2001年第12届希望杯数学邀请赛(初一)第2试试题

2001年度初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛一、选择题:(以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.)1.数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数,则( ).(A)a=0 (B)a=-1(C)a=1 (D)不存在这样的a值2.如图所示,在数轴上有六个点,且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C所表示的数最接近的整数是( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)23.我国古代伟大的数学家祖冲之在距今1500年以前就已经相当精确地算出圆周率π是在3.1415926和3.1415927之间,并取355113为密率、227为约率,则( ).(A)3333.1415106π<<;(B)355221137π<<;(C)333355106113π<<;(D)221.4297π<<4.已知x和y满足2x+3y=5,则当x=4时,代数式3x2+12xy+y2的值是( ).(A)4 (B)3 (C)2 (D)15.两个正整数的和是60,它们的最小公倍数是273,则它们的乘积是( ).(A)273 (B)819 (C)1911 (D)35496.用一根长为a米的线围成一个等边三角形, 测知这个等边三角形的面积为b平方米.现于这个等边三角形内任取一点P,则点P到等边三角形三边距离之和为( )米.(A)2ba; (B)4ba; (C)6ba; (D)8ba7.If we let<a>be the greatest prime number not more than a, thenthe result ofthe expression<<3>×<25>×<30>>is ( ).(A)1333 (B)1999 (C)2001 (D)2249(greatest prime number最大的质数;result 结果;expression表达式)8.古人用天干和地支记次序,其中天干有10个:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸. 地支有12个:子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数,第1列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅……则当第2 次甲和子在同一列时,该列的序号是( ).(A)31 (B)61 (C)91 (D)1219.满足(a-b)2+(b-a)·│a-b│=ab,(ab≠0)的有理数a和b,一定不满足的关系是( )(A)ab<0 (B)ab>0 (C)a+b>0 (D)a+b<010.已知有如下一组x、y和z的单项式:7x 3z 2,8x 3y,12x 2yz,-3xy 2z,9x 4zy,xy 2,-15xyz,9y 3z,xz 2y,0.3z 3. 我们用下面的方法确定它们的先后次序:对任两个单项式,先看x 的幂次,规定x 幂次高的单项式排在x 幂次低的单项式的前面;再看y 的幂次,规定y 的幂次高的排在y 的幂次低的前面;再看z 的幂次,规定z 的幂次高的排在z 的幂次低的前面.将这组单项式按上述法则排序,那么,9y 3z 应排在( ).(A)第2位 (B)第4位 (C)第6位 (D)第8位二、计算题11.一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角,则这个锐角的度数等于__________.12.If a 2+a=0,then the resul of a 2001+a 2000+12 is___________.13.已知:如图,△ABC 中,D,E,F,G 均为BC 边上的点,且BD=CG,DE=GF=12BD, EF=3DE. 若S △ABC =1,则图中所有三角形的面积之和为_________.G F D E C BA14.使关于x 的方程│x │=ax+ 1 同时有一个正根和一个负根的整数a 的值是______.15.小明的哥哥过生日时,妈妈送了他一件礼物:即3年后可以支取3000元的教育储蓄.小明知道这笔储蓄年利率是3%(按复利计算).则小明妈妈为这件生日礼物在银行至少要存储_________元(银行按整数元办理存储).16.m 为正整数.已知二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩ 有整数解, 即x,y 均为整数, 则m 2=____.17.已知:如图,长方形ABCD 中,F 是CD 的中点,BC=3BE,AD=4HD.若长方形的面积是300平方米,则阴影部分的面积等于________平方米.18.一幅图像可以看成由m 行n 列个小正方形构成的大矩形,其中每个小正方形称为一个点,每个点的颜色是若干个颜色中的一个.给定了m,n 以及每个点的颜色就确定了一幅图像.现在,用一个字节可以存放两个点的颜色.那么当m 和n 都是奇数时,至少需要______个字节存放这幅图像的所有点的颜色.19.在正整数中,不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是________.20.