13.1初等函数

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基本初等函数知识点

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点1.函数的定义:函数是一种特殊的关系,它将一个或多个输入数值映射到唯一的输出数值。

函数通常用f(x)来表示,其中x是输入变量,f(x)是输出变量。

函数可以用图形、符号或表格来表示。

2.定义域和值域:函数的定义域是所有可输入的数值的集合,而函数的值域是所有可能的输出数值的集合。

定义域可写作D(f),值域可写作R(f)。

3.线性函数:线性函数是一种具有常数斜率的函数。

它的形式为f(x) = mx + b,其中m是斜率,b是截距。

线性函数的图形是一条直线。

4.幂函数:幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数,其中a和b是常数。

幂函数的图形通常是一条平滑的曲线。

当b为正偶数时,曲线在x轴的正半轴都是上升的;当b为负偶数时,曲线在x轴的正半轴是下降的。

5.指数函数:指数函数是以常数e为底的函数,它的形式为f(x)=a^x,其中a是指数底数。

指数函数的图形为一条逐渐增长(或逐渐减小)的曲线。

6.对数函数:对数函数是指以常数a为底的对数函数,它的形式为f(x) =log_a(x),其中a为底数,x为函数的输入值。

对数函数是指数函数的反函数,即f(x) = a^x的反函数。

7.三角函数:三角函数是有关三角形角度与边长之间的关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

三角函数的图形是周期性的曲线,周期为2π。

8.反函数:反函数是指满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数对。

反函数可以通过交换函数的输入和输出得到。

9.复合函数:复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的函数关系。

复合函数可以表示为f(g(x)),其中g(x)是一个函数,f(x)是另一个函数。

10.奇偶函数:奇函数是满足f(-x)=-f(x)的函数,而偶函数是满足f(-x)=f(x)的函数。

奇函数的图形关于原点对称,偶函数的图形关于y轴对称。

这些是基本初等函数的一些常见知识点,掌握了这些知识点可以帮助你理解函数的基本概念、性质和图像,为进一步学习更高级的数学知识打下坚实的基础。

初等函数的定义与性质

初等函数的定义与性质

初等函数的定义与性质初等函数是数学中常见且基本的函数类型。

它们在数学分析、数论、概率论等各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍初等函数的定义和性质,帮助读者更好地理解和应用初等函数。

一、初等函数的定义初等函数是指能够通过有限次的代数运算和初等函数运算所得到的函数。

这里的代数运算包括四则运算和函数复合运算,而初等函数运算则包括指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。

初等函数的所属范围相对广泛,这使得我们能够通过简单的运算和组合得到他们的值。

二、初等函数的性质1. 初等函数是连续函数:初等函数在其定义域上都是连续的。

连续性给初等函数的应用提供了数学上的保证,使得我们能够对初等函数进行更简单、更精确的分析和计算。

2. 初等函数的导数:初等函数具有求导性质,即它们的导数可以通过一系列的规则来求解。

常见初等函数的导数规则包括幂函数求导法则、指数函数求导法则、对数函数求导法则、三角函数求导法则等。

这些导数规则是微积分学中的基础,能够帮助我们更深入地理解初等函数的变化规律。

3. 初等函数的周期性:三角函数是一类重要的初等函数,具有周期性的特点。

例如正弦函数和余弦函数的周期都是2π。

这种周期性对于解决周期性问题和振动问题非常有用,例如傅里叶级数展开和信号处理等领域。

4. 初等函数的极限:初等函数的极限也是初等函数性质的重要组成部分。

通过对初等函数的极限进行研究,我们可以得到函数在某一点附近的趋势和变化规律。

5. 初等函数的积分:初等函数也具有求积分的属性。

通过对初等函数的积分,我们能够计算曲线下面的面积、计算物体的质量和体积等。

积分是微积分学的基本内容,对于解决实际问题起着重要的作用。

总结起来,初等函数是数学中非常重要的函数类型。

它们在数学分析、工程学、物理学等多个领域中都具有广泛的应用。

初等函数通过有限次的代数运算和初等函数运算得到,具有连续性、导数性质、周期性、极限性质和积分性质。

这些性质使得初等函数成为研究和应用的基础,对于深入理解数学以及解决实际问题都具有重要的意义。

基本初等函数初等函数

基本初等函数初等函数

基本初等函数初等函数初等函数是指可以用有限次加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数、函数互反和常数的四则运算来表示的函数。

