数学分析课件PPT之二十一章重积分(上)
21-9——华东师范大学数学分析课件PPT
第3步： D J(u,v)dudv.
第4步： D J (u,v)dudv.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第1步的证明 设(u0,v0 ) int , 0,取正数
J u0,v0 满足1 2 J u0,v0 J u0,v0 .
v
dudv
4n
,
由定理16.2，存在u0,v0 In int . 于是 0,
J u0,v0 I
J u,vdudv I .
I
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第2步的证明 若有正方形I int 使
T I J u,vdudv 0,
I
将I等分为4个小正方形，则4个小正方形中必有一个
a xu,v x u,v b yu,v y u,v
a b a b .
2 2M 2 2M 2M 2M 2
同理
v1
v
2
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
设 I1 是与 I同中心的正方形，边长是1 ，从而
(u1,v1) I .于是
u1 v1
u v
,
由此
u1 v1
u v
a c
b d
x y
u1 u1
, ,
v1 v1
x y
u, u,
v v
.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
于是
u1 u a x u1,v1 x u,v b y u1,v1 y u,v a xu,v xu,v b yu,v yu,v
高等数学-重积分PPT课件
重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算 方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解 和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形 的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的 转动惯量，通过对物体质量分布 和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间 的引力，通过对两物体间的质量 分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形 的边界函数进行积分得到。
重积分课件
详细描述
在计算电场时，我们需要对电荷的分布和位置进行积分 ，以确定电荷对其他电荷的作用力。这个积分过程也是 重积分。通过重积分，我们可以得到电荷之间的电场强 度和电势，进一步得到整个电场的分布情况。
05
重积分的数学性质
重积分的可加性
总结词
重积分具有可加性，即对于可加函数，其在两个不相交区域的积分之和等于其在整个区 域的积分。
微分方程的数值解法
欧拉方法
一种简单而常用的数值解法，通过迭代的方式逐步逼近微分方程的 解。
龙格-库塔方法
一种高精度的数值解法，适用于求解非刚性问题，具有更高的计算 精度和稳定性。
谱方法
利用傅里叶变换或小波变换将微分方程转化为频域或时域中的多项 式方程，通过求解多项式方程得到原微分方程的数值解。
THANKS。
04
重积分的物理应用Biblioteka 质量分布的计算总结词
质量分布是物理学中一个重要的概念，它描 述了物体内部各点的质量分布情况。
详细描述
在计算物体质量时，我们需要对物体的密度 函数进行积分，以确定物体内部所有点的质 量总和。这个积分过程就是重积分。通过重 积分，我们可以得到物体的总质量、质心位
置等重要物理量。
引力场的计算
详细描述
重积分的可乘性是指，如果函数在两个区域上进行积分 ，那么这些积分的结果之积等于函数在它们所围成的区 域上的积分结果。这个性质在处理多变量函数的积分问 题时非常有用，因为它允许我们将问题简化为更简单的 形式，从而更容易计算出积分的结果。同时，这个性质 也为我们提供了一种计算多变量函数积分的有效方法。
体积的计算
总结词
重积分是计算三维空间中物体体积的有 效工具，通过重积分可以计算出各种形 状的物体体积。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第21章 重积分
立
i
b
a
.
即若把曲线
K
按
x
x0 ,
x1 ,
, xn 分
成 n 个小段, 则每一小段都能被以 xi 为宽,i 为
高的小矩形所覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和
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n
i xi
i1
ba
n
xi
i1
,
因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零.
推论1 参量方程 x (t), y (t) ( t ) 所表
的外面积 I P 0, 即对任给的 0, 存在直线网 T,
使得
SP (T ) , 或对任给的 0,平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖.
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定理 21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: P 的边界 K 的面积为零.
证 由定理21.1,P 可求面积的充要条件是: 对任给
示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零.
证 由光滑曲线的定义，, 均存在且不同时为零.
由隐函数存在性定理, t0 [ , ], x(t0 ) 0 (或 y(t0 ) 0 ), 因此 U (t0; ), x x(t ) (或 y y(t) ) 在 U (t0; )上有反函数. 再由有限覆盖定理, 可把区间
P ;
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(iii) i 上含有 P 的边界点. 将所有属于直线网的第 y
(i) 类小矩形(图 21-1 中紫
P
色部分)的面积加起来,记
这个和数为 sP (T ), 则有
O
x
sP (T ) R (这里 R表示
图 21 1
包含P 的那个矩形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第
重积分高等数学课件.ppt
于是 ln(x2 y2 ) d x d y 0
x y 1
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第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第九章
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一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
的正负号.
y
D3 D2 o 1 32 x
D1
舍去此项
猜想结果为负
D1 d x d y
但不好估计 .
