图形的运动(翻折旋转放缩)—教师版
第3讲 图形的运动(教师版)(知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升)北师大版
第3讲图形的运动知识点一：图形的旋转1. 图形旋转的含义及三要素旋转中心、旋转方向、旋转角度2. 在方格纸上画简单图形绕其顶点旋转90°后的图形图形绕某一点旋转一定的度数，图形中的对应点、对应线段都旋转了相同的度数，对应点到旋转点的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
3.旋转的特点旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
知识点二：图形的运动1.在方格纸上图形的平移、旋转（1）图形平移时，先确定移动的方向，再确定移动的格数；（2）旋转应找准旋转中心、旋转方向以及旋转角度；（3）作轴对称图形要先确定对称轴。
图形经过平移、旋转、轴对称变换后，图形大小不变。
2. 记录图形位置的“还原”过程用平移或旋转进行图形运动时，要先观察变化前后各部分的位置，再确定如何通过平移或旋转得到。
知识点三：欣赏与设计利用平移、旋转和轴对称设计美丽的图案一个图形通过平移、旋转或轴对称变换可以得到不同的图案。
复杂的图案是由一个或几个简单的基本图形变换而来的。
考点一：图形的旋转例1．（2020春•綦江区期末）画一画，填一填．（1）画出把长方形绕0点顺时针方向旋转90°后的图形．（2）旋转前A点的位置是（4，3），旋转后A点的位置是（2，5）．（3）画出把三角形向下平移4格后的图形．（4）画出三角形的各边缩小为原来的后的图形．【分析】（1）根据旋转的特征，长方形绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。
（2）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，及长方形旋转前、后A所在的列与行即可分别用数对表示出来。
（3）根据平移的特征，把三角形的各顶点分别向下平移4格，依次连结即可得到平移后的图形。
（4）图中三角形是两直角边分别为4格、2格的直角三角形，根据图形放大与缩小的意义，缩小后的图形是两直角分别为（4×）格、（2×）格的直角三角形。
第七单元《图形的运动》教案
最后，关于课堂氛围的营造，我觉得在本章节的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们的学习兴趣得到了很好的激发。在今后的教学中，我会继续关注学生的兴趣点，将更多有趣的生活实例融入教学，让数学课堂变得更加生动有趣。
其次，在实践活动环节，我发现学生们在分组讨论时，有些小组的讨论效率不高，个别学生参与度较低。为了提高学生的参与度，我应该在分组时更加注意成员的搭配，尽量让每个学生都能在小组中发挥自己的作用。同时，在讨论过程中，我会加强对学生的引导，鼓励他们积极表达自己的观点，提高讨论效果。
在学生小组讨论环节，我发现有些学生在分享成果时表达不够清晰，逻辑性不强。针对这一问题，我计划在今后的教学中加强对学生表达能力的训练。例如，在小组讨论结束后，让学生先在组内进行一次预演，然后再向全班展示。这样有助于提高他们表达的条理性和自信心。
难点举例：让学生在实际操作中，理解并掌握平移和旋转前后坐标之间的关系。
（2）轴对称的判定：正确判断轴对称图形，并找到对称轴。
难点举例：引导学生观察、分析常见轴对称图形的特点，掌握轴对称的判定方法。
（3）图形运动组合问题：解决图形在平移、旋转和轴对称组合运动下的变化规律。
难点举例：通过具体实例，让学生学会分析图形运动过程，将复杂问题分解为简单运动组合，并逐步解决问题。
第七单元《图形的运动》教案
一、教学内容
《图形的运动》为七年级数学第七单元，主要包括以下内容：1.平移：理解平移的概念，掌握图形的平移规律，并能运用坐标描述平移；2.旋转：理解旋转的概念，掌握图形的旋转规律，并能运用坐标描述旋转；3.轴对称：掌握轴对称的性质和判定方法，了解轴对称在实际中的应用；4.图形的运动组合：掌握图形在平移、旋转和轴对称的组合运动下的变化规律。本章节将通过丰富的实例和练习，让学生在实际操作中感受和掌握图形的运动规律，提高空间想象能力和解决问题的能力。
图形的运动 (教案)三年级下册数学北师大版
图形的运动（教案）一、教学目标1.掌握图形的平移、翻转和旋转运动；2.能够通过观察图形的位置关系，确定它们的运动方式；3.提高学生的空间想象能力和手眼协调能力；4.发展学生的创造性思维和解决问题的能力。
二、教学重点1.图形的平移、翻转和旋转运动的概念；2.运用平移、翻转和旋转运动将图形从一个位置移动到另一个位置。
三、教学难点1.学生在实际操作中能否准确地掌握平移、翻转和旋转运动；2.学生能否将所学知识运用到解决实际问题中。
四、教学方法1.情景化教学法；2.案例教学法；3.讨论教学法；4.操作式教学法。
五、教学过程导入环节1.呈现一些简单的图形，如正方形、三角形、圆形等；2.引导学生对图形进行分类，如形状、边数等；3.让学生想一想，这些图形之间有哪些相同之处和不同之处。
教学步骤1.平移运动–引导学生回忆坐标系中点的坐标表示方式；–通过给出一个图形，让学生尝试将它按照指定方向平移一个单位；–让学生自己动手尝试将一个图形平移一个指定的距离以及平移多个单位。
2.翻转运动–引导学生回忆翻转的概念；–展示一些翻转的实例，如镜子翻转、书页翻转等，让学生对翻转有一个初步的理解；–通过给出一个图形，让学生尝试将它进行水平或垂直翻转；–让学生自己动手翻转一个图形，并记录下翻转前后的图形特点。
3.旋转运动–引导学生回忆旋转的概念；–展示一些旋转的实例，如旋转木马、旋转舞台等，让学生对旋转有一个初步的理解；–通过给出一个图形，让学生尝试将它逆时针旋转一个指定角度；–让学生自己动手旋转一个图形，并记录下旋转前后的图形特点。
4.运用进阶–给出一些形状相同但位置不同的图形，让学生通过平移、翻转和旋转将它们移动到同一位置；–设计一些类似谜题的问题，让学生运用所学知识解决问题。
结束环节1.回顾本课时所学内容；2.分享学习心得和体会；3.结合实际，让学生思考图形运动在生活中的应用场景。
六、教学评价1.学生的操作能力是否能够达到预期目标；2.学生思维能力和解决问题的能力是否有提高；3.学生有没有在课堂上积极参与讨论、独立思考。
六年级下册数学教案-第三单元《图形的运动》北师大版
