(完整版)人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念习题
高中数学人教A版必修4：第二章 2(1).1 平面向量的实际背景及基本概念
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
2
[新知初探]
1．向量的概念和表示方法 (1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．
(2)向量的表示： 几何表示：用有向线段 来表示向量，有向线段的 长度表示向量的 大小 ，箭头所指的方向表示向量 的 方向 ，即用有向线段的起点、终点字母表示，
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(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手 ①是否有大小；②是否有方向． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题 ①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
2019年7月10日
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[点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有 确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数 个，它们大小相等，但方向不一定相同．
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3．向量间的关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量， 记作：a＝b. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫 共线 向量；a 平行于 b，记作 a∥b ；规定零向量与任一向量 平行 ．
2019年ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ月10日
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1
预习课本P74～76，思考并完成以下问题
(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
(2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ (3)两个向量(向量的模)能否比较大小？
(4)如何判断相等向量或共线向量？向量 AB与向量 BA是相等向 量吗？
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案2 新人教A版必修4
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念。
人教A版高中数学必修四第二章2.1平面向量的实际背景及基本概念课件 (共13张PPT)
2.向量的表示
B. 终点
(1).有向线段表示向量： . A 几何表示，直观 起点 (2). 字母上方加箭头表示向量： a b c e AB 3.向量的长度(或称模)
| a |,| AB |
4.两个特殊的向量:(从模的角度出发)
(1).零向量： 长度为零的向量叫零向量。 记作：0 规定零向量的方向是任意方向 (2).单位向量： 长度等于1的向量叫单位向量。
5.平行向量
方向相同或相反的非零向量。
规定：零向量与任意向量平行。
记作a // b
平行向量又叫做共线向量
6.相等向量： 长度相等且方向相同的向量。
思考:相等向量与共 线向量是什么关系？
相等向量一定是共线向量， 共线向量不一定是相等向量
三.练习 1.下列叙述正确的是________ ④ 。 ①. 向量AB与CD共线，则A、B、 C、D四点必在同一直线上。 ②.单位向量都相等。 ③.任一向量与它的反向向量不相 等。 ④四边形ABCD是平行四边形当 且仅当AB=DC
二.向量的概念及表示：
1.向量与数量：
既有大小，又有方向的量叫向量。
只有大小，没有方向的量叫数量。
思考:时间,路程,功是向量 吗?速度,加速度是向量吗?
2.向量的表示：
由于实数与数轴上的点 一一对应，所以数量常常用 数轴上的一个点表示，如3， 2，-1，…而且不同的点表 示不同的数量。
-1 0 1 2 3
⑤.一个向量方向不确定当且仅当 模为0。 ⑥.共线的向量，若起点不同，则 终点一定不同。 ⑦.两个向量相等，则它的起点相 同，终点相同。 b c ，则 a c 。 ⑧若 a b ， ⑨若 a // b ，b // c ，则 a // c 。
人教A高中数学必修4第二章 2.1平面向量的实际背景及基本概念
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2.1
平面向量的实际背景及基本概念
人教A版数学·必修4
考 纲 定 位 重 难
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突
破
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景 认识向量，掌握向量与数量的区别． 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向 重点：向量的概念及几何表 示；相等向量的概念； 共线向量的概念．
→ → → → → 解析：在平行四边形 ABCD 和 ABDE 中，因为AB＝ED，AB＝DC，所以与ED相 → → → → → → → → 等的向量为AB，DC；由题干图知与向量AB共线的向量有BA，ED，DE，CD，DC， → ，CE →. EC → 、DC → 答案：AB
→ ，ED → ，DE → ，CD → ，DC → ，EC → ，CE → BA
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[解析] 反；
(1)错误． 因为两个单位向量只是模都等于 1 个单位， 方向不一定相同或相
(2)错误．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的； → → (3)正确．由三角形中位线性质知，DE∥BC，向量DE与CB方向相反，是平行向量； (4)错误．b 为零向量时，有 a∥b 且 b∥c，但 a 与 c 的方向可以任意变化，它们不 一定是平行向量； (5)错误．A、B、C、D 四点也可能在同一条直线上； → 与BA → 的模相等，方向相反，二者是平行向量． (6)正确．非零向量AB
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→ → 解析：(1)正确，由于|a|＝|AB|＝|AB|，|b|＝|BA|＝|BA|＝|AB|，因此有|a|＝|b|. (2)不正确，由单位向量的定义知，凡长度为 1 的向量均称为单位向量，但是对方 向没有任何要求，因此说法(2)不正确． → |＝|BA → |，所以当AB → 是单位向量时，BA → 也是单位向量． (3)正确．因为|AB → (4)正确，由于向量|AP|＝1，所以点 P 是以点 A 为圆心的单位圆上的一点．反过 → |＝1，所 来，若点 P 是以点 A 为圆心，1 为半径的单位圆上的任一点，则由于|AP → 是单位向量，因此说法正确． 以向量AP
人教A版高中数学必修四2.1 平面向量的实际背景及基本概念
例3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、
AB、BC的中点.
