2020年全国高考数学-海南卷解析(Word域、极致精编版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试——海南数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∪B ＝( )A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}答案：C解析：A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}∪{x |2＜x ＜4}＝{x |1≤x ＜4}．2．2－i 1＋2i＝( ) A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i答案：D解析：2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－5i5＝－i ．3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种答案：C解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C 16；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C 25；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有C 16·C 25＝60种．4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°答案：B解析：画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线，l 是点A 处的水平面的截线，m 是晷面的截线，AB 是晷针所在直线．依题意可知OA ⊥l ，m ∥CD ，AB ⊥m ．由于∠AOC ＝40º，所以晷针与点A 处的水平面所成角∠BAE ＝90º－∠GAE ＝∠OAG ＝AOC ＝40º．5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%答案：C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A ∪B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A ∩B ．由题得P (A )＝0.6，P (B )＝0.82，P (A ＋B )＝0.96，所以P (A ∩B )＝P (A )＋P (B )＋P (A ∪B )＝0.6＋0.82－0.96＝0.46．所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%．6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT ．有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天答案：B解析：因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28－16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t ．设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38(t＋t 1)＝2e 0.38t ，即e 0.38t 1＝2，所以t 1＝ln20.38≈1.8．7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则→AP ·→AB 的取值范用是( )A ．(－2，6)B ．(－6，2)C ．(－2，4)D ．(－4，6)答案：A解析：设P 在AB 上的投影为P'，易得AP'∈(－1，3)．由向量数量积的定义，可知→AP ·→AB ＝AP'·AB ＝2AP'∈(－2，6)．8．若定义在R 的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A ．[－1，1]∪[3，＋∞)B ．[－3，－1]∪[0，1]C ．[－1，0]∪[1，＋∞)D ．[－1，0]∪[1，3]答案：D解析：因为定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上也是单调递减，且f (－2)＝0，f (0)＝0．所以当x ∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f (x )＞0；当x ∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0．于是，由xf (x －1)≥0，得⎩⎨⎧x ＜0，－2≤x －1≤0或x －1≥2或⎩⎨⎧x ＞0，x －1≤－2或0≤x －1≤2或x ＝0，解得－1≤x ≤0或1≤x ≤3．因此，满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1．( )A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线 答案：ACD解析：对于A ，若m ＞n ＞0，则曲线C ：mx 2＋ny 2＝1是椭圆，易得1m ＜1n ，所以焦点在y 轴上，故A 正确；对于B ，若m ＝n ＞0，则曲线C 是圆，半径为1n，故B 不正确； 对于C ，若mn ＜0，则曲线C 是双曲线，由mx 2＋ny 2＝0，得渐近线方程为y ＝±－mnx ，故C 正确；对于D ，若m ＝0，n ＞0，则曲线C 可化为y ＝±1n，表示两条直线，故D 正确．10．下图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图像，则sin(ωx ＋φ)＝( )A ．sin(x ＋π3)B ．sin(π3－2x )C ．cos(2x ＋π6)D ．cos(5π6－2x )答案：BC解析：由函数图像可知T 2＝2π3－π6＝π2，则ω＝2πT＝2．当x 2π3＋π62＝5π12时，y ＝－1，即2×5π12＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )．故函数的解析式为y ＝sin(2x ＋2π3＋2k π)＝sin(2x ＋2π3)．由诱导公式易知sin(2x ＋2π3)＝sin(π3－2x )＝cos(2x ＋π6)．11．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ．a ＋b ≤ 2答案：ABD解析：对于A ，由基本不等式得a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故A 正确；对于B ，因为a －b ＝2a －1＞－1，所以2a －b ＞2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 2(a ＋b 2)2＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故C 不正确；对于D ，由基本不等式得(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故D 正确；12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n ，且P (X ＝i )＝p i ＞0(i ＝1，2，…，n )，i ＝1n ∑p i ＝1，定义X 的信息熵H (X )＝－i ＝1n∑p i log 2p i ．( )A ．