六年级下册数学教案第三单元《图形的运动》北师大版教学目标1. 知识与技能：使学生掌握平移、旋转和轴对称的基本概念，并能够运用这些概念解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、思考和讨论，培养学生空间想象力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养合作精神和创新意识。
教学内容1. 平移：图形在平面内沿直线方向移动，位置改变，形状和大小不变。
2. 旋转：图形绕一点按某个方向转动一个角度，位置和方向改变，形状和大小不变。
3. 轴对称：图形可以沿着某条直线对折，对折后的两部分完全重合。
教学重点与难点1. 重点：平移、旋转和轴对称的定义及其性质。
2. 难点：图形运动后的位置变化和形状保持不变的理解。
教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、实物模型、直尺、量角器。
2. 学具：练习本、彩笔、剪刀、胶水。
教学过程1. 导入：通过生活中的实例引入图形运动的概念，如推拉门窗（平移）、旋转门（旋转）等。
2. 探究：学生分组讨论，观察并操作教具，探索图形运动的特点和规律。
3. 讲解：教师结合多媒体课件，讲解平移、旋转和轴对称的定义、性质和应用。
4. 练习：学生完成练习题，巩固所学知识。
5. 展示：学生展示自己的作品，分享学习心得。
板书设计1. 《图形的运动》2. 提纲：平移、旋转、轴对称3. 关键词：位置、形状、大小、直线、角度、对称轴作业设计1. 书面作业：完成练习册相关题目。
2. 实践作业：观察生活中的图形运动实例，记录下来并分享。
课后反思1. 教学效果：学生对图形运动的概念和性质是否掌握，能否解决实际问题。
2. 改进措施：针对学生的掌握情况，调整教学方法和进度，提供更多的实践机会。
本教案旨在通过观察、操作、思考和讨论，让学生掌握图形运动的基本概念和性质，培养空间想象力和逻辑思维能力。
同时，注重激发学生的学习兴趣，培养合作精神和创新意识。
在教学过程中，教师应关注学生的反馈，及时调整教学策略，确保教学效果。
人教版数学四下第七单元《图形的运动(二)》教案
人教版数学四下第七单元《图形的运动（二）》教案
一、教学目标
1.能够通过观察、分析和操作图形，掌握图形的平移、旋转、翻折的基本方法。
2.能够绘制直线的平移、旋转、翻折后的图形。
3.能够解决问题中有关图形变化的具体计算。
二、教学重点
1.图形的平移、旋转、翻折。
2.绘制平移、旋转、翻折后的图形。
三、教学难点
1.理解平移、旋转、翻折的概念及实现方法。
2.解决问题中的具体计算。
四、教学过程
1. 导入新知识
教师出示一个图形，并让学生想象图形做不同的动作，引出图形的运动概念。
2. 学习平移
1.讲解图形的平移概念和方法。
2.示范如何进行平移操作。
3.练习平移的相关题目。
3. 学习旋转
1.讲解图形的旋转概念和方法。
2.示范如何进行旋转操作。
3.练习旋转的相关题目。
4. 学习翻折
1.讲解图形的翻折概念和方法。
2.示范如何进行翻折操作。
3.练习翻折的相关题目。
5. 综合练习
让学生通过综合练习，将平移、旋转、翻折运动结合起来，解决实际问题。
五、课堂作业
1.完成课堂上的练习题。
2.拓展练习：在纸上绘制一个图形，进行平移、旋转、翻折操作，并计
算每次的移动距离和角度。
六、教学反思
通过本节课的教学，学生能够掌握图形的运动方法，并能够解决相关问题。
在教学过程中，要注重引导学生思考，激发他们的兴趣和动手能力，帮助他们更好地理解和应用所学知识。
以上教案仅供参考，教师可根据实际情况做出适当调整和拓展。
一平移旋转和轴对称《图形的旋转》(教案)苏教版四年级数学下册
《图形的旋转》教案一、教学目标1. 知识与技能目标：使学生理解和掌握旋转的含义，并能够找出旋转的中心、旋转角和旋转方向。
2. 过程与方法目标：通过观察和分析，培养学生的观察能力和空间想象能力。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生对图形变换的兴趣，培养学生的审美情趣。
二、教学重点与难点1. 教学重点：理解和掌握旋转的含义，能够找出旋转的中心、旋转角和旋转方向。
2. 教学难点：培养学生的观察能力和空间想象能力。
三、教学过程1. 导入新课利用多媒体课件展示一些生活中的旋转现象，如风车、钟表等，引导学生观察并提问：这些现象有什么共同点？学生回答：它们都在旋转。
教师总结：旋转是图形变换的一种，今天我们就来学习图形的旋转。
2. 探究新知（1）认识旋转利用多媒体课件展示一个图形旋转的过程，引导学生观察并提问：这个图形在旋转过程中发生了什么变化？学生回答：图形的位置和方向发生了变化。
教师总结：旋转是图形在平面内绕一个固定点按某个方向转动一定的角度。
（2）找出旋转的中心、旋转角和旋转方向利用多媒体课件展示一个图形旋转的过程，引导学生观察并提问：这个图形是绕哪个点旋转的？旋转了多少度？旋转的方向是怎样的？学生回答：图形是绕点O旋转的，旋转了90度，旋转的方向是顺时针。
教师总结：在旋转过程中，图形绕的点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角，旋转的方向可以是顺时针或逆时针。
3. 巩固练习让学生完成教材中的练习题，进一步巩固对旋转的理解。
4. 课堂小结让学生回顾本节课所学的内容，总结图形旋转的特点和要素。
四、作业布置1. 让学生完成教材中的课后练习题。
2. 让学生观察生活中的旋转现象，并尝试找出旋转的中心、旋转角和旋转方向。
五、板书设计1. 旋转的定义2. 旋转的中心、旋转角和旋转方向六、课后反思1. 教师要关注学生对旋转概念的理解，及时纠正学生的错误认识。
2. 在教学过程中，教师要注重培养学生的观察能力和空间想象能力。
3. 教师要鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的口头表达能力。
《图形的运动(一)——旋转》(教案)人教版二年级下册数学
总结归纳：
在新课呈现结束后，对旋转知识点进行梳理和总结。强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对旋转知识的掌握情况。鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。
