优化问题
了解生活中的优化问题及解决方案
详细描述
线性规划模型的核心是确定一个 最优解，该解满足给定的线性约 束条件并最大化或最小化一个线 性目标函数。线性规划在各种领 域都有广泛应用，如资源分配、 生产计划、物流管理等。
应用场景
例如，在物流管理中，线性规划 可以用于确定最佳的车辆路径或 货物配载方案，以实现运输成本 最低、时间最短等目标。
应用场景
动态规划广泛应用于各种优化问题，如背包问题、旅行商 问题、排序问题等。例如，在背包问题中，动态规划可以 用于标。
遗传算法
总结词
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，用于解决一些难以用传统数学方法解决的优化问题。
详细描述
遗传算法通过模拟生物进化过程中的基因选择、交叉和变异等过程，来寻找最优解。它采用随机搜索的方法，不断迭 代搜索空间，直到找到满足要求的解或达到预设的终止条件。
应用场景
模拟退火算法广泛应用于各种优化问 题，如函数优化、组合优化、机器学 习等。例如，在组合优化中，模拟退 火算法可以用于解决旅行商问题、背 包问题等难解的问题。
03
解决方案：人工智能技术
机器学习
总结词
机器学习是一种人工智能技术，通过算 法使计算机系统具备学习和改进的能力 ，从而完成特定的任务。
详细描述
专家系统通常用于高度专业化的领域 ，如医学、法律、金融等，它们可以 通过推理和解析来提供准确的决策支 持，帮助用户解决问题和做出决策。
04
解决方案：优化软件工具
MATLAB
要点一
总结词
MATLAB是一种高效的数值计算软件，广泛应用于算法开 发、数据分析、数据可视化以及数值计算等。
要点二
详细描述
MATLAB提供了友好的用户界面和丰富的功能，使得用户 可以轻松地进行矩阵运算、绘制图形、实现算法等。此外 ，MATLAB还提供了丰富的工具箱，包括统计、优化、机 器学习等，可以满足不同领域的需求。
优化问题集锦
□倪艳美好的生活需要合理安排，复杂的局面需要巧妙应对，生活中这类现象生成的数学问题，需要我们统筹规划，找出最优方案，从而获得最满意的答案。
我是这样解的优化问题集锦例1.王奶奶做午饭所需要的时间是淘米3分钟、煮饭25分钟、洗菜6分钟、切菜7分钟、炒菜10分钟。
你觉得她把这些事都做好，怎样安排最合理？最少需要多长时间？最合理的安排应该最节省时间，这就要求在同一时间内能同时完成几件事。
王奶奶要做的事中，用时最长的是煮饭，需要25分钟。
在煮饭的同时可以洗菜、切菜、炒菜，做这三件事的时间是6＋7＋10＝23（分）。
但煮饭之前要先淘米，因此，淘米和煮饭不能同时完成，所以25分钟不能煮好饭，必须加上淘米的3分钟。
也就是说，王奶奶完成所有的事情需要28分钟。
画出图示如下：最少需要3＋25＝28（分）淘米3分钟煮饭25分钟洗菜6分钟、切菜7分钟、炒菜10分钟图1例2.甲、乙两人各有三张牌（如图2），规定每人每次出一张，大牌“吃”小牌，如果甲先出牌，那么乙怎样出牌才能获胜？甲乙图2我是这样解的根据“田忌赛马”的应对策略，如果甲出最大的牌8，乙就出最小的牌3；甲出最小的牌4，乙就出中间的牌5；甲出中间的牌6，乙就出最大的牌7。
这样乙就能保证获胜。
例3.明明、亮亮、丁丁、宁宁同时来到学校医务室（医务室只有一名医生）。
给明明打针要2分钟，给亮亮测视力要5分钟，给丁丁测脉搏要1分钟，给宁宁伤口换药要6分钟。
怎样安排他们的就诊顺序，才能使四人等候时间（不计各自的就诊时间）的总和最少？最少是多少分？我是这样解的如果先诊治用时较长的人，那么其他人等候的时间总和就长，所以要先安排用时较短的就诊。
先给丁丁测脉搏，另外三人等候的总时间为1×3＝3（分），接着给明明打针，另外两人等候的总时间是2×2＝4（分），然后给亮亮测视力，宁宁等候的时间是5分，最后给宁宁伤口换药。
四人等候的总时间是3＋4＋5＝12（分）。
例4.张师傅要给就餐的73名小朋友每人烙一张大饼，由于锅不大，一次只能烙两张大饼。
最优化问题
最优化问题最优化问题(一)例1：一只平底锅上只能剪两只饼。
用它剪1只饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。
问剪3只饼需要几分钟？怎样剪？例2：6个人各拿一只水桶到水龙头接水。
水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。
现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总的等候最短？这个最短时间是多少？例3：小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班后就能吃上晚饭。
她准备做大米饭和炒鸡蛋。
小红家有两个炉灶。
估计一下，洗锅要用1分钟，淘米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。
你认为最合理的安排要几分钟能做好饭菜？例4：在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。
1号仓库里有10吨货物，2号仓库里有20吨货物，5号仓库里有40吨货物，其余两个仓库都是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输一千米要0.5元运输费，那么至少要花费多少元运费才行？例5：沿铁路有5个工厂，A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要外运。
现在想建一座车站，使这5个工厂的货物运到车站的行程总和越小越好。
车站应建在何处？如果在E的右侧增加一个工厂，车站建在何处总行程最小呢？例6：在公路干线的附近，有5个工厂A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要存库。
现在想在公路干线上建一座库房，使这5个工厂的货物运到库房的行程总和越小越好，库房应建在何处？例7：工地上有手推车20辆,其中10辆从A1到B1运垃圾,要60车次运完。
另外10辆从A2到B2运砖头，要40车次运完。
工地上的可行道路及路程如图（单位：米）所示。
有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。
那么，怎样安排才算合理呢？【练习题】1、有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯。