3 2 (4 3) (1 3 2) 0
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例3. 估计下列积分之值
I
D
dxd y 100 cos2 x cos2
y
D : x y 10
y
解: D 的面积为 (10 2)2 200
体积, 则存在 ( ,, ) , 使得
f (x, y, z) d v f ( ,, )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
n
M
lim
0 k 1
(k , k
) k
(k ,k )
x
k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
《数学分析》课件 (完整版)
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
高等数学重积分.pptx
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【例1】
【解】
如图
X—型域
作直线穿越Ω内部
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故
则
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【解】
得交线投影区域
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【解】
如图
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【例4】
【解】
如图示
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【方法Ⅱ】
截面法(切片法)【 “先二后一”】
【“先二后一”法的一般步骤】
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【例3】
【解】
D是Y—型域也可以视X—型域
先求交点
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［法1］
视为X—型域
（计算较繁）
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
［法2］
（计算简单）
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【例4】
【解】
X-型
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【例5】
【解】
先去掉绝对值符号，如图
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公式2
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(3)［既非X－型域也非Y－型域］
在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)
如图 , 则必须分割.
由二重积分积分区域的可加性得
2.【二重积分的计算步骤可归结为】
①画出积分域的图形，标出边界线方程；
②根据积分域特征，确定积分次序；
③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算.
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(?)
Dz之面积
作业: 同济P164: 4,5
n 重积分
数学分析 第二十一章 重积分
*§7 n 重积分
由于三维以上的空间 中区域的体积没有直观的几 何意义, 因此本节先定义n 维长方体的体积, 再定义n 维区域的体积, 最后建立起 n 重积分的理论与计算方法.
一、n 重积分的物理背景 二、n 重积分的定义 三、n 重积分的计算
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数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§7 n 重积分 物理背景 定义
计算
x1 x1 L
1 2
J
( x1 , x2 ,L
(1 ,2 ,L
, xn )
,n )
x2
1
M
x2
2
M
L
x1
n
x2
n 0,
M
xn xn L xn
1 2
n
则成立下列 n 重积分的换元公式：
6 7n8
I L f ( x1,L , xn )dx1 L dxn
2
π
dx1 L
x12 x22 L xn22 1
dxn2
n2 ,
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§7 n 重积分 物理背景 定义
计算
}n2
其中 n2 L dx1L dxn2 为 n 2 维单位球体体 x12 x22 L xn22 1
积,因而由例2 得 n 维球面面积为
Sn
2 π n-2
V1
2R,
V2
πR2 ,
V3
4 3
πR3 .
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§7 n 重积分 物理背景 定义
计算
本题也可用 n 维球坐标变换求得, n 维球坐标变换
重积分——重积分的概念与性质PPT课件
因而在区域 1 x y 1上有 ln( x2 y2 ) 0。 2
于是有 : ln( x2 y2 )d 0 。
1
x y 1
2
12
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例2 比较 ( x y)2d 与 ( x y)3d的大小。
D
D
(1) D1：x轴、y轴及x+y=1所围；
y
(2) D2：(x2)2+(y1)2 2
f ( x, y)d ,即
n
D
D
f (x, y)d lim 0 i1
f (i,i) i
4
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n
D
f ( x, y)d
lim 0 i1
f (i ,i ) i
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达
面 积 元 素
式
积 分 和
由二重积分的定义可知，平面薄板的质量是面密度函数在薄板所占闭 区域上的二重积分
f ( x, y)d f ( ,)
D 下面仅给出结论(5)、(6)的证明。
11
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例1 不用计算,判断二重积分
y
ln( x2 y2 )d 的符号。
1 x y 1
2
解 先作出积分区域D :
1 o
在积分区域D : 1 x y 1上, 2
1 2
x
2
除四个顶点外,全部落在圆周x2 y2 1 之内,
z
z f (x, y)
A( x)
A( x) 2 ( x) f ( x, y)dy。 y 1 ( x)
o ax
于是，应用计算平行截面面积为已知的立方体体积的方法，得
曲顶柱体体积为
重积分应用PPT课件
01
球面坐标系的建立
以原点为球心，以r为半径的球面将空间划分为若干个球面区域。
02
球面坐标系下三重积分的计算
将三重积分转化为球面坐标系下的二重积分，再对r、θ和φ进行积分。
03
典型例题解析
通过具体例题展示球面坐标系下三重积分的计算过程。
典型例题解析
01
02
03
04
例题1
计算球体体积（直角坐标系下 ）。
典型例题解析
例题一
求解二重积分$int_{0}^{1}int_{0}^{1}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$， 分别采用矩形法、梯形法和Simpson法进行求解，并比较各方 法的精度和计算量。
例题二
求解二重积分$int_{0}^{pi}int_{0}^{pi}sin(x+y)dxdy$，分别 采用矩形法、梯形法和Simpson法进行求解，并分析各方法的 适用性。
03
三重积分计算方法
直角坐标系下三重积分计算
投影法
将三重积分投影到三个坐标面上， 分别计算每个投影区域上的二重
积分，再相加得到最终结果。
截面法
通过平行于坐标面的平面截取积 分区域，对每个截面上的二重积 分进行计算，再对截面进行积分
得到最终结果。
先一后二法
先对其中一个变量进行积分，将 三重积分转化为二重积分，再对
剩余两个变量进行积分。
柱面坐标系下三重积分计算
1 2
柱面坐标系的建立
以原点为顶点，以z轴为对称轴的圆柱面将空间 划分为若干个柱面区域。
柱面坐标系下三重积分的计算
将三重积分转化为柱面坐标系下的二重积分，再 对r和θ进行积分。
3
典型例题解析
《数学分析》第二十一章二重积分
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
( i ,i )
i
看作均匀薄片，
所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
o x n M lim ( i ,i ) i .