错题订正：
针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
4. 问题解决：培养学生运用旋转知识解决实际问题的能力，加强数学与现实生活的联系。
5. 合作交流：通过小组合作、讨论交流，提升学生的团队协作能力和表达能力。
本节课将围绕核心素养目标，设计教学活动，关注学生个体差异，促进全面发展。
重点难点及解决办法
重点：
1. 理解旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。
教学评价与反馈
1. 课堂表现：
- 学生在课堂上能够积极参与，对旋转的三要素有了基本的理解，能够跟随教师的讲解进行思考和操作。
- 大部分学生能够通过观察和动手实践，发现旋转的特征，并能在小组内分享自己的观察结果。
- 少数学生在课堂上的参与度不高，需要教师在后续教学中重点关注，鼓励他们更多地参与到课堂活动中来。
- 旋转中心
- 旋转方向
- 旋转角度
- 知识点二：旋转的特征
- 旋转对称
- 旋转运动
- 知识点三：旋转的应用
- 生活实例
- 图案设计
② 简洁明了：
- 关键词：旋转、三要素、特征、应用
- 核心句：旋转改变图形位置，不改变图形大小和形状。
③ 艺术性和趣味性：
- 设计旋转图案：在黑板上展示一个简单的旋转图案，如四叶草或雪花，突出旋转对称的美感。
小学数学教学备课教案形的平移旋转和翻折
小学数学教学备课教案形的平移旋转和翻折一、引言数学是一门智力和逻辑性相互结合的学科，对于小学生来说，数学的学习不仅仅是掌握运算技巧，更重要的是培养他们的思维能力和创造力。
其中，平移、旋转和翻折是数学中的重要概念，也是培养学生空间想象力和几何直觉的关键内容。
本教案旨在通过具体的教学活动，帮助学生理解和掌握平移、旋转和翻折的概念与操作方法。
二、教学目标1. 理解平移、旋转和翻折的概念；2. 掌握平移、旋转和翻折的操作方法；3. 培养学生观察、分析和解决问题的能力；4. 提高学生的空间想象力和几何直觉。
三、教学重点与难点1. 教学重点：平移、旋转和翻折的概念与操作方法；2. 教学难点：培养学生的空间想象力和几何直觉。
四、教学准备1. 教具：小方块、彩纸、剪刀、图钉；2. 平移、旋转和翻折的示意图。
五、教学过程1. 导入（5分钟）以一个简单的问题开始，让学生思考：“你可以不动物体的形状，只改变其位置吗？”引导学生思考，进一步引出平移、旋转和翻折的概念。
2. 平移的概念与操作（15分钟）a) 引导学生用小方块进行实际操作，通过将小方块沿着桌面平移，让学生理解平移的概念。
b) 给学生发放彩纸和剪刀，让他们制作一些图形，并进行平移操作。
在操作中，让学生思考平移前后的关系和变化。
3. 旋转的概念与操作（20分钟）a) 给学生展示旋转的示意图，让他们理解旋转的概念。
b) 让学生用小方块进行旋转实际操作，引导他们思考旋转的特点和方式。
c) 学生分组进行实践操作，让他们在小组内交流和探讨旋转的规律与技巧。
4. 翻折的概念与操作（20分钟）a) 通过展示一些简单的翻折实例，让学生理解翻折的概念和方式。
b) 学生自己制作一些图形，并进行翻折操作。
在操作中，引导他们思考翻折的规律和特点。
5. 综合运用（15分钟）让学生根据所学的平移、旋转和翻折的知识，对一些图形进行操作和推理。
通过实际操作和思考，帮助学生提高空间思维和解决问题的能力。
二年级数学下册教案《3 图形的运动(一)》32-人教版
二年级数学下册教案《3 图形的运动（一）》32-人教版一、教学目标1.知识与技能–能够正确识别平移、旋转和翻折这三种简单的图形运动方式。
–能够描述图形经过平移、旋转和翻折后的位置关系。
2.过程与方法–提高学生观察、想象和表达的能力。
–培养学生独立解决问题的能力。
3.情感态度价值观–培养学生动手实践的兴趣，培养他们合作、分享的意识。
二、教学重点和难点•教学重点：学生能较好地理解图形的平移、旋转和翻折运动方式。
•教学难点：学生理解平移、旋转和翻折的概念，以及初步进行图形运动的能力。
三、教学准备1.教具准备：图形卡片、图形变换卡片、黑板、彩色粉笔等。
2.学生准备：学生需要提前了解图形的基本形状。
四、教学过程第一课时1.开场导入（5分钟）–在黑板上画出一个图形，问学生这个图形的位置会不会变，应如何变换才能使这个图形移动到另一个位置。
2.发教师引导学生学习平移的特点和方法。
3.小组合作练习（15分钟）–让学生分组，每组拿到一组图形卡片，让他们尝试将图形进行平移，并描述变化。
4.整组讨论（10分钟）–每组派代表介绍自己的操作及心得，其他同学进行讨论。
第二课时1.复习上节课内容（5分钟）–让学生回顾上节课所学的平移方法。
2.介绍旋转运动（10分钟）–通过展示图形变换卡片，引导学生了解图形的旋转。
3.组内练习（15分钟）–让学生在小组内完成一些旋转练习，并相互讨论。
4.整体总结（10分钟）–教师总结旋转运动的特点和方法，并让学生展示他们的练习成果。
第三课时1.回顾前两节内容（5分钟）–让学生回顾平移和旋转的知识点。
2.介绍翻折运动（10分钟）–展示图形进行翻折的方式，引导学生理解翻折的概念。
3.组内练习（15分钟）–让学生在小组内进行翻折练习，并相互展示。
4.全班总结（10分钟）–让学生总结平移、旋转和翻折的区别和联系。
五、课堂延伸1.带入实际生活中，让学生找寻身边的图形运动例子。
2.带入游戏，设计一些需要进行图形运动的游戏，让学生在游戏中体会动手操作的乐趣。
八年级数学上册 图形的变换(平移,旋转,折叠和轴对称) 教案 苏科版
图形的变换一、平移和旋转知识总结1. 图形平移的基本要素在平面内，将一个图形朝某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移。
要素一：朝某一个方向移动要素二：移动一定的距离注：图形上每一点都朝同一个方向移动了相同的距离2. 图形平移的特点平移不改变图形的形状和大小。
3. 图形平移的基本性质图形经过平移后，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等；对应角相等。
4. 图形平移的作图（1）首先确定图形的关键点（2）将这些关键点朝指定的方向移动指定的距离（3）然后连接对应的部分，形成相应的图形5. 图形旋转的要素在平面内，将一个图形绕一个顶点朝某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。