不许倒水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？2、有8个人在交通事故中受伤，救援人员1人可以救护2人，而1辆救护车只可以坐4个人。
常见的优化问题解法分析
常见的优化问题解法分析在新时代下，互联网技术的发展带来了各种网络产品和服务，让人们的生活更加方便快捷。
不过，随着网络应用的不断扩展，优化问题也逐渐浮现。
本文将以常见的优化问题为切入点，结合实际案例对优化问题的解决方案进行分析。
一、页面速度优化问题在当今互联网领域，网站速度是非常重要的一项因素。
网站速度快可以提升用户体验，提高搜索引擎排名以及转化率。
所以，对于网站速度优化这个问题，我们应该积极地采取解决方案。
针对页面速度慢的问题，可以从如下几个方面考虑：1.压缩文件大小压缩文件大小是提升页面速度的一种有效方法。
可以对 HTML、CSS、和 JavaScript 文件进行压缩，减少它们的大小，并且这个过程不会对网站的功能进行影响。
2.减少 HTTP 请求HTTP 请求的次数越多，网站的响应时间就会越长。
所以，可以减少 HTTP 请求的次数，从而提高网站的速度。
可以采取的方式包括将Javascript 和 CSS 文件内联到 HTML 文件中，以及使用 CSS 雪碧图等。
3.使用 CDNCDN（内容分发网络）可以加速网站的访问速度。
将静态文件（如图片、音频、视频等）存储在 CDN 上，可以让用户从离自己最近的服务器上获得数据，从而提高网站速度。
二、产品搜索引擎优化问题SEO（搜索引擎优化）是一种通过在搜索引擎上提高网站的自然排名来增加网站访问量的方法。
以下是一些提升网站的搜索引擎排名的关键因素：1.关键字分析了解你的目标读者是谁，然后做出一个关键字分析，也就是通过研究目标读者的搜索行为来确定哪些关键字应该被优化。
2.优化页面内容在网站上发布有用的、有组织的和富含关键字的内容，这样可以更容易地被搜索引擎抓住，从而提升网站的排名。
3.建立内部链接您应该为网站内部的每个关键字创建至少一个链接，以便搜索引擎可以发现链接并将链接的价值传递给相关页面。
但是，不要过度链接。
做好页面的内部优化工作对长尾关键词排名提升非常有效。
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。
为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。
在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。
什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。
通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。
在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。
生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。
我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。
以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。
2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。
这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。
3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。
这样可以提高效率，并避免时间的浪费。
4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。
2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。
以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。
合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。
2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。
根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。
3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。
合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。
4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。
3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。
1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
数学建模问题类型
数学建模问题类型数学建模是将现实问题抽象为数学模型，并通过数学方法来解决问题的一种方法。
数学建模问题可以分为以下几类：1.优化问题：优化问题是指在一定的约束条件下，找到一个或一组目标函数的最优解。
常见的优化问题有线性规划、整数规划、非线性规划等。
例如，为了降低成本，物流公司需要确定最佳的配送路线；为了提高效益，企业需要确定最佳的生产计划等。
2.线性问题：线性问题是指目标函数和约束条件都是线性的数学模型。
线性问题可以用线性代数的方法求解，例如线性规划、线性回归等。
例如，确定各个变量之间的线性关系，进行趋势预测和预测，优化线性系统等。
3.非线性问题：非线性问题是指目标函数和约束条件为非线性的数学模型。
非线性问题具有复杂性和多样性，常见的有非线性规划、非线性回归等。
例如，以金融领域为例，股票价格预测和选择最佳投资组合等问题都涉及到非线性函数的建模和解决。
4.离散问题：离散问题是指问题中的变量是离散的，而不是连续的。
离散问题的建模常常使用图论、组合数学等方法。
例如旅行推销员问题、资源分配问题等都是离散问题。