它是高中数学中的一种函数类型,是数学研究和应用中最基本、最常见的一类函数。

最基本的初等函数包括:1.常数函数:y=C,其中C为任意常数。

常数函数在整个定义域上都保持不变。

2. 一次函数:y = mx + b,其中m和b为任意常数,m表示斜率,b 表示截距。

一次函数的图像为一条直线。

3.幂函数:y=x^r,其中r为任意的实数。

幂函数是由自变量的幂指数决定的。

4.指数函数:y=a^x,其中a为一个正常数且不等于1、指数函数的图像呈现指数增长或指数衰减的形式。

5. 对数函数:y = log_a(x),其中a为一个正数且不等于1、对数函数是指数函数的反函数,可以解决指数方程。

6. 三角函数:包括正弦函数y = sin(x),余弦函数y = cos(x),正切函数y = tan(x)等。

三角函数是周期性的函数。

除了以上基本初等函数外,复合函数也属于初等函数的范畴。

例如,将两个初等函数通过运算符号连接在一起形成的函数仍然属于初等函数。

例如加、减、乘、除、复合函数、互反函数等等。

初等函数在数学的研究和应用中起着非常重要的作用。

它们广泛应用于科学、工程、经济、物理、化学、生物学等领域中的数学模型建立和问题求解。

通过使用初等函数,我们可以更好地描述和分析变量之间的关系,从而更好地理解和预测实际问题。

初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、初等函数的图像、定义域、值域、对称性、奇偶性、单调性、极值等特征都可以通过数学工具和方法进行研究和分析。

总之,初等函数是数学中最基本和常见的一类函数。

它们通过有限次的四则运算、函数互反和常数的运算构成,在数学的研究和应用中起着重要的作用。

初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、通过学习初等函数,我们可以更好地理解和应用数学知识,解决实际问题。

基本初等函数初等函数

基本初等函数初等函数

基本初等函数初等函数初等函数是指可以用基本初等函数表示和运算的函数。

基本初等函数是指常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

常数函数是指函数的值恒为一些常数的函数,例如f(x)=3幂函数是以x为底数的幂指数函数,可以表示为f(x)=x^n,其中n是一个常数。

指数函数是指以指数形式表示的函数,例如f(x)=a^x,其中a是一个常数。

对数函数是指以对数形式表示的函数,例如 f(x) = log_a(x),其中a 是一个常数。

三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)等。

它们都是周期函数,周期为2π。

反三角函数是三角函数的反函数,例如正弦函数的反函数是反正弦函数(arcsin),余弦函数的反函数是反余弦函数(arccos),正切函数的反函数是反正切函数(arctan)。

例如,用加法和乘法运算可以生成多项式函数,多项式函数是指以多项式形式表示的函数,例如f(x)=3x^2+5x+2用加法、乘法和除法运算可以生成有理函数,有理函数是指以多项式分式形式表示的函数,例如f(x)=(3x^2+5x+2)/(2x+1)。

用加法、乘法、除法和根号运算可以生成代数函数,代数函数是指通过代数运算得到的函数,例如f(x)=√(3x^2+5x+2)。

例如,两个初等函数的和、差、积和商仍然是初等函数。

两个初等函数的复合函数也是初等函数。

例如,f(x) = sin(x^2) 是正弦函数和幂函数的复合函数。

需要注意的是,初等函数是一个相对的概念。

一些函数在特定的领域内可以表示为初等函数,但在其他领域内则可能无法表示为初等函数。

例如,f(x)=e^x在实数域上是一个指数函数,但在复数域上则无法用基本初等函数表示。

初等函数在数学和科学领域中有着广泛的应用。

它们可以描述和研究自然界中的各种现象和规律,为科学家和工程师提供了强大的工具。

此外,初等函数还在数学分析、微积分、概率论、统计学等许多数学学科中发挥着重要的作用。

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点一、引言在数学中,初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)以及复合运算得到的函数。

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。

本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。

二、常数函数定义:常数函数 \( f(x) = c \),其中 \( c \) 是一个实数常数。

性质:常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线,其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。

图像:见附录图1。

三、幂函数定义:幂函数 \( f(x) = x^n \),其中 \( n \) 是实数。

性质:幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。

当 \( n \) 为正整数时,函数图像是 \( n \) 次幂的曲线;当 \( n \) 为负整数时,函数图像是倒数的幂函数曲线。

图像:见附录图2。

四、指数函数定义:指数函数 \( f(x) = a^x \),其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。