要素一：绕一个定点（旋转中心）要素二：朝某个方向旋转一定的角度注：图形上每一个点都朝同一个方向，绕同一个定点旋转了相同的角度。
6. 图形旋转的特点旋转不改变图形的形状和大小7. 图形旋转的基本性质图形经过旋转后，对应点旋转的角度都相等，方向都相同，对应点到旋转中心的距离相等，且对应线段、对应角相等。
8. 图形旋转的作图(1) 首先确定旋转中心（2）其次确定图形中的关键点（3）将这些关键点朝指定的方向旋转指定的角度（4）然后连接对应的部分，形成相应的图形。
9. 旋转对称图形图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合，这种图形就称为旋转对称图形。
二、轴对称和轴对称图形知识总结1. 轴对称图形及图形的轴对称概念如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（两个图形关于直线对称也叫轴对称），这条直线就说对称轴。
两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点。
思考：全等的图形一定是轴对称的吗？成轴对称的两个图形一定是全等的吗？2. 轴对称图形和图形的轴对称之间的区别和联系两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系。
2024北师大版数学八年级下册3.2《图形的旋转》教案
2024北师大版数学八年级下册3.2《图形的旋转》教案一. 教材分析《图形的旋转》是北师大版数学八年级下册3.2的内容。
本节课主要让学生理解旋转的性质，学会用旋转的观点来分析和解决问题。
通过本节课的学习，学生能够掌握图形旋转的定义，理解旋转中心、旋转角、旋转前后的对应点等概念，并能够运用这些概念解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了图形的平移、翻转等变换，对图形的变换有一定的了解。
但学生对旋转的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和操作来加深理解。
此外，学生可能对坐标系中的旋转问题感到困惑，需要教师进行有针对性的讲解和辅导。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解旋转的性质，掌握图形旋转的定义，学会用旋转的观点来分析和解决问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等活动，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，克服困难，自主学习，体验成功解决问题的乐趣，增强对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：学生能够理解旋转的性质，掌握图形旋转的定义。
2.难点：学生能够理解旋转中心、旋转角、旋转前后的对应点等概念，并能够运用这些概念解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际问题，引发学生的兴趣和思考，引导学生主动探索和解决问题。
2.启发式教学法：教师提出问题，引导学生思考和讨论，激发学生的学习积极性和创造力。
3.合作学习法：学生分组讨论和操作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.归纳总结法：教师引导学生总结旋转的性质和应用，帮助学生形成知识体系。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括图片、动画、实例等，帮助学生直观地理解旋转的概念和性质。
2.教学素材：准备一些实际的图形和问题，用于引导学生操作和思考。
3.坐标系图：准备一些坐标系图，方便学生理解和解决坐标系中的旋转问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的旋转现象，如旋转门、旋转木马等，引导学生关注旋转现象，并提出问题：“什么是旋转？旋转有哪些特点？”2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现旋转的定义和性质，如旋转中心、旋转角、旋转前后的对应点等，并用实例进行解释和演示。
四年级下册数学教案-图形的运动(二)教案-人教新版(1)
四年级下册数学教案图形的运动（二）教案人教新版教学目标1. 知识与技能：使学生理解和掌握平移、旋转和轴对称的基本定义，并能够运用这些运动对图形进行变换。
2. 过程与方法：通过观察、操作、想象和交流等手段，培养学生对图形运动的空间感知能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养其空间想象力和创新意识。
教学内容1. 平移：图形在同一平面内沿直线方向移动，图形的形状、大小不变，位置改变。
2. 旋转：图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
3. 轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
教学重点与难点1. 重点：平移、旋转和轴对称的定义及性质。
2. 难点：理解图形平移、旋转和轴对称的实质，并能在实际中应用。
教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、平移和旋转的动态演示。
2. 学具：学生自备的图形卡片、剪刀、直尺等。
教学过程1. 导入：利用多媒体展示生活中的平移和旋转现象，引起学生兴趣。
2. 新授：通过动画演示和实物操作，让学生直观理解平移和旋转。
讲解轴对称的概念，并通过剪纸活动加深理解。
3. 练习：让学生分组讨论，完成练习题，巩固所学知识。
4. 巩固：进行课堂小测验，检测学生对知识点的掌握情况。
板书设计平移：定义、性质、实例。
旋转：定义、性质、实例。
轴对称：定义、性质、实例。
作业设计1. 必做题：完成课后练习题，巩固图形运动的基本概念。
2. 选做题：设计一个轴对称图案，并解释其对称性。
课后反思1. 教学效果：检查学生对图形运动的理解和应用能力。