(1)写出与
→ EF
共线的向量；
解 因为E、F分别是AC、AB的中点， 所以 EF 綊12BC.又因为 D 是 BC 的中点， 所以与E→F共线的向量有：
F→E，B→D，D→B，D→C，C→D，B→C，C→B.
④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确. ⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方 向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确. 若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立； b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确. 反思与感悟 对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、 理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一 反例即可.
(2)写出与E→F的模大小相等的向量；
→
→→→→ →
解 与EF模相等的向量有：FE，BD，DB，DC，CD.
(3)写出与E→F相等的向量.
解 与E→F相等的向量有：D→B与C→D.
反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反； (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.
跟踪训练3 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图 中所示向量与O→A、O→B、O→C 相等的向量.
3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向 量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的 终点在平面内形成一个单位圆.
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
(完整版)数学必修4-第二章-平面向量知识点,推荐文档
形法则”
① 三量角b 的形终法点则指：向当被a,减b 有向共量同a起的点终时点，的向a 量b 表。示为从减向
② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图
所示的对角线。设
AB
a,
AC
b
则
a
-
b
=
AB
AC
CB
.
3.实数与向量的积
（1）
定义：实数
λ
与向量
a
的积是一个向量，记作
4.平面向量的坐标运算：
①若
a
( x1 ,
y1
),
b
( x2
,
y2
)
，则
a
b
x1
x2
,
y1
y2
；
②若
Ax1 ,
y1
,
Bx2
,
y2
，则
AB
x2
x1,
y2
y1
；
③若
a
=(x,y)，则
a
=(
x,
y)；
④若
a
( x1 ,
y1 ), b
(x2 ,
y2
)
，则
a
//
b
x1 y2
x2
y1
1.平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数
λ1，λ2
使
a
=λ1
e1
+λ2
e2
.
注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
人教A版高中数学必修4《 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》_18
2.1.1 向量的几何表示教材分析本节内容是数学必修 4 第二章第一节的第一课,主要介绍了向量的概念与几何表示,概念较多但难度不大.学生可以根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念.结合图形、实物理解有向线段、零向量、单位向量、平行向量.本教案重点使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别,然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量.了解向量的实际背景.理解平面向量的概念和向量的几何表示．本节课的教学重点是了解向量的实际背景.理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念．通过本节课的学习让学生明白向量不同于数量.它是一种新的量.在概念的理解学习上要充分发挥几何图形的直观的特点.使学生在感性认识的基础上建立概念.并理解概念的实质．课时分配本节内容用1课时的时间完成.主要讲解向量的概念、向量的几何表示．教学目标重点: 通过对位移、力等实力的分析理解平面向量的有关概念、向量的几何表示和符号表示.理解零向量、平行向量.．难点：向量和矢量的区别、向量和有向线段间的关系、平行向量的理解．知识点：向量与矢量、有向线段、零向量、单位向量、平行向量.能力点：培养用联系的观点.类比的方法研究向量.教育点：通过学生对向量与数量的识别能力的训练.培养学生认识客观事物的数学本质的能力.自主探究点：生活中的向量.考试点：正确理解向量的表示、单位向量、零向量与平行向量的概念.并能区别.易错易混点：向量与矢量、零向量与零、a与a.拓展点：物理中的向量．教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、新课引入问题1：1.在物理中.位移与距离是同一个概念吗？为什么？问题2：现实世界中有各种各样的量.如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等.在数学上.为了正确理解、区分这些量.我们引进向量的概念. 【设计意图】引人向量的概念． 【设计说明】学生回答． 二、探究新知探究一：向量的物理背景与概念 探究概念思考1：在物理中.怎样区分作用于同一点的两个力？思考2：物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？思考3：在如图所示的弹簧中.