高数习题

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3 (6) , (7) ;
解答提示
P353 题2 (2) 求以 故特征方程为 因此微分方程为 P353 题3 求下列微分方程的通解 为通解的微分方程 . 提示: 提示 由通解式可知特征方程的根为
′′ − y′2 −1 = 0, (7) y′′ + 2y′ + 5y = sin 2x . (6) yy
3
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例5. 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 为 k),
s
求质点的运动规律
提示: 提示 由题设∫ F ds = k t, 两边对 s 求导得:
s0
牛顿第二定律
2
ds d s k = 2 dt dt m ds 2 2k [ ] = t + C1 … dt m
dp dp = f (x, p) dx
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2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程
2
代数法
x y′′ + pxy′ + qy = f (x) d t 令x = e ,D= dt [D(D −1) + pD + q] y = f (et )
练习题: P353 题 2 (2); 练习题 4 (2)；
d x d2 x ′′ + 2 ( y′)2 = 0 y dy dy dx y′′ 2 d x dy y′′ ∴ =− 2 2 =− dy ( y′) (y′)3 代入原微分方程得 y′′ − y = sin x ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 Y = C1 ex + C2 e−x
1 y = C1 e + C2 e − sin x 2 3 由初始条件 y(0) = 0, y′(0) = , 得 2 C1 =1, C2 = −1
B = −417
故 y* = Acos 2x + Bsin 2x + D
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P354 题4(2) 求解
y′′ − ay′2 = 0 y x=0 = 0 , y′ x=0 = −1
提示: 则方程变为 提示 令 1 积分得 − = ax + C1, 利用 p x=0 =y′ x=0 = −1 得C =1 1 p dy dy −1 = , 并利用 y x=0 = 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1+ ax
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处的衔接条件可知,
解满足
y′′ + 4y = 0
其通解: y = C1 sin 2x + C2 cos 2x 定解问题的解: y = − 1 sin 2x + (1− π) cos 2x, x ≥ π 2 2 2 故所求解为
y = 1 − 2 sin 2x + (1− π) cos 2x , 2
x −x
故所求初值问题的解为 x −x 1 y = e − e − sin x 2
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二、微分方程的应用
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 ) 利用物理规律 利用几何关系 初始条件 确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件 可能还有衔接条件 2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
x≥π 2
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例2.
x
且满足方程
求 f (x) .
f (x) = sin x − ∫0 (x − t) f (t) x) = sin x − x ∫ f (t) d t + ∫ t f (t) d t, 则
f ′(x) = cos x − ∫0 f (t) d t − x f (x) + x f (x) f ′′(x) = −sin x − f (x)
O
x
x
d x 20ρ 2 = 2(x −10)ρ g −1⋅ ρ g dt dx =0 x t =0 =12, dt t =0
此时链条滑下来 所需时间为
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2
练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为ρ , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 ) 提示: 提示 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
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为使 v ≥ 0, v0 应 足 满
2G M v0 ≥ ④ R 因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即 GM m = mg (g = 9.81m s2 ) R2
故GM = R2g , 代入④即得
v0 ≥ 2R g = 2× 63×105 ×9.81
≈11.2×10 (m s) 1 2 1 2 1 lim v = v0 − GM 这说明第二宇宙速度为 11.2 km s h→+∞ 2 2 R
问题化为解初值问题: 最后求得
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f ′′(x) + f (x) = −sin x
f (0) = 0 ,
f ′(0) =1
思考: 思考 设 ϕ′(x) = e + x ∫0 ϕ( xu )du, ϕ(0) = 0,
x
x
提示: 提示 对积分换元 , 令t = x u , 则有
第七章 习题课 (二) 二阶微分方程的 解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d2 y • = f (x) 2 dx
逐次积分求解
dy d2 y dy 令 p (x) = dx • = f (x, ) 2 dx dx dy d2 y dy 令 p ( y) = dx • = f ( y, ) 2 dx dx
d 2s dt m 2 =k ds dt d ds 2 2k [ ] = dt dt m
开方如何定 + – ?
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例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 . 下垂 x m , 又设链条线密度为常数 ρ , 此时链条受力 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段
m m( m g − Bρ) m g − Bρ − k v y =− v− ln 2 k m g − Bρ k
作业
P348 4 , 6 ; P353 3 (8) ; 4 (2) ,(4) ； 7; *11(1)
第十一节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 1. 设二阶非齐次方程 而对应齐次方程有解 微分方程的通解 .
解初值问题: 答案:
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例3. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 d2 x dx 3 + ( y + sin x)( ) = 0 2 dy dy 变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解. 解: (1) 由反函数的导数公式知 上式两端对 x 求导, 得
思考 若问题改为求解 y x=0 = 0 ,
则求解过程中得 问开方时正负号如何确定 正负号如何确定? 正负号如何确定
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例1. 求微分方程
y′′ + y = x,
x≤π 2
y′′ + 4y = 0 , x > π 2
满足条件
处连续且可微的解. 提示: 提示 解满足
有特
入 解: 将 y = x 代 y′′ +ψ(x)y′ = 0, 1 1 再 y = 代 y′′ − y′ = f (x) 将 入 x x 1 3 故所给二阶非齐次方程为 y′′ − y′ = 3 x x
2
方程化为
一阶线性非齐次方程
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故
1 ∫ xd x =e
[∫
1 ′ = − 2 + C1 x x 1 y = + C1 x2 + C2 再积分得通解 x
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例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 解: 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: d2 h GM m (G 为引力系数) m 2 =− 2 dt h 又设卫星的初速度 为v0 ,已 地 半 R ≈ 63×105， 知 球 径 则有初值问题:
d2 h GM ② =− 2 dt 2 h dh h t =0 = R, = v0 ③ dt t = 0
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dh d2 h dv 设 = v(h), 则 2 = v , 代入原方程②, 得 dt dh dt dv GM GM v =− 2 vdv = − 2 d h dh h h 1 2 GM v = +C 两边积分得 2 h 1 2 GM 利用初始条件③, 得 C = v0 − 2 R 1 2 1 2 1 1 因此 v d2 h GM = v0 + G M( − ) ②h R 2 =− 2 2 2 dt h dh 1 v2 = 1 v2 − G M 1 注意到 R, lim h t=0 = = v0 0 ③ h→+∞ 2 = 0 2 R dt t