点方向式方程

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杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷（理科） 2011.12.一、填空题1．计算：=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→321n n lim n ．2．不等式021>+-x x的解集是 ． 3．若全集U R =，函数13-=x y 的值域为集合A ，则=A C U .4．若圆锥的母线长=l )(5cm ，高)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于 ()3cm .5．在72)x的二项展开式中，2x 的系数是 （结果用数字作答）.6．若()x f y =是R 上的奇函数，且满足()()x f x f =+4，当()2,0∈x 时，()22x x f =则()=2011f . 7．若行列式112124=-x x ，则=x ． 8．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则至少含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01）9．某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是 ． 10.根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y 与输入量x 之间满足的关系式是 ．11.若直线1:=+by ax l 与圆1:22=+y x C 有两个不同的交点，则点()b a P ,与圆C 的位置关系是 ． 12.已知0,0>>y x 且112=+yx ,若m m y x 222+>+恒成立,则实数m 的取值范围是 ． 13.设函数()2()log 21xf x =+的反函数为=y 1()-f x ，若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是 ．14.若椭圆()112222>>=+b a by a x 内有圆122=+y x ，该圆的切线与椭圆交于B A ,两点，且满足0=⋅OB OA （其中O 为坐标原点），则22169b a +的最小值是 ． 二．选择题（本大题满分20分）15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间()∞+,0上单调递减的函数为 ( )．()A . ()xx f 10=.()B ()3xx f =.()C ()xx f 1lg= ()D ()x x f c o s=. 16．若等比数列{}n a 前n 项和为a S n n +-=2，则复数ia iz +=在复平面上对应的点位于 ( )．()A 第一象限 . ()B 第二象限 . ()C 第三象限 . ()D 第四象限 .17．若函数()⎩⎨⎧<+≥=.11log 2x c x x x x f ，则“1-=c ”是“()x f y =在R 上单调增函数”的( )．()A 充分非必要条件.()B 必要非充分条件.()C 充要条件.()D 既非充分也非必要条件.18．若21,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐标为(2，0)，AM 为21AF F ∠的平分线．则2AF 的值为 ( )．()A 3 . ()B 6. ()C 9. ()D 27.三．解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）已知在正四棱锥P －ABCD 中（如图），高为1 )(cm ，其体积为4 )(3cm ， 求异面直线PA 与CD 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()a c b m ,2-=，()C A n cos ,cos -= , 且⊥.1.求角A 的大小；A BPD2. 若3=a ，ABC ∆面积为433，试判断ABC ∆的形状，并说明理由. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．若函数()x f y =，如果存在给定的实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+恒成立，则称()x f y =为“Ω函数” .1. 判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由； ①()3x x f = ② ()x x f 2=2.已知函数()x x f tan =是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对()b a ,.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知函数()323+=x x x f ，数列{}n a 满足11=a ，()*+∈=N n a f a n n ,1,1. 求2a ，3a ，4a 的值；2. 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列； 3. 设数列{}n b 满足()21≥⋅=-n a a b n n n ，n n b b b S b +⋅⋅⋅++==211,3， 若22012-<m S n 对一切*∈N n 成立，求最小正整数m 的值. 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知ABC ∆的三个顶点在抛物线Γ:y x =2上运动， 1. 求Γ的焦点坐标；2. 若点A 在坐标原点， 且2π=∠BAC ，点M 在BC 上，且 0=⋅，求点M 的轨迹方程；3. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为2的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由.2011学年长宁区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号空格内填写结果，每题填写对得4分，否则一律得零分. 1． 不等式1021xx -≥+的解集是__________． 2． 行列式11213131---中3-的代数余子式的值为__________． 3． 从总体中抽取一个样本是5,6,7,8,9，则该样本的方差是__________．4． 等比数列{}n a 的首项与公比分别是复数123i +（i 是虚数单位）的实部与虚部，则数列{}n a 的各项和的值为__________．5． 随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份生日的概率为__________（精确到0.001）． 6． 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15,30,30BCD BDC CD ∠=︒∠=︒=米，并在点C 测得塔顶A的仰角为60︒，则塔高AB =__________．7． 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 值是8，则从集合{}0,1,2,3中取所有满足条件的0S 的值为__________．8． 圆锥和圆柱的底面半径和高都是R ，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为__________． 9． 设n A 为()11+x n +的展开式中含1n x -项的系数，n B 为()11+x n -的展开式中二项式系数的和()*n N ∈，则能使n n A B ≥成立的n 的最大值是__________．10．已知()y f x =是偶函数，()y g x =是奇函数，他们的定义域均为[]3,3-，且它们在[]0,3x ∈上的图像如图所示，则不等式()()0f x g x <的解集是__________． 11．等比数列{}n a 的前项和n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则{}n a 公比为__________．12．10,0,23x y x y >>+=，则11x y+的最小值是__________．13．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x Z ∈，都有()()()11f x f x f x =-++．若()()12,13f f -==，则()()20122012f f +-=__________． 14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2011n a =，则n =__________．1 1234 2 456789 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36图甲 图乙二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分. 15． 下列命题正确的是 （ ）A ．若x AB ∈⋃，则x A ∈且x B ∈B ．ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件C. 若a b a c ⋅=⋅，则b c =D. 命题“若220x x -=，则2x =”的否命题是“若2x ≠，则220x x -≠”16．已知平面向量()()1,3,4,2a b =-=-，a b λ+与a 垂直，则λ是 （ ）A ． 1 B. 2 C. -2 D. -117． 下列命题中① 三点确定一个平面；② 若一条直线垂直与平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③ 同时垂直于一条直线的两条直线平行；④ 底面边长为212正确的个数为 （ ） A ． 0 B. 1 C. 2 D. 318．已知()()0,1xf x aa a =>≠，()g x 为()f x 的反函数，若()()220f g -⋅<，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是 （ ）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤. 19． （本题满分12分）设1ii+（其中i 是虚数单位）是实系数方程220x mx n -+=的一个根，求m ni +的值. 20．（本大题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，一直底面ABCD 的边长为2，点P 是1CC 的中点，直线AP 与平面11BCC B 成30︒角.（1）求异面直线1BC 和AP 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）； （2）求点C 到平面1BC D 的距离.21．（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知α为锐角，且tan 1α=.P（1）设(),1,2,sin(2)4m x n πα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，若m n ⊥，求x 的值；（2）在ABC ∆中，若2,,23A C BC πα∠=∠==，求ABC ∆的面积.22． （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设函数()()()101xxf x a k aa a -=-->≠且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 值；（2）若()10f <，试判断函数单调性并求使不等式()()240f x tx f x ++-<恒成立的t 的取值范围；（3）若()312f =，且()()222x xg x a a mf x -=+-，在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值.23． （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对数列{}n a 和{}n b ，若对任意正整数n ，恒有n n b a ≤，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“下界数列”. （1）设数列21n a n =+，请写出一个公比不为1的等比数列{}n b ，使数列{}n b 是数列{}n a 的“下界数列”； （2）设数列222310,27n n n a n n b n +=-+=-，求证数列{}n b 是数列{}n a 的“下界数列”；（3）设数列21n a n =，*7,1,77,21n n b n N n n n =⎧⎪=∈⎨-≥⎪-⎩，构造()()()23111,n n T a a a =---()()()12111n n P b b b =++++++，求使n n T kP ≤对*2,n n N ≥∈恒成立k 的最小值.。