0
i 1
二、二重积分的概念
定义
D 上的有界 函 设 f ( x , y ) 是有界闭区域
n 个小闭区域 1 ， 数，将闭区域D 任意分成
z f ( x, y)
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
D
n
y
( i ,i )
i
顶柱体的体积，x
曲顶柱体的体积 V lim f ( i ,i ) i . 0
i 1
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y )在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
2 于是ln( x y ) ln( x y ) ,
o
1
2
x
因此
2 ln( x y ) d [ln( x y )] d . D D
四、小结
二重积分的定义 （和式的极限）
（曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义
二重积分的性质
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较， 找出它们的相同之处与不同之处.
第二十一章
二 重
积
分
§1 二重积分概念
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶.
z f ( x, y)
D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 1二重积分的概念一、平面图形的面积引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集， 即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点；(2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点.将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来， 记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)；将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来， 记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知，对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界， 记Tp I sup ={s p (T)} ,Tp I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I .p I 称为内面积，p I 称为外面积.定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积.定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε.证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)<I p +2ε, 记T 为由T 1与T 2合并所成的直线网，则 s p (T 1)≤s p (T), S p (T 2)≥S p (T)，∴s p (T)>I p -2ε, S p (T)<I p +2ε, 从而S p (T)-s p (T)<ε. [充分性]设对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知，p I =p I ，∴平面图形P 可求面积.推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或 平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖.定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0.证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ， 使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε， 由推论知，P 的边界K 的面积为0.定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零.证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而一致连续. ∴∀ε>0, ∃δ>0, 当把区间[a,b]分成n 个小区间[x i-1,x i ] (i=1,2,…,n, x 0=a,x n =b)并满足 max{△x i =x i -x i-1 |i=1,2,…,n }<δ时，可使f(x)在每个小区间[x i-1,x i ]上的振幅都有ωi <ab -ε.把曲线K 按自变量x=x 0,x 1,…,x n 分成n 个小段，则 每一个小段都能被以△x i 为宽, ωi 为高的小矩形所覆盖，又 这n 个小矩形面积的总和为i ni i x ∆∑=1ω<ab -ε∑=∆ni ix1<ε，由定理21.1的推论即得曲线K 的面积为零.推论1：参数方程x=φ(t), y=ψ(t), t ∈[α,β]所表示的光滑曲线K 的面积为零.证：由光滑曲线的定义，φ’(t),ψ’(t)在[α,β]上连续且不同时为0. 对任意t 0∈[α,β]，不妨设φ’(t 0)≠0，则存在t ’的某邻域U(t 0), 使得 x=φ(t)在此邻域上严格单调，从而存在反函数t=φ-1(x). 又 由有限覆盖定理，可把[α,β]分成有限段：α=t 0<t 1<…<t n =β， 在每一小区间段上，y=ψ(φ-1(x))或x=ψ(φ-1(y))，由定理21.3知， 每小段的曲线面积为0，∴整条曲线面积为零.推论2：由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的.注：并非平面中所有的点集都是可求面积的.如D={(x,y)|x,y ∈Q ∩[0,1]}. 易知0=D I ≤D I =1, 所以D 是不可求面积的.二、二重积分的定义及其存在性 引例：求曲顶柱体的体积(如图1).设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数. 求以曲面z=f(x,y)为顶，以D 为底的柱体体积V.用一组平行于坐标轴的直线网T 把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). ∵f(x,y)在D 上连续，∴当每个σi 都很小时， f(x,y)在σi 上各点的函数值近似相等； 可在σi 上任取一点(ξi ,ηi )，用以f(ξi ,ηi )为高， σi 为底的小平顶柱体的体积f(ξi ,ηi )△σi 作为V i 的体积△V i ，即△V i ≈f(ξi ,ηi )△σi .把这些小平顶柱体的体积加起来， 就得到曲顶柱体体积V 的近似值： V=∑=∆n i i V 1≈i ni i i f σηξ∆∑=1),(.