5.动态问题：动态问题是指问题中的变量随时间的变化而变化，需要建立动态模型来描述其演化过程。
动态问题通常使用微分方程、差分方程等方法建模。
例如天气预测问题，经济增长预测问题等。
6.随机问题：随机问题是指问题中存在不确定性因素，需要使用概率和统计的方法进行建模和分析。
随机问题解决的方法包括蒙特卡洛模拟、马尔可夫链等。
例如，对于风险评估、投资选择、信用评级等问题，常常需要考虑不确定因素。
7.多目标问题：多目标问题是指问题中存在多个相互矛盾的目标函数，需要找到一个权衡各目标之间的最优解。
多目标问题的解决方法包括帕累托最优解法、权衡法等。
例如，在城市规划中，需要考虑交通、环境、人口等多个因素的影响。
总之，数学建模问题类型多种多样，涵盖了数学的各个分支领域，也与实际应用息息相关。
在实际应用中，常常需要对多种问题类型进行综合分析和解决。
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。
2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。
3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。
4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。
5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。
6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。
7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。
8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。
9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。
10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。
存在的问题及优化改进方案
存在的问题及优化改进方案
存在的问题及优化改进方案可能涉及多个领域，如项目管理、软件开发、业务流程等。
下面是一个常见的软件开发领域的例子：
存在的问题：
1. 开发进度缓慢：由于开发任务的复杂性，开发进度经常延误。
2. 代码质量不高：由于缺乏代码审查和测试，导致代码中存在很多漏洞和错误。
3. 团队协作不顺畅：团队成员之间的沟通不够顺畅，导致任务交接不准确，影响开发进度。
优化改进方案：
1. 采用敏捷开发方法：敏捷开发方法可以帮助团队更好地应对变化，提高开发效率和代码质量。
2. 引入代码审查机制：通过引入代码审查机制，可以及时发现代码中的问题，提高代码质量。
3. 加强团队沟通：可以通过定期的会议和在线沟通工具来加强团队成员之间的沟通，提高团队协作效率。
4. 制定详细的开发计划：在项目开始前，制定详细的开发计划，明确每个阶段的任务和时间节点，确保项目按时完成。
5. 引入自动化测试工具：通过引入自动化测试工具，可以减少测试时间，提高测试效率和准确性。
以上是一个简单的例子，具体的问题和改进方案需要根据实际情况进行评估和制定。
优化问题
2 32 8 72
512 当且仅当 2 x 即x 16时取等 x
此时版心的宽为 128 8(dm ) 16
答：应使用版心宽为8dm，长为 16dm，四周空白面积最小
例2、（利润最大问题）某制造商制造并 出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是 0.8π r2分.已知每出售1ml的饮料,可获 利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm. １）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ ２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润 最小？
1.4 生活中的优化问题
-----优化问题与导数的综合应用
一、什么是优化问题？
生活中求“利润最大”、“用料最省”、 “效率最高”等问题叫优化问题
二、优化问题举例
例1、（面积最小问题）学校或班级举行活动， 通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如 图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积 为 128dm2, 上、下两边各空2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面 积最小？
（提示：总费用=司机工资+油费）
120 x3 120 解 : y 28 (6 ) 6 x 12000 x
7680 3 2 x (30 x 100 ) x 50
3 3 ( x 64000 ) ' y 25x 2
令y ' 0得x 40
当30 x 40时y 0,函数递减；
y
r3 f ( r ) 0.8 ( r2) 3
从图像你能看 出什么来？
o
2
3
r
例3、（费用最低）
某老板安排一名司机把 客户从A地送往B地，已知AB 两地相距 120KM。假设汽油价格是 6元 / L，当汽车以 xKM / h(30 x 100)的速度行驶时，耗油率 为（6 x3 ) L / h, 司机每小时的工资是 28元，如不考虑其他 12000 因素，请写出从 A地到B地的总费用y元，最经济的车速 是多少？
优化问题
优化问题
1、用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。
如果煎一个饼需要4分钟（假定正、反面各需2分钟），问煎m个饼至少需要几分钟？
2、小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病。
小明打针要5分钟，小华换纱布要3分钟，小强点眼药水要1分钟。
问张大夫如何安排治病次序，才能使他们耽误上课的时间总和最少？并求出这个时间。
3、甲、乙、丙三人过桥，桥上每次只能有2人，每人过桥后再需要2分钟（往返各需1分钟），问三人过桥后再返回至少需要几分钟？