在密码学中,称直接可以看到的内容为明码, 对明码进行某种自理后得到的内容为密码.对于英文,人们将26个字母按顺序分别对应整数0至25.现有4 个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为x 1,x 2,x 3,x 4,已知:整数x 1+2x 2,3x 2,x 3+2x 4,3x 4 除以26的余数分别为9,16,23,12,则密码的单词是___________.三、解答题21.有依次排列的3个数:3,9,8.对任相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,-1,9,8. 继续依次操作下去,问:从数串3,9,8 开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?22.如图,AB∥ED,α=∠A+∠E, β=∠B+∠C+∠D.证明: β=2α.EDCAB23.一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时,原料为400个单位. 生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料,售价为80元;生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料,售价为45.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数,可以使小熊和小猫的总售价尽可能高.请用你所学过的数学知识分析, 总售价是否可能达到2200元?2001年度初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、1.根据题意,对任意正奇数n,a n =-a ,如果a<0,则-a>0,而a n <0, a n ≠-a,因此a 不能是负数.如果a>0,则-a<0, a n ≠-a,而a n >0,因此a 不能是正数.由于0的相反数是0,所以a=0时, a n =0n =0=-a 成立.选(A)2.由图可知AF=11-(-5)=16,又AB=BC=CD=DE=EF=a∴ a=165=3.2 ∴ C 点坐标-5+3.2+3.2=1.4∴ 与C 表示的数最接近的整数是1,选(C).3.经计算333355223.14151061137π<<<<,选(C). 4.∵ 2x+3y=5∴ x=4时,y=-1.∴3x 2+12xy+y 2=1, 选(D).5.设两个正整数为a 与b,则a+b=60=22×3×5[a,b]=273=3×7×13.显然a,b 的最大公约数是1或3.如果(a,b)=1,则[a,b]=a ×b.a 、b 只能取(21,13),(7,39),(1,273),(3,91),其和均不为60.因此(a,b)=3,于是a=3×7,b=3×13∴ a ×b=(3×7)×(3×13)=819.选(B).6.如图,用一根长为a 米的线围成一个等边三角形ABC,则其边长为3a 米, zy xP CB A即AB=BC=CA=3a 米. 设P 点到三边的距离分别为x,y,z,且S ΔABC =b,又 S ΔPBC +S ΔPCA +S ΔPAB =S ΔABC∴111232323a a a x y zb ⨯+⨯+⨯= 即 6a (x+y+z)=b ∴ x+y+z=6b a .选(C). 7.∵ <a>表示不大于a 的最大质数∴ <3>=3,<25>=23,<30>=29∴ <3>×<25>×<30>=3×23×29=2001又<2001>=1999. 选(B).8.“甲”在第一行出现的位置是10m+1,m=0,1,2…,“子”在第二行出现的位置是12n+1,n=0,1,2….∴ “甲”和“子”在同一列时应有10m+1=12n+1即 10m=12n当m=n=0时第一次“甲”、“子”同列,第二次“甲”、“子”同列时应是使得10m=12n 成立的最小正整数m 和n ，即m=6,n=5.∴ 应是第61号位置. 选(B)9.设a 和b,满足题目条件,首先一定有a<b,如若不然,当a ≥b 时,0≠ab=(a-b)2+(b-a)(a-b)=(a-b)2-(a-b)=0,矛盾.∴一定有a<b,此时(a-b)2+(b-a)·∣a-b ∣=2(a-b)2=ab∵ ab ≠0.(a-b)2≥0.∴ ab>0,即(A)一定不成立.选(A).10.按降序字典排列法,10个整式的次序如下:9x 4zy,8x 3y,7x 3z 2,12x 2yz,-3xy 2z,xz 2y,-15xyz,9y 3z,zy 2,0.3z 3 易知9y 3z 在第8个位置.选(D).二、11.设所求锐角为a,它的一半为2α,这个锐角的余角为90°-a,这个锐角的补角为180°-a,依题意得 2α+(90°-a)+(180°-a)=180° 解得a=60°12.∵a 2+a=0∴a 1999(a+a)=a 1999·0=0即a 2001+a 2000=0∴a 2001+a 2000+12=1213.如题图所示的所有三角形均以A 为一个顶点,一个底边在BC 上,因此所有三角形都具有相等的高,于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算BC 上所有线段长度之和的问题.因为所有线段长之和是BC的n倍, 则图中所有三角形面积之和就是SΔABC的n倍.设DE=FG=x,则BD=CG=2x,EF=3x,BC=9x.