山东省济宁市嘉祥一中2013-2014学年高二5月质量检测数学理试卷

山东省济宁市嘉祥一中2013-2014学年高二5月质量检测 数学理试题一、选择题 (每小题5分，共60分)1. 命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是（ ）A ．若00,022≠≠≠+b a b a 且则 B ．若00,022≠≠≠+b a b a 或则 C ．若则0,0022≠+==b a b a 则且 D ．若0,0022≠+≠≠b a b a 则或 2. 在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝4. 若双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2,则a 等于（ ）A ．2 BC ．32D ．15. 已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于( )A ．2B ．10C ．9D ．166. 巳知中心在坐标原点的双曲线C 与拋物线x 2=2py(p >0)有相同的焦点F,点A 是两 曲线的交点，且AF 丄y 轴，则双曲线的离心率为（ ）A. 215+B. 12+C. 13+D. 2122+7. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1122x xax x axx x f ,则” 2-≤a ”是” ()x f 在R 上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 设函数2(0)()2(0)x bx c x f x x ⎧++≤=⎨ >⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知()f x =，若1230x x x <<<，则312123()()()f x f x f x x x x 、、的大小关系是（ ） A .312123()()()f x f x f x x x x <<B.312132()()()f x f x f x x x x <<C.321321()()()f x f x f x x x x <<D.321231()()()f x f x f x x x x <<10．设离散型随机变量X 的概率分布列如下表：则p 等于( )A.110B.210C.25D.1211．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，P (B )＝34，则P (B |A )＝( )A.950B.12C.25D.91012. 双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．21 B ．22C ．1D ．2二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若命题“∃x ∈R, x 2＋ax ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围为.14. 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．(离心率ce a=)15. 设函数1(), 0()2(), 0xx f x g x x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩ ，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是 .16．每次试验的成功率为p(0＜p ＜1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为____________三、解答题（本大题共6小题，共70分。

写出文字说明、演算步骤。

） 17. （本小题满分10分）已知函数23()cos 3sin 2f x x x x =-+． （1） 求函数)(x f 的最小正周期（2）已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若0)(=A f ，2,3==b a ，求ABC ∆的面积S ．18. （本小题满分12分）设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 （1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线2F P 交y 轴与点Q ，并且11F P FQ ⊥，证明：当a 变化时，点p 在某定直线上。

19. （本小题满分12分）如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD ，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB ＝AD ＝12CD ＝1，PD。

EA（1）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ； （2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（3）在线段PC 上是否存在一点Q （除去端点），使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为3π？20．（本小题满分12分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；21. （本小题满分12分） 已知函数(1)()ln 1a x f x x a R x -=-∈+，． (1)若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； (3)设,m n 为正实数，且m n >，求证：2ln ln nm n m n m +<--．22．（本小题满分12分）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率．参考答案： 1-5 DCBDA13. (－∞，－2)∪(2，＋∞) 14.15.4- 16. p 3(1－p )717. 解：（1）=)(xf 32cos 22x x+)3x π=+…4分 则所以f(x ）的最小正周期为π， （2） 因为0)(=A f)03A π+=，解得3π=A 或π65=A ，又b a <，故3π=A 由B b A a sin sin =，得1sin =B ,则2π=B ,6π=C , 所以23sin 21==C ab S . 18.（1）因为焦距为1，所以21214a -=，解得258a =， 故椭圆E 的方程为2288153x y +=。

（2）设0012(,),(,0),(,0)P x y F c F c -，其中c =0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c =+，直线2F P 的斜率200F P y k x c=-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c=--， 当0x =时00cy y c x =-，即点Q 的坐标为000,cy c x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 因此直线1FQ 的斜率为10F Q y k c x -， 由于11F P FQ ⊥，所以1100001F p F Q y y k k c x c x ==-+-g化简得22200(21)y x a =--将上式代入椭圆E 的方程，由于00(,)P x y 在第一象限，解得2200,1x a y a ==-，即点P 在直线1x y +=上。

19.（1）在矩形PDCE 中，连结PC 交DE 于N ，则点N 为PC 的中点．只要证ACMN 即可；（2）以D 为原点，,,DA DC PD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，先求平面PBC 的法向量，再利用sin AP n AP nθ⋅=⋅求值；（III ）假设存在满足已知条件的Q ，由CQ CP λ=，得()0,22,Q λ-．求平面QAD 和平面PBC 的法向量，利用空间二面角的夹角公式列方程组，若方程组有解则肯定回答，即存在满足已知条件的Q ；否则则否定回答，即不存在满足已知条件的Q ．试题解析：（I ）证明：在矩形PDCE 中，连结PC 交DE 于N ，则点N 为PC 的中点．在APC ∆中，点M 为PA 的中点，点N 为PC 的中点，AC MN ∴．又MN ⊂平面,MDE AC ⊄平面,MDE AC ∴平面MDE由90,ADC ∠=︒则AD CD ⊥．由平面PDCE ⊥平面ABCD 且平面PDCE 平面ABCD CD =，得AD ∴⊥平面,.PDCE AD PD ∴⊥又矩形PDCE 中.PD CD ⊥以D 为原点，,,DA DC PD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()(()()(1,0,0,0,0,,1,1,0,0,2,0,1,0,,A P B C AP ∴=-()()0,2,2,1,1,0.CP BC =-=-设平面PBC 的法向量为(),,,n x y z =20,0.CP n y BC n x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩可取(1,1,n =．设直线PA与平面PBC所成角为θ，则3 sinAP nAP nθ⋅==⋅．（3）设CQ CPλ=，得()0,22,Qλ-．设平面QAD的法向量为()1111,,,n x y z=则由()111110,20.AD n xDQ n y zλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩得()10,,22.nλ=-由平面QAD与平面PBC所成的锐二面角为3π得，11311cos,32322n nn nπλ⋅===∴=⋅或1λ=（舍）．故在PC上存在Q满足条件．20．（1）依题意可得(1,0)A-，(1,0)B．设双曲线C的方程为2221yxb-=()0b>，=，即2b=．所以双曲线C的方程为2214yx-=．（2）设点11(,)P x y、22(,)T x y（0ix>，0iy>，1,2i=），直线AP的斜率为k（0k>），则直线AP的方程为(1)y k x=+，联立方程组()221,1.4y k xyx⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理，得()22224240k x k x k+++-=，解得1x=-或2244kxk-=+．所以22244kxk-=+．同理可得，21244kxk+=-．所以121x x⋅=．21. 解 （1）21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--'=-+2222(1)2(22)1.(1)(1)x ax x a x x x x x +-+-+==++ 由题意知'(2)0f =，代入得94a =，经检验，符合题意。