4、有一个93人的旅游团，其中男47人、女46人，住到一个旅店里，旅店里有住11人、7人、4人的房间，经过服务员的安排，这个旅游团的男、女分住在不同的房间里，并且每个房间都按原定人数住满了旅游团的成员。
服务员最少用了多少个房间？
5、电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟。
每辆电车每停1分钟经济损失11元。
现在由3名工作效率相同的维修工各自单独工作，要使经济损失减到最小程度，最少损失多少元？
6、在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共有五个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两仓库是空的。
现在想把所有的货集中存放在同一个仓库里，如果每吨货物运输一千米需要0.5元运费，那么最少要花多少运费才行？
7、仓库里有一批8米长的钢筋，现在要截出3米长的钢筋40根，2米长的钢筋80根，那么最少要用多少根8米长的钢筋？。
生活中最优化问题案例
生活中最优化问题案例在我们的日常生活中，最优化问题无处不在。
从如何规划购物以节省开支，到安排工作任务以提高效率，再到选择出行方式以节省时间和费用，这些都是最优化问题的体现。
下面，让我们通过一些具体的案例来深入了解生活中的最优化问题。
案例一：购物省钱策略假设你要为家庭购买一周的生活用品，附近有两家超市 A 和 B。
超市 A 正在进行满 100 减 20 的活动，而超市 B 则对部分商品进行打折销售。
为了实现购物最优化，即花费最少的钱买到所需的商品，你需要对两家超市的商品价格和优惠政策进行详细比较。
首先，列出家庭一周所需的生活用品清单，包括食品、清洁用品等。
然后，分别到两家超市查看这些商品的价格。
对于超市 A，计算在满足满减条件后的实际支付金额。
对于超市 B，计算打折商品的折后价格。
在比较价格时，还需要考虑商品的质量、保质期等因素。
如果某些商品在两家超市的价格差异不大，但超市 A 的商品质量更好或保质期更长，那么即使在价格上稍微高一些，也可能是更优的选择。
此外，还需要考虑购物的便利性，比如超市的距离、交通状况等。
如果为了去一家稍微便宜但距离较远的超市而花费过多的时间和交通费用，可能并不划算。
通过综合考虑价格、质量、便利性等因素，最终做出最优化的购物决策，以达到省钱的目的。
案例二：工作任务安排假设你是一个项目负责人，手头上有多个任务需要在规定的时间内完成，并且每个任务都有不同的优先级和所需时间。
为了确保项目按时完成并提高工作效率，需要对任务进行合理的安排。
首先，对所有任务进行优先级排序。
将那些紧急且重要的任务排在前面，优先处理。
然后，根据每个任务所需的时间和团队成员的能力，合理分配任务。
在分配任务时，要考虑团队成员的专长和工作负荷。
避免将过多的任务分配给某一个成员，导致其压力过大而影响工作质量和效率。
同时，也要给一些相对复杂的任务预留足够的时间，以保证能够高质量地完成。
此外，要合理安排任务的执行顺序。
最优化问题精选题
最优化问题
1、周长为20米的竹篱笆围成一个长方形菜园，要使菜园的面积最大，它的长和
宽应该是多少？这时最大的面积是多少？如果借助一面围墙来围，最大面积是多少？
2、把8拆成若干个自然数的和，使这些自然数的乘积最大。
这个最大的积是多
少？
3、把1、2、3、
4、
5、
6、
7、
8、9这九个数分成两组，排成一个五位数和一个
四位数，并使这两个数的乘积最大。
其中那个四位数是多少？
4、在7×7平方分米的正方形地面上怎样铺入1×4平方分米的瓷砖，使铺入的
瓷砖数最多？试用作图方法说明你的设计。
5、在一片草地上要开垦长方形园地种植花草。
围墙造价每米80元，现有资金
28800元用于建筑围墙，这块园地面积最大可围多少平方米？
6、有一农户利用一堵墙用篱笆围一个长方形的鸭圈。
已知篱笆长度只有24米，
怎样围面积最大？
7、甲地有58吨货物要运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4
吨，大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟耗油9升。
问：运完这批货物最少耗油多少升？如果有货物59吨呢？
8、用天平称1～40克的物品，最少需要几个分别是多重的砝码？
9、有一架天平，只有5克和35克砝码各一个，现在要把300克盐分成三等份，
问最少需要用天平称几次？
10、有一个80人的旅游团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7
人和5人的三种房间，男女分住不同房间，他们至少要住多少个房间？。
生活中最优化问题案例
生活中最优化问题案例最优化问题是在生活中非常常见的一种问题类型。
它涉及了我们如何在给定的条件下，找到最佳的解决方案，以最大化或最小化某个目标函数。
在本文中，我将介绍一些生活中的最优化问题案例，并探讨它们的解决方法和应用。
1. 旅行路径规划：在我们的日常生活中，我们经常需要规划旅行路径，以使我们能够在最短的时间内到达目的地。
这是一个典型的最优化问题。
通过考虑交通状况、路况、距离和其他因素，我们可以使用最优化算法，如迪杰斯特拉算法或A*搜索算法来找到最佳路径。
这样，我们可以避免交通拥堵和浪费时间。
2. 资源分配问题：在许多组织和企业中，资源分配是一个重要的问题。
如何有效地分配有限的资源以达到最佳效果，是一个最优化问题。
一个公司可能需要决定如何分配有限的预算、人力和设备资源，以最大化利润或满足特定的目标要求。
通过使用线性规划等最优化方法，可以找到最佳的资源分配方案。
3. 股票组合优化：对于投资者来说，构建一个良好的股票组合是非常重要的。
在股票组合优化中，我们需要考虑投资目标、风险承受能力、预期收益率和相关性等因素，以找到一个最佳的投资组合。
通过使用现代投资组合理论和数学优化方法，如马科维茨均值-方差模型，可以帮助投资者构建一个高效的股票组合，以最大化收益并控制风险。
4. 生产计划优化：在制造业中，如何优化生产计划以最大化生产效率是一个关键问题。
通过考虑生产设备的利用率、库存管理、生产工序和交货期等因素，可以使用线性规划、模拟和其他最优化技术来制定最佳的生产计划。
这将帮助制造商提高生产效率，降低成本，并实现更好的交货能力。
5. 能源系统优化：在能源领域，如何优化能源系统以实现可持续发展是一个重要的问题。
通过综合考虑能源供应、需求、成本、环境影响和可再生能源利用等因素，可以使用最优化技术来设计和优化能源系统。