性质:指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。

当 \( a > 1 \) 时,函数是增长的;当 \( 0 < a < 1 \) 时,函数是衰减的。

图像:见附录图3。

五、对数函数定义:对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \),其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。

性质:对数函数是指数函数的逆函数。

当 \( a > 1 \) 时,函数是单调增加的;当 \( 0 < a < 1 \) 时,函数是单调减少的。

图像:见附录图4。

六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义:这些函数与单位圆上的点的坐标有关。

性质:三角函数具有周期性,它们的周期为 \( 2\pi \)。

13初等函数性态的深入讨论

13初等函数性态的深入讨论

初 等 数 学 专 题 研 究
所以函数的对称中心是:
13.2 关于对称性 4 3 2 例3:求函数 f ( x ) x 8 x 19 x 12 x 3 的对称轴
解:
f ( x ) x 4 8 x 3 19 x 2 12 x 3 ( x 2)4 5( x 2)2 1
a-x
x
a
初 等 数 学 专 题 x研 究
x
a+x
13.2 关于对称性 二、具有对称中心的函数
因此我们有: 定理2:函数y = f (x)的图像关于点(a, b)成中心对称的充分必 要条件是:对于任意的实数x,y = f (x)在 a+x、 a-x都有定 义,并且 f (a+x) = 2b-f (a-x)。 定理2’:函数y = f (x)的图像关于点(a, b)成中心对称的充分 必要条件是:对于任意的实数x,y = f (x)在 x、 2a-x都有 定义,并且 f (x) =2b- f (2a-x)。 显然,偶函数是这里的a = 0, 且b = 0时的特殊情况。
初 等 数 学 专 题 研 究
( a2,b2), 那么对于定义域内的任意实数x, 由于函数关于点( a1, b1)、( a2,b2),对称,所以有
f ( x ) 2b1 f ( 2a1 x ), f ( x ) 2b2 f ( 2a2 x ) f ( x 2a1 2a2 ) f [2a1 ( 2a2 x )] 2b1 f (2a2 x ) 2b1 [2b2 f ( x )]
初 等 数 学 专 题 研 究
13.2 关于对称性 三、应用举例
例2:求函数 f (x) = x3+px2+qx+r的对称中心 解:设函数的对称中心为(a, b), 那么有f (x) =2b- f (2a-x)。

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点一、函数的概念:函数是自变量与因变量之间的一种对应关系。