被拉长或压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内.弹力的大小与什么因素有关？【设计意图】让学生通过思考发现：力不只有大小.还有方向． 【设计说明】让学生通过思考讨论．思考4：力既有大小、又有方向.在物理学中称为矢量.你还能指出哪些物理量是矢量吗？ 【设计意图】引出向量的概念． 【设计说明】让学生通过思考讨论．向量：既有大小、又有方向的量叫做向量;思考5：数学中.把既有大小.又有方向的量叫做向量.把只有大小.没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？【设计意图】加深对向量概念的理解.得出矢量的概念．【设计说明】学生思考．矢量：只有大小没有方向的量.探究（二）：向量的几何表示思考1：一条小船从A地出发.向西北方向航行15km到达B地.可以用什么方式表示小船的位移？思考2：对于一个实数.可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切.可以用三角函数线表示；对于一个二次函数.可以用一条抛物线表示….数学中有许多量都可以用几何方式表示.你认为如何用几何方式表示向量最合适？【设计意图】引出向量的几何表示．【设计说明】学生思考．思考3：如图.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.一条有向线段由哪几个基本要素所确定？有向线段包含三要素：起点、方向、长度思考4：用有向线段AB表示向量.向量的大小和方向是如何反映出来的？用有向线段的方向表示向量的方向；用有向线段的长度表示向量的大小.思考5：有向线段AB的长度就是指线段AB的长度.也称为向量AB的长度或模.它表示向AB.两个不同的向量可以比较大小吗？量AB的大小.记作||向量不能比较大小；但向量的长度是数量.可以比较大小.【设计意图】让学生注意到向量的几何表示的注意点．【设计说明】学生思考记忆．向量的字母表示：如果表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母.向量也可以用黑体字a b c（手写体）表示.母a.b.c.…（印刷体）.或,,此时向量的模怎样表示？思考6：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？模为0的向量叫做零向量.记作0（注意和0的区别.手写时上面的不能省略）；模为1个单位的向量叫做单位向量.思考7：模为0的向量叫做零向量.记作0；模为1个单位的向量叫做单位向量.怎样理解零向量的方向？规定：零向量的方向任意.注意：单位向量只规定长度.没规定方向.所以单位向量有无数个.【设计意图】零向量、单位向量的概念．【设计说明】学生讨论探究（三）：平行向量思考1：如果两个向量所在的直线互相平行.那么这两个向量的方向有什么关系？方向相同或相反思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行记作a//b.那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？3：零向量0与向量a平行吗？规定：零向量与任意向量平行.想一想？对于向量a、b、c.若a // b. b // c.那么a // c吗？【设计意图】让学生理解平行向量的概念.注意零向量．【设计说明】学生讨论三、理解新知知识小结：1、向量是既有大小又有方向的量.可以用有向线段AB表示.其中A为起点.B为终点.2、向量的大小称为向量的长度或向量的模.长度为0的向量称为零向量记住0.长度为1的向量称为单位向量.单位向量有无数个.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定零向量与任意向量平行.【设计意图】进一步理解向量的概念、几何表示、字母表示、向量的模、零向量、单位向量． 【设计说明】学生完成． 四、运用新知例1 已知飞机从A 地按北偏东30°方向飞行2000km 到达B 地.再从B 地按南偏东30°方向飞行2000km 到达C 地.再从C 地按西南方向飞行km 到达D 地. （1）画图表示向量,,AB BC CD ；（2）求飞机从A 地到达D 地的位移所对应的向量的模和方向.【设计意图】加深向量的几何表示的理解 【设计说明】．学生思考讨论.例2 如图.四边形ABCD 为正方形.△BCE 为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点.写出与向量AB 模相等的所有向量.答：,,,,,,,,BA BE EB A D DA BC CB CD DC uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r想一想：与向量AB 平行的非零向量有那些？ 【设计意图】加深对向量的长度的理解 【设计说明】．学生思考讨论.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1．知识：(1)向量的定义．(1)向量的几何表示、字母表示．(3)零向量、单位向量、平行向量．2．思想：数形结合的思想．教师总结:弄清向量、矢量区别与联系.学会用有向线段表示向量.注意向量的字母表示手写体．提醒学生：在学习新知时.也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解.及时查缺补漏.从而更好地运用知识.解题要有目的性.加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．【设计意图】进行适时小结.让学生对这次课的学习有个系统的认识.加深学习印象．六、布置作业1．书面作业必做题： P77-78习题2.1 A组第1.2题选做题： B组第1题2．课外思考把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是？【设计意图】设计书面作业必做题.是引导学生先复习.再作业.培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置.是为了巩固学习效果；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排.