使用混合整数线性规划、动态规划和优化算法，可以找到最佳的电力系统规划，以最大限度地提高能源利用效率和减少碳排放。
生活中的优化问题举例
学案60答案 生活中的优化问题举例例1. 用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x ，容器的容积为V ，则V ＝(90－2x )(48－2x )x (0＜x ＜24)，即V ＝4x 3－276x 2＋4 320x .因为V ′＝12x 2－552x ＋4 320，由V ′＝12x 2－552x ＋4 320＝0，得x 1＝10，x 2＝36. 因为0＜x ＜10时，V ′＞0，10＜x ＜36时，V ′＜0，x ＞36时，V ′＞0，所以当x ＝10时，V 有极大值V (10)＝19 600.又因为0＜x ＜24，所以V (10)也是最大值．所以当x ＝10时，V 有最大值V (10)＝19 600.故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3.例2.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解：设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，则p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v小时，所以行1海里的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.因为当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0，所以当v ＝20时q 取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．例3.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值．解： (1)设日销量q ＝k e x ，则k e 30＝100，所以k ＝100e 30， 所以日销量q ＝100e 30e x ，所以y ＝100e 30（x －20－t ）e x (25≤x ≤40)．(2)当t ＝5时，y ＝100e 30（x －25）e x ，所以y ′＝100e 30（26－x ）e x . 由y ′>0，得x <26，由y ′<0，得x >26，所以y 在[25，26)上单调递增，在[26，40]上单调递减，所以当x ＝26时，y max ＝100e 4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．四、反馈训练1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件1.解析：选C.因为x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)，当x ∈(0，9)时，y ′>0，当x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，所以y 先增后减．所以当x ＝9时函数取得最大值．选C.2.用长为24 m 的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为________．2.解析：设长方体的底面边长为x m ，则高为(6－2x )m ，所以x ∈(0，3)，则V ＝x 2(6－2x )＝6x 2－2x 3，V ′＝12x －6x 2，令V ′＝0得x ＝2或x ＝0(舍)，所以当x ∈(0，2)时，V ′>0，V 是增函数，当x ∈[2，3)时，V ′<0，V 是减函数，所以当x ＝2时，V max ＝22×2＝8(m 3)．3.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)，所以y 关于x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)．(2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，当12＜x ＜1时，y ′＜0，当0＜x ＜12时，y ′＞0； 所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得极大值，即最大值． 故改进工艺后，产品的销售价为20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．五、课时作业．1.已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(x －2)2成正比，比例系数为4.(1)写出今年商户甲的收益y (单位：万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．解：(1)由题意知，今年的销售量为[1＋4(x －2)2](万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x －1)元，所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2]·(x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17(1≤x ≤2)．(2)由(1)知y ＝f (x )＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2，从而y ′＝f ′(x )＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)．令y ′＝0，解得x ＝32或x ＝116.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，f (2)＝1， 所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．2．