1995年全国高中数学联赛1试2试试题
1995年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版
用心 爱心 专心 7 1995年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1． 设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13且a 1>0，S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( )(A )S 10 (B )S 11 (C )S 20 (D ) S 212． 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z 1，Z 2，…，Z 20，则复数Z 19951 ，Z 19952 ，…，Z 199520 所对应的不同的点的个数是( )(A )4 (B )5 (C )10 (D )203． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )(A )1个 (B )2个 (C )50个 (D )100个4． 已知方程|x －2n |=k x (n ∈N *)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )(A )k >0 (B )0<k ≤12n +1(C )12n +1<k ≤12n +1(D )以上都不是 5． log sin1cos1，log sin1tan1，log cos1sin1，log cos1tan1的大小关系是(A ) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1(B ) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1(C ) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1cos1(D ) log cos1tan1< log sin1tan1< log sin1cos1< log cos1sin16． 设O 是正三棱锥P —ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和式1PQ +1PR +1PS(A )有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值(C )既有最大值又有最小值，两者不等 (D )是一个与面QPS 无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且αβ2为实数，则|α|= ． 2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 ．3． 用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是 ．4． 直角坐标平面上，满足不等式组⎩⎨⎧y ≤3x ， y ≥x 3， x +y ≤100的整点个数是 ． 5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 ．6． 设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x ∈A 时，15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是 ．。
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11-15每小题5，满分65分）1．（4分）已知I为全集，集合M，N?I，若M∩N=N，则（）A．B ．C．D．2．（4分）（2007?奉贤区一模）函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．3．（4分）函数y=4sin（3x+）+3cos（3x+）的最小正周期是（）A．6πB．2πC．D．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．2πa2D．3πa25．（4分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k26．（4分）（2008?湖南）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．2077．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1，0）8．（4分）（2008?西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±xD．y=±x9．（4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）A．B．C．D．10．（4分）（2014?市中区二模）已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④11．（5分）（2012?荆州模拟）函数y=loga（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（2，+∞）12．（5分）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若，则等于（）A． 1 B．C．D．13．（5分）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．B．C．D．15．（5分）（2010?内江二模）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）不等式的解集是_________ ．17．（4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为_________ ．18．（4分）（2012?许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值_________ ．19．（4分）（2010?郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a= _________ ．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_________ 种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O （其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．23．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD 所成的角．24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）（x≥8，t≥0），Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？25．（12分）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．（1）证明；（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．26．（12分）已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|?|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11-15每小题5，满分65分）1．（4分）已知I为全集，集合M，N?I，若M∩N=N，则（）A．B．C．D．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．解答：解：根据题意，若M∩N=N，则N?M，做出图示如图，分析可得，必有，故选C．点评：本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题．2．（4分）（2007?奉贤区一模）函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：把函数y=的图象先经过左右平移得到y= 的图象，再经过上下平移得到y= +1的图象．解答：解：将函数y=的图象向右平移1个单位，得到y=的图象，再把y=的图象向上平移一个单位，即得到y=+1的图象，故选 A．点评：本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．3．（4分）函数y=4sin（3x+）+3cos（3x+）的最小正周期是（）A．6πB．2πC．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T= 可得到答案．解解：∵y=4sin（3x+答：）+3cos （3x+）=5sin（3x++φ）（其中sinφ=，cosφ=）∴T=故选C．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=确定结果．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．2πa2D．3πa2考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知R2=a2，即R2=a2，∴S球=4πR2=4π?a2=．故选B点评：本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．5．（4分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k26．（4分）（2008?湖南）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）为C102C105﹣C102=252﹣45=207 故选项为D点评：本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1，0）考点：反三角函数的运用．专题：计算题；转化思想．分析：注意arcsinx、arccosx的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性质，化简不等式，反三角函数的定义域，然后求解即可．解答：解：因为arcsinx＞arccosx 所以sin（arcsinx）＞sin（arccosx）即：x＞，且x∈[0，1]，所以解得x∈故选B．点评：本题考查反三角函数的运用，注意函数的定义域，是基础题．8．（4分）（2008?西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±xD．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．解答：解：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理得．故选C．点评：把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．9．（4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ，所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解答：解：∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，∵∴∵角是第三象限角，∴sin2θ=，故选A点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．10．（4分）（2014?市中区二模）已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β．其中正确命题的序号是（）因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m?平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m?平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选 C．点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．11．（5分）（2012?荆州模拟）函数y=loga（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：a＞0?2﹣ax在[0，1]上是减函数由复合函数的单调性可得a＞1，在利用对数函数的真数须大于0可解得a的取值范围．解答：解：∵a＞0，∴2﹣ax在[0，1]上是减函数．∴y=logau应为增函数，且u=2﹣ax在[0，1]上应恒大于零．∴∴1＜a ＜2．故答案为：C．点评：本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相反，复合在一起为减函数．12．（5分）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若，则等于（）A． 1 B．C．D．考点：等差数列的前n项和；极限及其运算．专题：压轴题．分析：利用等差数列的性质求得，再求极限．解答：解：∵=∴故选C点评：本题主要考查等差数列的性质的运用．13．（5分）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，分2步进行，首先分析个位数字，要求是偶数，则其个位数字为2或4，有2种情况，进而分析百位、十位，将剩下的4个数字，任取2个，分配在百位、十位即可，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求是偶数，则其个位数字为2或4，有2种情况，将剩下的4个数字，任取2个，分配在百位、十位，有A42=12种情况，由分步计数原理，可得共2×12=24个，故选A．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意题目中要求是偶数，要优先分析个位数字．14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程，只要求出几何量p即可，从而确定它们的极坐标方程．解答：解：∵椭圆的极坐标方程，p即椭圆的焦点到相应准线的距离，∴，∴椭圆的极坐标方程是：．故填：D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．15．（5分）（2010?内江二模）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．解答：解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D ∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜4} ．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式，利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解答：解：不等式，化为所以有指数函数的性质可知：x2﹣8＜2x 解得：x|﹣2＜x＜4故答案为：x|﹣2＜x＜4点评：本题考查指数函数的性质，二次不等式的解法，是基础题．17．（4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可．解答：解：设球的半径为2，由题意可得圆台上底面半径为1，圆台的高为，所以圆台的体积是：球的体积：圆台的体积与球体积之比为：故答案为：点评：本题考查球的体积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（4分）（2012?许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．解答：解：y=sin（x﹣）cosx=（sinx﹣cosx）cosx= sinxcosx﹣cos2x=（cos2x+1）=∴y=sin（x﹣）cosx的最小值为：故答案为：﹣．点评：本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．19．（4分）（2010?郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a= ．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先把抛物线方程整理成标准方程，可得焦点坐标．进而可得l被抛物线截得的线段长，进而求得a．解答：解：抛物线方程整理得x2= y，焦点（0，l被抛物线截得的线段长即为通径长，故=4，a=；故答案为．点评：本题主要考查抛物线的应用，属基础题．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144 种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解答：解：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法．故答案为144．点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O （其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答：本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1，z3，依题设得====点评：采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．解答：解：原式= ===点评：本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．23．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD 所成的角．考点：平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB，根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可证得线面垂直；（2）点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABCD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可．解答：（1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．∵EB?平面ABE，∴DA⊥EB．∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．∵AF?平面DAE，∴EB⊥AF．又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．∵DB?平面DEB，∴AF⊥DB．（2）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH?平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．又DH?平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，．由V圆柱：VD﹣ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，DH=∴∠EDH=arcctg=arcctg（/5），点本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．评：24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）（x≥8，t≥0），Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；压轴题．分析：本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Q得到方程，当根的判别式≥0时，方程有解，求出解可得函数．然后△≥0，原题t≥0，8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围，联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于10元，得x≤10，求出t的取值范围．解答：解：（1）依题设有1000（x+t﹣8）=500，化简得5x2+（8t﹣80）x+（4t2﹣64t+280）=0．当判别式△=800﹣16t2≥0时，可得x=8﹣±．由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：①②解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为[0，]．（2）为使x≤10，应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0．解得t≥1或t≤﹣5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．点评：本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．25．（12分）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．（1）证明；（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前n项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）设{an}的公比为q，当q=1时根据Sn?Sn+2﹣Sn+12求得结果小于0，不符合；当q≠1时利用等比数列求和公式求得Sn?Sn+2﹣Sn+12＜0，进而推断Sn?Sn+2，＜Sn+12．根据对数函数的单调性求得lg（Sn?Sn+2）＜lgSn+12，原式得证．（2）要使．成立，则有进而分两种情况讨论当q=1时根据（Sn﹣c）（Sn+2﹣c）=（Sn+1﹣c）2求得﹣a12＜0不符合题意；当q≠1时求得（Sn﹣c）（Sn+2﹣c）﹣（Sn+1﹣c）2=﹣a1qn[a1﹣c（1﹣q）]，进而推知a1﹣c（1﹣q）=0，判断出0＜q＜1，但此时不符合题意，最后综合可得结论．解答：（1）证明：设{an}的公比为q，由题设a1＞0，q＞0．（i）当q=1时，Sn=na1，从而Sn?Sn+2﹣Sn+12=na1?（n+2）a1﹣（n+1）2a12=﹣a12＜0（ⅱ）当q≠1时，，从而Sn?Sn+2﹣Sn+12==﹣a12qn＜0．由（i）和（ii）得Sn?Sn+2，＜Sn+12．根据对数函数的单调性，知lg（Sn?Sn+2）＜lgSn+12，即．（2）解：不存在．要使．成立，则有分两种情况讨论：（i）当q=1时，（Sn﹣c）（Sn+2﹣c）=（Sn+1﹣c）2=（na1﹣c）[（n+2）a1﹣c]﹣[（n+1）a1﹣c]2=﹣a12＜0．可知，不满足条件①，即不存在常数c＞0，使结论成立．（ii）当q≠1时，若条件①成立，因为（Sn﹣c ）（Sn+2﹣c）﹣（Sn+1﹣c）2==﹣a1qn[a1﹣c（1﹣q）]，且a1qn≠0，故只能有a1﹣c（1﹣q）=0，即此时，因为c＞0，a1＞0，所以0＜q＜1．但0＜q＜1时，，不满足条件②，即不存在常数c＞0，使结论成立．综合（i）、（ii），同时满足条件①、②的常数c＞0不存在，即不存在常数c＞0，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．26．（12分）已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|?|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质；曲线与方程．专题：计算题；压轴题．分析：先设三个点P、R、Q的坐标分别为（xP，yP），（xR，yR），（x，y），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件|OQ|?|OP|=|OR|2，将三点的坐标代入，最终得到关于x，y的方程即为所求．解答：解：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为（xP，yP），（xR，yR），（x，y），其中x，y不同时为零．当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组解得由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组．解得当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．由题设|OQ|?|OP|=|OR|2，得将①～④代入上式，化简整理得因x与xp同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0，故点Q的轨迹方程为（其中x，y不同时为零）．所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．。