是让学生进一步理解向量的有关概念.起到让学生课下探索发现、预习新课的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是向量的物理背景、向量的几何表示.在学生已有的物理知识背景.通过不断思考、归纳总结出向量的有关概念2.由于各校的情况不同.建议教师在使用本教案时灵活掌握.但必须在概念的理解上下足功夫．3.本节课的弱项是由于时间所限.在课堂上没有充分暴露学生的思维过程.没有很好的调动学生的积极性与主动性．八、板书设计一、知识点1．向量：既有大小又有方向的量． 数量：只有大小没有方向.．2．有向线段：带有方向的线段 3、向量的字母表示：AB .a 4、向量的长度（模）：向量的大小. 5、零向量、单位向量.6、平行向量方向相同或相反的向量. 规定：零向量与任一向量平行. 二、应用 例1例2三、课堂小结：四、课后作业必做题：1. P77-78习题2.1 A 组第1.2题选做题： B 组 第1题 2．课外思考把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是？。
人教A版高中数学必修四课件：第二章2-1平面向量的实际背景及基本概念
2．下列各量中不是向量的是：( A．位移 C．速度 B．力 D．质量
)
解析：只有质量不是向量． 答案：D
3．设 e1，e2 是两个单位向量，则下列结论中正确的 是( ) A．e1＝e2 C．|e1|＝|e2| B．e1∥e2 D．以上都不对
解析：单位向量的模都等于 1 个单位． 答案：C
4. 向量 a 与任一向量 b 平行，则 a 一定是________． 解析：有且只有零向量与任一向量平行，所以 a 一定 是 0. 答案：0
(2)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方 → 的大小就是向量的长度(或称 向就是向量的方向．向量AB →| | AB 模)，记作______． (3)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母 a，b， → c， …表示向量， 书写时， 可写成带箭头的小写字母→ a， b， → c ，….
温馨提示 几何表示为用向量处理几何问题打下了 基础，而字母表示则有利于向量运算．
[变式训练] 一架飞机从 A 点向西北飞行 200 km 到 达 B 点，再从 B 点向东飞行 100 2 km 到达 C 点，再从 C 点向东偏南 30°飞行 50 2 km 到达 D 点． 问 D 点在 A 点的什么方向？D 点距 A 点多远？
→ |＝100 2，知 C 在 A 解：由|BC → |＝100 2. 的正北方向，|AC → |＝50 2，∠ACD＝60°知∠CDA＝90°. 又由|CD
第二章
平面向量
2．1 平面向量的实际背景 及基本概念
[学习目标] 1.理解向量的有关概念及向量的几何表 示(重点)． 2.理解共线向量、 相等向量的概念(难点)． 3. 正确区分向量平行与直线平行(易错点、易混点)．
[知识提炼· 梳理] 1．向量的概念 定义：既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．向量的表示 (1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．它包 含三个要素：起点、方向、长度．
人教版高中数学高一A版必修4 第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念
第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题： (1)什么是向量？向量和数量有何不同？ (2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？ (4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、…说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？ 不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？ 说明二：有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0； 单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的． 向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量． 注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？ 练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结 通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．。
第二章 平面向量的实际背景及基本概念
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知识预览
1．向量的概念与几何表示 (1)我们把既有大小又有方向的量叫做向量． (2)具有方向的线段叫做有向线段，A 为起点，B 为终点 → → 的有向线段记作AB， 线段 AB 的长度叫做有向线段AB的长度， → 记作|AB|，有向线段包括三个要素：起点、方向、长度．
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→ 解：(1)由四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形，知DC， → → → ED与AB长度相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为 → → DC和ED. → → → → → → (2)依据图形可知DC，ED，EC与AB方向相同，BA，CD， → → → → → → DE， 与AB方向相反， CE CD 所以与向量AB共线的向量有BA， ， → → → → → DC，ED，DE，EC，CE.