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m ，高为h m ，体积为V m 3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m 2，底面的建造成本为160元/m 2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 解：(1)∵蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意，得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)， 从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)． 由h >0且r >0，可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0，53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此，可知V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．3.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，解得a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3<x <6)． f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，解30(x －4)(x －6)＝0，得x 1＝4，x 2＝6(舍去)．当x所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大4．已知某公司生产某种产品的年固定成本为10万元，每生产1千件该产品需要另投入1.9万元．设R (x )(单位：万元)为销售收入，根据市场调查知R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －130x 3，0≤x ≤10，2003，x >10.其中x 是年产量(单位：千件)． (1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式；(2)求年产量为多少时，该公司可从这一产品生产中获得最大利润？解：(1)设年产量为x 千件，年利润为W 万元，依题意有W ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －130x 3－10－1.9x ，0≤x ≤10，2003－10－1.9x ，x >10.(2)设f (x )＝－130x 3＋8.1x －10，0≤x ≤10. f ′(x )＝－110x 2＋8.1，令f ′(x )＝0得x 1＝9，x 2＝－9(舍去)．当0<x <9时，f ′(x )>0；当9<x <10时，f ′(x )<0，故当x ＝9时，f (x )取得最大值38.6.当x >10时，f (x )＝1703－1.9x <1133<38.6. 即当年产量为9千件时，该公司所获年利润最大．5．如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ，其与城站路一边所在直线l 相切于点M ，MO 的延长线交圆O 于点N ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设△ABM 的面积为S (单位：m 2)．(1)以∠AON ＝θ(rad)为自变量，将S 表示成θ的函数；(2)求使绿化面积最大时点A 的位置及最大绿化面积．解：(1)由题意知，BM ＝100sin θ，AB ＝100＋100cos θ，故S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)．(2)因为S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)，所以S ′＝5 000(cos θ＋cos2θ－sin 2θ)＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(cos θ＋1)(2cos θ－1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，又θ∈(0，π)，故θ＝π3. 当0<θ<π3时，12<cos θ<1，S ′>0； 当π3<θ<π时，－1<cos θ<12，S ′<0. 故当θ＝π3时，S 取得极大值，也是最大值，最大值为3 7503，此时AB ＝150. 即当点A 距路边的距离为150 m 时，绿化面积最大，最大面积为3 750 3 m 2.。
优化问题与方法
优化问题与方法
优化问题是指在给定约束条件下，寻找最优解或最佳解的问题。
优化问题的方法主要有以下几种：
1. 枚举法：逐个尝试所有可能的解，然后找到最优解。
适用于解空间较小的问题。
2. 近似法：通过将优化问题转化为一个近似问题来求解。
例如贪心算法、动态规划等。
3. 梯度下降法：通过计算目标函数的梯度（导数）来确定搜索方向，并最终达到最优解的方法。
适用于连续可导的优化问题。
4. 其他常见的优化方法还包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。
在应用优化方法时，需要考虑问题的特点，选择合适的方法，并结合实际情况进行调整和优化。
同时，要注意问题的求解复杂度，以及算法的收敛性、稳定性等性质。
优化问题的标准形式
优化问题的标准形式一、引言优化问题是指在一个给定的解决方案集合中寻找最优解的问题，它涉及到在多个可能的解中找到满足某些特定条件的最优解。
在许多实际应用中，如生产计划、物流调度、金融投资等，都需要通过解决优化问题来做出最优决策。
优化问题的标准形式是理解和解决优化问题的基础，它包括决策变量、目标函数和约束条件三个基本组成部分。
本文将详细介绍优化问题的标准形式及其在各个领域的应用。
二、优化问题的标准形式优化问题的标准形式由决策变量、目标函数和约束条件三个部分组成。
1. 决策变量：决策变量是优化问题中需要求解的未知数，通常表示为 x 。
根据问题的不同，决策变量可以是单个数值、向量或矩阵等。
决策变量的取值范围称为决策空间。
2. 目标函数：目标函数是衡量解决方案优劣的标准，通常表示为 f (x )。
目标函数可以是任何可以量化评估的函数，例如线性函数、二次函数、指数函数等。