1995年全国高考数学试题
1995年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知I 为全集,集合M, I N ⊂,若M ∩N=N,则 A.N M ⊇ B. N M ⊆ C. N M ⊆ D. N M ⊇[Key] C2.函数1x 1y +-=的图象是[Key] B3.函数)4x 3cos(3)4x 3sin(4y π++π+=的最小正周期是 3.D 32.C 2.B 6.A ππππ[Key] C4.正方体的全面积是a 2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是2222a 3.D a 2.C 2a .B 3a .A ππππ[Key] B5.若图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2[Key] D6.在(1-x 3)(1+x)10的展开式中,x 5的系数是A.-297B.-252C.297D.207[Key] D7.使arcsinx>arccosx 成立的x 的取值范围是)0,1.[D )32,1.[C ]1,32.(B ]32,0.(A --[Key] B8.双曲线3x 2-y 2=3的渐近线方程是x 33y .D x 3y .C x 31y .B x 3y .A ±=±=±=±=[Key] C9.已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95,那第sin2θ等于32.D 32.C 322.B 322.A --[Key] A10.已知直线l ⊥平面α,直线m 平面β,有下面四个命题:①m l //⊥⇒βα②m //l ⇒β⊥α③β⊥α⇒m //l ④βα⇒⊥//m l其中正确的两个命题是A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③[Key] D11.已知y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+∞)[Key] B12.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ,若1n 3n 2T S n n +=，则n nn b a lim ∞→等于 94.D 32.C 36.B 1.A[Key] C13.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有A.24B.30C.40D.60[Key] A14.在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0),离心率为e,则它的极坐标方程是)cos e 1(e )e 1(c .D )cos e 1(e )e 1(c .C cos e 1)e 1(c .B cos e 1)e 1(c .A 22θ--=ρθ--=ρθ--=ρθ--=ρ[Key] D15.如图,A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点D 1,F 1分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,若BC=CA=CC 1,则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是1015.D 1530.C 21.B 1030.A[Key] A16.不等式x28x 3)31(2-->的解集是______________[Key] (2,4)17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为____________.[Key]323718.函数x cos )6x sin(y π-=的最小值___________[Key]4319.直线l 过抛物线y 2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则a= .[Key] 420.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有_____种(用数字作答).[Key] 14421.(本小题满分7分)在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1,Z 2,Z 3,O(其中O 为原点),已知Z 2对应复数经z 2=1+i 3,求Z 1和Z 3对应的复数。
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷(理科）一、选择题（共15小题,1—10每小题4分，11—15每小题5，满分65分)1．（4分）已知I为全集,集合M，N⊂I,若M∩N=N，则（）A．B．C．D．2．（4分)（2007•奉贤区一模)函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．3．（4分）函数y=4sin（3x+）+3cos(3x+）的最小正周期是（）A．6πB．2πC．D．4．（4分)正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是()A．B．C．2πa2D．3πa25．（4分）若图中的直线l1,l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k26．（4分)(2008•湖南）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．2077．（4分)使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（)A．B．C．D．［﹣1,0）8．（4分)（2008•西城区二模)双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（)A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x9．(4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于(）A．B．C．D．10．（4分）（2014•市中区二模)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④11．(5分）（2012•荆州模拟）函数y=log a(2﹣ax）在[0，1］上是减函数，则a的取值范围是（) A．（0，1) B．（0,2) C．(1，2）D．（2，+∞）12．(5分）等差数列{a n｝，{b n}的前n项和分别为S n与T n，若，则等于(）A．1B．C．D．13．(5分）用1,2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．B．C．D．15．（5分)（2010•内江二模）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱,∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．(4分）不等式的解集是_________．17．(4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为_________．18．（4分）（2012•许昌二模）函数y=sin(x﹣)cosx的最小值_________．19．（4分）（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_________．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1,2,3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_________种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（7分)在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O (其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．23．（12分)如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1）求证:AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．24．(12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8)( x≥8，t≥0）,Q=500（8≤x≤14)．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；(2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?25．（12分）设｛a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．（1)证明；（2)是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．26．（12分）已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足｜OQ｜•|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11—15每小题5，满分65分）1．(4分）已知I为全集,集合M,N⊂I，若M∩N=N，则（）A．B．C．D．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．解答: 解:根据题意,若M∩N=N，则N⊆M，做出图示如图，分析可得，必有，故选C．点评：本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题．2．（4分）（2007•奉贤区一模）函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题: 数形结合．分析: 把函数y=的图象先经过左右平移得到y=的图象，再经过上下平移得到y=+1的图象．解答：解：将函数y=的图象向右平移1个单位，得到y=的图象，再把y=的图象向上平移一个单位，即得到y=+1的图象，故选A．点评：本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．3．(4分）函数y=4sin(3x+）+3cos（3x+）的最小正周期是（)A．6πB．2πC．D．考点：函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=可得到答案．解答：解：∵y=4sin（3x+）+3cos（3x+）=5sin（3x++φ）（其中sinφ=，cosφ=）∴T=故选C．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式,再由T=确定结果．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是（)A．B．C．2πa2D．3πa2考点: 球内接多面体．专题: 计算题．分析：设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解:设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知R2=a2，即R2=a2，∴S球=4πR2=4π•a2=．故选B点评：本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．5．（4分)若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析：由直线斜率（倾斜角的正切值)的定义和正切函数的单调性可得．解答：解：直线l1的倾斜角是钝角,则斜率k1＜0；直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2,故选D．点评: 本题考查直线斜率和图象的关系．6．（4分)（2008•湖南)在（1﹣x3)(1+x)10展开式中,x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．207考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将多项式展开，转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为5，2求出二项展开式的系数．解答：解：（1﹣x3）（1+x）10=（1+x）10﹣x3（1+x)10∴（1﹣x3）（1+x）10展开式的x5的系数是（1+x）10的展开式的x5的系数减去（1+x）10的x2的系数∵(1+x）10的展开式的通项为T r+1=C10r x r令r=5，2得(1+x）10展开式的含x5的系数为C105;展开式的含x2的系数为C102C105﹣C102=252﹣45=207故选项为D点评：本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（)A．B．C．D．[﹣1，0）考点: 反三角函数的运用．专题: 计算题;转化思想．分析: 注意arcsinx、arccosx的范围以及正弦函数的单调性,利用反三角函数的性质，化简不等式，反三角函数的定义域，然后求解即可．解答：解:因为arcsinx＞arccosx 所以sin（arcsinx)＞sin（arccosx）即：x＞，且x∈［0，1］，所以解得x∈故选B．点评：本题考查反三角函数的运用,注意函数的定义域，是基础题．8．（4分)（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．解答：解:双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为,其渐近线方程是，整理得．故选C．点评：把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．9．（4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ，所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解答：解:∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，∵∴∵角是第三象限角,∴sin2θ=,故选A点评: 已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．10．（4分）（2014•市中区二模)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：由两平行平面中的一个和直线垂直,另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β,再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行,也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题;当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．解答：解:l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β,所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题;因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α,又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交,即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理,定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理,定理以及推论理解透彻，并会用．11．（5分)(2012•荆州模拟)函数y=log a（2﹣ax)在[0，1］上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1) B．(0，2) C．(1，2）D．（2,+∞)考点: 函数单调性的性质．专题：常规题型．分析: a＞0⇒2﹣ax在[0，1]上是减函数由复合函数的单调性可得a＞1,在利用对数函数的真数须大于0可解得a的取值范围．解答：解:∵a＞0，∴2﹣ax在［0，1］上是减函数．∴y=log a u应为增函数，且u=2﹣ax在[0,1］上应恒大于零．∴∴1＜a＜2．故答案为：C．点评：本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数,单调性相反，复合在一起为减函数．12．（5分）等差数列{a n｝,{b n｝的前n项和分别为S n与T n,若，则等于（)A．1B．C．D．考点：等差数列的前n项和；极限及其运算．专题: 压轴题．分析：利用等差数列的性质求得，再求极限．解答: 解:∵=∴故选C点评：本题主要考查等差数列的性质的运用．13．(5分）用1，2,3，4，5这五个数字,组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个考点: 排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，分2步进行,首先分析个位数字,要求是偶数，则其个位数字为2或4，有2种情况，进而分析百位、十位,将剩下的4个数字，任取2个，分配在百位、十位即可，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意,要求是偶数，则其个位数字为2或4，有2种情况，将剩下的4个数字,任取2个,分配在百位、十位，有A42=12种情况，由分步计数原理，可得共2×12=24个，故选A．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意题目中要求是偶数，要优先分析个位数字．14．（5分)在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是()A．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题;压轴题．分析: 欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程，只要求出几何量p即可，从而确定它们的极坐标方程．解答：解:∵椭圆的极坐标方程,p即椭圆的焦点到相应准线的距离,∴,∴椭圆的极坐标方程是：．故填：D．点评: 本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．15．(5分）（2010•内江二模）如图,A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是(）A．B．C．D．考点: 异面直线及其所成的角．专题: 计算题;压轴题．分析：先取BC的中点D，连接D1F1,F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角,在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．解答：解:取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中,cos∠DF1A=,故选A点评: 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．(4分）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜4}．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式，利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解答：解：不等式，化为所以有指数函数的性质可知：x2﹣8＜2x解得：x|﹣2＜x＜4故答案为：x|﹣2＜x＜4点评：本题考查指数函数的性质,二次不等式的解法，是基础题．17．（4分)已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析: 设出球的半径,求出圆台上底面半径,圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可．解答：解:设球的半径为2，由题意可得圆台上底面半径为1,圆台的高为,所以圆台的体积是：球的体积:圆台的体积与球体积之比为：故答案为：点评: 本题考查球的体积和表面积,棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，逻辑思维能力,是基础题．18．（4分）(2012•许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简,再由正弦函数的最值可得到答案．解答：解：y=sin（x﹣）cosx=（sinx﹣cosx）cosx=sinxcosx﹣cos2x=（cos2x+1）=﹣∴y=sin(x﹣）cosx的最小值为:故答案为：﹣．点评：本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．19．（4分）（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4,则a=．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析: 先把抛物线方程整理成标准方程，可得焦点坐标．进而可得l被抛物线截得的线段长，进而求得a．解答：解：抛物线方程整理得x2=y，焦点（0，）l被抛物线截得的线段长即为通径长，故=4,a=；故答案为．点评: 本题主要考查抛物线的应用，属基础题．20．（4分)四个不同的小球放入编号为1,2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144种（用数字作答）．考点: 计数原理的应用．专题：计算题;压轴题．分析：由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球,从4个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解答: 解：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法．故答案为144．点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走,先选元素再排列．三、解答题(共6小题，满分65分)21．（7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3,O (其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．考点: 复数的代数表示法及其几何意义．分析：由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答：本小题主要考查复数基本概念和几何意义,以及运算能力．解:设Z1,Z3对应的复数分别为z1,z3,依题设得====点评: 采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析: 先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．解答: 解:原式====点评: 本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．23．