其中,自变量是函数的输入,因变量是函数的输出。

函数可以用来描述不同变量之间的关系或者用来描述一些变量随着另一个变量的变化而发生的变化。

二、函数的表示法:函数可以用不同的表示法来表示。

最常见的表示法有解析式表示法、图像表示法和表格表示法。

例如,一元一次函数y=ax+b就是一个常见的初等函数。

三、函数的性质:1.定义域和值域:函数的定义域是自变量的取值范围,值域是函数的因变量的可能取值范围。

2.奇偶性:对于函数f(x),如果对于任意x,有f(-x)=f(x)成立,则函数具有偶性;如果对于任意x,有f(-x)=-f(x)成立,则函数具有奇性。

3.单调性:如果对于任意x1>x2,有f(x1)>f(x2)成立,则函数为递增函数;如果对于任意x1>x2,有f(x1)<f(x2)成立,则函数为递减函数。

4.周期性:如果对于任意x,有f(x+T)=f(x)成立,则函数具有周期T。

四、常见初等函数的性质和图像:1.常数函数:f(x)=c(c为常数),图像为平行于x轴的一条直线。

2. 一次函数:f(x) = ax + b(a和b为常数),图像为一条直线,斜率a决定了直线的倾斜程度,b为与y轴交点的纵坐标。

3.幂函数:f(x)=x^n(n为常数),图像的形状与n的奇偶性以及正负有关,例如,当n为正奇数时,图像的右上和左下部分都在x轴上方。

4.指数函数:f(x)=a^x(a为常数且大于0且不等于1),图像呈现出一种快速增长的趋势。

5. 对数函数:f(x) = loga(x)(a为常数且大于0且不等于1),图像为一条光滑的上升曲线,a决定了函数增长的速度。

五、初等函数的运算:1.四则运算:对于两个初等函数f(x)和g(x),可以进行加减乘除运算,得到新的初等函数。

2.复合运算:对于两个初等函数f(x)和g(x),可以将g(x)的值代入f(x)进行运算,得到新的初等函数。

初等函数(高等数学课件

初等函数(高等数学课件

正切函数 定义 性质
余切函数 定义 性质
函数的单调性及其判定方法
什么是单调函数?
如何判定单调性?
单调函数是保持增减关系的函数。
可以通过导数或一阶导数的符号 来判定函数的单调性。
单调递减函数
函数值随自变量递减的函数。
函数的周期性及其判定方法
1
周期性定义
函数在某个区间内与其在该区间外的部分完全相同。
性质
它们具有整数次幂、可加性和可乘性的特点。
指数函数和对数函数的定义
1
指数函数
指数函数是以自然常数e为底的幂函数。
对数函数
2
对数函数是指数函数的逆运算。
3
性质
它们具有特定的增长和衰减规律,应用 广泛。
三角函数的定义和性质
正弦函数 定义 性质
余弦函数 定义 性质
三角函数是描述角度和周期性现象的重要工具。
初等函数在实际问题中的应用
1 数学模型
利用初等函数构建数学模型,解决实际问题,如物体的抛体运动等。
2 经济学
初等函数在经济学中广泛应用,如收益函数、成本函数、供需曲线等。
3 物理学
初等函数用于描述物理现象,如波动、震动、电路等。
2
周期性的判定方法
可以通过函数的表达式或图像来判断函数是否具有周期性。
3
周期性的应用Biblioteka 周期函数常用于描述震动、波动和周期性运动等现象。
函数的图像和变换
平移
保持函数形状不变,改变函数 在坐标系中的位置。
伸缩
改变函数在坐标系中的纵坐标 或横坐标的范围。
翻折
改变函数的对称中心,使函数 关于坐标轴或直线对称。
初等函数(高等数学课件)

基本初等函数

基本初等函数

基本初等函数1. 引言初等函数是数学中的重要概念,它指代了一类基本的数学函数,包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

这些函数在数学和工程等领域中有广泛的应用,对于解决问题、建模和分析等都起着重要的作用。

本文将介绍一些常见的基本初等函数,并分别对其定义、性质和图像进行讨论。

2. 常数函数常数函数是最简单的一类函数,其定义域内的所有元素都映射到一个常数上。

常数函数的表达式可以写作:f(x) = c其中,c为常数。

常数函数的图像为一条与x轴平行的直线,斜率为0。

常数函数在解决一些简单的数学问题时有一定的应用,但在具体的实践中使用较少。

3. 幂函数幂函数是一类形如 x^a 的函数,其中x是自变量,a是常数。

幂函数可以表示为:f(x) = x^a幂函数的性质与指数函数密切相关,其图像的特点取决于幂指数a的取值情况。

当a为正数时,幂函数呈现增长的趋势;当a为负数时,幂函数则表现出减小的趋势。

幂函数在科学和工程中的应用广泛,例如在电路分析、物理学和经济学等领域中均有涉及。

4. 指数函数指数函数是一类具有形如 a^x 的函数,其中a是正实数且不等于1,x是自变量。

指数函数可以表示为:f(x) = a^x指数函数具有与幂函数类似的性质,其图像也受到底数a的取值影响。

指数函数的图像在x轴的左侧逐渐接近于0,右侧则逐渐增长。

指数函数在金融、生物学、物理学等领域中有广泛的应用,例如在复利计算、物质衰变和人口增长等方面。

5. 对数函数对数函数是指形如 loga(x) 的函数,其中a是正实数且不等于1,x为正实数。

对数函数可以表示为:f(x) = log<sub>a</sub>(x)对数函数的图像与指数函数互为反函数,而且具有很多重要的性质。

对数函数在计算、数据处理和信息传输等领域有广泛的应用,例如在对数变换、数据搜索和数据压缩中都能见到对数函数的身影。

6. 三角函数三角函数主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数等,它们分别以sin(x)、cos(x)和tan(x)的形式表示。

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点基本初等函数是数学中常见的一类函数,包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

它们在数学和科学领域应用广泛,对于理解和解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍基本初等函数的定义、性质和应用,以帮助读者全面理解和掌握这些知识点。