2. 改进措施：根据学生的掌握情况，适当调整教学方法和进度。
3. 学生反馈：收集学生对本节课的看法和建议，以便不断优化教学方法。
重点细节：教学过程教学过程详细补充和说明1. 导入：利用多媒体展示生活中的平移和旋转现象，如电梯的运动、旋转木马的转动，让学生观察并描述这些运动的特点。
三年级下册数学教案-总复习图形的运动｜北师大版
三年级下册数学教案总复习图形的运动｜北师大版教案：三年级下册数学教案总复习：图形的运动一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材中的第五章《图形的运动》。
该章节主要让学生掌握平移、旋转和翻转的概念及特点，并通过实际操作和练习，使学生能够灵活运用这些概念和特点解决实际问题。
二、教学目标1. 理解并掌握平移、旋转和翻转的概念及特点；2. 能够识别和描述生活中常见的平移、旋转和翻转现象；3. 能够运用平移、旋转和翻转的知识解决实际问题。
三、教学难点与重点本节课的重点是让学生理解和掌握平移、旋转和翻转的概念及特点。
难点在于让学生能够将这些知识应用到实际问题中，并能够准确地描述和解释相关现象。
四、教具与学具准备为了更好地进行教学，我准备了一些教具和学具，包括PPT、实物模型、图片等。
通过这些教具和学具，我希望能够帮助学生更好地理解和掌握平移、旋转和翻转的概念。
五、教学过程1. 导入：通过展示一些生活中的平移、旋转和翻转现象，引发学生的兴趣，并提出问题，让学生思考这些现象的特点和规律。
2. 讲解：通过PPT展示和讲解，让学生了解和掌握平移、旋转和翻转的概念及特点。
3. 练习：通过一些实际的例题和练习题，让学生运用所学的知识解决问题，巩固和加深对概念的理解。
六、板书设计在教学过程中，我将根据讲解和学生的反馈，适时地进行板书设计，将平移、旋转和翻转的概念和特点以简洁明了的方式展示给学生。
七、作业设计1. 请描述一下你家附近的某个平移、旋转或翻转现象，并解释其特点和规律。
答案：略八、课后反思及拓展延伸通过本节课的教学，我发现学生对于平移、旋转和翻转的概念及特点掌握得比较好，但在应用到实际问题中时，有些学生还存在一定的困难。
在今后的教学中，我将继续强调实际应用的重要性，并通过更多的练习题和实际问题，帮助学生更好地理解和掌握这些知识。
同时，我也会鼓励学生在生活中多观察和思考，将学到的知识与实际生活相结合，提高他们的学习兴趣和能力。
平移旋转翻折图形讲解教案
平移旋转翻折图形讲解教案教案名称，以平移旋转翻折图形讲解。
一、教学目标。
1. 知识目标，学生能够理解平移、旋转、翻折这三种图形变换的概念，并能够运用这些变换来进行图形的操作。
2. 能力目标，学生能够熟练地进行图形的平移、旋转、翻折操作，并能够应用这些操作解决实际问题。
3. 情感目标，培养学生对数学的兴趣，增强学生对数学的自信心。
二、教学重点和难点。
1. 教学重点，平移、旋转、翻折这三种图形变换的概念及操作方法。
2. 教学难点，学生能够理解和掌握平移、旋转、翻折这三种图形变换的操作方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
三、教学准备。
1. 教师准备，准备好教学课件、教学实例、教学工具等。
2. 学生准备，学生需要准备好纸和笔，以便跟随教学进行练习。
四、教学过程。
1. 导入新知识。
教师通过展示一些图形的平移、旋转、翻折操作，引出平移、旋转、翻折这三种图形变换的概念，并与学生一起讨论这些变换对图形的影响。
2. 讲解平移、旋转、翻折的概念。
教师通过具体的图形实例，向学生介绍平移、旋转、翻折这三种图形变换的概念，帮助学生理解这些概念。
3. 操作平移、旋转、翻折。
教师向学生演示如何进行图形的平移、旋转、翻折操作，并让学生跟随教师的指导进行练习。
4. 综合练习。
教师设计一些综合练习题，让学生运用所学的知识进行练习，巩固对平移、旋转、翻折的理解和掌握。
5. 拓展应用。
教师设计一些拓展应用题，让学生运用平移、旋转、翻折的方法解决实际问题，培养学生的综合运用能力。
6. 总结归纳。
教师对本节课的知识点进行总结归纳，帮助学生理清所学知识，巩固学习成果。
五、课堂小结。
通过本节课的学习，学生应该对平移、旋转、翻折这三种图形变换的概念有了更深入的理解，并能够熟练地进行图形的平移、旋转、翻折操作。
同时，学生也应该能够应用这些操作解决实际问题。
在接下来的学习中，学生需要不断进行练习，巩固所学知识，并能够灵活运用到实际生活中。
六、作业布置。
新北师大版小学三年级数学下册《总复习：图形的运动》名师课件
总复习
图形的运动
复习导入 巩固练习
知识梳理 课后作业
总复习 图形的运动
复习导入 举例说一说什么是轴对称图形，下面图形 中哪些是轴对称图形？
返回
总复习 图形的运动
举例说一说哪些运动是平移，哪些是旋转。
平移
旋转
返回
总复习 图形的运动
知识梳理
1.轴对称图形
轴对称图形的意义
称图形。
返回
总复习 图形的运动
2.平移和旋转
平移和旋转的意义
Hale Waihona Puke 1.物体或图形沿着直线运动的现象叫作平移。
2.物体绕着一个点或一个轴做圆周运动的现象 叫作旋转。
返回
总复习 图形的运动
平移和旋转的特点
1.平移的特点：做直线运动。 2.旋转的特点：做圆弧或圆周运动。
返回
总复习 图形的运动
在方格纸上画平移图形的方法
东
农机站
小学
返回
总复习 图形的运动
导语
DIRECTORY
一 自我课堂表现怎么样？ 二 本节课学习的知识，学会了吗？ 三 说一说本节有什么收获。
总复习 图形的运动
1.自我反思今天的学习情况，总结本 课收获。
2.教科书课后第一题、第二题。 (20分钟内独立完成)
总复习 图形的运动
你专心听讲 的样子最美！
总复习 图形的运动
下课啦
总复习 图形的运动
交流
DIRECTORY
一 做课教师说课。 二 观课教师评课，主要交流、探讨不足之处。 三 做课教师进行教学反思，谈本课自我收获。
总复习 图形的运动
感 敬谢 请聆 指听 正
《图形的运动——平移和旋转》(教学设计)-2023-2024学年北师大版数学三年级下册
3.教学媒体和资源使用：
（1）PPT：制作精美的PPT，展示平移和旋转的实例、图示和练习题，帮助学生更好地理解和学习。
（2）视频：播放动画片，展示平移和旋转的过程，增加学生的直观感受。
（3）在线工具：利用在线几何工具，让学生实时演示和观察平移和旋转的效果，提高学生的实践能力。