（12分）如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上,AF⊥DE，F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．考点：平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题：计算题;证明题．分析: （1）欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB，根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可证得线面垂直；（2）点E作EH⊥AB,H是垂足，连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABCD所成的角,在三角形EDH中求出此角即可．解答：（1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．∵EB⊂平面ABE，∴DA⊥EB．∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．∵AF⊂平面DAE，∴EB⊥AF．又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．∵DB⊂平面DEB，∴AF⊥DB．（2）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE,AB是交线．且EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．又DH⊂平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R,于是V圆柱=2πR3，．由V圆柱：V D﹣ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心,AH=R,DH=∴∠EDH=arcctg=arcctg（/5），点评: 本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．24．(12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）( x≥8，t≥0），Q=500(8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；压轴题．分析：本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Q得到方程，当根的判别式≥0时，方程有解，求出解可得函数．然后△≥0，原题t≥0，8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围,联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于10元,得x≤10，求出t的取值范围．解答: 解：(1）依题设有1000（x+t﹣8）=500，化简得5x2+(8t﹣80）x+（4t2﹣64t+280)=0．当判别式△=800﹣16t2≥0时，可得x=8﹣±．由△≥0,t≥0，8≤x≤14，得不等式组：①②解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为[0,］．（2）为使x≤10,应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0．解得t≥1或t≤﹣5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．点评: 本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．25．（12分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．(1）证明；（2)是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前n项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）设{a n}的公比为q，当q=1时根据S n•S n+2﹣S n+12求得结果小于0,不符合；当q≠1时利用等比数列求和公式求得S n•S n+2﹣S n+12＜0，进而推断S n•S n+2,＜S n+12．根据对数函数的单调性求得lg（S n•S n+2）＜lgS n+12，原式得证．(2）要使．成立,则有进而分两种情况讨论当q=1时根据（S n﹣c）（S n+2﹣c)=（S n+1﹣c）2求得﹣a12＜0不符合题意；当q≠1时求得（S n﹣c）（S n+2﹣c)﹣（S n+1﹣c）2=﹣a1q n[a1﹣c（1﹣q）]，进而推知a1﹣c（1﹣q）=0，判断出0＜q＜1，但此时不符合题意,最后综合可得结论．解答：(1）证明：设｛a n}的公比为q，由题设a1＞0,q＞0．(i)当q=1时，S n=na1，从而S n•S n+2﹣S n+12=na1•（n+2）a1﹣(n+1）2a12=﹣a12＜0（ⅱ）当q≠1时,，从而S n•S n+2﹣S n+12==﹣a12q n＜0．由（i)和（ii）得S n•S n+2,＜S n+12．根据对数函数的单调性,知lg(S n•S n+2)＜lgS n+12，即．（2)解：不存在．要使．成立，则有分两种情况讨论:（i）当q=1时,（S n﹣c）(S n+2﹣c）=(S n+1﹣c）2=（na1﹣c)［（n+2）a1﹣c]﹣［(n+1）a1﹣c］2=﹣a12＜0．可知,不满足条件①，即不存在常数c＞0，使结论成立．（ii)当q≠1时，若条件①成立，因为（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣（S n+1﹣c）2==﹣a1q n[a1﹣c(1﹣q）］，且a1q n≠0，故只能有a1﹣c(1﹣q）=0,即此时，因为c＞0,a1＞0,所以0＜q＜1．但0＜q＜1时，，不满足条件②，即不存在常数c＞0，使结论成立．综合（i）、（ii），同时满足条件①、②的常数c＞0不存在，即不存在常数c＞0，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识,考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．26．(12分）已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|•｜OP|=｜OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质;曲线与方程．专题：计算题；压轴题．分析：先设三个点P、R、Q的坐标分别为（x P，y P），（x R,y R),（x，y)，利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件｜OQ｜•｜OP|=｜OR|2,将三点的坐标代入，最终得到关于x，y的方程即为所求．解答：解：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为（x P,y P），（x R，y R），（x，y），其中x,y不同时为零．当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组解得由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组．解得当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．由题设｜OQ|•｜OP|=｜OR|2，得将①～④代入上式，化简整理得因x与x p同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0，故点Q的轨迹方程为(其中x,y不同时为零）．所以点Q的轨迹是以（1,1)为中心,长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．。
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11-15每小题5，满分65分）1．（4分）已知I为全集，集合M，N⊂I，若M∩N=N，则（）A．B．C．D．2．（4分）（2007•奉贤区一模）函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．3．（4分）函数y=4sin（3x+）+3cos（3x+）的最小正周期是（）A．6πB．2πC．D．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．2πa2D．3πa25．（4分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k26．（4分）（2008•湖南）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．2077．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1，0）8．（4分）（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x9．（4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）A．B．C．D．10．（4分）（2014•市中区二模）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④11．（5分）（2012•荆州模拟）函数y=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（2，+∞）12．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n与T n，若，则等于（）A．1B．C．D．13．（5分）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．B．C．D．15．（5分）（2010•内江二模）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）不等式的解集是_________．17．（4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为_________．18．（4分）（2012•许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值_________．19．（4分）（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_________．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_________种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O （其中O是原点），已知Z 2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．23．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）（x≥8，t≥0），Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？25．（12分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．（1）证明；（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．26．（12分）已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11-15每小题5，满分65分）1．（4分）已知I为全集，集合M，N⊂I，若M∩N=N，则（）A．B．C．D．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．解答：解：根据题意，若M ∩N=N，则N⊆M，做出图示如图，分析可得，必有，故选C．点评：本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题．2．（4分）（2007•奉贤区一模）函数y=1+的图象是（）A．B ．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：把函数y=的图象先经过左右平移得到y=的图象，再经过上下平移得到y=+1的图象．解答：解：将函数y=的图象向右平移1个单位，得到y=的图象，再把y=的图象向上平移一个单位，即得到y=+1的图象，故选A．点评：本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．3．（4分）函数y=4sin（3x+）+3cos（3x+）的最小正周期是（）A．6πB．2πC．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=可得到答案．解答：解：∵y=4sin（3x+）+3cos（3x+）=5sin（3x++φ）（其中sinφ=，cosφ=）∴T=故选C．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=确定结果．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．2πa2D．3πa2考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知R2=a2，即R2=a2，∴S球=4πR2=4π•a2=．故选B点评：本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．5．（4分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析：由直线斜率（倾斜角的正切值）的定义和正切函数的单调性可得．解答：解：直线l1的倾斜角是钝角，则斜率k1＜0；直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2，故选D．点评：本题考查直线斜率和图象的关系．6．（4分）（2008•湖南）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．207考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将多项式展开，转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为5，2求出二项展开式的系数．解答：解：（1﹣x3）（1+x）10=（1+x）10﹣x3（1+x）10∴（1﹣x3）（1+x）10展开式的x5的系数是（1+x）10的展开式的x5的系数减去（1+x）10的x2的系数∵（1+x）10的展开式的通项为T r+1=C10r x r令r=5，2得（1+x）10展开式的含x5的系数为C105；展开式的含x2的系数为C102C105﹣C102=252﹣45=207故选项为D点评：本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1，0）考点：反三角函数的运用．专题：计算题；转化思想．分析：注意arcsinx、arccosx的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性质，化简不等式，反三角函数的定义域，然后求解即可．解答：解：因为arcsinx＞arccosx 所以sin（arcsinx）＞sin（arccosx）即：x＞，且x∈[0，1]，所以解得x∈故选B．点评：本题考查反三角函数的运用，注意函数的定义域，是基础题．8．（4分）（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．解答：解：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理得．故选C．点评：把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．9．（4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ，所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解答：解：∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，∵∴∵角是第三象限角，∴sin2θ=，故选A点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．10．（4分）（2014•市中区二模）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．解答：解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．11．（5分）（2012•荆州模拟）函数y=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：a＞0⇒2﹣ax在[0，1]上是减函数由复合函数的单调性可得a＞1，在利用对数函数的真数须大于0可解得a的取值范围．解答：解：∵a＞0，∴2﹣ax在[0，1]上是减函数．∴y=log a u应为增函数，且u=2﹣ax在[0，1]上应恒大于零．∴∴1＜a＜2．故答案为：C．点评：本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相反，复合在一起为减函数．12．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n与T n，若，则等于（）A．1B．C．D．考点：等差数列的前n项和；极限及其运算．专题：压轴题．分析：利用等差数列的性质求得，再求极限．解答：解：∵=∴故选C点评：本题主要考查等差数列的性质的运用．13．（5分）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，分2步进行，首先分析个位数字，要求是偶数，则其个位数字为2或4，有2种情况，进而分析百位、十位，将剩下的4个数字，任取2个，分配在百位、十位即可，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求是偶数，则其个位数字为2或4，有2种情况，将剩下的4个数字，任取2个，分配在百位、十位，有A42=12种情况，由分步计数原理，可得共2×12=24个，故选A．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意题目中要求是偶数，要优先分析个位数字．14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程，只要求出几何量p即可，从而确定它们的极坐标方程．解答：解：∵椭圆的极坐标方程，p即椭圆的焦点到相应准线的距离，∴，∴椭圆的极坐标方程是：．故填：D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．15．（5分）（2010•内江二模）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．解答：解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜4}．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式，利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解答：解：不等式，化为所以有指数函数的性质可知：x2﹣8＜2x解得：x|﹣2＜x＜4故答案为：x|﹣2＜x＜4点评：本题考查指数函数的性质，二次不等式的解法，是基础题．17．（4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可．解答：解：设球的半径为2，由题意可得圆台上底面半径为1，圆台的高为，所以圆台的体积是：球的体积：圆台的体积与球体积之比为：故答案为：点评：本题考查球的体积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（4分）（2012•许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．解答：解：y=sin（x﹣）cosx=（sinx﹣cosx）cosx=sinxcosx﹣cos2x=（cos2x+1）=﹣∴y=sin（x﹣）cosx的最小值为：故答案为：﹣．点评：本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．19．（4分）（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先把抛物线方程整理成标准方程，可得焦点坐标．进而可得l被抛物线截得的线段长，进而求得a．解答：解：抛物线方程整理得x2=y，焦点（0，）l被抛物线截得的线段长即为通径长，故=4，a=；故答案为．点评：本题主要考查抛物线的应用，属基础题．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解答：解：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法．故答案为144．点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O （其中O是原点），已知Z 2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答：本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1，z3，依题设得====点评：采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．解答：解：原式====点评：本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．23．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．考点：平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB，根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可证得线面垂直；（2）点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABCD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可．解答：（1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．∵EB⊂平面ABE，∴DA⊥EB．∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．∵AF⊂平面DAE，∴EB⊥AF．又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．∵DB⊂平面DEB，∴AF⊥DB．（2）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．又DH⊂平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，．由V圆柱：V D﹣ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，DH=∴∠EDH=arcctg=arcctg（/5），点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）（x≥8，t≥0），Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；压轴题．分析：本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Q得到方程，当根的判别式≥0时，方程有解，求出解可得函数．然后△≥0，原题t≥0，8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围，联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于10元，得x≤10，求出t的取值范围．