2013-2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷与答案

2013 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分.1．已知集合 M{0,1,2} ， N { x} ，若 M N{0,1,2,3} ，则 x 的值为（）A ．3B ． 2C ． 1D ． 011)2．设 f ( x),( xx，则 f (1) 的值为（）2,( x1)A ．0B ． 1C ． 2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（） .A. 圆柱B. 三棱柱C.球D. 四棱柱4．函数 y2cos x, x R 的最小值是（）A ．-3B ． -1C ．1D ．35．已知向量 a(1,2), b ( x,4) ，若 a ∥ b ，则实数 x 的值为（）A ．8B ．2C ．-2D ．-8正视图 侧视图俯视图（第 3题图）6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600,400， 800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法， 从这三个年级中抽取 45 名学生进行座谈， 则高一、 高二、高三年级抽取的人数分别为（）A ． 15,5,25B ． 15,15,15C ． 10,5,30D ． 15,10,207．某袋中有 9 个大小相同的球，其中有 5 个红球， 4 个白球，现从中任意取出1 个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）11C ．45A ．B ．9D ．5498．已知点 ( x, y) 在如图所示的平面区域 （阴影部分） 内运动， 则 z xy 的最大值是 （）A ．1B ． 2C ． 3D ． 5y9．已知两点 P(4,0), Q (0,2) ，则以线段 PQ 为直径的圆的方程是（）(1,2)(3,2)A ． ( x 2) 2( y 1)25 B ． ( x 2) 2( y 1)210o (1,0) xC ． ( x 2) 2( y 1)2 5D ． ( x 2) 2( y 1)210（第 8题图）10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B 到点 C 的距离 ACBC 1 km ，且ACB 1200 ，则 A,B 两点间的距离为（）BA ． 3 kmB ．2 kmC ． 1.5 kmD ． 2 km1km120°二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分．11．计算：log21log 2 4.．开始121, x,9成等比数列，则实数x．输入 x．已知13．经过点A(0,3)，且与直线y x 2 垂直的直线方程是．x0?是14 ．某程序框图如图所示，若输入的x的值为2，则输出的y值否y 2 x 1为.yx 15 ．已知向量a与b的夹角为， a 2 ，且a b 4 ，则输出 y4b.结束（第 14 题图）三、解答题：本大题共 5 小题，满分40 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分 6 分）已知 cos 1,(0,) 2 2（1）求tan的值；（2）求sin() 的值.617．（本小题满分8 分）某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100 位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注 a 的数字模糊不清.(1)试根据频率分布直方图求 a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000 名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8 元？频率组距a0.100.05024681012早餐日平均费用（元）（第 17题图）18．（本小题满分8 分）如图，在三棱锥 A BCD 中， AB ⊥平面 BCD ，BC BD ，BC3，BD4，直线 AD与平面 BCD 所成的角为450，点 E, F 分别是 AC , AD 的中点.（1）求证：EF∥平面BCD；（2）求三棱锥A BCD的体积 .AEFBDC（第 18题图）19．（本小题满分 8 分）已知数列 a n 满足： a 313 ， a n a n 1 4 (n 1,nN ) .（ 1）求 a 1, a 2 及通项 a n ；（ 2）设 S n 是数列 a n 的前 n 项和 S n ，则数列 S 1 ， S 2 ， S 3 ，⋯中哪一项最小？并求出这个最小值 .20．（本小题满分 10 分） 已知函数 f ( x) 2x 2 x (R)（1）当1 时，求函数 f ( x) 的零点；（2 ）若函数 f ( x) 为偶函数，求实数 的值 ;（3 ）若不等式1≤f ( x) ≤4 在 x [0,1] 上恒成立，求实数的取值范围 .22013 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题题号1 2 34 5 6 7 8 9 10答案ABCABDCDCA二、填空题、 2 ；12 、 ± 3 ；13 、xy 3 0； 14、 2 ；、41115三、解答题：、（ 1 ） (0, ), cos0 ，从而cos1 sin 23 1622（ 2） sin 2cos22sin cos1 2sin 23 1217、（ 1）高一有：2001200 120 （人）；高二有 200 120 80 （人）2000（2） 频率为0.015 10 0.03 10 0.025 10 0.005 10 0.75人数为 0.75 2000 1500 （人）18、（ 1）f (0) b 6a2f ( x) x 22x 6f (1) a b15 b6（2）f ( x)x 2 2 x 6 ( x 1)25, x [ 2,2]x 1时， f ( x) 的最小值为 5， x2 时， f (x) 的最大值为 14.19、 (1)a 1 2,a n 2a n 1 ,a 2 4, a 3 8a n2(n2, n N *)，a n 为首项为2，公比为 2 的等比数列，a n 2 2n 12na n 1(2) b nlog 2 a nlog 2 2n n ， S n 1 2 3n n(n 1)2、（ 1 ） C : ( x 1)2( y 2) 25 k ，C( 1,2)20（2）由 5 k 0 k 5（3）由x 2 y 4 02) 2 5 k5y 2 16 y 8 k 0( x 1)2 ( y设 M ( x 1 , y 1 ), N (x 2 , y 2 ), 则 y 1y 216, y 1 y 2 8 k ， 162 20(8 k)k245 55x1 2y1 4, x2 2y2 4, x1 x2 (2 y14)(2 y24) 4[ y1 y22( y14k16 y2 ) 4]54k 168 k8(满足 k 24OM ON , x1 x2 y1 y2 0, 即50 k)5552014 年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页时量 120 分钟，满分 100 分 .一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A. 圆柱B.圆锥C.圆台D.球2.已知元素a{0,1,2,3}，且 a {0,1,2}，则 a 的值为A.0B.1C.2D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为12A. B.5534C. D.551，则输出y的值是4.某程序框图如图所示，若输入x 的值为A.2B.3C.4D.55.在△ABC中，若AB AC0，则△ ABC 的形状是A. 直角三角形B. 等腰三角形C.锐角三角形D. 