一、常数函数常数函数是指函数的函数值始终保持不变的函数。

它的定义域是全体实数,通常表示为f(x) = c,其中c为常数。

常数函数的图像是一条水平的直线,平行于x轴。

无论自变量取何值,函数值始终为常数。

常数函数在数学中的应用较少,但在物理、经济学等学科中有时会用到。

二、幂函数幂函数是指自变量的指数和函数值之间的关系为幂关系的函数。

幂函数的表达式可以写作f(x) = x^a,其中a为实数。

幂函数的图像形状与指数a的正负、大小有关。

当a为正数时,函数图像是递增的曲线;当a为负数时,函数图像是递减的曲线;当a为0时,函数图像是一条常数函数的直线。

三、指数函数指数函数是自变量为指数的函数。

指数函数的一般形式为f(x) = a^x,其中a为正实数且不等于1。

指数函数的图像是一条递增或递减的曲线。

当a大于1时,函数图像是递增曲线;当a介于0和1之间时,函数图像是递减曲线。

指数函数在经济学、生物学、物理学等领域有广泛的应用。

四、对数函数对数函数是指自变量和函数值之间的关系为指数关系的函数。

对数函数的一般形式为f(x) = logₐ(x),其中a为正实数且不等于1。

对数函数的图像是一条递增或递减的曲线。

当a大于1时,函数图像是递增曲线;当a介于0和1之间时,函数图像是递减曲线。

对数函数在科学计算、数据处理等领域被广泛运用。

五、三角函数三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。

常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

三角函数的图像是周期性曲线。

它们的性质和图像形态与角度或弧度的取值范围有关。

三角函数在物理学、几何学、信号处理等领域具有重要应用价值。

初中数学知识点初等函数的像与变化规律

初中数学知识点初等函数的像与变化规律

初中数学知识点初等函数的像与变化规律初中数学知识点:初等函数的像与变化规律初等函数是数学中常见的一类函数,它们具有一定的变化规律和像的特点。

在初中数学学习中,了解初等函数的像与变化规律对于掌握函数概念和解题能力都非常重要。

本文将详细介绍初等函数的像与变化规律的相关知识点。

一、初等函数的定义及类型初等函数是指由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等基本初等函数通过有限次的加、减、乘、除、复合运算得到的函数。

