方程求根实验报告

x xk
~
*
~
f &# ( xk )
取 x 作为原方程的新的近似跟 xk+1，即令 xk 1 xk 三．实验仪器设备及操作步骤
（k=0,1,2...)
二分法： 算法：给定区间[a,b]，并设 f(a)与 f(b)符号相反，取ε为根的容许误差，δ为 |f(x)|的容许误差。
牛顿迭代法求解： VB表示
Private Sub Command1_Click() Dim x0!, x!, eps!, k
x0 = Val(InputBox("x0=", "输入初始值", 0.5)) eps = Val(InputBox("eps=", "牛顿迭代法求根", 0.000005))
材料科学与工程实验教学中心
实验报告
课 程 名 称 计算机在材料中的应用 实 验 名 称 方程求根 专 班 学 姓 业 无机非金属材料工程 级 材料 1103 号 XX 名 XXX
实 验 日 期 2013/11/01
南京工业大学材料科学与工程学院
材料科学与工程实验教学中心实验报告
一． 实验目的 （1） 通过对二分法与牛顿迭代法作编程练习与上机运算，进一步体力会 二分法与牛顿迭代法的不同特点； （2） 别写割线迭代法的程序，求非线性方程的解，并与牛顿迭代法作比 较。 二．实验原理（方法） 在求方程近似根的方法中，最直观、最简单的方法是二分法。 设函数 f(x)在[a,b]上连续，严格单调，且 f(a)f(b)<0，则[a,b]为 f(x)=0 的一 个有根区间，二分法的基本思想是用对分区间的方法根据分点处函数 f(x)值的符 号逐步将有根区间缩小，使在足够小的区间内方程有且仅有一个根。 为叙述方便起见，a0=a，b0=b。用中点 x0=( a0,b0)/2 将区间[a0，b0]分成两 个小的区间：[a0,x0]和[x0, b0]。计算 f(x0)，若 f(x0)=0，则 x0 为 f(x)=0 的根， 计 算 结 束 。 否 则 f(a0)f(x0)<0 与 f(b0)f(x0)<0 两 式 中 有 且 仅 有 一 式 成 立 。 若 f(a0)f(x0)<0，令 a1=a0，b1=x0；若 f(b0)f(x0)<0，令 a1=x0，b1=b0；不论哪种情 况均有 f(a1)f(b1)<0，于是[a1,b1]为新的有根区间，
(b a ) ，则 | xk x | 。
*
用迭代法求方程 f(x)=0 的根时，首先要把它写成等价形式 x=φ（x） 构造迭代函数的一条重要途径，是用近似方程来代替原方程去求根。因此如 果能将非线性方程 f=(0)用线性方程来近似代替，那么求近似根问题就很容易解 决，而且十分方便。牛顿法就是把非线性方程线性化的一种方法。 设 xk 是 f(x)=0 的一个近似跟， ，把 f(x)在 xk 处作一届泰勒展开，即 f(x)≈f(xk)+f'(xk)(x-xk) 于是我们得到近似方程 f(xk)+f'(xk)(x-xk)=0 设 f'(xk)≠0,则式*的解为
牛顿迭代法的 N－S 图及程序设计 定义函数 f(x)=…
定义迭代函数Φ(x)=… 读入数据 x0,eps x= Φ(x0), k=1 |x-x0|>=eps 输出 k, x k=k+1 x0=x x= Φ(x0) 结束
五．实验结果分析及结论（算例及结果） 二分法： 二分次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c 1.500000 1.250000 1.375000 1.312500 1.343750 1.359375 1.367188 1.363281 1.365234 1.364258 f(c) 2.375000 -1.796875 0.162109 -0.848389 -0.350983 -0.096409 0.032356 -0.032150 0.000072 -0.016047
x = x0 - f(x0) / p(x0) k=1
Print Do While Abs(x - x0) >= eps Print "k=" & k, "x=" & x, "f(x)=" & f(x)
x0 = x k=k+1 x = x0 - f(x0) / p(x0) Loop
End Sub Function f(ByVal x!) As Single f = 3 * x - Sin(x) - Cos(x) End Function Function p(ByVal x!) As Single p = 3 - Cos(x) + Sin(x) End Function
x x ②计算
1
0

f ' ( x0 ) 。
f ( x0 )
③若|x1-x0|<ε或|f(x1)<η则输出 x1,程序结束；否则执行④。 ④令 x0=x1,转向①。 四．实验数据及处理（N-S 图和程序） 二分法求解： VB表示 Private Sub Command1_Click() Dim a As Single, b As Single, eps As Single, x As Single, k As Integer
1 2 3
令 c=(a+b)/2. 如果(c-a)<ε或|f(c)|<δ，则输出 c，结束；否则执行③ 如果 f(a)f(c)>0，则令 a=c；否则令 b=c，重复①②③
牛顿迭代法： 给定初始值 x0，ε为根的容许误差，η为|f(x)|容许误差，N 为迭代次数的容 许值 ①如果 f＇(x0)=0 或迭代次数大于 N，则算法失败，结束；否则执行②。
x = (a + b) / 2 k=1 Print
Do While Abs(b - a) >= eps And Abs(f(x)) >= eps If (f(x) * f(b)) > 0 Then b=x Else a=x End If
Print "k=" & k, "a=" & a, "x=" & x, "b=" & b
方程的根为 1.365231
牛顿迭代法： 当 x0=1.5 时 x(0)=1.500000 x(1)=1.777778 x(2)=1.733361 x(3)=1.732052 x(4)=1.732051
方程的根为 1.732051 六．思考题 _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
[a 0 , b0] [a1 , b1]
，且[a1,b1]
的长度为[a0,b0]长度的一半。对此新的有根区间[a1,b1]可施行同样的手续，于是 得到一系列有根区间
[a0 , b0] [a1 ,b1] [a 2 ,b2]... [a k , bk ]
其中每一个区间的长度都是前一个区间长度的一半，最后一个区间的长度为
b a
k
k

1
2
k
(b a )
如果取最有一个区间[ak,bk]的中点 xk 误差估计式
a b
k
k
2
作为 f(x)=0 的根的近似值，则有
| X K X |
*
1 1 (bK a k ) k 1 (b a ) 2 2 1
对于所给精度ε，若取 k 使得 牛顿迭代法
2
k 1
11 12 13 14 15 16 17 18
1.364746 1.364990 1.365112 1.365173 1.365204 1.365219 1.365227 1.365231
-0.007989 -0.003959 -0.001944 -0.000936 -0.000432 -0.000180 -0.000054 0.000009
a = Val(Text1.Text) b = Val(Text2.Text) eps = Val(Text3.Text)
' ' '
a = Val(InputBox("a=", "输入左边界", 0)) b = Val(InputBox("b=", "输入右边界", 1)) eps = Val(InputBox("eps=", "二分法求根", 0.000005))
x = (a + b) / 2: k = k + 1
Loop
End Sub Function f(ByVal x As Single) As Single f=x^3-x^2-2*x+1 End Function 二分法的N－S图及程序设计