若n ＝1，则H (X )＝0B ．若n ＝2，则H (X )随着p 1的增大而增大C ．若p i ＝1n(i ＝1，2，…，n )，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n ＝2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且P (Y ＝j )＝p j ＋p 2m ＋1－j (j ＝1，2，…，m )，则H (X )≤H (Y ) 答案：AC解析：对于A ，若n ＝1，则i ＝1，p 1＝1，所以H (X )＝－1×log 21＝0，所以A 正确．对于B ，若n ＝2，则i ＝1，2，p 2＝1－p 1，所以H (X )＝－i ＝1n∑[p 1log 2p 1＋(1－p 1)log 2(1－p 1)]，当p 1＝14或34时，H (X )相等，所以B 错误．对于C ，若p i ＝1n (i ＝1，2，…，n )，则H (X )＝－i ＝1n∑1nlog 21n ＝－(1n log 21n )×n ＝－log 21n ＝log 2n ，则H (X )随着n 的增大而增大，所以C 正确．对于D ，若n ＝2m ，随机变量Y 的所有可能的取值为1，2，…，m ，且()21j m j P Y j p p +-==+(1,2,,j m =)．()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m m p p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅．()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m m p p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111ii m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+， 所以222111log log i i i i m i p p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 答案：163解析：易得抛物线的焦点为F (1，0)，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程，消去y 并化简得3x 2－10x ＋3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．法一：解得x 1＝13，x 2＝3，所以AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝2|13－3|＝163．法二：Δ＝64＞0，则x 1＋x 2＝103，焦点弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163．14．将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 答案：3n 2－2n解析：因为数列{2n –1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n –2}是以1首项，以3为公差的等差数列，所以它们的公共项数列{a n }是以1为首项，以6为公差的等差数列．易得{a n }的前n 项和为3n 2－2n ．15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC ＝35，BH ∥DG ，EF ＝12cm ，DE ＝2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2． 答案：4＋5π2解析：设OA ＝OB ＝r ．由题意得AM ＝AN ＝7，EF ＝12，所以NF ＝5，因为DE ＝2，所以AP ＝5，因此∠AGP ＝∠AHO ＝45º，故△OAH 为等腰直角三角形．在Rt △OQD 中，易得OQ ＝5－22r ，DQ ＝7－22r ，于是tan ∠ODC ＝5－22r7－22r＝35，解得r ＝22．于是，等腰直角△OAH 的面积为S 1＝12×22×22＝4，扇形AOB 的面积S 2＝12×(22)2×3π4＝3π，所以阴影部分的面积为S 1＋S 2－π2＝4＋5π2．16．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________． 答案：22π． 解析：如图，取B 1C 1的中点为E ，BB 1的中点为F ，CC 1的中点为G ．因为∠BAD ＝60°，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，所以△B 1C 1D 1为等边三角形，因此D 1E ＝3，D 1E ⊥B 1C 1．又四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥D 1E ．因为BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以D 1E ⊥侧面BCC 1B 1．设P 为侧面BCC 1B 1与球面的交线上的任一点，则D 1E ⊥EP ．因为球的半径为5，D 1E ＝3，所以EP ＝2，因此侧面BCC 1B 1与球面的交线上的任一点到E 的距离为2，所以侧面BCC 1B 1与球面的交线是以E 为圆心，EF 为半径的圆上的一段弧．因为∠B 1EF ＝∠C 1EG ＝π4，所以∠FEG ＝π2．所以根据弧长公式可得︵FG ＝π2×2＝22π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，______?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：由sin A ＝3sin B ，可得ab＝3，不妨设a ＝3m ，b ＝m (m ＞0)．则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3m 2＋m 2－2×3m ×m ×32＝m 2，故c ＝m ． 若选择条件①：则ac ＝3m 2＝3，即m ＝1，此时c ＝m ＝1． 若选择条件②：则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，故sin A ＝32，于是c sin A ＝32m ＝3，得c ＝m ＝23．若选择条件③：则c ＝3b ，与b ＝m ＝c 矛盾，则问题中的三角形不存在．18．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1．解析：(1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列，设首项为a 1，公比为q ．依题意有a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2或a 1＝32，q ＝12(舍)．所以a n ＝2n ．(2)由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n ·22n ＋35．19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和SO 2浓度(单位：μg /m 3)，得下表：SO 2 PM 2.5 [0，50] (50，150] (150，475] [0，35] 32 18 4 (35，75] 6 8 12 (75，115]3710(1)2150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO 2 PM 2.5 [0，150] (150，475][0，75] (75，115](3)根据(2)PM 2.5浓度与SO 2浓度有关? 