优化问题就是要寻找一组决策变量的最优解，使得目标函数取得最大或最小值。
3. 约束条件：约束条件是限制决策变量取值的规则，通常表示为 g (x )≤0 或 h (x )=0。
约束条件可以是等式或不等式约束，例如线性约束、二次约束等。
在解决优化问题时，需要同时满足所有的约束条件。
三、优化问题的标准形式示例下面我们给出一个简单的优化问题标准形式的示例：在这个示例中，决策变量是 x =(x 1,x 2)，目标函数是 f (x )=x 21+x 22，约束条件包括 x 1+x 2≤5，x 1+2x 2=6 和x 1,x 2≥0。
该问题的最优解应该满足所有的约束条件，并且在决策变量的取值范围内使得目标函数最小化。
四、应用领域优化问题的标准形式广泛应用于各个领域，如生产计划、物流调度、金融投资等。
下面我们介绍几个具体的应用领域：1. 生产计划：在生产计划中，优化问题可以被用来确定最优的生产方案，例如确定最佳的生产顺序、调度和资源分配等。
这可以帮助企业提高生产效率、降低成本和最大化利润。
优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题，通过前面的学习， 知道，导数是求函数最大（小）值的 有力工具，本节我们运用导数，解决 一些生活中的优化问题。
问题1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报 进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各 空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才 能使四周空白面积最小？
2
60 40 V (40) 40 ( ) 16000 (cmh )3 2
答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为16000cm3
x
说明
1、设出变量找出函数关系式； 确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义 2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
2V 由S ( R) 2 4R 0. 解得R R V V 3 从而h 2 即h=2R. R 2 2
3
h R
V . 2
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
例2、某商品每件60元时，每星期能卖 出300件；如果调整价格，每涨价1元， 每星期要少卖10件。已知每件商品成本 为40元，问：如何定价才能使利润最大？
练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高与底半径,使得所用材料最省? 解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2. 又V=πR2h(定值), 则h V 2 . R V S ( R) 2R 2 2R 2 2V 2R 2 . R R
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例1：用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。
问煎3个饼至少需要多少分钟？
分析与解答：先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。
又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。
所以，煎3个饼至少需要3分钟。
例2：妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。
要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？
分析：经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。
水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。
而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。
根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。
例3：五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。
卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？
分析：校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。
这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，赵1+3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟。
时间总和是1+4+9=14分钟。
例4：用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。
围成的长方形的面积最大是多少？
分析与解答：根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是18÷2=9厘米。
显然，当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大。
又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5厘米，宽是4厘米时，围成的长方形的面积最大：5×4=20平方厘米。
例5：用3 ~ 6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
分析与解答：解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。
所以应把6和5这两个数字放在十位，4和3放在个位。
根据“两个因数的差越小，积越大”的规律，3应放在6的后面，4应放在5的后面。
63×54=3402。