第5章从历史数据中学习收益和风险

名义利率的变化将导致通货膨胀率的变化，已得到
西方实证研究的支持。 错
6
5.1.4 税收与实际利率
记税率为t，名义利率为 R， 则税后名义利率为 R(1 t ) 税后实际利率为： R(1 t ) i (r i )(1 t ) i r (1 t ) it 可见：税后实际利率随 着通胀率的上升而下降
T 0
1/ T
e
rcc
即： 1 EAR e rcc ln( 1 EAR)
rcc
13
Table 5.1 Annual Percentage Rates (APR) and Effective Annual Rates (EAR)
14
5.3 短期国库券与通货膨胀(1926-2005)
通货膨胀因素（费雪效应）
3
5.1.1 实际利率(real interest rate)与 名义利率(nominal interest rate)
通货膨胀率为i，即消费者物价指数 (CPI， consumer price index)变化的百分率。
近似地看，有： r R i, 其中r为实际利率， R为名义利率， i为通胀率 严格上讲，有： 1 R Ri 1 r r 1 i 1 i
投资者必须承受通货膨胀带来的损失，这个损失 等于税率乘以通货膨胀率。
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5.2 不同持有期收益率的比较
面值为100美元的债券，在持有期内的无风险收 益率为：
100 P(T ) 100 rf (T ) 1 P(T ) P(T )
期限T
半年 1年 25年
价格P(T)
97.36 95.52 23.3
历史数据的方差估计：
1 r ( s ) r n s 1 无偏化处理：
2
n
2

1 n 2 [ r ( s ) r ] n 1 s 1
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5.5.5 报酬-风险比率(atility (Sharpe) Ratio
5.2.1 年百分比利率
短期投资利率常用年百 分比利率 (AP R ，annualpercent age rat e) 来表示，即若 1 一年为n 期，每期利率为 r f (T )，则有： T APR n r f (T )或r f (T ) T APR 更一般地，有： 1 EAR 1 rf (T )
记不确定情形的集合为 s，p( s)为各情形的概率， r ( s)为各情形的HPR，E (r )为期望收益， 为标准差 则有：E (r ) p( s)r ( s )
2 p( s)[r ( s) E (r )]2
s
s
20
5.4.2 期望收益与标准差：E-σ方法
例：有10万元的初始财富W，假定进行投资 有两种可能结果：当概率p=0.6时，结果令人 满意，是财富W1增长到15万元；否则概率1p=0.4时，结果不太理想，W2=8万元。
5.6 正态分布
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正态分布
若随机变量X的概率密度函数 1 e ( x ) 2 其中 , 是两个常数，则称 X服从参数为 f ( x)
( x )2 2 2
，的正态分布
u
正态分布的性质
(1)曲线关于直线x 对称； (2)当x 时，f ( x)达到最大值 (3)曲线以x轴为其渐进线； (4)当x 时，曲线有拐点； (5)若固定，改变值，则曲线沿x轴平移，形状不变 ; (6)若固定，改变，则越小，曲线峰顶越高。 1 ; 2
P=0.6
W1=15万元
W=10万元
p=0.4
W2=8万元
5.4.2 期望收益与标准差：E-σ方法
如何评价该资产？ 用E(W)表示预期的年终财富：
E (W ) Wi pi
i 1
n
pW1 (1 p)W2 0.6 150000 0.4 80000 122000
1 25
1 EAR 1 rf (T)
1/T
5.2.1 年百分比利率
年比分比利率（annual percentage rate, ARP）： 不考虑复利计息的一年期利率。（一般指债券上 表明的利率，或银行一年期定存利率）
如果每个时期利率为 rf(T)，那么 ARP 通常等于每个时期的利息率乘以 1 年中时期的个数。例如，某汽车贷款 APR=n*rf(T) 的利率是每个月1%，那么ARP是 1%*12=12%。
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Figure 5.2 Interest Rates and Inflation, 1926-2005
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Figure 5.3 Nominal and Real Wealth Indexes for Investment in Treasury Bills, 1966-2005
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5.4 风险和风险溢价
n i 2
E (r ) pi ri 0.6 50% 0.4 (20%) 22%
期望收益与标准差
经济状态 繁荣 平稳 萧条 期望收益 标准差 出现概率 0.3 0.5 0.2 0.14 0.173205 HPR 0.34 0.14 -0.16 均值平方差 0.04 0 0.09
5.4.1 持有期收益