当直线网T 的网眼越来越细密，即分割T 的细度T =di ni ≤≤1max →0(di 为σi 的直径)时，i ni i i f σηξ∆∑=1),(→V.概念：设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，f(x,y)为定义在D 上的函数. 用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 以△σi 表示小区域△σi 的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ， 以d i 表示小区域△σi 的直径，称T =di ni ≤≤1max 为分割T 的细度.在每个σi 上任取一点(ξi ,ηi )，作和式ini iif σηξ∆∑=1),(，称为函数f(x,y)在D 上属于分割T 的一个积分和.定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有J f ini ii-∆∑=σηξ1),(<ε，则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作：J=⎰⎰Dd y x f σ),(.注：1、函数f(x,y)在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是f 在D 上有界.2、设函数f(x,y)在D 上有界，T 为D 的一个分割，把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 令M i =iy x σ∈),(sup f(x,y), m i =iy x σ∈),(inf f(x,y), i=1,2,…,n.作和式S(T)=i n i i M σ∆∑=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1. 它们分别称为函数f(x,y)关于分割T 的上和与下和.定理21.4：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：0lim →T S(T)=0lim →T s(T).定理21.5：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.定理21.6：有界闭区域D 上的连续函数必可积.定理21.7：设f(x,y)在有界闭域D 上有界，且不连续点集E 是零面积集，则f(x,y)在D 上可积.证：对任意ε>0, 存在有限个矩形(不含边界)覆盖了E ，而 这些矩形面积之和小于ε. 记这些矩形的并集为K ，则 D\K 是有界闭域(也可能是有限多个不交的有界闭域的并集). 设K ∩D 的面积为△k ，则△k <ε. 由于f(x,y)在D\K 上连续， 由定理21.6和定理21.5，存在D\K 上的分割T 1={σ1, σ2,…, σn }, 使得S(T 1)-s(T 1)<ε. 令T={σ1, σ2,…, σn , K ∩D}，则T 是D 的一个分割，且 S(T)-s(T)=S(T 1)-s(T 1)+ωK △k <ε+ωε, 其中ωK 是f(x,y)在K ∩D 上的振幅，ω的是f(x,y)在D 上的振幅. 由定理21.5可知f(x,y)在D 上可积.三、二重积分的性质1、若f(x,y)在区域D 上可积，k 为常数，则kf(x,y)在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x kf σ),(=k ⎰⎰Dd y x f σ),(.2、若f(x,y), g(x,y)在D 上都可积，则f(x,y)±g(x,y)在D 上也可积，且[]⎰⎰±Dd y x g d y x f σσ),(),(=⎰⎰Dd y x f σ),(±⎰⎰Dd y x g σ),(.3、若f(x,y)在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则⎰⎰21),(D D d y x f σ=⎰⎰1),(D d y x f σ+⎰⎰2),(D d y x f σ.4、若f(x,y)与g(x,y)在D 上可积，且f(x,y)≤g(x,y), (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x g σ),(.5、若f(x,y)在D 上可积，则函数|f(x,y)|在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x f σ),(.6、若f(x,y)在D 上都可积，且m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈D ，则 mS D ≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤MS D , 其中S D 是积分区域D 的面积.7、(中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ， 使得⎰⎰Dd y x f σ),(=f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.注：中值定理的几何意义：以D 为底，z=f(x,y) (f(x,y)≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于f(x,y)在区域D 中某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η).习题1、把重积分⎰⎰Dxydxd σ作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=[0,1]×[0,1]，并用直线网x=n i, y=nj , (i,j=1,2,…,n-1)分割D 为许多小正方形，每个小正方形取其右顶点作为其节点.解：⎰⎰Dxydxd σ=2111lim n n j n i nj ni n ⋅⋅∑∑==∞→=21121lim n n j n nj n ⋅⋅+∑=∞→=224)1(lim n n n +∞→=41.2、证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D 上可积，则f(x,y)在D 上有界. 证：若f 在D 上可积，但在D 上无界，则对D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, f 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时，任取p i ∈σi ，令G=∑≠nki i i p f σ)(, I=⎰⎰Ddxdy y x f ),(.∵f 在σk 上无界，∴存在p k ∈σk ，使得|f(p k )|>kG I σ∆++1, 从而∑=ni iip f 1)(σ=∑≠∆+nki k k i i p f p f σσ)()(≥|f(p k )·△σk |-∑≠nki i i p f σ)(>|I|+1.又f 在D 上可积，∴存在δ>0，对任一D 的分割T={σ1, σ2,…, σn }, 当T <δ时，T 的任一积分和∑=nk k k p f 1)(σ都满足∑=-nk k k I p f 1)(σ<1,即∑=nk k k p f 1)(σ<|I|+1，矛盾！