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自测自评
1．下列各物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤ 加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解析：②③④⑤是向量． 答案：D
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2．下列结论中错误的是( ．．
)
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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目标定位
目 标 要 求 1.了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出 向量． 2． 理解向量的概念， 相等向量的概念及向量的几何表示． 3．掌握向量的概念及共线向量的概念. 热 点 提 示 1.对向量概念以及共线向量的考查是本节的热点． 2．本节内容常与三角函数、解析几何结合命题． 3．多以选择题、填空题的形式考查.
平面向量的实际背景及基本概念教案-人教A版数学必修4第二章平面向量2.1
第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念第三课时 2.1.3相等向量与共线向量1 教学目标[1]掌握相等向量,共线向量的概念。
[2]会区分相等向量，共线向量，平行向量。
[3]理解零向量与任何向量平行。
[4]通过学习对相等向量与平行向量的区别的学习，更加深刻的理解好向量与数量的关系，提高数学思维能力和认识新事物的能力。
2教学重点/难点教学重点：相等向量，共线向量的概念。
教学难点：区分相等向量与共线向量。
3专家建议通过介绍相等向量、共线向量概念，给学生渗透平移变换及数形结合的思想4 教学方法类比探究→归纳讲解→总结→练习提高。
5 教学过程5.1 复习引入【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答，我们上节课学了什么内容？【板书】向量：既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中常称为矢量）数量：只有大小，没有方向有向线段：带有方向的线段叫做有向线段有向线段的三要素：起点、方向、长度模：向量的长度零向量：长度为0的向量叫做零向量单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量5.2 新知介绍[1]相等向量【师】我们知道，速度是矢量，有大小和方向，那么怎样的两个速度才是相等的呢？【生】讨论回答【师】总结“大小相等，方向相同”才能说速度相等【板书】速度相等：大小相等，方向相同【师】那么相等向量要具备什么条件呢？【生】讨论回答【师】总结“长度相等，方向相同”的向量叫做相等向量【板演/PPT】相等向量：长度相等，方向相同如图，在平行四边形ABCD中，能找出相等向量吗？向量与是相等向量吗？向量与是相等向量吗？向量与CB是相等向量吗？【师】同学们拿出三角板，在练习本上画出长度分别为3cm和4cm的两组相等向量【生】动手画图【师】请大家注意，一定要满足两个条件哦，长度相等，方向相同。
（然后，检查讲解）[2]共线向量【师】两个向量除了长度相等，方向相同，还有没有其它情况？【生】讨论回答【师】总结【板书】长度相等，方向相反长度不等，方向相同长度不等，方向相反【板书/PPT】长度相等，方向相反的两个向量可以平移到同一条直线上长度不等，方向相同的两个向量可以平移到同一条直线上长度不等，方向相反的两个向量可以平移到同一条直线上【师】让我们来总结一下【板书/PPT】方向相同或相反的非零向量ba,叫做平行向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量。
人教A版高中数学必修4《第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.3 相等向量与共线向量》_35
相等向量与共线向量【学习目标】1. 理解平行向量，相等向量，共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量。
2. 从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．【重点、难点】重点：理解平行向量，相等向量，共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量。
难点：从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．自主学习案【问题导学】1.向量可以用表示向量的有向线段的起点与终点字母来表示，如图所示，向量AB：起点A，终点B。
有向线段的长度表示向量的，向量的大小也叫向量的（或）；有向线段的方向表示向量的。
2.方向或的向量叫平行向量，如向量ba,平行，通常记作，规定0与任一向量。
3.任意一组平行向量都能到同一条直线上，因此，平行向量也叫共线向量。
4.长度且方向的向量叫相等向量，若向量ba,相等，记作。
【预习自测】1．下列说法不正确的是（）A．方向相同或相反的非零向量是平行向量。
B. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量C. 有公共起点的向量叫做共线向量。
D. 零向量与任一向量共线2．已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量=合作探究案【课内探究】例1．判断下列命题的真假:（1）向量AB的长度和向量BA的长度相等. （2）向量a与b平行,则b与a方向相同.（3）向量a与b平行,则b与a方向相反.（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.（5）若a与b平行同向,且a＞b，则a＞b（6）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。
（7）如果a=b，则a与b长度相等。
（8） 如果a =b ，则与a 与b 的方向相同。
（9） 若a =b ，则a 与b 的方向相反。
（10）若a =b ，则与a 与b 的方向没有关系。
（11）已知b a ,为两个单位向量，则b a =例2.给出下列命题：（1）若b a //，c b //则c a //。
人教A版高中数学必修4《第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》_28
2.1 平面向量的基本概念及几何表示一、教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念；3.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.二、教学重难点1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，会表示向量.2.教学难点：向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念.三、教学设计1、情景引入：位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.思考：如图，如何由 A 点确定 B 点的位置？结论：一种常用的方法是，以 A 点为参照点，用 B 点与 A 点之间的方位和距离确定 B 点的位置，如 B 点在 A 点南偏东 45 度，30 千米处. 这样在 A 点与 B 点之间，我们可以用有向线段 AB 表示 B 点相对于 A 点的位置. 有向线段 AB 就是 A 点与 B 点之间的位移. 位移简明地表示了位置之间的相对关系. 像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章将要研究的向量.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用.提问：那么你能举出一些这样既有方向，又有大小的量吗？二、新课学习：讲授新课：1、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量向量的两要素：大小、方向 .数量：只有大小没有方向的量 .数量可以比较大小，向量不能比较大小 .例题：下列不是向量的是( )①质量; ②速度; ③位移; ④温度;⑤加速度; ⑥路程; ⑦密度; ⑧功2、数量的表示方法：由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如 3，2，-1，…而且不同的点表示不同的数量 .