2.逻辑推理：学生能够运用图形运动的知识，进行合理的推理和论证，提高逻辑推理能力。
3.问题解决：学生能够运用平移和旋转的知识，解决实际生活中的问题，提高问题解决能力。
4.创新与实践：在学习和应用平移和旋转的过程中，学生能够发挥自己的想象力和创造力，将所学知识运用到实际生活中，提高创新与实践能力。
重点难点及解决办法
2.小组讨论：评价学生在小组讨论中的参与程度及见解的合理性。
3.课后作业：布置与本节课内容相关的课后作业，巩固所学知识。
六、教学资源
1.教材：北师大版数学三年级下册
2.课件：平移和旋转的图片、实例等
3.实物：三角板、直尺等
4.多媒体设备：电脑、投影仪等
七、教学策略
1.情境教学：通过生活中的实例，引导学生感受平移和旋转的概念。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕平移和旋转的问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验平移和旋转知识的应用，提高实践能力。
在平移和旋转新课呈现结束后，对知识点进行梳理和总结。
强调平移和旋转的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
2.教学年级和班级：北师大版数学三年级下册
三年级数学下册总复习第7课时图形的运动课件北师大版
对折两侧完全 沿着一条直线 绕着一个点或一
重合
运动
个轴为中心做圆
周运动
图形的两边大 大小、形状、 大小、形状不变，
小相同，方向 方向不变，位 方向和位置变化
相反
置变化
先描点再连线
定方向、画弧、 方向
知识回顾
课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
第7课时 图形的运动
知识回顾
“图形的运动”内容结构
图形的平移
平移、旋转、 图形的旋转 轴对称
轴对称图形
欣赏与设计图案
举例说一说什么是轴对称图形，下面图形中 哪些是轴对称图形？
√
√
√
×
对折后能完全重合的图形叫做轴对称图形。
试一试，画出下面图形的对称图形。
试一试，画出下面图形的对称图形。
试一试，画出下面图形的对称图形。
举例说一说哪些运动是平移，哪些是旋转。
1. 汽车轮子的运动 2. 风扇叶子的运动 3. 轮船前进 4. 齿轮运动 5. 钟摆运动
平移和旋转 旋转 平移 旋转 旋转
下面的图形，是通过怎样的变换得到的？ 平移
1
2
3
4
旋转
你还见过哪些平移和旋转运动？
回顾整理，完成下列表格
轴对称图形
平移
旋转
概念
特点 画法 注意
三年级下册数学教案-总复习 图形的运动｜北师大版
三年级下册数学教案-总复习图形的运动|北师大版教学目标1.复习掌握翻折、平移和旋转的基本概念；2.发展学生的绘画能力，增强学生的集中观察能力；3.提高学生的逻辑思维和动手能力，增强学生的数学素养。
教学重点和难点1.重点：图形的翻折、平移和旋转的基本概念的运用；2.难点：翻折、平移和旋转的区别及其在解题过程中的综合应用。
教学过程导入（5分钟）呈现多个二维图形，包括矩形、三角形、正方形等，让学生讨论这些图形透过翻转之后是否还是他们原有的图形。
引出相关概念，如图形的翻折、平移和旋转。
温故知新（10分钟）通过让学生复习上个学期所学的图形基本概念，如：角的概念、图形线段的长度、图形周长等，为本节课的学习打下坚实的基础。
张口形状的运动（30分钟）翻折1.演示矩形的翻折，提问学生可以画出成年矩形的方法；2.让学生练习二维图形的翻折，如矩形、三角形等；3.摆出一个物体，让学生用缩影图翻折来构建物体的模型。
平移1.摆出一个物体，让学生通过平移来构建物体的模型；2.让学生构造一个平移的模型，用来解决三年级数学第十讲中的练习，即构造一个平移的模型，用它来解决一个实际问题。
旋转1.学生观察模型手表，观察分针和时针的旋转；2.让学生构造一个旋转的模型，用来解决三年级数学第十讲中的练习。
综合应用（30分钟）1.让学生结合课上所学的图形运动基本概念，解决三年级数学第十讲的问题；2.提供一些图形运动和整体形状的综合应用，强化学生对图形运动的理解和掌握。
总结（5分钟）回忆课上所学的知识点，强调图形运动的重要性，进一步激发学生对数学学习的热情。
课后作业1.练习在平面直角坐标系上对点进行平移、旋转和翻折操作；2.设计一个让中小学学生体验图形运动的小游戏；3.回顾自己的家庭环境，找到一个可以用图形运动概念描述的信仰传统。
教学评估1.通过小组讨论，检查学生的基本概念掌握程度；2.解决练习，在班内评选学生能积极参与课堂，积极思考，能够举一反三的“十佳好学生”；3.通过询问，教师对每个学生的掌握程度进行评估，给予积极的反馈和提醒。
数学北师大版八年级下册图形的平移、旋转、翻转的异同点
图形的翻转、平移、旋转的异同
山西省平陆县曹川中学王华军
目标：
１、了解图形的翻转、平移、旋转的异同；
２、通过观察图形的动画演示理解图形的翻转、平移、旋转的异同。
重点、难点：
通过观察图形的动画演示理解图形的翻转、平移、旋转的异同。
教学工具：多媒体演示、几何画板。
过程：
一、复习
１、图形的旋转、平移、翻转（轴对称）的特点，要求学生在课本上找出来并且朗读。
２、会画三种位置变化的图形。
二、学习新知识
１、要求学生动手快速画图形的平移、翻转、旋转。
建议以三角形为基础画。
２、列表：
３、教师通过几何画板演示三种不同变化方式的图形，要求学生一边看，一边归纳总结。
最后填写表格。
４、以小组为单位，填写表格，并以组为单位推举展示学习成果的学生。
三、小结：
相同点：图形的大小、形状不变
不同点：对应点连线的特点来判断图形是经过了怎样的变化。
四、学生朗读填写在表格中的内容，进一步熟悉图形的平移、旋转、翻转的特点。
小学数学《图形的转动与翻折》教案
小学数学《图形的转动与翻折》教案教学目标：通过本节课的学习，学生将能够掌握图形的转动与翻折的基本概念与方法，培养学生观察、思考和解决问题的能力。
教学重点：掌握图形的转动与翻折的基本规律，能够灵活运用于解决问题。
教学难点：能够将图形的转动与翻折应用于实际问题的解决。
教学准备：1. 教师准备一个实物模型以及相应的图形卡片。
2. 预先准备并复印相关的练习题和活动材料。
3. 准备投影仪和幻灯片展示相关图形。
4. 准备计算器、橡皮擦等学生常用的学习工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过展示实物模型向学生引入本节课的主题，让学生感受图形的转动与翻折对于形状的影响。