解答：解：（1）依题设有1000（x+t﹣8）=500，化简得5x2+（8t﹣80）x+（4t2﹣64t+280）=0．当判别式△=800﹣16t2≥0时，可得x=8﹣±．由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：①②解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为[0，]．（2）为使x≤10，应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0．解得t≥1或t≤﹣5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．点评：本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．25．（12分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．（1）证明；（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前n项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）设{a n}的公比为q，当q=1时根据S n•S n+2﹣S n+12求得结果小于0，不符合；当q≠1时利用等比数列求和公式求得S n•S n+2﹣S n+12＜0，进而推断S n•S n+2，＜S n+12．根据对数函数的单调性求得lg（S n•S n+2）＜lgS n+12，原式得证．（2）要使．成立，则有进而分两种情况讨论当q=1时根据（S n﹣c）（S n+2﹣c）=（S n+1﹣c）2求得﹣a12＜0不符合题意；当q≠1时求得（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣（S n+1﹣c）2=﹣a1q n[a1﹣c（1﹣q）]，进而推知a1﹣c（1﹣q）=0，判断出0＜q＜1，但此时不符合题意，最后综合可得结论．解答：（1）证明：设{a n}的公比为q，由题设a1＞0，q＞0．（i）当q=1时，S n=na1，从而S n•S n+2﹣S n+12=na1•（n+2）a1﹣（n+1）2a12=﹣a12＜0（ⅱ）当q≠1时，，从而S n•S n+2﹣S n+12==﹣a12q n＜0．由（i）和（ii）得S n•S n+2，＜S n+12．根据对数函数的单调性，知lg（S n•S n+2）＜lgS n+12，即．（2）解：不存在．要使．成立，则有分两种情况讨论：（i）当q=1时，（S n﹣c）（S n+2﹣c）=（S n+1﹣c）2=（na1﹣c）[（n+2）a1﹣c]﹣[（n+1）a1﹣c]2=﹣a12＜0．可知，不满足条件①，即不存在常数c＞0，使结论成立．（ii）当q≠1时，若条件①成立，因为（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣（S n+1﹣c）2==﹣a1q n[a1﹣c（1﹣q）]，且a1q n≠0，故只能有a1﹣c（1﹣q）=0，即此时，因为c＞0，a1＞0，所以0＜q＜1．但0＜q＜1时，，不满足条件②，即不存在常数c＞0，使结论成立．综合（i）、（ii），同时满足条件①、②的常数c＞0不存在，即不存在常数c＞0，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．26．（12分）已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质；曲线与方程．专题：计算题；压轴题．分析：先设三个点P、R、Q的坐标分别为（x P，y P），（x R，y R），（x，y），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件|OQ|•|OP|=|OR|2，将三点的坐标代入，最终得到关于x，y的方程即为所求．解答：解：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为（x P，y P），（x R，y R），（x，y），其中x，y不同时为零．当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组解得由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组．解得当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．由题设|OQ|•|OP|=|OR|2，得将①～④代入上式，化简整理得因x与x p同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0，故点Q的轨迹方程为（其中x，y不同时为零）．所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．。
1995全国高考理科数学试题
1995年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知I 为全集，集合M ，N ⊂I ，若M ∩N =N ，则 ( )(A) N M ⊇ (B) N M ⊆(C) N M ⊆(D) N M ⊇2．函数y =11+-x 的图像是 ( )3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4π)的最小正周期是 ( )(A) 6π(B) 2π(C) 32π (D)3π 4．正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 ( )(A)32a π (B)22a π(C) 2πa 2 (D) 3πa 25．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) (A) k 1<k 2<k 3 (B) k 3< k 1< k 2 (C) k 3< k 2< k 1(D) k 1< k 3< k 26．在(1－x 3)(1+x )10的展开式中，x 5的系数是 ( ) (A) －297(B) －252(C) 297(D) 2077．使arcsin x >arccos x 成立的x 的取值范围是 ( )(A) ⎥⎦⎤⎝⎛220，(B) ⎥⎦⎤⎝⎛122， (C)⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-221，(D) [)01，- 8．双曲线3x 2－y 2=3的渐近线方程是 ( )(A) y =±3x(B) y =±31x (C) y =±3x(D) y =±33x 9．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于 ( )(A)322 (B) 322-(C)32 (D) 32-10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的两个命题是 ( )(A) ①与②(B) ③与④(C) ②与④(D) ①与③11．已知y =log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 ( ) (A) (0，1)(B) (1，2)(C) (0，2)(D) [)∞+，212．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，若132+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 等于( )(A) 1(B) 36(C)32 (D)94 13．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共( ) (A) 24个(B) 30个(C) 40个(D) 60个14．在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c ，0)，离心率为e ，则它的极坐标方程是( )(A) ()θρcos 11e e c --= (B) ()θρcos 112e e c --=(C) ()θρcos 11e e c --= (D) ()()θρcos 112e e e c --=15．如图，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是( )(A) 1030(B)21 (C)1530 (D)1015第Ⅱ卷(非选择题，共85分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上)16．不等式x x 283312-->⎪⎭⎫ ⎝⎛的解集是__________17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为_____________18．函数y =sin(x －6π)cos x 的最小值是____________ 19．直线l 过抛物线y 2=a (x +1)(a >0)的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a =20．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 __________种(用数字作答)三、解答题(本大题共6小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)21．(本小题满分7分)在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1，Z 2，Z 3，O (其中O 是原点)，已知Z 2对应复数i Z 312+=．求Z 1和Z 3对应的复数．22．(本小题满分10分)求sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°的值． 23．(本小题满分12分)如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足．(1)求证：AF ⊥DB ；(2)如果圆柱与三棱锥D －ABE 的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABCD 所成的角．24．(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克．根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系：P =1000(x +t －8)( x ≥8，t ≥0)， Q =500()2840--x (8≤x ≤14)．当P =Q 时市场价格称为市场平衡价格．(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域； (2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元? 25．(本小题满分12分)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和． (1)证明12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ；(2)是否存在常数c >0，使得()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg 成立?并证明你的结论．26．(本小题满分12分) 已知椭圆1162422=+y x ，直线1812:=+yx l ．P 是l 上点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B8．C9 . A10．D 11．B12．C13．A14．D15．A二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)16．{x |－2<x <4} 17．3237 18． 43- 19．4 20．144三、解答题21．本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力． 解：设Z 1，Z 3对应的复数分别为z 1，z 3，依题设得 ]4sin 4[cos 2121⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππi z z ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=i i 22223121i 213213-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 4cos 2123ππi z z=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++i i 22223121i 231231++-=22．本小题主要考查三角恒等式和运算能力． 解： 原式()()︒︒+︒++︒-=50cos 20sin 100cos 12140cos 121()()︒-︒+︒-︒+=30sin 70sin 2140cos 100cos 211︒+︒︒-=70sin 2130sin 70sin 43 43= 23．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力． (1)证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ． ∵EB ⊂平面ABE ， ∴DA ⊥EB ．∵AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴AE ⊥EB ，又AE ∩AD =A ， 故得EB ⊥平面DAE ． ∵AF ⊂平面DAE ， ∴EB ⊥AF ．又AF ⊥DE ，且EB ∩DE =E ， 故得AF ⊥平面DEB ． ∵DB ⊂平面DEB ， ∴AF ⊥DB ．(2)解：过点E 作EH ⊥AB ，H 是垂足，连结DH ．根据圆柱性质，平面ABCD ⊥平面ABE ，AB 是交线．且EH 平面ABE ，所以EH ⊥平面ABCD ．又DH平面ABCD ，所以DH 是ED 在平面ABCD 上的射影，从而∠EDH 是DE 与平面ABCD 所成的角．设圆柱的底面半径为R ，则DA =AB =2R ，于是 V 圆柱=2πR 3，.32312EH R S AD V ABE ABED ⋅=⋅=∆- 由V 圆柱：V D －ABE =3π，得EH =R ，可知H 是圆柱底面的圆心，AH =R ，DH=R AH DA 522=+ ∴∠EDH =arcctgEHDH=arcctg 5，24．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．解：(1)依题设有1000(x +t －8)=500()2840--x ，化简得 5x 2+(8t －80)x +(4t 2－64t +280)=0． 当判别式△=800－16t 2≥0时， 可得 x =8－t 54±25052t -． 由△≥0，t ≥0，8≤x ≤14，得不等式组：① ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≤≤≤14505254885002t t t ② ⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤≤≤14505254885002t t t 解不等式组①，得0≤t ≤10，不等式组②无解．故所求的函数关系式为25052548t t x -+-=函数的定义域为[0，10]． (2)为使x ≤10，应有82505254t t -+-≤10 化简得 t 2+4t －5≥0．解得t ≥1或t ≤－5，由t ≥0知t ≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．25．本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．(1)证明：设{a n }的公比为q ，由题设a 1>0，q >0． (i)当q =1时，S n =na 1，从而S n ·S n +2－21+n S =na 1·(n +2)a 1－(n +1)221a=－21a <0(ⅱ)当q ≠1时，()qq a S nn --=111，从而S n ·S n +2－21+n S ()()()()()22121222111111q q a q q q a n n n ------=++=021<-nq a ．由(i)和(ii)得S n ·S n +2－21+n S ．根据对数函数的单调性，知 lg(S n ·S n +2)<lg 21+n S ， 即12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ．(2)解：不存在． 证明一：要使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ．成立，则有⎩⎨⎧>--=--++.0,)())((212c S c S c S c S nn n n 分两种情况讨论： (i)当q =1时，(S n —c )( S n +2—c ) =( S n +1—c )2 =(na 1－c )[(n +2)a 1－c ]－[(n +1)a 1－c ]2 =21a - <0．可知，不满足条件①，即不存在常数c >0，使结论成立． (ii)当q ≠1时，若条件①成立，因为 (S n —c )( S n +2—c )－( S n +1—c )2=()()()211211111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++c q q a c q q a c q q a n n n =－a 1q n [a 1－c (1－q )]，① ② ③ ④且a 1q n ≠0，故只能有a 1－c (1－q )=0，即qa c -=11此时，因为c >0，a 1>0，所以0<q <1．但0<q <1时，01111<--=--qq a q a S nn ，不满足条件②，即不存在常数c >0，使结论成立．综合(i)、(ii)，同时满足条件①、②的常数c >0不存在，即不存在常数c >0，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ．证法二：用反证法，假设存在常数c >0，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-++++.)())((,0,0021221c S c S c S c S c S c S n n nn n n ， 由④得S n S n +2－21+n S =c (S n + S n +2－2 S n +1)． ⑤ 根据平均值不等式及①、②、③、④知S n + S n +2－2 S n +1=(S n —c )+( S n +2—c )－2(S n +1—c ) ≥2()()c S c S n n --+2－2( S n +1—c )=0．因为c >0，故⑤式右端非负，而由(1)知，⑤式左端小于零，矛盾．故不存在常数c >0，使()()2lg lg 2c S c S n n -+-+=lg( S n +1—c )26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．解法一：由题设知点Q 不在原点．设P 、R 、Q 的坐标分别为(x P ，y P )，(x R ，y R )，(x ，y )，其中x ，y 不同时为零．当点P 不在y 轴上时，由于点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+x y x y y x RR RR 1162422 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y y y x x x R R 由于点P 在直线l 上及点O 、Q 、P 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy x yy x p p pp 1812 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x y y y x x x p p 32243224当点P 在y 轴上时，经验证①－④式也成立． 由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得()2222222RRPP yxy x y x +=+⋅+将①－④代入上式，化简整理得()()()22222222232483224y x y x y x y x ++=++ 因x 与x p 同号或y 与yp 同号，以及③、④知2x +3y >0，故点Q 的轨迹方程为()()135125122=-+-y x (其中x ，y 不同时为零)．所以点Q 的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为210和315且长轴与x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点． 解法二：由题设知点Q 不在原点．设P ，R ，Q 的坐标分别为(x p ，y p )，(x R ，y R )，(x ，y )，其中x ，y 不同时为零．设OP 与x 轴正方向的夹角为α，则有x p =|OP |cos α，y p =|OP |sin α；x R =|OR |cos α，y R =|OR |sin α；x =|OQ |cos α，y =|OQ |sin α；由上式及题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====,,,,2222y OQ OP y x OQ OP x y OQ OP y x OQ OP x R RP P 由点P 在直线l 上，点R 在椭圆上，得方程组1812=+P P y x ， ⑤ 1162422=+R R y x ， ⑥ 将①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得点Q 的轨迹方程为()()135125122=-+-y x (其中x ，y 不同时为零)．所以点Q 的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为210和315且长轴与x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点．。
1995年全国高中数学联赛试题及解答
1995年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1． 设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13且a 1>0，S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( ) (A )S 10 (B )S 11 (C )S 20 (D ) S 212． 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z 1，Z 2，…，Z 20，则复数Z 19951 ，Z 19952 ，…，Z 199520 所对应的不同的点的个数是( )(A )4 (B )5 (C )10 (D )203． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A )1个 (B )2个 (C )50个 (D )100个4． 已知方程|x －2n |=k x (n ∈N *)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )(A )k >0 (B )0<k ≤12n +1(C )12n +1<k ≤12n +1(D )以上都不是5． log sin1cos1，log sin1tan1，log cos1sin1，log cos1tan1的大小关系是 (A ) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1 (B ) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1 (C ) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1cos1 (D ) log cos1tan1< log sin1tan1< log sin1cos1< log cos1sin16． 设O 是正三棱锥P —ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与P A ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和式1PQ +1PR +1PS(A )有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值(C )既有最大值又有最小值，两者不等 (D )是一个与面QPS 无关的常数 二、填空题(每小题9分，共54分)1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且αβ2为实数，则|α|= ．2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 ．3． 用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是 ． 4． 直角坐标平面上，满足不等式组⎩⎨⎧y ≤3x ，y ≥x3， x +y ≤100的整点个数是 ．5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 ．6． 设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x ∈A 时，15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是 ．第二试一、(25分) 给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．二、(25分) 求一切实数p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三个根均为正整数．三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。