∴f 在D 上可积，则f 在D 上有界.3、证明二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.证：∵f 在有界闭区域D 上连续,∴f 在D 上有最大值M 和最小值m, 对D 中一切点有m ≤f ≤M ，∴mS D ≤⎰⎰Df ≤MS D , 即m ≤⎰⎰DDf S 1≤M.由介值性定理知，存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D .4、证明：若f(x,y)为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则⎰⎰Dd y x f σ),(>0.证：由题设知存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使f(p 0)>0，令δ=f(p 0)，由连续函数的局部保号性知：∃η>0使得对一切p ∈D 1(D 1=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>2δ. 又f(x,y)≥0且连续，∴⎰⎰Df =⎰⎰1D f +⎰⎰-1D D f ≥2δ·△D 1>0.5、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域D ’⊂D 上有⎰⎰'D d y x f σ),(=0，则在D 上f(x,y)≡0.证：假设存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使得f(p 0)≠0, 不妨设f(p 0)>0. 由连续函数的保号性知，∃η>0使得对一切p ∈D ’(D ’=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>0，由第4题知⎰⎰'D f >0，矛盾！ ∴在D 上f(x,y)≡0.6、设D=[0,1]×[0,1]，证明： 函数f(x,y)=⎩⎨⎧内非有理点为皆为有理数即内有理点为D y x y x D y x ),(,0),(),(,1在D 上不可积.证： 设D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, 则每一个小区域σi 内必同时含有D 内有理点和非有理点，从而 M i =iy x σ∈),(sup f(x,y)=1, m i =iy x σ∈),(inf f(x,y)=0, i=1,2,…,n.∴S(T)=i n i i M σ∆∑=1=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1=0，由T 的任意性知：lim →T S(T)=1≠0=0lim →T s(T). ∴f 在D 上不可积.7、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，g(x,y)在D 上可积且不变号，则存在一点(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.证：不妨设g(x,y)≥0, (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x g σ),(≥0. 令M,m 分别为f 在D 上的最大、最小值，则 m ⎰⎰Dd y x g σ),(≤⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(≤M ⎰⎰Dd y x g σ),(.若⎰⎰Dd y x g σ),(=0, 则⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=0，任取(ξ,η)∈D ，得证！若⎰⎰Dd y x g σ),(>0, 则m ≤⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),(≤M. 由介值性定理知，存在一点(ξ,η)∈D ，使得f(ξ,η)=⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),( ，即⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.8、应用中值定理估计积分：I=⎰⎰++Dyx d 22cos cos 100σ的值, 其中D={(x,y)||x|+|y|≤10}. 解：∵f(x,y)=yx 22cos cos 1001++ 在D={(x,y)||x|+|y|≤10}上连续，根据中值定理知：存在(ξ,η)∈D ，使得I=ηξ22cos cos 100++∆D, 从而102D ∆≤I ≤100D ∆, △D 为D 的面积，∴51100≤I ≤2.9、证明：若平面曲线x=φ(t), y=ψ(t), α≤t ≤β光滑 (即φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数且φ’2(t)+ψ’2(t)≠0)，则 此曲线的面积为0.证法1：该平面曲线L 的长度为l=dt t t ⎰'+'βαψϕ)()(22为有限值.对∀ε>0, 将L 分成n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡εl +1段：L 1,L 2,…,L n , 在每段L i 上取一点P i , 使P i 与其一端点的弧长为nl 2，以P i 为中心作边长为的ε正方形△i ， 则L i ⊂△i (i=1,2,…,n), 从而L ⊂n i 1= △i ，记△=ni 1= △i ，则△为一多边形.设△的面积W ，则W ≤n ε2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1εlε=(1+ε)ε，∴L 的面积W L ≤W ≤(1+ε)ε. 即此曲线的面积为0.证法2：在曲线上任取参数t 的点M ，∵φ’2(t)+ψ’2(t)≠0， 由隐函数存在定理知，存在σ=(t-δ,t+δ)使曲线上对应的一段可以表示成显式方程.应用有限覆盖定理，[α,β]被开区间集{σ}有限覆盖，得出有限个区间， 使曲线分成有限部分，每一部分可以表示成显式方程y=f(x)或x=g(y)， 其中f,g 为连续函数，由定理21.3知光滑曲线的面积为0.。
数学分析21--1
定理21．2 平面有界图形P可求面积的充 要条件是：P的边界K的面积为零．
证 由定理21．1，P可求面积的充要条件是：
对任给的 0，存在直线网T ，使得
SP T sP T
由于 SK T SP T sP T
网，可证得
sP T1 sP T SP T2 SP T
于是由（3）可得
sP
T
IP
2
,
SP T IPFra bibliotek2
从而得到对直线网T 有 SP T sP T
[充分性]对任给的 0，存在直线网T ，
使得（2）式成立．但
sP T I P I P S P T
T 0
T 0
定理 21．5 f x, y在 D 上可积的充要条
件是：对于任给的正数 ，存在 D 的某个分割
T ，使得 ST sT ．
定理21．6 有界闭区域D上的连续函数必可积．
定理 21.7 设 f x, y是定义在有界闭区
域 D 上的有界函数．若 f x, y的不连续点都落
在有限条光滑曲线上，则 f x, y在 D 上可积.