2. 教师利用幻灯片展示几个图形，并提问学生：“这些图形有什么相同之处？有什么不同之处？”引导学生进行思考。
二、讲解（15分钟）1. 教师通过幻灯片或者黑板等方式，向学生讲解图形的转动与翻折的基本概念，并展示相应的操作方法。
2. 教师示范几个简单的图形转动与翻折的操作，并与学生一同观察、比较。
三、练习（20分钟）1. 学生进行练习题的完成，教师巡视学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
2. 教师组织学生进行小组活动，要求学生在小组内相互交流、合作，解决一些图形转动与翻折的问题。
四、拓展（10分钟）1. 教师呈现一些较为复杂的图形，并要求学生通过转动与翻折的方法来解决问题。
2. 学生讨论并尝试解决问题，教师引导学生总结图形转动与翻折的规律。
五、归纳总结（10分钟）1. 教师带领学生回顾本节课的主要内容，总结图形转动与翻折的基本规律。
2. 学生积极参与，补充或纠正归纳总结的内容。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的课后练习作业，并解答学生提出的问题。
教学反思：通过本节课的教学，学生对图形的转动与翻折有了更深入的认识，并能够灵活运用于解决问题。
教师在教学过程中注重启发学生的思维，培养学生的观察和解决问题的能力。
同时，通过小组活动和讨论，学生之间的合作与交流也得到了促进。
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教学内容一、图形运动平移、旋转、翻折是几何图形变换中的三种基本变换．平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换．所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系．这类考题的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力，同时也要求学生解题时注意灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力；其中所含的数学思想和方法丰富，有数型结合，方程的思想及数字建模，函数的思想，分类讨论的思想方法等．近几年中的习题中，尤其分类讨论试题更为突出．在解决这类问题的时候，要注意抓住各个变换的特征．平移：图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等．旋转：图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角．翻折：翻折前后两个图形是全等的．在变换的前后要注意哪些要素是不变的，如角，线段的长等。
如果能抓住这些特征，问题可能就变的简单多了．1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AB'E，那么△AB'E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 ▲ ．【答案】222-。
【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次根式化简。
【分析】∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B=45°，AE 为BC 边上的高，∴AE=2。
由折叠易得△AEG 和△OCG 为等腰直角三角形，∴AEG 1S AE EG 12∆=⋅=。
设OC=OG= x ，则AO=2－x ，CG=2x 。
由△ODA∽△OCG 得AD AOCG GO =，即22x x 2x-=，解得x 22=-。
∴()22COG11S x 22=32222∆==--。
∴重叠部分的面积为()AEG COG S S 1322222∆∆-=--=-。
2.如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1∽△ABC（相似比不为1），且点A 1、B 1、C 1都在单位正方形的顶点上．【答案】。
【考点】作图（相似变换）。
【分析】在4×4的方格纸中，使△A1B 1C1与格点三角形ABC 相似，根据对应边相似比相等，对应角相等，可知要画一个145度的钝角，钝角的两边只能缩小，又要在格点上所以要缩小为1和2，画出这样的两边长后，三角形的三点就确定了。
4.正方形ABCD的边长为1。
如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D’处，那么tan∠BAD’＝▲ 。
【答案】2。
【考点】正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数的定义。
【分析】根据题意画出图形．根据勾股定理求出BD的长，由旋转的性质求出BD′的长，再运用三角函数的定义解答即可：∵正方形ABCD的边长为1，则对角线BD=2。
∴BD′=BD=2。
∴tan∠BAD′=BD=2 AB。
5.如图所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为▲ 。
【答案】3。
【考点】正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形。
【分析】连接CH ，得：△CFH≌△CDH（HL ）。
∴∠DCH=12∠DCF=12（90°－30°）=30°。
在Rt△CDH 中，CD=3，∴DH= CD tan∠DCH=3。
6.在三角形纸片ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC ＝3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长为 ▲【答案】1。
【考点】翻折变换（折叠问题）。
【分析】∵△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，∴AC 3AB 23cos A 32===∠。
又∵△BDE 是△ADE 翻折而成，DE 为折痕， ∴DE⊥AB，11AD BD AB 23322===⨯=， ∴在Rt△ADE 中，3DE AD tan A 3tan30313=⋅∠=⨯︒=⨯=。