1995年全国高考数学(理科)试题
1995年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学)一、选择题(本大题共15小题:第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知I 为全集,集合,M N I ⊆,若MN N =,则A.()()I U C M C N ⊇B.()U M C N ⊆C.()()I U C M C N ⊆D.()I U C M C N ⊇ 2.函数1y x =-+的图像是3.函数4sin(3)3cos(3)44y x x ππ=+++的最小正周期是A.6πB.2πC.23πD. 3π4.正方体的全面积是2a ,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是 A.23a π B.22a π C.22a π D.23a π5.若图中的直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ,则 A.123k k k << B.312k k k << C.321k k k << D.132k k k <<6.在310(1)(1)x x -+的展开式中,5x 的系数是DA.-297B.-252C.297D.207 7.使arcsin arccos x x >成立的x 的取值范围是A.B.C. [-D. [)1,0- 8.双曲线2233x y -=的渐近线方程是A.3y x =±B.13y x =±C.y =D.y x = 9.已知θ是第三象限角，且445sin cos 9θθ+=，那么sin 2θ等于B. C.23 D.23- 10.已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,有下面四个命题: ①α∥βl m ⇒⊥ ②l αβ⊥⇒∥m ③l ∥m αβ⇒⊥ ④l m ⊥⇒α∥β,其中正确的两个命题是A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③ 11.已知log (2)a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数,则a 的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[)2,+∞ 12.等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,若231n n S nT n =+,则lim n n na b →∞等于A.123 D.4913.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有 A.24 B.30 C.40 D.6014.在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2,0)c ,离心率为e ,则它的极坐标方程是A.(1)1cos c e e ρθ-=- B.2(1)1cos c e e ρθ-=- C.(1)(1cos )c e e e ρθ-=- D.2(1)(1cos )c e e e ρθ-=-15.如图,111A B C ABC -是直三棱柱, 90BCA =,点11,D F 分别是11A B ,11A C 的中点,若1BC CA CC ==,则1BD 与1AF 所成的角的余弦值是12二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在题中横线上)16.不等式2821()33x x -->的解集是 .17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与求的体积之比为 .18.函数sin()cos 6y x x π=-的最小值为 .19.直线l 过抛物线2(1)(0)y a x a =+>的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则a = .20.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有 种(用数字作答).三、解答题(本大题共6小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)21.(本小题满分7分)在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为123,,,Z Z Z O ,（其中O 为原点），已知2Z对应的复数21z =，求1Z 和3Z 对应的复数. 22.(本小题满分10分)求22sin 20cos 50sin 20cos50++的值. 23.(本小题满分12分)如图,圆柱的轴截面ABCD 是正方形,点E 在底面的ABCA 1B 1D 1F 1圆周上，AF DE ⊥,F 是垂足. （Ⅰ）求证：AF DB ⊥；（Ⅱ）如果圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π,求直线DE 与平面ABCD 所成的角. 24.(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x 元/千克,政府补贴为t 元/千克.根据市场调查,当814x ≤≤时,淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系:1000(8)(8,0)P x t x t =+-≥≥,14)Q x =≤≤当P Q =时市场价格称为市场平衡价格.（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域; （Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元? 25.(本小题满分12分)设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项和.（Ⅰ）证明：21lg lg lg 2n n n S S S +++<；（Ⅱ）是否存在常数0c >，使得21lg()lg()lg()2n n n S c S c S c ++-+-<-成立?并证明你的结论.26.(本小题满分12分)已知椭圆2212416x y +=，直线:l 1128x y+=.P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ,又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=.当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线.Q。
1995全国高考理科数学试题
1995年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知I 为全集，集合M ，N ⊂I ，若M ∩N =N ，则 ( )(A) N M ⊇ (B) N M ⊆(C) N M ⊆(D) N M ⊇2．函数y =11+-x 的图像是 ( )3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4π)的最小正周期是 ( )(A) 6π(B) 2π(C) 32π (D) 3π 4．正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 ( )(A)32a π(B)22a π(C) 2πa 2 (D) 3πa 25．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )(A) k 1<k 2<k 3 (B) k 3< k 1< k 2 (C) k 3< k 2< k 1(D) k 1< k 3< k 26．在(1－x 3)(1+x )10的展开式中，x 5的系数是 ( )(A) －297(B) －252(C) 297(D) 2077．使arcsin x >arccos x 成立的x 的取值范围是( )(A) ⎥⎦⎤ ⎝⎛220， (B) ⎥⎦⎤⎝⎛122， (C)⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-221， (D) [)01，- 8．双曲线3x 2－y 2=3的渐近线方程是 ( )(A) y =±3x(B) y =±31x(C) y =±3x(D) y =±33x 9．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于 ( )(A)322 (B) 322-(C)32 (D) 32-10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的两个命题是 ( )(A) ①与②(B) ③与④(C) ②与④(D) ①与③11．已知y =log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 ( ) (A) (0，1)(B) (1，2)(C) (0，2)(D) [)∞+，212．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，若132+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 等于 ( )(A) 1 (B) 36(C)32 (D)94 13．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共( ) (A) 24个(B) 30个(C) 40个(D) 60个14．在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c ，0)，离心率为e ，则它的极坐标方程是( )(A) ()θρcos 11e e c --= (B) ()θρcos 112e e c --=(C) ()θρcos 11e e c --= (D) ()()θρcos 112e e e c --=15．如图，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是( )(A)1030(B)21 (C)1530 (D)1015第Ⅱ卷(非选择题，共85分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上)16．不等式x x 283312-->⎪⎭⎫⎝⎛的解集是__________17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为_____________18．函数y =sin(x －6π)cos x 的最小值是____________ 19．直线l 过抛物线y 2=a (x +1)(a >0)的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a =20．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 __________种(用数字作答)三、解答题(本大题共6小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)21．(本小题满分7分)在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1，Z 2，Z 3，O (其中O 是原点)，已知Z 2对应复数i Z 312+=．求Z 1和Z 3对应的复数．22．(本小题满分10分)求sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°的值． 23．(本小题满分12分)如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足．(1)求证：AF ⊥DB ；(2)如果圆柱与三棱锥D －ABE 的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABCD 所成的角．24．(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克．根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系：P =1000(x +t －8)( x ≥8，t ≥0)， Q =500()2840--x (8≤x ≤14)．当P =Q 时市场价格称为市场平衡价格．(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域； (2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元? 25．(本小题满分12分)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和． (1)证明12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ；(2)是否存在常数c >0，使得()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg 成立?并证明你的结论．26．(本小题满分12分)已知椭圆1162422=+y x ，直线1812:=+yx l ．P 是l 上点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1．C 2．B3．C4．B5．D6．D7．B8．C9 . A10．D 11．B 12．C 13．A 14．D 15．A二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)16．{x |－2<x <4} 17．3237 18． 43- 19．4 20．144三、解答题21．本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力． 解：设Z 1，Z 3对应的复数分别为z 1，z 3，依题设得]4sin 4[cos 2121⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππi z z ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=i i 22223121i 213213-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 4cos 2123ππi z z=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++i i 22223121i 231231++-=22．本小题主要考查三角恒等式和运算能力．解： 原式()()︒︒+︒++︒-=50cos 20sin 100cos 12140cos 121()()︒-︒+︒-︒+=30sin 70sin 2140cos 100cos 211︒+︒︒-=70sin 2130sin 70sin 43 43= 23．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力． (1)证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ． ∵EB ⊂平面ABE ， ∴DA ⊥EB ．∵AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴AE ⊥EB ，又AE ∩AD =A ， 故得EB ⊥平面DAE ． ∵AF ⊂平面DAE ， ∴EB ⊥AF ．又AF ⊥DE ，且EB ∩DE =E ， 故得AF ⊥平面DEB ． ∵DB ⊂平面DEB ， ∴AF ⊥DB ．(2)解：过点E 作EH ⊥AB ，H 是垂足，连结DH ．根据圆柱性质，平面ABCD ⊥平面ABE ，AB 是交线．且EH 平面ABE ，所以EH ⊥平面ABCD ．又DH 平面ABCD ，所以DH 是ED 在平面ABCD 上的射影，从而∠EDH 是DE 与平面ABCD 所成的角．设圆柱的底面半径为R ，则DA =AB =2R ，于是V 圆柱=2πR 3，.32312EH R S AD V ABE ABED ⋅=⋅=∆- 由V 圆柱：V D －ABE =3π，得EH =R ，可知H 是圆柱底面的圆心，AH =R ，DH=R AH DA 522=+ ∴∠EDH =arcctgEHDH=arcctg 5， 24．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．解：(1)依题设有1000(x +t －8)=500()2840--x ，化简得 5x 2+(8t －80)x +(4t 2－64t +280)=0． 当判别式△=800－16t 2≥0时，可得 x =8－t 54±25052t -．由△≥0，t ≥0，8≤x ≤14，得不等式组：① ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≤≤≤14505254885002t t t ② ⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤≤≤14505254885002t t t 解不等式组①，得0≤t ≤10，不等式组②无解．故所求的函数关系式为25052548t t x -+-=函数的定义域为[0，10]． (2)为使x ≤10，应有82505254t t -+-≤10 化简得 t 2+4t －5≥0．解得t ≥1或t ≤－5，由t ≥0知t ≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．25．本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．(1)证明：设{a n }的公比为q ，由题设a 1>0，q >0． (i)当q =1时，S n =na 1，从而S n ·S n +2－21+n S=na 1·(n +2)a 1－(n +1)221a =－21a <0(ⅱ)当q ≠1时，()qq a S nn --=111，从而S n ·S n +2－21+n S()()()()()22121222111111q q a q q q a n n n ------=++=021<-n q a ．由(i)和(ii)得S n ·S n +2－21+n S ．根据对数函数的单调性，知 lg(S n ·S n +2)<lg 21+n S ， 即12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ．(2)解：不存在． 证明一：要使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ．成立，则有⎩⎨⎧>--=--++.0,)())((212c S c S c S c S n n n n 分两种情况讨论： (i)当q =1时，(S n —c )( S n +2—c ) =( S n +1—c )2=(na 1－c )[(n +2)a 1－c ]－[(n +1)a 1－c ]2 =21a - <0．可知，不满足条件①，即不存在常数c >0，使结论成立． (ii)当q ≠1时，若条件①成立，因为 (S n —c )( S n +2—c )－( S n +1—c )2=()()()211211111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++c q q a c q q a c q q a n n n =－a 1q n [a 1－c (1－q )]，且a 1q n ≠0，故只能有a 1－c (1－q )=0，即qa c -=11此时，因为c >0，a 1>0，所以0<q <1．但0<q <1时，01111<--=--qq a q a S nn ，不满足条件②，即不存在常数c >0，使结论成立． 综合(i)、(ii)，同时满足条件①、②的常数c >0不存在，即不存在常数c >0，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ．证法二：用反证法，假设存在常数c >0，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-++++.)())((,0,0021221c S c S c S c S c S c S n n n n n n ， 由④得S n S n +2－21+n S =c (S n + S n +2－2 S n +1)． ⑤ 根据平均值不等式及①、②、③、④知S n + S n +2－2 S n +1=(S n —c )+( S n +2—c )－2(S n +1—c ) ≥2()()c S c S n n --+2－2( Sn +1—c )=0．因为c >0，故⑤式右端非负，而由(1)知，⑤式左端小于零，矛盾．故不存在常数c >0，使()()2lg lg 2c S c S n n -+-+=lg( S n +1—c )26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．解法一：由题设知点Q 不在原点．设P 、R 、Q 的坐标分别为(x P ，y P )，(x R ，y R )，(x ，y )，其中x ，y 不同时为零．当点P 不在y 轴上时，由于点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+x y x y y x RR RR 1162422 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y y y x x x R R 由于点P 在直线l 上及点O 、Q 、P 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy x yy x p p pp 1812 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x yy y x x x pp 32243224 当点P 在y 轴上时，经验证①－④式也成立． 由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得()2222222R R P P y xy x y x +=+⋅+将①－④代入上式，化简整理得③①②()()()22222222232483224y x y x y x y x ++=++ 因x 与x p 同号或y 与yp 同号，以及③、④知2x +3y >0，故点Q 的轨迹方程为 ()()135125122=-+-y x (其中x ，y 不同时为零)．所以点Q 的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为210和315且长轴与x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点． 解法二：由题设知点Q 不在原点．设P ，R ，Q 的坐标分别为(x p ，y p )，(x R ，y R )，(x ，y )，其中x ，y 不同时为零．设OP 与x 轴正方向的夹角为α，则有x p =|OP |cos α，y p =|OP |sin α；x R =|OR |cos α，y R =|OR |sin α；x =|OQ |cos α，y =|OQ |sin α；由上式及题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====,,,,2222y OQ OP y x OQ OP x y OQ OP y x OQ OP x R RP P 由点P 在直线l 上，点R 在椭圆上，得方程组1812=+P P y x ， ⑤ 1162422=+R R y x ， ⑥将①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得点Q 的轨迹方程为()()135125122=-+-y x (其中x ，y 不同时为零)．所以点Q 的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为210和315且长轴与x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点．。