钝角三角形6.sin120 的值为2B. 1C.32A. D.2 227.如图，在正方体ABCD A1 B1C1 D1中，异面直线BD与A1C1的位置关系是A. 平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直8.不等式(x 1)(x2) 0的解集为A. { x | 1 x 2}B. { x | 1 x 2}C. { x | x1或x 2}D. { x | x1或x 2}9.点P(m,1)不在不等式x y 2 0 表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是A. m1B.m 1C. m1D. m110.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分 .11.样本数据2,0,6,3,6的众数是.1 ，则12.在 ABC 中, 角A、B、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ，已知 a 1, b2,sin A3sin B ＝.13.已知 a 是函数 f x 2 log 2 x的零点 , 则实数 a 的值为.14.已知函数y sin x(0) 在一个周期内的图像如图所示，则的值为.15.如图 1，矩形ABCD中，AB 2BC, E, F分别是AB, CD的中点，现在沿 EF 把这个矩形折成一个二面角 A EF C （如图2）则在图2中直线AF与平面 EBCF 所成的角为.三、解答题：本大题共 5 小题，满分40 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分 6 分）x,x[0,2],已知函数 f ( x) 4 ,x(2,4].x（1）画出函数f (x)的大致图像；（2）写出函数f (x)的最大值和单调递减区间 .17.（本小题满分8 分）某班有学生50 人，期中男同学300 人，用分层抽样的方法从该班抽取 5 人去参加某社区服务活动 .（1）求从该班男、女同学中各抽取的人数；（2）从抽取的 5 名同学中任选 2 名谈此活动的感受，求选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学的概率 .18.（本小题满分 8 分）已知等比数列 { a n } 的公比 q 2 ，且 a2 , a31,a4成等差数列.（1）求a1及a n；（2）设b n a n n ，求数列 { b n } 的前5项和 S5.19.（本小题满分 8 分）已知向量 a (1,sin ), b (2,1).（1）当时，求向量2a b 的坐标；6（2）若a∥b，且(0, ) ，求 sin() 的值.2420.（本小题满分 10 分）已知圆 C : x2y22x 3 0 .（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y 轴重合， l 与圆 C 相交于A(x1, y1), B( x2, y2)两点，求证：11为定值；x1x2（3）斜率为 1 的直线m与圆C相交于D , E两点，求直线m的方程，使△ CDE 的面积最大 .2014 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题 4 分，满分 40 分）题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDBBACDACA二 、填空题（每小题 4 分，满分 20 分）11.612.213.414.215. 45 （或 ）34三 、解答题（满分40 分）16. 解：(1) 函数 f x 的大致图象如图所示; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分(2) 由函数 f x 的图象得出 ,f x 的最大值为 2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分其单调递减区间为 2,4 .⋯⋯⋯⋯ 6 分17. 解: (1)3053(人 ), 205 2 (人),5050所以从男同学中抽取 3人 , 女同学中抽取 2 人 ; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(2) 过程略 .P( A) 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分518. 解: (1) a n2n 1 ;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2) S 5 46 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分19. 解: (1)4,2 ; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2) 26⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分4.20. 解: (1) 配方得x 124 , 则圆心 C 的坐标为 1,0 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分y 2 圆的半径长为 2 ; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2) 设直线 l 的方程为 y kx ,联立方程组x 2 y22 x3 0y kx,消去 y 得 1k 2 x 2 2x 3 0 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分x 1x 22则有 :1 k 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分3x 1x 21 k2所以11 x 1x 2 2为定值.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 1x 2x 1 x 23(3) 解法一 设直线 m 的方程为 y kx b , 则圆心 C 到直线 m 的距离b 1 , 所以 DE 2 R 2 d 2 2 4 d 2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分d 214 d 2d 2S CDEDE d 4 d 2d22 ,2当且仅当 d 4d 2 ,即 d2 时, CDE 的面积最大 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分从而b1 2 , 解之得 b 3 或 b 1,2故所求直线方程为 x y 3 0 或 x y 1 0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分解法二 由 (1)知 CD CE R 2 ,所以 S CDE1CE sin DCE 2sin DCE2 ,当且仅当 CD CE 时 , CDE 的面积最CD2大, 此时 DE 2 2 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分设直线 m 的方程为 yx b则圆心 C 到直线 m 的距离 db19 分2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由DE 2R 2d 2 2 4 d 22 2 , 得 d2 ,b 12 ,得 b3 或 b1 , 由2故所求直线方程为x y 3 0 或 x y 1 0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分2015 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量 120 分钟，满分 100 分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。