证 不失一般性，可设 f x, y的不连续点全
部落在某一条光滑曲线 L 上．记 L 的长度为l ，
于是对任给的
>0，把
L
等分成
n
l
1
段：
L1 ,, Ln
在每段 Li 上取—点 Pi ，使 Pi 与其一端点的弧长
为
l 2n
这时每一个小段都能被以 xi 为宽， i 为高
重积分说课PPT课件
的密度。
计算质心
三重积分可用于计算三维物体的质 心坐标，其中被积函数表示物体的 密度与坐标的乘积。
计算转动惯量
通过三重积分可以计算三维物体绕 某轴的转动惯量，其中被积函数表 示物体的密度与到轴距离的平方的 乘积。
05
重积分的数值计算方法
矩形区域上的数值积分法
体积计算
二重积分可用于计算立体 体积，如旋转体、柱体等。
曲面面积计算
通过二重积分可以计算曲 面的面积，如球面、柱面 等。
二重积分在物理中的应用
质心计算
通过二重积分可以求出物体的质 心坐标。
引力计算
在万有引力定律中，利用二重积 分可以计算两物体之间的引力。
01
02
质量计算
在密度不均匀的物体中，利用二 重积分可以计算物体的质量。
球面坐标系下的三重积分
当积分区域为球体或球壳时，可将三重积分转化为球面坐标系下的 累次积分。
三重积分在几何中的应用
计算体积
通过三重积分可以计算三 维空间中任意形状的体积。
计算面积
三重积分可用于计算三维 空间中曲面的面积。
计算重心
通过三重积分可以计算三 维物体的重心坐标。
三重积分在物理中的应用
计算质量
重积分说课ppt课件
目录
• 课程介绍 • 重积分基本概念与性质 • 二重积分的计算与应用 • 三重积分的计算与应用 • 重积分的数值计算方法 • 课程总结与展望
01
课程介绍
课程目标与要求
掌握重积分的概念、 性质及计算方法
培养学生的数学素养 和解决问题的能力
理解重积分在物理学、 工程学等领域的应用
重积分的应用课件
平面 i , 并在 i 上取出一小块 Ai , 使得Ai 与 Si 在
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§6重积分的应用
曲面的面积
重心
转动惯量
引力
x y 平面上的投影都是 i (见图 21-38). 在点 Mi 附
S : z f (x, y)
于是小块 Vi的质量可用(i ,i , i )Vi近似代替, 若 把每一块看作质量集中在 (i ,i , i )的质点时, 整个
物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替.
由于质点系的重心坐标公式为
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§6重积分的应用
曲面的面积
重心
转动惯量
引力
n
i (i ,i , i )Vi
§6重积分的应用
曲面的面积
重心
转动惯量
引力
曲面的面积
设 D 为可求面积的平面有界区域, f ( x, y) 在 D 上
具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程
z f (x, y) , (x, y) D 所表示的曲面 S 的面积.
(1) 对区域 D 作分割 T，把 D 分成 n 个小区域 i
(i 1,2, ,n). 这个分割相应地将曲面 S 也分成 n 个 小曲面片 Si (i 1,2, , n).