高中数学历届全国高中数学联赛一试解析版
19 1999 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 97
20 2000 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 102
21 2001 年全国高数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 107
和 AB′ 相交的直线有 4 条，共面 (相交或平行)
C. 24
的直线有 2 条，与其异面的直线有 5 条：
CD′, DA′, BC′, BD, A′C′.
于是异面直线的对数为 12 ·5 2
= 30. 所以选
A.
D. 48
6. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N . M 是由 y ⩾ 0, y ⩽ x 和 y ⩽ 2 − x 这三个
7 1987 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 33
8 1988 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 37
9 1989 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 42
解答
S△ABC =
1 2 ab
sin C
⇒ C1 =Biblioteka C2 或C1 = π
− C2，于是甲
⇏
乙，乙
⇒
甲.
甲是乙的必要条件，所以选 B.
2. 条件甲：√1 + sin θ = a；条件乙：sin θ + cos θ = a. 则
2
2
()
A. 甲是乙的充分必要条件
B. 甲是乙的必要条件
C. 甲是乙的充分条件
1995年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
1995年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
1995*1、设等差数列{}n a 满足13853a a =且01>a ，n S 为其前项之和，则n S 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C.20S D. 21S ◆答案：C★解析：不妨设等差数列{}n a 的首项为a ，公差为d ，由题设得()()d a d a 12573+=+，即a d 392-=，则由()01392≥--=n a a a n ，03921<-=+an a a n ，得20=n 。
选C ．1995*2、设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为2021,,,z z z ，则复数1995201995219951,,,z z z 所对应的不同的点的个数是( )A.4B.5C.10D.20 ◆答案：A★解析：设θθsin cos 1i z +=，则11-⨯=k k z z ε，其中10sin10cosππεi +=．显然i i =-=-==5101520,1,,1εεεε．∴ ()()()()11199519951995sin 1995cos 1995sin 1995cos ---+=⨯+=k k ki i i z θθεθθ．∴ 共有4个值．选A ．1995*3、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) A.1个 B.2个 C. 50个 D. 100个 ◆答案：D★解析：把身高按从高到矮排为100~1号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D ．1995*4、 若方程x k n x =-2()N n ∈在区间(]12,12+-n n 上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )A.0>kB.1210+≤<n kC.121121+≤<+n k n D.以上都不是 ◆答案：B★解析：由02≥-n x ，故0≥k ，若0=k ，可知在所给区间上只有1解．故0>k ． 由图象可得，12+=n x 时，1≤x k ．即121+≤n k ．故选B ． 又解：()22n x y -=与线段x k y 2= (1212+≤<-n x n )有两个公共点．即方程04)4(222=++-n x k n x 在(]12,12+-n n 上有两个不等实根．故0>∆．且()()0412)4(12222>+-+--n n k n n ，且()()0412)4(12222≥+++-+n n k n n ，且12212122+<+<-n k n n ．解得121+≤n k ．1995*5、1cos log 1sin ，1tan log 1sin ，1sin log 1cos ，1tan log 1cos 的大小关系是( ) A. 1cos log 1sin <<1sin log 1cos 1tan log 1sin 1tan log 1cos < B. <1sin log 1cos <1tan log 1cos <1cos log 1sin 1tan log 1sin C. 1tan log 1sin <<1tan log 1cos <1sin log 1cos 1cos log 1sin D. 1tan log 1cos 1tan log 1sin <1cos log 1sin <1sin log 1cos < ◆答案：C ★解析：因为214ππ<<，故1tan 11sin 1cos 0<<<<．所以01tan log 1sin <，01tan log 1cos <，01cos log 1sin >，01sin log 1cos >，设a =1cos log 1sin ，则得()1sin 1cos 1sin <=a，所以1>a ；b =1sin log 1cos ，则()1cos 1sin 1cos >=b，所以10<<b ；即<1sin log 1cos 1cos log 1sin ．设c =1tan log 1sin ，d =1tan log 1cos ，则得()()1tan 1cos 1sin ==dc，(结合指数函数图象进行比较)，d c <．即1tan log 1sin 1tan log 1cos <.故选C ．1995*6、 设O 是正三棱锥ABC P -底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和式PSPR PQ 111++（ ） A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.既有最大值又有最小值，两者不等 D.是一个与面QPS 无关的常数 ◆答案：D★解析：O 到面PCA PBC PAB ,,的距离相等．设α=∠APB ，则()αsin 61PQ PS PS PR PR PQ d V PQRS ⋅+⋅+⋅=．(其中d 为O 与各侧面的距离)． 又θαsin sin 61PS PR PQ V PQRS ⋅⋅=．(其中θ为PS 与面PQR 的夹角)∴()θsin PS PR PQ PQ PS PS PR PR PQ d ⋅⋅=⋅+⋅+⋅． ∴dPS PR PQ θsin 111=++为定值．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。
1995年全国高中数学联赛1试2试试题
一九九五第一试一、选择题本题共有6个小题，每小题给出了（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母填入题后圆括号内。
1．设等差数列｛a n ｝满足3a 8=5a 13且a 1>0,S n 为其前n 项之和，则S n (n ∈N)中最大的是（A ）S 10 ； （B ）S 11； （C ）S 20； （D ）S 21。
答（ ）2．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z 1，Z 2，…，Z 20，则复数1995201995219951,,,Z Z Z 所对应的不同的点的个数是 （A ）4； （B ）5； （C ）10； （D ）20。
答（ ）3．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙。
在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子。
那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（A ）1个； （B ）2个； （C ）50个； （D ）100个。
答（ ）4．已知方程)(2N n x k n x ∈=-在区间（2n -1，2n +1﹞上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是（A ）k >0； （B ）1210+≤<n k（C ）121121+≤<+n k n （D ）以上都不是。
答（ ）5．log sin1cos1,log sin1tg1,log cos1sin1,log cos1tg1的大小关系是1sin log 1cos log 1log 1log )(;1cos log 1sin log 1log 1log )(;1log 1cos log 1log 1sin log )(;1log 1log 1sin log 1cos log )(1cos 1sin 1sin 1cos 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1sin 1cos 1cos 1cos 1sin 1cos 1sin <<<<<<<<<<<<tg tg D tg tg C tg tg B tg tg A答（ ）6．设O 是正三棱锥P -ABC 底面ΔABC 的中心，过O 的动平面与P -ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q ，R ，S ，则和式PSPR PQ 111++ （A ）有最大值而无最小值；（B ）有最小值而无最大值；（C ）既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等；（D ）是一个与平面QRS 位置无关的常量。
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷(理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5，满分65分)1．（4分）已知I为全集，集合M,N⊂I,若M∩N=N，则（)A．B．C．D．2．（4分)（2007•奉贤区一模)函数y=1+的图象是（)A．B．C．D．3．（4分)函数y=4sin（3x+）+3cos(3x+）的最小正周期是(）A．6πB．2πC．D．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．2πa2D．3πa25．(4分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k26．(4分)(2008•湖南）在(1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．2077．（4分)使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是(）A．B．C．D．[﹣1,0)8．（4分）（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x9．（4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于() A．B．C．D．10．（4分)(2014•市中区二模）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④11．（5分)(2012•荆州模拟）函数y=log a（2﹣ax）在［0，1］上是减函数,则a的取值范围是（）A．（0,1）B．（0,2）C．(1,2）D．(2，+∞）12．(5分）等差数列{a n｝，｛b n｝的前n项和分别为S n与T n，若，则等于（）A．1B．C．D．13．（5分）用1,2，3，4，5这五个数字,组成没有重复数字的三位数，其中偶数共()A．24个B．30个C．40个D．60个14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是（)A．B．C．D．15．（5分)(2010•内江二模)如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（)A．B．C．D．二、填空题(共5小题，每小题4分，满分20分)16．（4分)不等式的解集是_________．17．（4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为_________．18．（4分)（2012•许昌二模）函数y=sin(x﹣）cosx的最小值_________．19．(4分）（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0)的焦点,并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_________．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_________种（用数字作答）．三、解答题（共6小题,满分65分）21．（7分）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O （其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．22．（10分)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．23．（12分）如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1)求证:AF⊥DB;(2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）( x≥8,t≥0），Q=500（8≤x≤14)．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?25．（12分）设｛a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．(1）证明；(2）是否存在常数c＞0,使得成立？并证明你的结论．26．(12分)已知椭圆,直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足｜OQ｜•|OP｜=｜OR｜2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年全国统一高考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(共15小题，1—10每小题4分，11—15每小题5，满分65分）1．(4分）已知I为全集，集合M,N⊂I，若M ∩N=N,则（）A．B．C．D．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．解答：解：根据题意，若M∩N=N，则N⊆M,做出图示如图，分析可得，必有，故选C．点评：本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题．2．（4分）（2007•奉贤区一模)函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析: 把函数y=的图象先经过左右平移得到y=的图象，再经过上下平移得到y=+1的图象．解答: 解：将函数y=的图象向右平移1个单位,得到y=的图象，再把y=的图象向上平移一个单位，即得到y=+1的图象，故选A．点评: 本题考查函数图象的平移规律和平移的方法,体现了数形结合的数学思想．3．(4分）函数y=4sin（3x+）+3cos（3x+）的最小正周期是(）A．6πB．2πC．D．考点：函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asin(wx+ρ)的形式,再由T=可得到答案．解答：解：∵y=4sin(3x+）+3cos（3x+）=5sin（3x++φ）（其中sinφ=，cosφ=）∴T=故选C．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为y=Asin（wx+ρ)的形式,再由T=确定结果．4．（4分)正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是(）A．B．C．2πa2D．3πa2考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R,依题意知R2=a2,即R2=a2,∴S球=4πR2=4π•a2=．故选B点评: 本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．5．(4分）若图中的直线l1,l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析: 由直线斜率（倾斜角的正切值)的定义和正切函数的单调性可得．解答：解:直线l1的倾斜角是钝角,则斜率k1＜0;直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数,但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角,所以k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2，故选D．点评：本题考查直线斜率和图象的关系．6．（4分）（2008•湖南）在（1﹣x3)(1+x)10展开式中，x5的系数是()A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．207考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析: 先将多项式展开，转化成两二项式系数的差,利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为5，2求出二项展开式的系数．解答：解：(1﹣x3)(1+x）10=(1+x）10﹣x3（1+x）10∴(1﹣x3)（1+x）10展开式的x5的系数是（1+x)10的展开式的x5的系数减去（1+x)10的x2的系数∵(1+x）10的展开式的通项为T r+1=C10r x r令r=5，2得（1+x)10展开式的含x5的系数为C105；展开式的含x2的系数为C102C105﹣C102=252﹣45=207故选项为D点评: 本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．［﹣1，0）考点：反三角函数的运用．专题：计算题；转化思想．分析：注意arcsinx、arccosx的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性质，化简不等式，反三角函数的定义域，然后求解即可．解答: 解:因为arcsinx＞arccosx 所以sin(arcsinx）＞sin（arccosx）即:x＞，且x∈[0,1]，所以解得x∈故选B．点评: 本题考查反三角函数的运用，注意函数的定义域，是基础题．8．（4分）（2008•西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是(）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点: 双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是,整理后就得到双曲线的渐近线．解答:解：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是,整理得．故选C．点评: 把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．9．(4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=,那么sin2θ等于（）A．B．C．D．考点: 三角函数中的恒等变换应用．分析：根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ,所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解答：解：∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，∵∴∵角是第三象限角,∴sin2θ=，故选A点评：已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的其他三角函数式的值,一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．10．（4分）（2014•市中区二模)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④考点: 平面与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题;当直线与平面都和同一平面垂直时,直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题;由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α,再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内,如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．解答：解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m;即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m,可以平行，相交,异面；故②为假命题;因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题;由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理,定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻,并会用．11．（5分）(2012•荆州模拟）函数y=log a（2﹣ax)在［0，1]上是减函数,则a的取值范围是（）A．（0，1) B．(0，2）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：a＞0⇒2﹣ax在［0，1]上是减函数由复合函数的单调性可得a＞1，在利用对数函数的真数须大于0可解得a的取值范围．解答：解：∵a＞0,∴2﹣ax在［0，1]上是减函数．∴y=log a u应为增函数，且u=2﹣ax在［0，1］上应恒大于零．∴∴1＜a＜2．故答案为：C．点评：本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相反，复合在一起为减函数．12．（5分）等差数列{a n｝,｛b n｝的前n项和分别为S n与T n,若，则等于（)A．1B．C．D．考点：等差数列的前n项和；极限及其运算．专题：压轴题．分析:利用等差数列的性质求得，再求极限．解答:解:∵=∴故选C点评: 本题主要考查等差数列的性质的运用．13．