常见的初等函数类型包括:1. 常数函数:f(x) = c,其中c为常数。

2. 线性函数:f(x) = kx + b,其中k和b为常数,k称为斜率,b称为截距。

3. 平方函数:f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,a ≠ 0。

4. 平方根函数:f(x) = √x,其中x≥0。

5. 反比例函数:f(x) = k/x,其中k为常数,x ≠ 0。

6. 指数函数:f(x) = a^x,其中a为常数,且a>0且a≠1。

7. 对数函数:f(x) = loga x,其中a为常数,且a>0且a≠1。

8. 正弦函数、余弦函数、正切函数及其反函数等三角函数。

二、初等函数的像函数的像是指定义域中的元素通过函数得到的值的集合。

对于初等函数来说,不同的函数类型对应着不同的像。

1. 常数函数的像:常数函数的定义域中的任意元素经过函数变换后得到的值都是相同的常数,因此该函数的像为该常数。

2. 线性函数的像:线性函数的像是一个直线或一组直线上的点集,根据斜率的正负不同和截距的取值范围,可以得到不同的像。

3. 平方函数的像:平方函数的定义域中的元素经过平方运算后得到的值,可以是正数、零和负数,因此像可以是正数集、零点和负数集。

4. 平方根函数的像:平方根函数的定义域是非负实数集,经过平方根运算后得到的值不会小于零,因此像为非负实数集。

5. 反比例函数的像:反比例函数的定义域中的元素除以非零常数时,得到的值为实数,因此像为实数集。

基本初等函数16个公式

基本初等函数16个公式

基本初等函数16个公式
1. 线性函数:y = ax + b,其中a和b是常数,表示一条直线。

2. 二次函数:y = ax^2 + bx + c,其中a、b和c是常数,表示二次曲线。

3.指数函数:y=a^x,其中a是常数,表示以a为底的指数曲线。

4. 对数函数:y = log_a(x),其中a是常数,表示以a为底的对数曲线。

5. 正弦函数:y = a sin(bx + c),其中a、b和c是常数,表示正弦曲线。

6. 余弦函数:y = a cos(bx + c),其中a、b和c是常数,表示余弦曲线。

7. 正切函数:y = a tan(bx + c),其中a、b和c是常数,表示正切曲线。

8. 反正弦函数:y = arcsin(x),表示正弦曲线的反函数。

9. 反余弦函数:y = arccos(x),表示余弦曲线的反函数。

10. 反正切函数:y = arctan(x),表示正切曲线的反函数。

11.绝对值函数:y=,x,表示一条以原点为对称中心的V型曲线。

12.幂函数:y=x^a,其中a是常数,表示幂曲线。

13.开方函数:y=√x,表示以原点为起点的开方曲线。

14.反比例函数:y=k/x,其中k是常数,表示一个双曲线。

15.零点函数:y=0,表示一条平行于x轴的直线。

16.恒等函数:y=x,表示一条直线,过原点,斜率为1。

初等函数的认识与运算

初等函数的认识与运算

函数值域与定义域
函数值域
函数值域是指函数在定义域内所有可能 取到的值的集合。对于不同的函数类型 ,其值域也有所不同。例如,一次函数 的值域为全体实数;二次函数的值域根 据开口方向和顶点位置而定;指数函数 的值域为正实数集;对数函数的值域为 全体实数;三角函数的值域根据具体函 数而定。
VS
函数定义域
初等函数的认识与运 算
汇报人:XX 2024-01-29
目 录
• 函数基本概念 • 初等函数及其性质 • 初等函数运算规则 • 初等函数在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
函数基本概念
函数定义与性质
函数定义
设$x$和$y$是两个变量,$D$是实数集的某个子集,若对于$D$中的每一个数 $x$,变量$y$按照一定的对应法则总有一个确定的数值与之对应,则称$y$是 $x$的函数,记作$y=f(x)$,其中$x$称为自变量,$y$称为因变量,$f$称为对 应法则。
隐函数
隐函数是一种通过方程来表示的函数关系,即$F(x,y)=0$。隐函数的求解通常需要使用代数方法或数值方法,同 时要注意隐函数的定义域和值域。在实际问题中,很多关系都是隐函数关系,如经济学中的供需平衡、物理学中 的运动方程等。
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奇偶性判断与周期性分析
奇偶性判断
对于定义域关于原点对称的函数f(x),如果满足f(-x)=f(x), 则称f(x)为偶函数;如果满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。
周期性分析
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对于定义域内 的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,T为其一个 周期。对于周期函数,可以通过分析其周期性来简化运算和 研究函数性质。

初等函数

初等函数

第一章 函数、极限与连续§1.1 初等函数在自然界中,某一现象中的各种变量之间,通常并不都是独立变化的,它们之间存在着依赖关系,而函数的概念是变量间依赖关系在数学中的反映,函数的概念是微积分研究的主要对象。

下面我们首先复习和归纳中学数学中关于函数的知识,然后引入初等函数的相关概念。

一 邻域邻域是一个经常用到的概念,以前我们学习过区间,那么什么是邻域呢?下面我们用区间来说明邻域的概念。

设有两个数,a δ∈且0δ>,则称实数集{}x x a δ-<为点a 的δ邻域。

记为(,)U a δ,即{}(,)U a x x a δδ=-<,a —(,)U a δ的中心,δ—(,)U a δ的半径。

用图形表示为如果再把这邻域的中心a去掉,就称它为a 的去心δ邻域,记作(,)U a οδ,即 {} 0 ),(δδο<-<=a x x a U 。

为了方便起见,称开区间(),a a δ-为点a 的左δ邻域,称(),a a δ+点a 的右δ邻域。

这里邻域的半径δ虽然没有规定其大小,但在使用中一般总是取为很小的正数.并且大多数情形下并不一定要指明δ的大小,这时我们往往把a 的邻域和a 的去心邻域分别简化为()U a 和()U a ο。

二 函数的概念在具体研究某一自然现象或实际问题的过程中,我们还会发现问题中的变量并不是独立变化的,它们之间往往存在着相互依赖关系.为了说明函数的概念,我们首先看两个例子;例1 自由落体问题一个自由落体,从开始下落时算起经过的时间设为t (秒),在这段时间中落体的路程设为s (米).由于只考虑重力对落体的作用,而忽略空气阻力等其它外力的影响,故从物理学知道s 与t 之间有如下的依赖关系212s gt = (1) 其中g 为重力加速度(在地面附近它近似于常数,通常取9.8g =米/秒2). 如果落体从开始到着地所需的时间为T ,则变量t 的变化范围(或称变域)为 0t T ≤≤.当t 在变域内任取一值时,由(1)可求出s 的对应值.例如 x a a a δδ+-1t =(秒)时,219.81 4.92s =⨯⨯=(米); 2t =(秒)时,219.8219.62s =⨯⨯=(米). 例2 圆的面积S 和半径r 之间存在这样的依赖关系:2r S π=不考虑上面两个例子中量的实际意义,它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系,这种关系是一种对应法则,根据这一法则,当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时,另一个变量就有确定的值与之对应。

