单侧：0.005 双侧：0.05 双侧：0.02 双侧：0.010
0--21
秩和检验概述
“秩”：按数据大小排定的次序号，又称秩次号。 编秩：将观察值按顺序由小到大排列，并用序号代替原始
变量值本身。 用秩次号代替原始数据后，所得某些秩次号之和，即按某
种顺序排列的序号之和，称为秩和，反映了一组数据在 分布上的范围位置。 基本思想： 基于秩次（通过编秩，用秩次代替原始数据信息来进行检 验）。 即检验各组的平均秩或秩和是否相等。如果经检验得各组 的平均秩和秩和不相等，则可以推论数据的分布不同。
非参数检验
• 许多调查或实验所得的科研数据，常常具有如下特点： （1）资料的总体分布类型未知或无法确定； （2）资料分布类型已知，但不符合正态分布； （3）某些变量可能无法精确测量如等级资料。 （4）一端或两端为不确定数值的资料 这时做统计分析就不能使用参数检验，而是要采用非参
数检验：即不考虑总体分布类型是否已知，不比较总 体参数，只比较总体分布的位置是否相同的统计方法。
概率统计课件第1章
现的点数是2,4,6}，则有B=E.
欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2
11
. .
例5 在抛掷骰子的试验中，记事件A={出现的点数小于4}，
事件B={出现的点数是奇数}，则A∪B={出现的点数为1，2，
3，5}，而AB={出现的点数是1，3}.
例6 在一个班级中选一名学生, 观察他的《高等数学》课程 期末考试的得分. 令A={得分≥60分}，B={得分<60分}，则 AB=Φ，且A∪B=Ω，所以B= A 例7 某种圆柱形零件的长度与外径都合格时才算合格，事件 A表示“长度合格”，事件B表示“外径合格”. 则差事件A-B 表示“长度合格但外径不合格”.
A1 A2 An Ai
i 1 n
A1 A2 An Ai
i 1
n
“可列个事件A1, A2, … “可列个事件A1, A2, …, An …中至少有一个发生”也是 , An … 同时发生”也是一 一事件,称为A1, A2, …, An … 事件, 称为A1, A2, …, An …的交或积，记作 的和或并，记作
Ai ，则 A , A , , A , 也称为E 两互不相容且 1 2 n i 1
的一个完备事件组，或称为样本空间Ω的一个可列无 穷划分.
欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2 13
事件运算的性质: (1) 幂等律
A A A,
A A A,
i 1 k 1 k i
n
解
1） Ai 表示n个零件全是正品 ;
i 1
n
n
2） Ai Ai 表示至少有1个零件不是正品 ;
i 1 i 1
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习
题
P.110-112，习题三， 10. 30. 33. 47.
连续型随机向量的p.d.f.
(X,Y)二维的随机向量，其分布 函数为F(x,y),如存在一个非负的 可积的二元函数f(x,y),使对任意一 对实数x,y,有： x y
f (s, t )dtds F( x , y)
则称(X,Y)是一个二维连续型随 机向量,f(x,y)是它的概率密度函数， 或X与Y的联合概率密度函数。
∴Cov(X,Y)=0，它们不相关。
查概率分布的表
若X~P(3),求P(X=5); 若X~P(3),求P(X≤5); 若X~B(20,0.15),求P(X≤5); 若X~N(3,4),求P(X≤5)。
正态分布的标准化
2),则 若X~N(μ,σ
X X ~ N(0,1)
*
由X求X 准化。
概率统计
绍兴文理学院信管022班
二OO三年十月十七日
随机向量及其分布
设随机试验有两个数量指标X、 Y,则称(X,Y)是一个二维的随机 向量 [两个分量是有序的] 。 对任意两个实数x、y,概率 P(X≤x,Y≤y)是x,y的二元函数记 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y),称它为随机 向量(X,Y)的联合分布函数。
联合分布列与边际分布列
在每个洞口球进洞、偏 1 — 左、偏右的概率相同。 3
1 — 9 1 — 9
1 — 27 1 — 27 3 — 27
2 — 27 3 — 27
1 — 27 1 — 27
联合分布列与边际分布列
Y X 0 1 2 3 4 5 6 P.j 1/27 1/27 1/9 2/27 1/9 1/27 1/27 8/27 4/27 2/9 1/3 1/9 1/9 1/3 1/27 1/27 2/9 11/27 2/9 1/27 1/27 1 0 1 2 3 Pi.