（5分）用1,2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数,其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个考点：排列、组合的实际应用．专题: 计算题;压轴题．分析：根据题意，分2步进行，首先分析个位数字，要求是偶数,则其个位数字为2或4，有2种情况,进而分析百位、十位,将剩下的4个数字,任取2个，分配在百位、十位即可，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求是偶数，则其个位数字为2或4,有2种情况，将剩下的4个数字,任取2个，分配在百位、十位，有A42=12种情况，由分步计数原理,可得共2×12=24个,故选A．点评: 本题考查排列、组合的综合运用，注意题目中要求是偶数，要优先分析个位数字．14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（2c,0），离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．B．C．D．考点: 简单曲线的极坐标方程．专题: 计算题；压轴题．分析：欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程，只要求出几何量p即可,从而确定它们的极坐标方程．解答：解：∵椭圆的极坐标方程，p即椭圆的焦点到相应准线的距离,∴，∴椭圆的极坐标方程是:．故填：D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．15．(5分）(2010•内江二模）如图,A1B1C1﹣ABC是直三棱柱,∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点: 异面直线及其所成的角．专题: 计算题；压轴题．分析：先取BC的中点D，连接D1F1，F1D,将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角,在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．解答: 解：取BC的中点D，连接D1F1,F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=,AF1=,DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题(共5小题，每小题4分，满分20分）16．(4分）不等式的解集是{x｜﹣2＜x＜4｝．考点: 其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式,利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解答：解：不等式，化为所以有指数函数的性质可知：x2﹣8＜2x解得：x|﹣2＜x＜4故答案为:x｜﹣2＜x＜4点评：本题考查指数函数的性质，二次不等式的解法，是基础题．17．（4分)已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：设出球的半径，求出圆台上底面半径,圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可．解答：解：设球的半径为2，由题意可得圆台上底面半径为1，圆台的高为，所以圆台的体积是:球的体积：圆台的体积与球体积之比为：故答案为：点评：本题考查球的体积和表面积,棱柱、棱锥、棱台的体积,考查计算能力,逻辑思维能力，是基础题．18．（4分)（2012•许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值．考点：三角函数的最值．专题: 计算题．分析：先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．解答：解:y=sin(x﹣）cosx=（sinx﹣cosx)cosx=sinxcosx﹣cos2x=(cos2x+1)=﹣∴y=sin（x﹣)cosx的最小值为:故答案为：﹣．点评：本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．19．（4分)（2010•郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2(a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4,则a=．考点: 抛物线的应用．专题: 计算题；压轴题．分析: 先把抛物线方程整理成标准方程,可得焦点坐标．进而可得l被抛物线截得的线段长，进而求得a．解答: 解：抛物线方程整理得x2=y,焦点（0，）l被抛物线截得的线段长即为通径长，故=4，a=;故答案为．点评：本题主要考查抛物线的应用，属基础题．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1,2,3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144种(用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题: 计算题；压轴题．分析: 由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解答: 解：四个不同的小球放入编号为1，2，3,4的四个盒子中，恰有一个空盒,说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法．故答案为144．点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．三、解答题（共6小题，满分65分)21．(7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2,Z3，O （其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．考点: 复数的代数表示法及其几何意义．分析：由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答：本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1,z3,依题设得====点评: 采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二倍角公式降幂,再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．解答：解:原式====点评: 本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．23．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE,F是垂足．（1）求证：AF⊥DB;（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．考点: 平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：(1)欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB,根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE,且EB∩DE=E，即可证得线面垂直;（2)点E作EH⊥AB，H是垂足,连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABCD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可．解答：（1）证明：根据圆柱性质,DA⊥平面ABE．∵EB⊂平面ABE,∴DA⊥EB．∵AB是圆柱底面的直径,点E在圆周上，∴AE⊥EB,又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．∵AF⊂平面DAE，∴EB⊥AF．又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．∵DB⊂平面DEB，∴AF⊥DB．（2）解:过点E作EH⊥AB,H是垂足,连接DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．又DH⊂平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，．由V圆柱：V D﹣ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心,AH=R，DH=∴∠EDH=arcctg=arcctg（/5），点评: 本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查,当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）( x≥8，t≥0）,Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?考点: 根据实际问题选择函数类型．专题: 应用题；压轴题．分析：本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Q得到方程，当根的判别式≥0时，方程有解，求出解可得函数．然后△≥0，原题t≥0，8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围,联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于10元，得x≤10，求出t的取值范围．解答：解：（1）依题设有1000（x+t﹣8）=500，化简得5x2+（8t﹣80)x+（4t2﹣64t+280）=0．当判别式△=800﹣16t2≥0时,可得x=8﹣±．由△≥0,t≥0,8≤x≤14，得不等式组：①②解不等式组①，得0≤t≤,不等式组②无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为［0，］．（2)为使x≤10，应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0．解得t≥1或t≤﹣5,由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．点评：本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．25．(12分)设｛a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．(1）证明；(2)是否存在常数c＞0,使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前n项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析: (1）设{a n｝的公比为q，当q=1时根据S n•S n+2﹣S n+12求得结果小于0，不符合；当q≠1时利用等比数列求和公式求得S n•S n+2﹣S n+12＜0，进而推断S n•S n+2,＜S n+12．根据对数函数的单调性求得lg(S n•S n+2）＜lgS n+12，原式得证．（2）要使．成立,则有进而分两种情况讨论当q=1时根据（S n﹣c）（S n+2﹣c)=（S n+1﹣c）2求得﹣a12＜0不符合题意；当q≠1时求得（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣(S n+1﹣c）2=﹣a1q n［a1﹣c(1﹣q）]，进而推知a1﹣c(1﹣q）=0，判断出0＜q＜1，但此时不符合题意，最后综合可得结论．解答：（1)证明：设｛a n}的公比为q，由题设a1＞0，q＞0．(i）当q=1时，S n=na1，从而S n•S n+2﹣S n+12=na1•（n+2)a1﹣(n+1）2a12=﹣a12＜0（ⅱ）当q≠1时，，从而S n•S n+2﹣S n+12==﹣a12q n＜0．由(i)和（ii）得S n•S n+2,＜S n+12．根据对数函数的单调性，知lg（S n•S n+2）＜lgS n+12，即．(2)解：不存在．要使．成立,则有分两种情况讨论：（i）当q=1时，（S n﹣c)(S n+2﹣c）=(S n+1﹣c）2=（na1﹣c）［（n+2）a1﹣c］﹣[(n+1)a1﹣c］2=﹣a12＜0．可知，不满足条件①，即不存在常数c＞0，使结论成立．（ii）当q≠1时，若条件①成立，因为（S n﹣c）（S n+2﹣c）﹣（S n+1﹣c）2==﹣a1q n［a1﹣c（1﹣q)］，且a1q n≠0，故只能有a1﹣c（1﹣q）=0,即此时，因为c＞0,a1＞0，所以0＜q＜1．但0＜q＜1时，，不满足条件②,即不存在常数c＞0，使结论成立．综合(i）、（ii),同时满足条件①、②的常数c＞0不存在，即不存在常数c＞0，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．26．（12分)已知椭圆，直线．P是l上点,射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ｜•|OP｜=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质；曲线与方程．专题: 计算题;压轴题．分析：先设三个点P、R、Q的坐标分别为（x P，y P)，(x R,y R），(x，y），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件|OQ|•｜OP|=｜OR|2,将三点的坐标代入,最终得到关于x,y的方程即为所求．解答：解：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为(x P，y P），(x R，y R），(x，y），其中x，y不同时为零．当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组解得由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组．解得当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．由题设|OQ｜•｜OP｜=｜OR|2，得将①～④代入上式，化简整理得因x与x p同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0,故点Q的轨迹方程为（其中x，y不同时为零）．所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心,长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．。
1995年全国统一高考数学试卷(理科)
1995年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 小题， 每小题 分， 每小题 ，满分 分） ．（ 分）已知✋为全集，集合 ，☠②✋，若 ✆☠☠，则（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿奉贤区一模）函数⍓的图象是（）✌．． ． ．．（ 分）函数⍓♦♓⏹（ ⌧） ♍☐♦（ ⌧）的最小正周期是（）✌． ⇨ ． ⇨ ． ．．（ 分）正方体的表面积是♋ ，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）✌． ． ． ⇨♋ ． ⇨♋．（ 分）若图中的直线● ，● ，● 的斜率分别为 ， ， ，则（）✌． ＜ ＜ ． ＜ ＜． ＜ ＜． ＜ ＜．（ 分）（ ❿湖南）在（ ﹣⌧ ）（ ⌧） 展开式中，⌧ 的系数是（）✌．﹣ ．﹣ ． ． ．（ 分）使♋❒♍♦♓⏹⌧＞♋❒♍♍☐♦⌧成立的⌧的取值范围是（）．（ 分）（ ❿西城区二模）双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的渐近线方程是（）✌．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧．（ 分）已知→是第三象限角，且♦♓⏹ →♍☐♦ →，那么♦♓⏹→等于（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿市中区二模）已知直线●平面↑，直线❍②平面↓，给出下列命题♊↑↓●❍；♋↑↓●❍；♌●❍↑↓；♍●❍↑↓．其中正确命题的序号是（）✌．♊♋♌ ．♋♌♍ ．♊♌ ．♋♍．（ 分）（ ❿荆州模拟）函数⍓●☐♑♋（ ﹣♋⌧）在☯， 上是减函数，则♋的取值范围是（）✌．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）．（ 分）等差数列 ♋⏹❝， ♌⏹❝的前⏹项和分别为 ⏹与❆⏹，若，则等于（）✌． ． ． ．．（ 分）用 ， ， ， ， 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）✌． 个 ． 个 ． 个 ． 个．（ 分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（ ♍， ），离心率为♏，则它的极坐标方程是（）✌． ．． ．．（ 分）（ ❿内江二模）如图，✌ ﹣✌是直三棱柱， ✌，点 、☞ 分别是✌ 、✌ 的中点，若 ✌ ，则 与✌☞ 所成角的余弦值是（）✌． ． ． ．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）不等式的解集是♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿许昌二模）函数⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧的最小值♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿郑州二模）若直线●过抛物线⍓♋⌧ （♋＞ ）的焦点，并且与⍓轴垂直，若●被抛物线截得的线段长为 ，则♋♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）四个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有♉♉♉♉♉♉♉♉♉种（用数字作答）．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为☪ ，☪ ，☪ ， （其中 是原点），已知☪ 对应复数．求☪ 和☪ 对应的复数．．（ 分）求♦♓⏹ ♍☐♦ ♦♓⏹♍☐♦的值．．（ 分）如图，圆柱的轴截面✌是正方形，点☜在底面的圆周上，✌☞☜，☞是垂足．（ ）求证：✌☞；（ ）如果圆柱与三棱锥 ﹣✌☜的体积的比等于 ⇨，求直线 ☜与平面✌所成的角．．（ 分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为⌧元 千克，政府补贴为♦元 千克．根据市场调查，当♎⌧♎时，淡水鱼的市场日供应量 千克与市场日需求量✈千克近似地满足关系：（⌧♦﹣ ）（ ⌧♏，♦♏），✈（ ♎⌧♎）．当 ✈时市场价格称为市场平衡价格．（ ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（ ）为使市场平衡价格不高于每千克 元，政府补贴至少为每千克多少元？．（ 分）设 ♋⏹❝是由正数组成的等比数列， ⏹是其前⏹项和．（ ）证明；（ ）是否存在常数♍＞ ，使得成立？并证明你的结论．．（ 分）已知椭圆，直线． 是●上点，射线 交椭圆于点 ，又点✈在 上且满足 ✈❿ ，当点 在●上移动时，求点✈的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 小题， 每小题 分， 每小题 ，满分 分）．（ 分）已知✋为全集，集合 ，☠②✋，若 ✆☠☠，则（）✌． ． ． ．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．解答：解：根据题意，若 ✆☠☠，则☠⑥，做出图示如图，分析可得，必有，故选 ．点评：本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题．．（ 分）（ ❿奉贤区一模）函数⍓的图象是（）✌． ． ． ．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：把函数⍓的图象先经过左右平移得到⍓的图象，再经过上下平移得到⍓ 的图象．解答：解：将函数⍓的图象向右平移 个单位，得到⍓的图象，再把⍓的图象向上平移一个单位，即得到⍓ 的图象，故选 ✌．点评：本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．．（ 分）函数⍓♦♓⏹（ ⌧） ♍☐♦（ ⌧）的最小正周期是（）✌． ⇨ ． ⇨ ． ．考点：函数⍓✌♦♓⏹（▫⌧）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据三角函数的辅角公式将函数化简为⍓✌♦♓⏹（♦⌧⇧）的形式，再由❆可得到答案．解答：解： ⍓♦♓⏹（ ⌧） ♍☐♦（ ⌧） ♦♓⏹（ ⌧ ）（其中♦♓⏹，♍☐♦）❆故选 ．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为⍓✌♦♓⏹（♦⌧⇧）的形式，再由❆确定结果．．（ 分）正方体的表面积是♋ ，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）✌． ． ． ⇨♋ ． ⇨♋考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：设球的半径为 ，则正方体的对角线长为 ，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解：设球的半径为 ，则正方体的对角线长为 ，球 ⇨ ⇨❿♋ ．故选点评：本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．．（ 分）若图中的直线● ，● ，● 的斜率分别为 ， ， ，则（）✌． ＜ ＜ ． ＜ ＜． ＜ ＜． ＜ ＜考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析：由直线斜率（倾斜角的正切值）的定义和正切函数的单调性可得．解答：解：直线● 的倾斜角是钝角，则斜率 ＜ ；直线● 与● 的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，但直线● 的倾斜角大于● 的倾斜角，所以 ＞ ＞ ，所以 ＜ ＜ ，故选 ．点评：本题考查直线斜率和图象的关系．．（ 分）（ ❿湖南）在（ ﹣⌧ ）（ ⌧） 展开式中，⌧ 的系数是（）✌．﹣ ．﹣ ． ． 考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将多项式展开，转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第❒项，令⌧的指数为 ， 求出二项展开式的系数．解答：解：（ ﹣⌧ ）（ ⌧） （ ⌧） ﹣⌧ （ ⌧） （ ⌧） 的⌧ 的系数（ ⌧） 的展开式的通项为❆❒ ❒⌧❒令❒， 得（ ⌧） 展开式的含⌧ 的系数为 ；展开式的含⌧ 的系数为 ﹣ ﹣ 故选项为点评：本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．．（ 分）使♋❒♍♦♓⏹⌧＞♋❒♍♍☐♦⌧成立的⌧的取值范围是（）✌． ． ． ．☯﹣ ， ）考点：反三角函数的运用．专题：计算题；转化思想．分析：注意♋❒♍♦♓⏹⌧、♋❒♍♍☐♦⌧的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性质，化简不等式，反三角函数的定义域，然后求解即可．解答：解：因为♋❒♍♦♓⏹⌧＞♋❒♍♍☐♦⌧ 所以♦♓⏹（♋❒♍♦♓⏹⌧）＞♦♓⏹（♋❒♍♍☐♦⌧）即：⌧＞，且⌧ ☯， ，所以解得⌧故选 ．点评：本题考查反三角函数的运用，注意函数的定义域，是基础题．．（ 分）（ ❿西城区二模）双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的渐近线方程是（）✌．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧ ．⍓ ⌧考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的标准形式为，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．