向量的表示方法：对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例 ( 标度 ) 画出，它的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向（1）几何表示法：用有向线段的图形来表示有向线段三要素：起点、方向、长度如图，以 A 为起点 B 为终点的有向线段记为：→AB 向量可以用有向线段来表示，向量→AB 的大小，也就是向量→AB 的长度( 或简称模 )，记作：||→AB 注：向量的模是可以比较大小的 .（2）字母表示法① 用 →→→c b a ,,来表示，相应向量的大小（向量的模）表示为： |||,||,|→→→c b a② 用表示向量的有向线段的起点和终点的字母来表示（起点在前，终点在后）3、特殊向量：零向量：长度为 0 的向量，记作：→0 .单位向量：长度为1个单位的向量 .平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，记作→→b a //注：① 零向量与单位向量的定义都只限制了大小；每个单位向量的方向是确定的，但是规定：零向量的方向是任意的 .② 注意→0和数 0 的含义与书写的区别 .③规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 →a ，都有→→a //04、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.（4）在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量；因为向量完全由它的方向和模确定.（5）向量或有向线段平移,不会改变其长度和方向5、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.思考：（1）对于非零向量AB和CD，如果AB=CD，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？（2）用有向线段表示非零向量AB和CD如果AB=CD，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？例：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？辨析：“向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说法对吗？辨析：（1）书写向量符号时，箭头可以省略.（2）温度含零上和零下温度，所以温度是向量（3）所有向量的模都是一个正数.（4）若|a|>|b|，则a>b思考：(1)如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？(2)我们知道方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？(3)零向量0与向量a平行吗？(4) 将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作OA=a,OB=b,OC=c那么点A、B、C的位置关系如何？(5)非零向量AB,CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？(6)若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a 与b平行（或共线）吗？(7)对于向量a,b,c,若a//b,b//c，那么a//c吗？(8)对于向量a,b,c，若a=b,b=c，那么a=c吗（三）巩固练习：1、“向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说法对吗？解析：不对，①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关；只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.③有向线段是向量的一种表示方法.2、判断（1）书写向量符号时，箭头可以省略.（2）温度含零上和零下温度，所以温度是向量.（3）所有向量的模都是一个正数.3、判断下列命题是否正确：①若两个单位向量共线,则这两个向量相等（）②不相等的两个向量一定不共线（）③ａ与ｂ共线,ｂ与ｃ共线,则ａ与c也共线（）④任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点（）⑤向量ａ与ｂ不共线,则ａ与ｂ都是非零向量（）⑥有相同起点的两个非零向量不平行（）（四）课堂小结1、向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ:（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：→AB；④向量的大小――长度称为向量的模，记作|→AB|.2、①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.3、①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.4.相等向量--长度相等且方向相同的向量.平行向量与共线向量是同一概念，相等向量与平行向量是包含概念.5.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关6.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线.7.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性.（五）布置作业：P77 练习1、2、3四、教学反思。
人教A版数学必修4 课件 平面向量
始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图
形是( B )
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为 1 的圆
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
3.判断下列各命题的真假：
（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
（2）向量 a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或 相反；
A
D
F
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
B
C E
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
A
D
F
B
C E
解：(1) D E E F F C A F D A D B
FDCEEB
( 2 ) D E F C A F F D C E E B
(3)DE∥FC∥AF∥AC FD∥CE∥EB∥CB
A（起点）
(1)几何表示法：有向线段（起点、方向、长度 ）
(2)字母表示法： a , b , AB
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
【即时训练】
下列说法正确的是（ D） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以 比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
【易错点拨】 两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向 量之间只有相等关系，没有大小之分，对于向
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？ （2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a = b
D
C
规定：0 = 0
A
B
A
B
D
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等 平行向量一定是相等向量精品吗PP?T
C
向量平行
1.把平行于直线L的所有单位向量的起点平移 到L上的点P
2.把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；
3.把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上 的点P 解:（1）是直线L上与点P的距离为1的两个点；
（2）是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆；