xn
i 1 n
,
(i ,i , i )Vi
i 1
n
i (i ,i , i )Vi
yn
i 1 n
,
(i ,i , i )Vi
i 1
n
i (i ,i , i )Vi
zn
《重积分的》课件
积分区域的可加性是重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个简单的积分区域， 从而简化积分的计算。
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，例如格林公式、高斯公式等。
积分区域的可加性在实际应用中也有广泛的应用，例如在物理、工程等领域中，经常需要对复杂的积分区域进行 积分，利用积分区域的可加性可以大大简化计算过程。
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汇报人：PPT
目录
定义与公式
重积分：对多元函数在某一区 域内的积分
积分区域：多元函数在某一区 域内的积分区域
积分变量：多元函数在某一区 域内的积分变量
积分公式：多元函数在某一区 域内的积分公式
计算方法
确定积分区域和被积函数 计算积分上限和下限 使用积分公式进行计算 验证计算结果是否正确
引力势能的应用：在物理学、天文学、地球科学等领域都有广泛的应用
引力势能的计算方法：可以通过积分的方法来计算引力势能，例如使用重积分进行计算
地球引力场的计算
地球引力场的计算需要利用 重积分公式
地球引力场的计算需要考虑 地球的密度分布
地球引力场的计算是重积分 的实际应用之一
地球引力场的计算需要利用地 球的半径和自转角速度等信息
桥梁结构稳定性分析的基 本原理
重积分在桥梁结构稳定性 分析中的具体应用
重积分在桥梁结构稳定性 分析中的优缺点
重积分在桥梁结构稳定性 分析中的发展趋势
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质量计算公式：m=ρV
质量计算
ρ：密度，单位为kg/m³
《重积分概念与性质》课件
重积分的几何意义可以用于计算曲面或曲面上的 积分，也可以用于计算曲面或曲面上的平均值
03
重积分的性质
性质1：线性性质
添加标题
线性性质的定义：如果f(x)和g(x)是定义在[a,b]上的可积函数，c和d是常数，那么f(x)+g(x)和cf(x)+dg(x)也是 定义在[a,b]上的可积函数，且满足∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx， ∫(cf(x)+dg(x))dx=c∫f(x)dx+d∫g(x)dx。
应用3：表面积计算
重积分在表面积计算中的 应用
计算曲面的表面积
计算旋转体的表面积
计算球体的表面积
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矩形法的步骤：确定积分区域、划分矩形、计算每个矩形的面积、求和得到积分值。
矩形法的优点：简单直观，易于理解。
矩形法的缺点：当积分区域不规则时，划分矩形比较困难，计算误差较大。
方法3：梯形法
梯形法的基本思想： 将积分区域划分为若 干个梯形，然后计算 每个梯形的面积，最 后求和得到积分值。
梯形法的计算公式：
添加标题
线性性质的应用：在计算重积分时，可以将被积函数分解为两个或更多的部分，分别计算每个部分的积分，然后相加得到整个 被积函数的积分。
添加标题
线性性质的证明：利用积分的定义和性质，可以证明线性性质的正确性。
添加标题
线性性质的重要性：线性性质是重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的被积函数分解为简单的部分，从而简化计算 过程。
性质4：比较定理
比较定理：如果 f(x)≤g(x)在 [a,b]上恒成立， 则∫(a到 b)f(x)dx≤∫(a 到b)g(x)dx
《重积分定义和计算》课件
在计算两个物体之间的引力时，可以通过重积分来计算。例如，地球和月球之间的引力作用、两个电荷之间的电场力 等。
电磁学中的高斯定理
在电磁学中，高斯定理是描述电场分布的重要定理，而这个定理的证明过程中就使用了重积分。
在金融中的应用
计算概率密度函数和累积分布函数
在金融领域，重积分被用于计算概率密度函数和累积分布函数。例如，在期权定价、风 险评估和投资组合优化等领域，都需要使用重积分来计算相关概率分布。
03
重积分计算方法
矩形法
总结词：简单直观
详细描述：矩形法是一种基于几何直观的积分计算方法，通过将积分区间划分为 一系列小的矩形，然后求和计算积分值。该方法简单易懂，适用于初学者理解重 积分的概念。
蒙特卡洛方法
总结词：随机模拟
详细描述：蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的积分计算方法，通过在积分区间内随机生成大量点， 然后统计落在积分区域内的点数，以此估算积分值。该方法适用于复杂函数的积分计算，但精度取决 于抽样次数。
如何判断积分是否收敛
可以通过分析积分函数的性质和积分的物理意义来判断积分是否收 敛。
举例说明
以三维空间中的球体为例，如果球体内部的函数值无限增大，那么 该球体内的重积分可能不存在。
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解决随机过程问题
在金融领域中，许多问题涉及到随机过程，如股票价格的波动、收益率的分布等。重积 分被用于解决这些随机过程问题，以预测未来的市场走势。
精算科学中的风险评估
在精算科学中，重积分被用于评估风险。例如，可以使用重积分来计算某个事件的预期 损失或风险价值。
在工程中的应用
材料力学中的应力分析
在材料力学中，重积分被用于计 算物体内部的应力分布。通过将 物体的受力情况转化为数学模型 ，然后使用重积分进行计算，可 以确定物体在不同位置的应力大 小和方向。
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从而一致连续．因而对任给的 0，总存在
0 ，当把区间 a,b分成 n 个小区间
xi1, xi i 1, , n 并且满足