解答：解：双曲线 ⌧ ﹣⍓ 的标准形式为，整理得．故选 ．点评：把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．．（ 分）已知→是第三象限角，且♦♓⏹ →♍☐♦ →，那么♦♓⏹→等于（）✌． ． ． ．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是♦♓⏹→，所以把正弦和余弦的平方和等于 两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解答：解： ♦♓⏹ →♍☐♦ →，♦♓⏹ →♍☐♦ →♦♓⏹ →♍☐♦ →，角是第三象限角，♦♓⏹→，故选✌点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．．（ 分）（ ❿市中区二模）已知直线●平面↑，直线❍②平面↓，给出下列命题♊↑↓●❍；♋↑↓●❍；♌●❍↑↓；♍●❍↑↓．其中正确命题的序号是（）✌．♊♋♌ ．♋♌♍ ．♊♌ ．♋♍考点：平面与平面之间的位置关系．分析：由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线●平面↓，再利用面面垂直的判定可得♊为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故♋为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线❍平面↑，再利用面面垂直的判定可得♌为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线❍在平面↑内，则有↑和↓相交于❍，故♍为假命题．解答：解：●平面↑且↑↓可以得到直线●平面↓，又由直线❍②平面↓，所以有●❍；即♊为真命题；因为直线●平面↑且↑↓可得直线●平行与平面↓或在平面↓内，又由直线❍②平面↓，所以●与❍，可以平行，相交，异面；故♋为假命题；因为直线●平面↑且●❍可得直线❍平面↑，又由直线❍②平面↓可得↑↓；即♌为真命题；由直线●平面↑以及●❍可得直线❍平行与平面↑或在平面↑内，又由直线❍②平面↓得↑与↓可以平行也可以相交，即♍为假命题．所以真命题为♊♌．故选 ．点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．．（ 分）（ ❿荆州模拟）函数⍓●☐♑♋（ ﹣♋⌧）在☯， 上是减函数，则♋的取值范围是（）✌．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：♋＞ ﹣♋⌧在☯， 上是减函数由复合函数的单调性可得♋＞ ，在利用对数函数的真数须大于 可解得♋的取值范围．解答：解： ♋＞ ，⍓●☐♑♋◆应为增函数，且◆﹣♋⌧在☯， 上应恒大于零．＜♋＜ ．故答案为： ．点评：本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相反，复合在一起为减函数．．（ 分）等差数列 ♋⏹❝， ♌⏹❝的前⏹项和分别为 ⏹与❆⏹，若，则等于（）✌． ． ． ．考点：等差数列的前⏹项和；极限及其运算．专题：压轴题．分析：利用等差数列的性质求得，再求极限．解答：解：故选点评：本题主要考查等差数列的性质的运用．．（ 分）用 ， ， ， ， 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）✌． 个 ． 个 ． 个 ． 个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，分 步进行，首先分析个位数字，要求是偶数，则其个位数字为 或 ，有 种情况，进而分析百位、十位，将剩下的 个数字，任取 个，分配在百位、十位即可，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求是偶数，则其个位数字为 或 ，有 种情况，将剩下的 个数字，任取 个，分配在百位、十位，有✌ 种情况，由分步计数原理，可得共 个，故选✌．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意题目中要求是偶数，要优先分析个位数字．．（ 分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（ ♍， ），离心率为♏，则它的极坐标方程是（）✌． ．． ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程，只要求出几何量☐即可，从而确定它们的极坐标方程．解答：解： 椭圆的极坐标方程，☐即椭圆的焦点到相应准线的距离，，椭圆的极坐标方程是：．故填： ．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．．（ 分）（ ❿内江二模）如图，✌ ﹣✌是直三棱柱， ✌，点 、☞ 分别是✌ 、✌ 的中点，若 ✌ ，则 与✌☞ 所成角的余弦值是（）✌． ． ． ．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先取 的中点 ，连接 ☞ ，☞ ，将 平移到☞ ，则 ☞ ✌就是异面直线 与✌☞ 所成角，在 ☞ ✌中利用余弦定理求出此角即可．解答：解：取 的中点 ，连接 ☞ ，☞ ☞☞ ✌就是 与✌☞ 所成角设 ✌ ，则✌，✌☞ ， ☞在 ☞ ✌中，♍☐♦ ☞ ✌，故选✌点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）不等式的解集是 ⌧﹣ ＜⌧＜ ❝．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式，利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解答：解：不等式，化为所以有指数函数的性质可知：⌧ ﹣ ＜ ⌧解得：⌧﹣ ＜⌧＜故答案为：⌧﹣ ＜⌧＜点评：本题考查指数函数的性质，二次不等式的解法，是基础题．．（ 分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可．解答：解：设球的半径为 ，由题意可得圆台上底面半径为 ，圆台的高为，所以圆台的体积是：球的体积：圆台的体积与球体积之比为：故答案为：点评：本题考查球的体积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．．（ 分）（ ❿许昌二模）函数⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧的最小值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．解答：解：⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧（♦♓⏹⌧﹣♍☐♦⌧）♍☐♦⌧♦♓⏹⌧♍☐♦⌧﹣♍☐♦ ⌧（♍☐♦⌧） ﹣⍓♦♓⏹（⌧﹣）♍☐♦⌧的最小值为：故答案为：﹣．点评：本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．．（ 分）（ ❿郑州二模）若直线●过抛物线⍓♋⌧ （♋＞ ）的焦点，并且与⍓轴垂直，若●被抛物线截得的线段长为 ，则♋．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先把抛物线方程整理成标准方程，可得焦点坐标．进而可得●被抛物线截得的线段长，进而求得♋．解答：解：抛物线方程整理得⌧ ⍓，焦点（ ，）●被抛物线截得的线段长即为通径长，故 ，♋；故答案为．点评：本题主要考查抛物线的应用，属基础题．．（ 分）四个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有 个小球，从 个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解答：解：四个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有 个小球，从 个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有 ✌ 种不同的放法．故答案为 ．点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为☪ ，☪ ，☪ ， （其中 是原点），已知☪ 对应复数．求☪ 和☪ 对应的复数．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答：本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．解：设☪ ，☪ 对应的复数分别为 ， ，依题设得点评：采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．．（ 分）求♦♓⏹ ♍☐♦ ♦♓⏹♍☐♦的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．解答：解：原式点评：本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．．（ 分）如图，圆柱的轴截面✌是正方形，点☜在底面的圆周上，✌☞☜，☞是垂足．（ ）求证：✌☞；（ ）如果圆柱与三棱锥 ﹣✌☜的体积的比等于 ⇨，求直线 ☜与平面✌所成的角．考点：平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（ ）欲证✌☞，先证✌☞平面 ☜，根据线面垂直的判定定理可知只需证☜✌☞，✌☞☜，且☜✆☜☜，即可证得线面垂直；（ ）点☜作☜☟✌，☟是垂足，连接 ☟，易证 ☜☟是 ☜与平面✌所成的角，在三角形☜☟中求出此角即可．解答：（ ）证明：根据圆柱性质， ✌平面✌☜．☜②平面✌☜，✌☜．✌是圆柱底面的直径，点☜在圆周上，✌☜☜，又✌☜✆✌✌，故得☜平面 ✌☜．✌☞②平面 ✌☜，☜✌☞．又✌☞☜，且☜✆☜☜，故得✌☞平面 ☜．②平面 ☜，✌☞．（ ）解：过点☜作☜☟✌，☟是垂足，连接 ☟．根据圆柱性质，平面✌平面✌☜，✌是交线．且☜☟②平面✌☜，所以☜☟平面✌．又 ☟②平面✌，所以 ☟是☜在平面✌上的射影，从而 ☜☟是 ☜与平面✌所成的角．设圆柱的底面半径为 ，则 ✌✌，于是✞圆柱 ⇨ ，．：✞ ﹣✌☜ ⇨，得☜☟，可知☟是圆柱底面的圆心，由✞圆柱✌☟，☟☜☟♋❒♍♍♦♑ ♋❒♍♍♦♑（ ），点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．．（ 分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为⌧元 千克，政府补贴为♦元 千克．根据市场调查，当♎⌧♎时，淡水鱼的市场日供应量 千克与市场日需求量✈千克近似地满足关系：（⌧♦﹣ ）（ ⌧♏，♦♏），✈（ ♎⌧♎）．当✈时市场价格称为市场平衡价格．（ ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（ ）为使市场平衡价格不高于每千克 元，政府补贴至少为每千克多少元？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；压轴题．分析：本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．☐✈得到方程，当根的判别式♏时，方程有解，求出解可得函数．然后 ♏，原题♦♏， ♎⌧♎以及二次根式自变量取值范围得♦的另一范围，联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于 元，得⌧♎，求出♦的取值范围．解答：解：（ ）依题设有（⌧♦﹣ ） ，化简得 ⌧ （ ♦﹣ ）⌧（ ♦ ﹣ ♦） ．当判别式 ﹣ ♦ ♏时，可得⌧﹣ ．由 ♏，♦♏， ♎⌧♎，得不等式组：♊♋解不等式组♊，得 ♎♦♎，不等式组♋无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为☯， ．（ ）为使⌧♎，应有♎化简得♦ ♦﹣ ♏．解得♦♏或♦♎﹣ ，由♦♏知♦♏．从而政府补贴至少为每千克 元．点评：本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．．（ 分）设 ♋⏹❝是由正数组成的等比数列， ⏹是其前⏹项和．（ ）证明；（ ）是否存在常数♍＞ ，使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前⏹项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（ ）设 ♋⏹❝的公比为❑，当❑时根据 ⏹❿⏹﹣ ⏹ 求得结果小于 ，不符合；当❑♊时利用等比数列求和公式求得 ⏹❿⏹﹣ ⏹ ＜ ，进而推断 ⏹❿⏹，＜⏹ ．根据对数函数的单调性求得●♑（ ⏹❿⏹）＜●♑⏹ ，原式得证．（ ）要使．成立，则有进而分两种情况讨论当❑时根据（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍） （ ⏹﹣♍） 求得﹣♋ ＜ 不符合题意；当❑♊时求得（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍）﹣（ ⏹﹣♍） ﹣♋ ❑⏹☯♋ ﹣♍（ ﹣❑） ，进而推知♋ ﹣♍（ ﹣❑），判断出 ＜❑＜ ，但此时不符合题意，最后综合可得结论．解答：（ ）证明：设 ♋⏹❝的公比为❑，由题设♋ ＞ ，❑＞ ．（♓）当❑时， ⏹ ⏹♋ ，从而⏹❿⏹﹣ ⏹⏹♋ ❿（⏹）♋ ﹣（⏹） ♋﹣♋ ＜（❑）当❑♊时，，从而⏹❿⏹﹣ ⏹﹣♋ ❑⏹＜ ．由（♓）和（♓♓）得 ⏹❿⏹，＜ ⏹ ．根据对数函数的单调性，知●♑（ ⏹❿⏹）＜●♑⏹ ，即．（ ）解：不存在．要使．成立，则有分两种情况讨论：（♓）当❑时，（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍） （ ⏹﹣♍）（⏹♋ ﹣♍）☯（⏹）♋ ﹣♍﹣☯（⏹）♋ ﹣♍﹣♋ ＜ ．可知，不满足条件♊，即不存在常数♍＞ ，使结论成立．（♓♓）当❑♊时，若条件♊成立，因为（ ⏹﹣♍）（ ⏹﹣♍）﹣（ ⏹﹣♍）﹣♋ ❑⏹☯♋ ﹣♍（ ﹣❑） ，且♋ ❑⏹♊，故只能有♋ ﹣♍（ ﹣❑） ，即此时，因为♍＞ ，♋ ＞ ，所以 ＜❑＜ ．但 ＜❑＜ 时，，不满足条件♋，即不存在常数♍＞ ，使结论成立．综合（♓）、（♓♓），同时满足条件♊、♋的常数♍＞ 不存在，即不存在常数♍＞ ，使．点评：本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．．（ 分）已知椭圆，直线． 是●上点，射线 交椭圆于点 ，又点✈在 上且满足 ✈❿ ，当点 在●上移动时，求点✈的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质；曲线与方程．专题：计算题；压轴题．分析：先设三个点 、 、✈的坐标分别为（⌧ ，⍓ ），（⌧ ，⍓ ），（⌧，⍓），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件 ✈❿ ，将三点的坐标代入，最终得到关于⌧，⍓的方程即为所求．解答：解：由题设知点✈不在原点．设 、 、✈的坐标分别为（⌧ ，⍓ ），（⌧ ，⍓ ），（⌧，⍓），其中⌧，⍓不同时为零．当点 不在⍓轴上时，由于点 在椭圆上及点 、✈、 共线，得方程组解得由于点 在直线●上及点 、✈、 共线，得方程组．解得当点 在⍓轴上时，经验证♊～♍式也成立．由题设 ✈❿ ，得将♊～♍代入上式，化简整理得因⌧与⌧☐同号或⍓与⍓☐同号，以及♌、♍知 ⌧⍓＞ ，故点✈的轨迹方程为（其中⌧，⍓不同时为零）．所以点✈的轨迹是以（ ， ）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与⌧轴平行的椭圆、去掉坐标原点．点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．。
1995年全国高考数学试题
一九九五年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共 15 个小题 ; 第（1）-（10）题每小题 4 分，第（11）-（15）题每小题 5 分，共 65 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知 I 为全集，集合 M，N I ，若 M N=N，则（C）（A）M N（B）M N（C）M N（D）M N（2）函数y1的图象是（B）x1(A) y(B)y(C) y(D)yo 1x-1 o x o 1x-1 o x（3）函数y4sin(3x) 3 cos(3x) 的最小正周期是（ C ）44（A）6（B）2（C）2（D）3 3（4）正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ B ）（A） a 2（B） a 2（C）2 a2（） 3 a2 32D（5）若图中的直线l1, l2,l3的斜率分别为k1, k2, k3，则（ D ）（A）k1k2k3y（B）k3k1k 2l1l 2（C）k3k 2k1l 3（D）k1k3k 2Ox（6）在(1x 3 )(1 x)10的展开式中， x 5的系数是（D）（A ）-297（B ）-252（C ）297（D ）207（7）使 arcsin x arccosx 成立的 x 的取值范围是 （ B ）（A ） (0,2 ]B2 C 2 D,1]1,)（ ） (（ ） [（ ）[ 1,0)222（8）双曲线 3x 2 y 2 3 的渐近线方程是（ C ）（A ） y3x（B ） y1 x（ ） y3x（ ） y33CD3（9）已知 是第三象限角，且 sin4cos45，那么 sin 2 等于9（A ）2 2（B ）22（ ）2（D ） 2（A ）3 3 C33（10）已知直线 l 平面，直线 m平面. 有下面四个命题：（ D ）①// l m;② l // m;③ l // m;④ l m// .其中正确的两个命题是（A ）①与② （B ）③与④ （C ）②与④ （D ）①与③（11）已知 y log a (2 ax) 在[0 ，1] 上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（ B ）（A ）（0，1） （B ）（1，2） （C ）（0，2） （D ）[2 ，+ ） （12）等差数列 { a n }, { b n } 的前 n 项和分别为 S n 与 T n ，若S n 2n T n,3n 1则 liman等于（ C ）nb n（A ）1（B ）6（C ）2（D ）43 3 9（13）用 1，2，3，4，5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ A ）（A）24 个（B）30个（C）40个（D）60个（14）在极坐标系中，椭圆的两焦点分别在极点和（2c，0），离心率为 e, 则它的极坐标方程是（D）（A）（C）c(1e)1 ecosc(1e)e(1 ecos )（B）（D）c(1e2 )1 ecosc(1e2 )e(1 ecos )（15）如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，B1D1A10F1∠BCA=90，点 D1，F1分别是 A1B1，A1C1的中点。
1995年高中数学联赛第二试试题另解
1995年高中数学联赛第二试试题另解
李宝毅
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】最近我们收到了许多读者来稿,对1995年高中数学联赛第二试的四道题目提供了一些有别于标准答案的解答,现整理如下,以餮读者。
【总页数】3页(P20-22)
【作者】李宝毅
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.1995年全国高中数学联赛试题及解答 [J],
2.1997年全国高中数学联赛及联赛第二试试题及解答 [J],
3.1996年全国高中数学联赛第二试试题另解 [J], 李宝毅
4.1995年全国高中数学联赛试题评注 [J], 袁绍唐;曾晓新
5.1989年全国高中数学联赛第二试试题另解 [J], 孔凡秋
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一九九五
第一试
一、选择题
本题共有6个小题，每小题给出了（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母填入题后圆括号内。
1．设等差数列｛a n ｝满足3a 8=5a 13且a 1>0,S n 为其前n 项之和，则S n (n ∈N)中最大的是
（A ）S 10 ； （B ）S 11； （C ）S 20； （D ）S 21。
答（ ）
2．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z 1，
Z 2，…，Z 20，则复数199520
1995219951,,,Z Z Z 所对应的不同的点的个数是 （A ）4； （B ）5； （C ）10； （D ）20。
答（ ）
3．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙。
在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子。
那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有
（A ）1个； （B ）2个； （C ）50个； （D ）100个。
答（ ）
4．已知方程)(2N n x k n x ∈=-在区间（2n -1，2n +1﹞上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是
（A ）k >0； （B ）121
0+≤<n k
（C ）121121+≤<+n k n （D ）以上都不是。
答（ ）
5．log sin1cos1,log sin1tg1,log cos1sin1,log cos1tg1的大小关系是
1sin log 1cos log 1log 1log )(;
1cos log 1sin log 1log 1log )(;
1log 1cos log 1log 1sin log )(;
1log 1log 1sin log 1cos log )(1cos 1sin 1sin 1cos 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1sin 1cos 1cos 1cos 1sin 1cos 1sin <<<<<<<<<<<<tg tg D tg tg C tg tg B tg tg A
答（ ）
6．设O 是正三棱锥P -ABC 底面ΔABC 的中心，过O 的动平面与P -ABC
的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q ，R ，S ，则和式PS
PR PQ 111++ （A ）有最大值而无最小值；
（B ）有最小值而无最大值；
（C ）既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等；
（D ）是一个与平面QRS 位置无关的常量。
答（ ）
二、填空题
1．设α、β为一对共轭复数，若32=-βα且2
βα为实数，则 =α 。
2．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比主为 。
3．用［x ］表示不大于实数x 的最大整数。
方程
[]02lg lg 2=--x x 的实根的个数是= 。
4．直角坐标平面上，满足不等式级组
100
3
13≤+≥≤y x x y x
y 的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数是 。
（如图）
5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 。
7．设M =｛1，2，3，…，1995｝，A 是M 的子集且满足条件：当x ∈A 时，
15x ∉A 。
则A 中元素的个数最多是 。
第二试
一、给定曲线族
θθθθθ,0)1cos sin 8()3cos sin 2(22=++-+-y x 为参数求该曲线族在直线y =2x 上截得的弦长的最大值。
二、求一切实数p ，使得三次方程
p x p x p x 661)171()1(5523=+-++-的三个根均为自然数。
ABCD 的内切圆O 与各边分别切于E 、F 、G 、H ，在
上分别作⊙O 的切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交MQ ∥NP
四、将平面上每个点都以红、蓝两色之一着色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色。