第8章 假设检验150105

注意到，当
H0
成立时， Z
X 500 25
~
N (0,1) ．而对
x
500
大小的衡量就是对
z
大小的衡量，因为
x 500 c 即 z
5
c
Hale Waihona Puke k，x 500
c
即
z
k
．
2
又注意到，虽说假设 H0 和 H1 中只有一个是正确的，但由于做判断的依据是样本，因此可能会犯这样
的错误： H0 成立却拒绝了 H0 ．我们不能排除犯这种错误的可能性，但希望犯这种错误的概率“P{ H0 成立
以上这些例子是总体分布中的某些参数，甚至是总体的分布形式未知，却是从总体的一个样本出发去 推断一个“假设”是否成立．这些都是假设检验问题．
例 8.1-例 8.3 中的假设检验是关于总体参数的检验问题，其中例 8.1 与例 8.2 是关于一个参数是否为 某个数值的检验问题，例 8.3 则是关于两个参数是否相等的检验问题；
§8.1 假设检验问题 下面举例说明假设检验问题、假设检验思想和假设检验方法. 8.1.1 问题的提出 例 8.1 检验：“次品率超过 1%”了吗？ 例 8.2 检验：“ 500 ”吗？ 例 8.3 检验：“ E( X ) E(Y ) ”吗？(其中 X 和 Y 分别表示 70 C 与 80 C 下的断裂强力值) 例 8.4 检验：“ X 服从某指定分布”吗？
有时我们只关心被检验的总体参数增大或减小，例如，试验新工艺以提高材料的强度，自然希望新工
艺下的材料强度的均值越大越好，而且如果新工艺下材料强度的均值较以往工艺的大，则考虑采用新工
艺．为此，需要检验假设
H0 : 0 , H1 : 0 ．
(8.4)
类似地，有时需要检验假设
H0 : 0 , H1 : 0 ．
z
x 500 25
z 2 ，
就拒绝 H0 ；不满足，则接受 H0 ．
如取 0.05 ，这时 z 2 z0.025 1.96 ，由样本值算得 x 502.4 ，此时 z x 500 2.6833 1.96 ． 25
于是拒绝 H0 ，即认为生产线工作不正常．
如取 0.002 ， z 2 z0.001 3.090 ，这时 z x 500 2.6833 3.090 ． 25
P{ H0 成立但拒绝 H0 }= P Z k ，
Z z 2
(8.2) (8.3)
Z z 2 确定的区域为假设 H0 的接受域．把由样本值算得的 x 代入(8.3)式，如果不等式成立，则拒绝假设 H0 ，否 则接受假设 H0 ．
(8.1)式中的备择假设 H1 表示 可取在 0 的两边，即 0 或 0 ，称为双边备择假设，(8.1)因此 称为双边检验．
第 8 章教学要求： 1.了解假设检验问题，理解假设检验的基本思想.了解假设检验的两类错误，掌握假设检验的步骤. 2.会对正态总体参数作假设检验.
第 8 章 假设检验 研究如何利用样本所提供的信息，对总体分布中的未知参数或总体的分布所提出的假设做出判断的问 题即为假设检验问题． 本章将介绍假设检验的思想和方法，判断“假设”是否成立．
但拒绝 H0 }”能控制在一定的范围内，这可以表示为，对于较小的正数 (0 1) ，
P{ H0 成立但拒绝 H0 } .
(*)
(*)式亦即
P z
k
P
X
500
k
．
2 5
(**)
若令(**)式取等号，有
P z
k
P
X
500
k
，
2 5
k z 2 即是使(**)式成立的最小 k 值．那么，当 X 的样本观测值满足
生产线工作正常，即 X N(500 , 22 ) ，本例即要判断“ 500 ”是否成立．
提出假设 H0 : 500 , H1 : 500 ．这是关于总体均值的假设检验．
我们需要根据样本观测值做出接受 H0 或是拒绝 H0 的选择．如果接受 H0 ，则认为生产线工作正常；否 则，认为生产线工作不正常．
z
2的x
，那么假设 H0 的正确性就值得怀疑．另外，选定
后，数
k 便可以确定，
它是检验假设 H0 成立与否的门槛值.如果
x 500 25
k
z
2 成立，则认为 x
与 500 的差异是显著的，否则认
为差异是不显著的，数
因此称为假设检验的显著性水平，统计量
Z
X 500 25
则称为检验假设
H0
的检验
统计量．
例 8.4 是关于总体分布的假设检验问题．
对总体分布中的某些参数或总体的分布形式提出假设，然后根据总体的样本对假设进行检验，并做出 接受或是拒绝假设的选择，这就是假设检验．
8.1.2 假设检验的基本思想 下面结合例 8.2 说明“如何根据样本推断一个假设成立与否”．
以 X 表示每听罐头的重量，则 X ~ N( , 22 ) ．
上面的检验问题及检验过程一般可以叙述为：在显著性水平 下，检验假设 H0 : 0 , H1 : 0 ．
H0 称为原假设或零假设， H1 称为备择假设．
(8.1)
选择一个合适的检验统计量（含
，但令
0
，不含其它未知参数）
Z
X 0 n
~ N (0,1) ，并令
找使上式等号成立的最小 k 值，有 k z 2 ，称 所确定的区域为假设 H0 的拒绝域，称由
我们知道，样本均值是对总体均值的无偏估计.如果 H0 成立，那么样本均值 X 就服从正态分布 N (500, 22 / n) ，其取值将分布在 500 附近. x 500 一旦过大，H0 的正确性就值得怀疑．因此， x 500 的大
小就用来检验假设 H0 成立与否．当 x 500 c ( c 为适当选取的正数)时，我们就接受 H0 ；当 x 500 c 时， 就拒绝 H0 ．
(8.5)
形如(8.4)的假设检验，称为右边检验；形如(8.5)的假设检验，称为左边检验．右边检验和左边检验统称
为单边检验．
仍然考虑例 8.2， X ~ N( , 22 ) ．如果检验假设
因此接受 H0 ，即认为生产线工作正常．
可见， 的值会影响选择．
总是取得比较小，一般取为 0.01 或 0.05，有时也把 0.10 包括在内.所以如果 H0 成立，则
X 500 25
z
2
可视为小概率事件．由于小概率事件在一次观测中几乎是不发生的，所以在一次观测中如
果出现了满足
x 500 25