(3)直线 L
精品PPT
教学目标： 1. 知识与技能：
零向量与单位向量都只规定了大小，方向是任意的. （2）向量的平行同与直线的平行； （3）向量之间只有相等关系，没有 大小之分； （1）平行向量的定义只规定了非零向量；
精品PPT
判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. 1、任一向量与它的相反向量不相等； 2、共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 3、①平行向量是否一定方向相同？
二.向量的表示
有向线段与向量 是两个不同的概念
1.几何法:用有向线段表示 向量是自由的
有向线段: 规定了起点、方向、长度的 线段
A
B
2. 代数法:用字母表示
a
精品PPT
AB,
或a
向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个 要素；只要大小和方向相同，则这两个向量 就是相同的向量；
人教a版必修4学案：2.1平面向量的实际背景及基本概念(含答案)
回顾归纳 对于命题判断正误题， 应熟记有关概念， 看清、 理解各命题， 逐一进行判断， 有时对错误命题的判断只需举一反例即可． 变式训练 1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
第二章 § 2.1
平面向量
平面向量的实际背景及基本概念
自主学习
知识梳理 1．向量的概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等． 注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 2．向量的几何表示 (1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________， → 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB. 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它 的终点就唯一确定． → → → (2)向量的有关概念：向量AB的________，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.长 度为______的向量叫做零向量，记作 0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量． (3)向量的表示法： ①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向； ②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的 ________ 和 ______的字母表示． (4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量 a 与 b 平行， 通常记为 a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量 a，都有 0∥a. 3．相等向量与共线向量 (1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量 a 与 b 相等，通常 记为 a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量． (2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫 共线向量． 自主探究 谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识．
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》教案_14
向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。
平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。
一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。
所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。
由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。
2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。
但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。
人教A版高中数学必修4《第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》_3
向量的几何表示1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.[基础·初探]阅读教材P 74～P 75例1以上内容，完成下列问题. 1.向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度.(2)向量可以用有向线段表示.向量AB →的大小，也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB →，CD →.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量可以比较大小.( )(2)坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量.( ) (3)某个角是一个向量.( )(4)体积、面积和时间都不是向量.( )【解析】 因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x 轴、y 轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确.【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[小组合作型]向量的表示及应用例1. 某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点.(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求AD →的模.【精彩点拨】 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把AD →放在直角三角形中求得|AD →|.【自主解答】 (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米.△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋2＝55(米)，所以|AD →|＝55米.1.向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等.2.两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.[再练一题]2.一辆汽车从点A 出发，向西行驶了100公里到达点B ，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D.(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示.(2)由题意知AB →与CD →方向相反，∴AB →与CD →共线， ∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD.又∵|AB →|＝|CD →|， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝200(公里).1.下列说法中正确的个数是( ) ①身高是一个向量； ②∠AOB 的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ④物理学中的加速度是向量. A.0 B.1 C.2 D.3。
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平面向量的实际背景及基本概念课时练
1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个 D . 4 个
解析：由物理知识知，质量、路程、密度、功是标量，而速度、位移、力、加速度是向量.