F(x-0) = F(x) = F(x+0), ∴P(X=x) = 0 。
联合分布与边缘分布函数
P(X≤x,Y≤+∞)=PX(X≤x) =F(x,+∞)=FX(x)称为关于X的边 缘分布函数[边际分布函数]; P(X≤+∞,Y≤y)=PY(Y≤y) =F(+∞,y)=FY(y)称为关于Y的边 缘分布函数[边际分布函数]。 显然边际分布函数也是分布 函数。
⑴f(x,y)≥0； ⑵ f ( x, y)dxdy 1
联合概率密度 函数的性质
边缘概率密度函数：
f X (x)
f (x, y)dy, f
Y
( y)
f (x, y)dx
二元均匀分布
顶点为(±1,±1)的
x 1或 y 1 0 正方形中的一个随 (x 1)( y 1) 1 x, y 1 机点(X,Y)的联合 4 x 1 F(x, y) 1 x 1, y 1 p.d.f为 2 1 y 1 1 x, y 1 1 y 1, x 1 p( x , y) 4 2 x, y 1 0 其他 1
*的过程叫标
若X~N(0,1), 标准正 态分布,其分布函数记为:
( x ) P(X x )
标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数
x
1 e 2
t2 2
dt
标准正态分布的 分布函数的性质
Φ(x)+Φ(-x)=1； Φ(-x)=1-Φ(x)； Φ(0)=0.5； x>0时，P(|X|≤x) =2Φ(x) -1
协方差的定义
定义：Cov(X,Y) =E (X-EX) (Y-EY) =E(XY)-EXEY为X与Y的协方差。 定义：若Cov(X,Y)=0，则称X与 Y不相关。 性质：(P.95定理3.5)
协方差的性质
定理：若X与Y独立，则它们 不相关。(反之不一定) 证明：由 X与Y的独立性,
∴E(XY)=EXEY,
Y X x1 x2 ┇ xi ┇ PY(Y=yj)=p· j y1 p11 p21 ┇ pi1 ┇ p·1 y2 p12 p22 ┇ pi2 ┇ p·2 ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┇ ┅ yj p1j p2j ┇ pij ┇ p·j ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ PX(X=xi)=pi· p1· p2· ┅ pi· ┅ 1
离散型随机向量的分布列
随机掷两枚骰子，它们的点数 X,Y只有36种可能的取法。 P(X=i,Y=j)=pij=1/36 (i,j=1..6) [p.72] 定义3.4：联合概率分布 性质：⑴ pij ≥0 ⑵ p ij 1 i 可以用表达式、表格及钉图来表 示联合分布列。
联合分布列与边际分布列
二元正态分布
2,σ 2,ρ)的联 (X,Y)~N(μ1,μ2 ,σ1 2
合概率密度函数为
p( x , y) 1 212 1
2
e
......
x, y (,)
1 0, 2 0, | | 1.(P.77 定义)
随机变量的独立性
F(x,y)=FX(x)FY(y); 离散型:pij=pi· · pj 连续型:f(x,y)=fX(x)fY(y) 即“联合…=边际…之 积”时独立。
随机变量分布函数的性质
P(X≤x)=F(x); P(X<x)=F(x-0),P(X=x)=F(x)-F(x-0) P(x1<X≤x2)=F(x2)-F(x1); P(x1≤X≤x2)=F(x2)-F(x1-0) P(x1≤X<x2)=F(x2-0)-F(x1-0) P(x1<X<x2)=F(x2-0)-F(x1) 对连续型随机变量X及任一实数x,