股票收益包括两部分：红利收益(dividends) 与资本利得(capital gains) 持有期收益率(holding-period return)
股票期末价格- 期初价格 现金红利 HPR 期初价格
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5.4.2 期望收益与标准差：E-σ方法
均值与方差(expected value and variance)
n
28
29
5.5.2 几何收益率 Geometric Average Return
TVn (1 r1 )(1 r2 )(1 rn )
TV = 投资终值(Terminal Value of the Investment)
g TV
1/ n
1
g= 几何平均收益率(geometric average rate of return)
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几何（时间加权）平均收益
样本期间内的收益绩效可以用年持有期来衡量。定义利 率为g，则有：
最终价值 （ 1 r1 ) (1 r2 ) (1 r5 ) 1.0275 (1 g ) n 最终价值 1.0275
1/ 5 g 最终价值1/ n 1 1.0275 1 0.54%
几何平均和算术平均不一致的原因？
收益的波动性，方差越大，相差越大
如果收益服从正态分布，这种差异可以确切地等于方差的一半，
也就是 几何平均值=算术平均值-1／2σ2
5.5.4 方差与标准差
方差 =期望值偏离的平方(expected value of squared deviations)
5.7 偏离正态
偏度，亦称三阶矩(third-order moments)
skew Er ( s) E (r )
3
峰度：度量正态分布两侧尾部的厚度程度。
3
kurtosis
Er ( s) E (r )
4

4
3
正态分布的这个比率为3，正态分布的峰度为0， 任何峰度大于0的分布，相对于正态分布存在厚 尾。
4
5.1.2 实际利率均衡
四因素：供给、需求、政府行为和通胀率
利率 E’ ● 供给
均衡的 真实利率
E ●
需求 均衡资金借出 资金
5
5.1.3 名义利率均衡
费雪方程(Fisher equation)
R r E (i)
含义：名义利率应该随预期通胀率的增加而增加 费雪：如果实际利率是适度稳定的，名义利率上 涨将预示着更高的通货膨胀率。 判断题：
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5.5 历史收益率时间序列分析
5.5.1 时间序列与情景分析 5.5.2 期望收益与算术平均
当使用历史数据时，将每种观察到的结果都看做
一种“情形”。如果有n个观察事件，式(5-11)中 的P(s)取可能的概率1／n，可以从样本收益率的 算术平均数中得到期望收益E(r)：
1 n E (r ) s 1 p( s)r ( s) s 1 r ( s) n
E(r)=(0.3*34%)+(0.5*14%)+0.2*(-16%))=14% Sumproduct(B2:B4,C2:C4)
2 0.3(34% 14%)2 0.5(14% 14%)2 0.2(16% 14%)2
3 3 17.32%
例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持 有期1年，现金红利为4美元，预期股票价格由如 下三种可能，求其期望收益和方差。
r (1) (140 100 4) /100 44%
25
26
5.4.3 超额收益与风险溢价
风险资产投资收益=无风险收益+风险溢价 其中，风险溢价(risk premium)又称为超额收益 (excess return) 例：上例中我们得到股票的预期回报率为14％， 若无风险收益率为8％。初始投资100元于股票， 其风险溢价为6元，作为其承担风险（标准差为 21.2元）的补偿。 投资者对风险资产投资的满意度取决于其风险厌 恶(risk aversion)程度

1 r
n
f
(T )

1/ T
1 T APR
1/ T
(1 EAR)T 1 即：APR T
12
5.2.2 连续复利收益率
当T趋于无限小时，可得连续复利 (continuous compounding)概念
1 EAR lim1 T APR