max xi xi xi1 i 1, , n 时，可使
在每个小区间xi1, xi 上的振幅都成立
i
ba
现把曲线 K 按自变量 x x0, x1, , xn 分成 n 个小段，
2 , ， n，其中 i 表示第i 个小闭区域，
也表示它的面积，在每个 i 上任取一点(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2, , n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体
积之和为 n
n
Vi f (i ,i ) i
i 1
i 1
4）取极限：
n
V lim 0 i1
f
i ,i
i
其中
max
1in
的直径
i
2 平面薄片的质量
设平面薄片占有xoy面上的区域为D，它在点
（ x , y )处的密度为 r( x, y)
求：此薄片的质量
S
P
T
，)
定义 1 若平面图形 P
的内面积 I P 等于它的
外面积 I P ，则称 P 为可 求面积，并称其共同值
I P = I P = I P 为 P 的面积
（约当，黎曼测度）
定理 21.1 平面有界图形 P 可求面积的
充要条件是：对任给的 0，总存在直线网T ，
1) 区域D可分割成n个小区域：
1， 2， i , , n y
2）取点 i ,i i
•
n
3）作和 ri ,i i
i 1
n
o
4）取极限
M
Lim
0
i 1
r
i ,i
i
(i ,i )
i
x
3.二重积分的概念
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数，
将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
注： 1） 在二重积分定义中，对区域D的划分 是任意的，故 如果在直角坐标系中用平
行于坐标轴的直线网来划分 D，则除了包含，
边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域
第二十一章 重积分
§1 二重积分的概念 §2 直角坐标系下二重积分的计算
§3 格林公式•曲线积分与路线的无关性 §4 二重积分的变量变换
§5 三重积分 §6 重积分的应用
§1 二重积分的概念
一、 平面图形的面积 二、 二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质
一 平面图形的面积
1.内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念 直线网T 分割平面图形 P，T 的网眼中小闭矩
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
z f (x, y) D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
播放
曲顶柱体的体积
一曲顶柱体其顶为曲面 z f ( x, y)底面为平
面区域 D,求此曲顶柱体的体积。
解：对区域D进行网状分割（如图）
1) 区域D可分割成n个小区域：
1， 2， i , , n
z
z f (x, y)
o
x
D
•
n
i
曲顶柱体的体积 V lim 0
f (i ,i ) i .
i 1
y
(i ,i )
2）近似： 每个个小区域 i 内任取一点 (i ,i ), 则每个小曲顶柱体的体积近似为：
Vi f (i ,i ). i
由 的任意性，因此 I P = I P ，因而平面图
形 P 可求面积.
推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要
条件是它的外面积 I P 0 ，即对任给的 0，存
在直线网
T
，使得，
S
P
T
或对任给的 0，平面图形 P 能被有限个其面
积总和小于 的小矩形所覆盖．
定理21．2 平面有界图形P可求面积的充 要条件是：P的边界K的面积为零．
这时每一个小段都能被以 xi 为宽， i 为高
的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总
和为
n
i xi
i 1
ba
n
xi
i 1
所以由定理 21．1 的推论即得曲线 K 的面积为零．
还可证明得到：
由参量方程 x t,Y t t 所表示
的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零．
二 二重积分的定义及其存在性
形 i 的分类： （ⅰ） i 含的全是 P 的内点
（ⅱ） i 含的全是 P 的外点（不含 P 的点） （ⅲ） i 内含有 P 的边界点
记 sP T 为 T 的第ⅰ类 i 的面积的和．
记 SP T 为T 的第ⅰ和第三类 i 的面积的和．
记
I
P
=
s
ups
T
P
T
，称为
P
的内面积．
记
I
P
=
inf T
网，可证得
sP T1 sP T
于是由（3）可得
SP T2 SP T
sP
T
IP
2
,
SP
T
IP
2
从而得到对直线网T 有 SP T sP T
[充分性]对任给的 0，存在直线网T ，
使得（2）式成立．但
sP T I P I P S P T
所以 I P I P S P T sP T
证 由定理21．1，P可求面积的充要条件是：
对任给的 0，存在直线网T ，使得
SP T sP T
由于 SK T SP T sP T
所以也有 SK T ．由上述推论，P 的边
界 K 的面积为零．
定理 21．3 若曲线 K 为由定义在a,b上
的连续函数 f x 的图象，则曲线 K 的面积为零.
使得 S P T sP T （2）
证 [必要性]设平面有界图形 P 的面积为 I P ．
由定义 1，有 I P = I P = I P ．对任给的 ，由
I P 及 I P 的定义知道，分别存在直线网 T1 与
T2 ， 使得
sP T1
IP
2
,
S P T2
IP
2
(3)
记 T 为由 T1 与 T2 这两个直线网合并的直线
都是矩形闭区域。设矩形小闭区域
的边长为 x j 和 yk ,