7.在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ▲ ．【答案】2。
【考点】翻折变换（折叠问题）。
【分析】∵ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，假设这个点是B ′。
作,MN AC MD AB ⊥⊥，垂足分别为,M D 。
∵在Rt ABC △中，903BAC AB ∠==°，， ∴AB AB =′=3，DM MN =，AB ′=B ′C =3，6AC =。
∴BAC BAM MAC S S S ∆∆∆=+，即1113636222DM MN ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅。
∴992MN =，即=2MN 。
所以点M 到AC 的距离是2。
8.已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图所示）， 把线段 AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为 ▲ .【答案】1或5。
F 2F 1EDCBA【考点】正方形的性质，旋转的性质，勾股定理。
【分析】旋转两种情况如图所示：顺时针旋转得到F1点，由旋转对称的性质知F1C=EC =1。
逆时针旋转得到F2点，则F2B=DE = 2, F2C =F2B＋BC=5。
9.Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC 绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝▲ ．10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD 翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为▲ ．【答案】31-。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质。
【分析】∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴0BC 1AC 3tan A tan30===∠。
∵将△ADB 沿直线BD 翻折后，将点A 落在点E 处，∴∠ADB=∠EDB，DE=AD 。
∵AD⊥ED，∴∠CDE=∠ADE=90°，∴∠EDB=∠ADB=00036090=1352-。
∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°－90°=45°。
∵∠C=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°。
∴CD=BC=1。
∴DE=AD=AC﹣CD=31-。
三、解答题1.已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．【答案】解：（1）∵ABCD 是梯形，AD∥BC，AB=DC 。
∴∠A=∠D。
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A。
∴∠ABP=∠DPC。
∴△ABP∽△DPC。
∴AP AB CD PD =，即：AP 225AP=-，解得：AP=1或AP=4。
（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ，∴AP ABDQ PD=，即：x 22y 5x=+-。
∴215y x x 21<x<422=-+-（）。
②当CE=1时，AP=2或35-。
【考点】动点型问题，二次函数综合题，等腰梯形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解高次方程。
【分析】（1）当∠BPC=∠A 时，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时△APB 与△DPC 相似，那么可得出关于AP ，PD ，AB ，CD 的比例关系式，AB ，CD 的值题中已有，可以先用AP 表示出PD ，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP 的长。
（2）①与（1）的方法类似，只不过把DC 换成了DQ ，那么只要用DC+CQ 就能表示出DQ 了．然后按得出的关于AB ，AP ，PD ，DQ 的比例关系式，得出x ，y 的函数关系式。
②和①的方法类似，先通过平行得出△PDQ 和△CEQ 相似，根据CE 的长，用AP 表示出PD ，然后根据PD ，DQ ，QC ，CE 的比例关系用AP 表示出DQ ，然后按①的步骤进行求解即可：∵AD∥BC，∴△PDQ∽△CEQ。
∴PD DQ EC CQ =，即AD AP DQEC CQ-=。
【答案】解：（1）证明：如图，连结OB OP ，， ∵O 是等边三角形BPQ 的外心， ∴=OB OP，圆心角3601203BOP ∠==o o 。
当OB 不垂直于AM 时，作OH AM ⊥，OT AN ⊥，垂足分别为H T ，。
由360HOT A AHO ATO ∠+∠+∠+∠=o，且60A ∠=o，90AHO ATO ∠=∠=o ，∴120HOT ∠=o。
∴BOH POT ∠=∠。
∴Rt Rt BOH POT △≌△。
∴OH OT =。
∴点O 在MAN ∠的平分线上。
当OB AM ⊥时，36090APO A BOP OBA ∠=-∠-∠-∠=oo，即OP AN ⊥，∴点O 在MAN ∠的平分线上。
综上所述，当点P 在射线AN 上运动时，点O 在MAN ∠的平分线上。
（2）如图，∵AO 平分MAN ∠，且60MAN ∠=o ，∴30BAO PAO ∠=∠=o。
由（1）知，OB OP =，120BOP ∠=o， ∴30CBO ∠=o，∴CBO PAC ∠=∠。
∵BCO PCA ∠=∠，∴AOB APC ∠=∠。
距离sin 1134432223AO AB BAO =÷∠=⨯÷=。
③点P 在射线AN 的反向上运动（点P 与点A 不重合）时，如图3，点O 与点A 重合，∴点A 与点O 的距离0AO =。