初等函数名词解释

初等函数名词解释

初等函数名词解释函数是数学中的一个重要概念,它是一种把一个或多个自变量映射到一个结果的关系。

在函数的定义中,有三种不同的函数类型:初等函数,幂函数和反函数。

本文将详细介绍初等函数。

什么是初等函数?初等函数是指基本的数学函数,也称为基本函数。

这些函数可以用简单的数学符号表示,其中每个变量都有一个唯一的结果值。

它们的关系可以使用数学公式表达出来,如 y = x^2 y = 1/x。

初等函数包括指数函数,对数函数,根号函数,三角函数,双曲线等。

指数函数指数函数是一种特殊的函数,它的函数形式为 y = a^x,其中a 是参数,x是自变量,y是因变量。

指数函数可以用来表示一个增长或下降的趋势,这可以用来模拟各种现实生活中的问题。

对数函数对数函数也称为对数函数,是通过对数据进行求对数,从而将数据的范围进行转换的一种函数。

它的函数形式为 y = loga(x),其中a是参数,x是自变量,y是因变量。

它可以用来模拟数据的变化情况,以及用来分析数据变化规律所形成的图表。

根号函数根号函数是一种特殊的幂函数。

它的函数形式为 y =x,其中x是自变量,y是因变量。

它用来描述一个数字不断翻倍所形成的函数图像,可用来模拟实际生活中因某种因素而引起的极端数据变化趋势。

三角函数三角函数是一类特殊的函数,其函数形式为y = f(x),其中x是自变量,y是因变量。

它可以用来描述图表上的曲线变化,也可以用来模拟实际生活中的不同数据变化情况。

双曲函数双曲函数是一类特殊的函数,它的函数形式为y = asin(x)或y = acos(x),其中a是参数,x是自变量,y是因变量。

双曲函数可以用来描述曲线变化,也可以用来模拟实际生活中数据变化的情况。

总结以上就是关于初等函数的详细介绍,初等函数是指基本的数学函数,一共有指数函数,对数函数,根号函数,三角函数,双曲线等。

它们可以用来描述图表上的曲线变化,也可以用来模拟实际生活中的不同数据变化情况。

初等函数的定义是什么

初等函数的定义是什么

初等函数的定义是什么初等函数的定义是什么初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。

下面是店铺给大家整理的初等函数的定义简介,希望能帮到大家!初等函数的定义初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric function)与常数经过有限次的有理运算(加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方)及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。

它是最常用的一类函数,包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以上是基本初等函数),以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数,称为初等函数。

还有一系列双曲函数也是初等函数,如sinh的名称是双曲正弦或超正弦,cosh是双曲余弦或超余弦,tanh是双曲正切,coth是双曲余切,sech是双曲正割,csch是双曲余割。

初等函数在其定义域内连续。

一个初等函数,除了可以用初等解析式表示以外,往往还有其他表示形式。

例如,三角函数y=sinx 可以用无穷级数表为y=x-x3/3!+x5/5!-…初等函数是最先被研究的一类函数,它与人类的生产和生活密切相关,并且应用广泛。

为了方便,人们编制了各种函数表,如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。

函数在复数域的推广复变三角函数例如将y=sinx和y=cosx中变量x换为复变量z,则得到复变三角函数w=sinz和w=cosz,它们是整函数。

tanz=sinz/cosz,cotz=cosz/sinz等是z的亚纯函数。

初等函数包括哪些

初等函数包括哪些

初等函数elementary function ,数学术语,包括代数函数和超越函数。

在研究函数的一般理论中起着很重要的作用。

最常用的一类函数,包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数,以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

①常数函数。

对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。

②幂函数。

形如y=xa的函数,式中a为不等于零的常数。

③指数函数。

形如y =ax的函数,式中a为不等于1的正常数。

④对数函数。

指数函数的反函数,记作y=log a x,式中a为不等于1的正常数。

指数函数与对数函数之间成立关系式,loga ax=x。

⑤三角函数。

即正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx ,正切函数y=tgx,余切函数y=ctgx ,正割函数y=secx,余割函数y=cscx(见三角学)。

⑥反三角函数。

三角函数的反函数——反正弦函数y =arc sinx ,反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1,0≤y≤π),反正切函数y=arc tgx ,反余切函数y =arc ctgx(-∞<x<+∞,θ<y<π)等。

以上这些函数常统称为基本初等函数。

一个初等函数,除了可以用初等解析式表示以外,往往还有其他表示形式,例如,三角函数y=sinx 可以用无穷级数表为初等函数可以按照解析表达式分类为:初等函数是最先被研究的一类函数,它与人类的生产和生活密切相关,并且应用广泛。