图中共有1+2+3+4+5=15个三角形,则它们在线段BC上的底边之和为[BC+(BD+DC)+(BE+EC)+(BF+FC)+(BG+GC)]+[DG+(DE+EG)+(DF+FG)]+EF=9x×5+5x×3+3x=63x由此可知BC上所有线段之和63x是BC=9x的7倍,所以图中所有三角形面积之和等于SΔABC 的7倍.已知SΔABC=1,故图中所有三角形的面积之和为7.14.若x为方程的正根,则x=ax+1 即(1-a)x=1.∵ 1>0,x>0,∴ 1-a>0即a<1 ①若x为方程的负根,则-x=ax+1,即(1+a)x=-1.∵ -1<0,x<0.∴ 1+a>0 即a>-1 ②要使原方程同时有正根和负根,则必须同时满足①和②,即-<a<1,这样的整数a只有a=0,即为所求.15.设小明妈妈为这件生日礼物在银行存储了x元,年利率为3%,则三年后共得3000元,于是 x(1+3%)3=3000又 1.033=1.092727∴ x=3000÷1.092727≈2746(元)(精确到个位).16.由方程组210 ①320 ②mx yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩得(m+3)x=10∵方程有整数解∴ x=10　(3)3mm≠-+代入②式得y=153m+.为使103m+为整数且m为正整数,只能取m=2或m=7,为使153m+为整数,只能m=2或m=12.∴要使103m+,153m+均为整数的正整数只能为2,即m=2.∴ m2=4.17.如图,设AB=a,BC=b,则S ABCD=ab=300(平方米)SΔABH=133248a b ab∙=, SΔABH=1212236ab ab∙∙=∴S阴影=ab-311111300137.5 862424ab ab ab-==⨯= (m2)18.图像的点数为mn个∵ m、n均是奇数∴ mn也是奇数由于一个字节可以存放两个点的颜色,又mn除以2余1,这一个点也需一个字节存放其颜色.∴存放mn个点的颜色至少需要12(mn+1)个字节.19.正整数中合数序列自小到大依次排列是:4,6,8,9,10,12,14,15,16,…而大于19的任何一个奇数比19大一个偶数,将这个偶数加在6上, 则任何一个大于19的奇数都可表示为三个不同的合数之和.容易看出4+6+9=19,所以三个不相等合数之和的最小奇数为19.因而不能写出三个不相等的合数之和的最大奇数是17.20.在0到25的整数中,只有14满足3×14=42=26+16(被26除余数为16)∴ x2 =14,∵ x1 +2×14除以26的余数为9,而28除以26的余数为2.∴ x1 =7.类似地,在0到25的整数中,只有4满足3×4=12,∴ x4 =4.∵ x3+2×4除以26余数为23,而8除以26的余数为8,∴ x3 =15.对应7,14,15,4的字母分别是h,0,p,e.∴密码单词为hope.三、21.一个依次排列的n个数组成一个数串:a1, a2, a3,…,a n,依题设操作方法可得新增的数为:a2-a1, a3-a2,a4-a3,…,a n-a n-1∴新增数之和为: (a2-a1)+ (a3-a2)+ (a4-a3)+…+ (a n-a n-1)=a n-a1 ①原数串为3个数:3,9,8.第1次操作后所得数串为:3,6,9,-1,8.根据①可知,新增4项之和为:6+(-1)=5=8-3.第2次操作后所得数串为:3,3,6,3,9,-10,-1,9,8.根据①可知,新增4项之和为:3+3+(-10)+9=5=8-3按这个规律下去,第100次操作后所得新数串所有数的和为:(3+9+8)+100×(8-3)=520.22.证法1:因为AB ∥ED,所以α=∠A+∠E=180°. (两直线平行,同旁内角互补) 过C 作CF ∥AB.(如图)∵ AB ∥ED,∴ CF ∥ED. (平行于同一条直线的两条直线平行)∵ CF ∥AB,有∠B=∠1, (两直线平行,内错角相等)又∵ CF ∥ED,有∠2=∠D,(两直线平行,内错角相等)∴ β=∠B+∠C+∠D=∠1+∠BCD+∠2=360°.(周角定义)∴ β=2α.(等量代换)21F D E CB A 21F DE CB A证法2: ∵ AB ∥ED,∴α=∠A+∠E=180°.(两直线平行,同旁内角互补)过C 作CF ∥AB.(如图)∵ AB ∥ED,∴ CF ∥ED,(平行于同一条直线的两条直线平行)∵ CF ∥AB,有∠B+∠1=180°,(两直线平行,同旁内角互补)又∵ CF ∥ED,有∠2+∠D=180°,(两直线平行,同旁内角互补)∴ β=∠B+∠C+∠D=∠B+(∠1+∠2)+∠D=(∠B+∠1)+(∠2+∠D)=180°+180°=360°.∴ β=2a.(等量代换)23.设小熊和小猫的个数分别为x 和y,总售价为z,则z=80x+45y=5(16x+9y) (*)根据劳力和原材料的限制,x 和y 应满足15x+10y ≤450,20x+5y ≤400.化简为3x+2y ≤90 ①及4x+y ≤80 ②当总售价z=2200时,由(*)得16x+9y=440 ③②×9得 36x+9y≤720 ④④-③得20x≤720-440=280,即x≤14 (A)①×92得272x+9y≤405 ⑤③-⑤得52x≥440-405=35,即x≥14 (B)综合(A)、(B)可得x=14,代入③求得y=24.当x=14,y=24时,有3x+2y=90,4x+y=80满足工时和原料的约束条件, 此时恰有总售价 z=80×14+45×24=2200(元).答:安排生产小熊14个、小猫24个可达到总售价2200元.。