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，解析：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过10的天数有32＋6＋18＋8＝64天，所以该市一天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的概率为64100＝0.64．(2)由所给数据，可得2×2列联表为：SO 2 PM 2.5 [0，150] (150，475] 合计 [0，75] 64 16 80 (75，115] 10 10 20 合计7426100(3)根据2×2K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(64×10－16×10)280×20×74×26＝3600481≈7.4844＞6.635，所以有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与SO 2浓度有关．20．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ．P (K 2≥k ) 0.050 0.0100.001K3.841 6.635 10.828因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． 又因为AD ⊂平面P AD ，平面P AD ∩平面PBC ＝l ，所以AD ∥l ．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，所以AD ⊥DC ，因此l ⊥DC ． 因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥PD ，因此l ⊥PD ． 因为CD ∩PD ＝D ，所以l ⊥平面PDC ．(2)解：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝AD ＝1，则有D (0，0，0)，C (0，1，0)，A (1，0，0)，P (0，0，1)，B (1，1，0)．设Q (m ，0，1)，则有DC →＝(0，1，0)，DQ →＝(m ，0，1)，PB →＝(1，1，－1)． 设平面QCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧→DC ·→n ＝y ＝0，→DQ ·→n ＝mx ＋z ＝0，令x ＝1，则z＝－m ，所以平面QCD 的一个法向量为n ＝(1，0，－m )．所以cos ＜n ，PB →＞＝n ·PB→|n |·|PB →|＝1＋0＋m 3·m 2＋1．PB 与平面QCD 所成角的正弦值为|cos ＜n ，PB →＞|＝|1＋m |3·m 2＋1＝33·1＋2m ＋m 2m 2＋1＝33·1＋2m m 2＋1≤33·1＋2|m |m 2＋1≤33·1＋1＝63，当且仅当m ＝1时取等号．所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63．21．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点M (2，3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12．(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＝－4．当y ＝0时，解得x ＝－4，所以a ＝4．因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点M (2，3)，得416＋9b 2＝1，解得b 2＝12．所以C 的方程为x 216＋y 212＝1．(2)如图所示，平移直线到与椭圆相切，当N 为与AM 距离较远的切线与椭圆的切点时，△AMN 的面积取得最大值．设与直线AM 平行的直线方程为x －2y ＝m ，与椭圆x 216＋y 212＝1联立，消元y 并整理得16y 2＋12my＋3m 2－48＝0，令Δ＝144m 2－4×16(3m 2－48)＝0，得m 2＝64，故m ＝±8．所以，与AM 距离较远的那条切线方程为x －2y ＝8，与直线AM 之间的距离为d ＝8＋41＋4＝1255，即为点N 到直线AM 的距离．又|AM |＝(2＋4)2＋32＝35，所以△AMN 面积的最大值为12×35×1255＝18．22．已知函数f (x )＝ae x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．解析：(1)求导得f'(x )＝e x －1x，所以k ＝f'(1)＝e －1．又f (1)＝e ＋1，所以f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e －1＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2． 该切线与坐标轴交点分别为(0，2)，(－2e －1，0)，所求三角形面积为12×2×|－2e －1|＝2e －1．(2)法一：因为f (x )＝ae x －1－ln x ＋ln a ，所以f'(x )＝ae x －1－1x，且a ＞0．设g (x )＝f'(x )，因为g'(x )＝ae x －1＋1x 2＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f'(x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＝1时，f'(1)＝0，易得f (x )min ＝f (1)＝1，满足f (x )≥1恒成立．当a ＞1，即1a ＜1时，有e 1a －1＜1，所以f'(1a )f'(1)＝a (e 1a －1－1)(a －1)＜0，因此存在唯一的x 0∈(1a，1)，使得f'(x 0)＝aex 0－1－1x 0＝0，即ae x 0－1＝1x 0，所以ln a ＋x 0－1＝－ln x 0． 在(0，x 0)上，f'(x )＜0，f (x )递减；在(x 0，＋∞)上，f'(x )＞0，f (x )递增． 因此f (x )min ＝f (x 0)＝ae x 0－1－ln x 0＋ln a ＝1x 0＋ln a ＋x 0－1＋ln a ≥2ln a －1＋21x 0·x 0＝2ln a ＋1＞1，满足f (x )≥1恒成立．当0＜a ＜1时，f (1)＝a ＋ln a ＜a ＜1，不满足f (x )≥1恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．法二：f (x )＝ae x －1－ln x ＋ln a ＝e ln a＋x －1－ln x ＋ln a ≥1，等价于e ln a＋x －1＋ln a ＋x －1≥ln x ＋x ＝e ln x ＋ln x ，令g (x )＝e x ＋x ，上述不等式等价于g (ln a ＋x －1)≥g (ln x )．显然g (x )为单调增函数，所以又等价于ln a ＋x －1≥ln x ，即ln a ≥ln x －x ＋1． 令h (x )＝ln x －x ＋1，则h'(x )＝1x －1＝1－x x．在(0，1)上，h'(x )＞0，h (x )单调递增；在(1，＋∞)上h'(x )＜0，h (x )单调递减．所以h (x )max ＝h (1)＝0．所以ln a ≥0，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．。