为了方便,人们编制了各种函数表,如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。

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常熟市技工学校
教案
课题:13.1初等函数
教学目的要求: 1.理解函数、分段函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值
2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义
3.掌握基本初等函数的图形和性质
4.理解复合函数的概念
5.掌握复合函数的构成过程
教学重点:初等函数的概念、图形及性质复合函数的构成
教学难点:分段函数的概念复合函数的分解及反三角函数的图象
授课方法:探究研讨法,讲练结合法等
教学参考及教具(含多媒体教学设备):学习指导用书计算机投影仪
授课执行情况及分析:
初等数学研究的主要是常量及其运算,而高等数学所研究的主要是变量及变量之间的依赖关系.函数正是这种依赖关系的体现,极限方法是研究变量之间依赖关系的基本方法.本章将在复习高中所学的函数与极限概念的基础上,进一步介绍两个重要极限,无穷小与无穷大的概念以及函数连续性.
板书设计或授课提纲
图象过点(
为平行于x
条直线
的不同
但在
内总1.

2
α

(
内单调增加
α

(
内单调减少.
1.
a
函数单调增加;当0
时,函数单
少.
2
x
方,且都过
(
1.
a
函数单调增加;当0
时,函数单
少.
2
侧,且都过
(
1
2
(
1
2
(
1
2
1 2
1 2 =
1 2 =
1 2 =
说明:
(1)在复合过程中,中间变量可多于一个,如)(u f y =,)(v u ϕ=,)(x v ψ=,复合后为))](([x f y ψϕ=.但并不是任何两个函数: )(u f y =,)(x u ϕ=都可复合成一个函数,只有当内层函数)(x u ϕ=的值域没有超过外层函数)(u f y =的定义域时,两个函数就可以复合成一个新函数,否则便不能复合,例如22-=u y ,x u sin =就不能复合.
(2)分析一个复合函数的复合过程时,每个层次都应是基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算式;当分解到常数与自变量的基本初等函数的四则运算式(我们称之为简单函数)时就不再分解了(如例4). 3. 初等函数
定义1.5 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成的,并用一个解析式表达的函数称为初等函数.
例如,122
-=x y ,x
y 1sin
=,)12(sin 2+=x e y ,x e y cos ln =等都是初等函数. 许多情况下,分段函数不是初等函数,因为在定义域上不能用一个式子表示.例如符号
函数⎪⎩

⎨⎧=-==010001sgn x x x x y 和取整数函数R x x y ∈=],[,它们都不是初等函数.但
是⎩⎨
⎧-==x x x y 0
0<≥x x 是初等函数,因为2x x y ==.它亦可看作由y =u ,2x u =复合而成(图1-5)
图1-5
微积分学中所涉及的函数,绝大多数都是初等函数,因此,掌握初等函数的特性和各种运算是非常重要的.不是初等函数的函数叫做非初等函数. 下面,我们简单介绍在应用中常见的双曲函数. 双曲函数
双曲正弦函数 2
x
x e e shx --=;
双曲余弦函数 2
x
x e e chx -+=; 双曲正切函数x x x
x e
e e e chx shx thx --+-==. 它们的定义域均为),(+∞-∞,可以证明:双曲正弦和双曲正切为奇函数,双曲余弦为偶函数.
三 建立函数关系举例
运用数学工具解决实际问题时,往往需要先把变量之间的函数关系表示出来,才方便进行计算和分析.
例10要建造一个容积为V 的无盖长方体水池,它的底为正方形.如池底的单位面积造价为侧面积造价的3倍,试建立总造价与底面边长之间的函数关系.
解 设底面边长为x ,总造价为y ,侧面单位面积造价为a .由已知可得水池深为
2x
v ,侧面积为,442x v x v x =从而得出x v a ax y 432+=)0(+∞<<x . 例11已知一物体的质量为m ,它与地面的摩擦系数是μ,设有一与水平方向成α角的拉力F ,要使物体从静止状态沿水平方向移动(图1-7),求拉力F 与角α之间的函数关系.
图1-7
解 当水平拉力Fcos α与摩擦力R 平衡时,物体开始移动. 而摩擦力
R=μ(mg )sin αF -,
所以 )sin (cos αμαF mg F -=,
α
μαμsin cos +=m g F )900(o o 〈〈α. 例12 某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a 公里以内,每吨公里为L 元;超过a 公里时,超过部分为每吨公里
L 54元.求运价y 和里程s 之间的函数关系.。

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