答案：D
2. 在下列命题中，正确的是( )
A •若|a|>|b|,贝V a>b
B. 若|a|=|b|,则a= b
C. 若a= b,则a与b共线
D .若a丰b,则a 一定不与b共线
解析：分析四个选项知, C 正确．
答案：C
3．设a, b 为两个单位向量,下列四个命题中正确的是( )
A. a = b
B. 若a// b,贝U a= b
C. a= b 或a= —b
D. 若a = c, b = c,贝U a = b
答案：D
4.设M是等边△ ABC的中心，贝U AM、MB、MC是()
A ．有相同起点的向量
B .相等的向量
C.模相等的向量
D ．平行向量
解析：由正三角形的性质知，|MA|=|MB|=|MC|.
•••|MA|= |MB|= |MC|.故选C.
答案：C
5•如右图，在四边形ABCD中，其中AB= DC,则相等的向量是（）
A.AD 与CB
B.OA 与OC
C.AC 与DB
D.DO 与OB
解析：由AB= DC知，四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质知，|DO|= |OB 故选D.
答案：D
6.如下图，ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与A C平行且长度为2农的向量个数是__________ .
解析：如图所示，满足条件的向量有EF、FE、HG、GH、AQ、QA、PC、CP共8个.
答案：8个
7.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是
解析：这些向量在同一直线，其终点构成一条直线.
答案：一条直线
&给出以下5个条件：①a= b;②|a|=|b|;③a与b方向相反；④|a|= 0或|b|= 0;⑤a
与b都是单位向量，
其中能使a // b成立的是________ .
答案：①③④
9. 如下图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边中点，分别指出图中：
⑴与向量HG相等的向量；
⑵与向量HG平行的向量；
(3)与向量HG模相等的向量；
⑷与向量HG模相等、方向相反的向量.
解：(1)与向量HG相等的向量有EF.
f f f
⑵与向量HG平行的向量有EF、FE、AC、CA、GH.
⑶与向量HG模相等的向量有GH、EF、FE.
⑷与向量HG模相等、方向相反的向量有GH、 FE.
10. 一辆汽车从A点出发向西行驶了
100km到达B点，然后又改变方向向西偏北45走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.
(1) 作出向量AB , BC , CD ;
f
(2) 求|AD|.
解：⑴如下图所示.
⑵由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD平行.
又|AB|= |CD|= 100 km ,
•••在四边形ABCD中，AB綊CD.
•••四边形ABCD为平行四边形.
•••|AD|= |BC|= 200 km.
备课资源
1•下列给出的命题正确的是（）
A •两个相等的向量，起点、方向、长度必须相同
B .两个共线的向量，其方向一定相同
C.若两个向量不共线，则这两个向量都是非零向量
D .两个有共同起点的共线向量，其终边一定相同
答案：C
2. 下列结论中正确的是（）
A .若|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反
B .若向量AB与CD满足|AB|>|CD|,且AB与CD同向，贝V AB>CD
C.若a= b,贝U a// b
D .由于零向量方向不定，故零向量不能与任一向量平行
解析：由相等的向量是平行向量知，C正确.
答案：C
3. 若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：
a
①|a|>|b|;② a / b;③ |a|>0;④ |b|= ±1;⑤厂二b
|a|
其中正确的是 _________ .
答案：③
4. A ABC是等腰三角形，则两腰上的向量A B 与AC的关系是.
答案：AB|= |AC|
5. 如图所示，△ ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.
（1）写出与EF相等的向量；
⑵写出与EF模相等的向量.
1 解析：（1）点T E、F分别是
AC、AB的中点，••• EF綊？BC.
又点D为BC的中点,
•••与EF相等的向量有DB, CD.
f f f
(2)与EF模相等的向量有FE, BD , DB, DC , CD.。