19考研数一真题和答案
2018-2019年考研数学一真题及答案
2018考研数学一真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．若函数1cos 0(),0xx f x b x ⎧->⎪=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xx f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）3．函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】22,,2f f fxy x z x y z∂∂∂===∂∂∂，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为()014,1,0(1,2,2)23f gradf n n∂=⋅=⋅=∂应该选（D ）４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t <<（C ）025t = （D ）025t >【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21()()T T S t v t dt =⎰表示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆 【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）． 6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B 是两个随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(/)(/)P A B P A B >的充分必要条件是（A ）(/)(/)P B A P B A > （B ）(/)(/)P B A P B A < （C ）(/)(/)P B A P B A > （D ）(/)(/)P B A P B A <【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论：()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇔>=⇔>- 类似，由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->⇔>=⇔>- 所以可知选择（A ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布 （C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f = ．解：由函数的马克劳林级数公式：()0(0)()!n nn f f x x n ∞==∑，知()(0)!n n f n a =，其中n a 为展开式中nx 的系数． 由于[]24221()1(1),1,11n n f x x x x x x==-+-+-+∈-+，所以(3)(0)0f =．10．微分方程230y y y '''++=的通解为 ．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2230r r ++=有一对共共轭的根1r =-，所以通解为12()x y e C C -=+ 11．若曲线积分221L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则a = .【详解】设 2222(,),(,)11x ay P x y Q x y x y x y -==+-+-，显然 (,),(,)P x y Q x y 在区域内具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有1Q Pa x y∂∂≡⇒=-∂∂ 12．幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数为【详解】111121111(1)(1)()(1)1(1)n n n nn n n n n x nxx x x x ∞∞∞----===''⎛⎫⎛⎫'-=-=-== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以21(),(1,1)(1)s x x x =∈-+13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的分布函数4()0.5()0.52x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【详解】随机变量X 的概率密度为4()()0.5()0.25()2x f x F x x ϕϕ-'==+，所以 4()()0.5()0.25()240.25()0.252(24)()22()2x E X xf x dx x x dx x dx x x dx t t dt t dt ϕϕϕϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞-==+-==⨯+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、解答题15．（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0|x dy dx=，202|x d y dx =．【详解】12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dyf dx='=； 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d ye f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-．16．（本题满分10分） 求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰17．（本题满分10分）已知函数()y x 是由方程333320x y x y +-+-=． 【详解】在方程两边同时对x 求导，得2233330x y y y ''+-+= （1）在（1）两边同时对x 求导，得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y'+''=-+令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =； 当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 18．（本题满分10分）设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x-→<，证明： （1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim 0x f x x-→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ⋅<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim 0x f x x-→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．19．（本题满分10分）设薄片型S 是圆锥面z =被柱面22z x =所割下的有限部分，其上任一点的密度为μ=C ．（1）求C 在xOy 布上的投影曲线的方程； （2）求S 的质量.M【详解】（1）交线C的方程为22z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩z ，得到222x y x +=．所以C 在xOy 布上的投影曲线的方程为222.0x y xz ⎧+=⎨=⎩（2）利用第一类曲面积分，得222222(,,)1864SSx y xx y xM x y z dS μ+≤+≤=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥． 假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量122ni i Z nσ===∑．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=2019考研数学一真题及答案一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(yxy x Q =，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X PA.与μ无关，而与2σ有关.B.与μ有关，而与2σ无关.C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若 21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求b a ,；（2）求曲面222by ax z ++=（0≥z ）的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…） （2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的一个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?23.（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来自总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量参考答案1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-xe 11.x cos 12.332 13. ，T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解：（1）)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰，又0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xe x y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e，)3,3(23-e .16. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性，2,0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.（2）()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ，，，，则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，.21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()zF z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. （II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：（I ）由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =2012t e dt +∞-==⎰，从而A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，当,1,2,,i x i nμ≥=时，取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.。
2020年考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2019年考研数学一真题附答案解析
2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点【答案】（B ）【详解】（1）01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当10x e<<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所以函数在0x =取得极大值．3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】（D ）【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞存在，记为lim n n u u →∞=；又设n ∀，满足n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且2210n n u u +-≥，则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑，前n 项和：221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛．4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -【答案】（D ）【详解】显然，由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂，也就是1(,)()P x y C x y=-+，其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数．只有（D ）满足．5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A == 【答案】（A ）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()r A r A <； （2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2r A ≥；7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =； 对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ）（A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ． 【答案】cos cos y x x y+ 解：cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=，即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =，所以y =11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑，从而有：110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =，从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量．由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系，通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程． 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解：22x y Ce -=，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解，设22()x y C x e-=为其解，代入方程，得2222(),()1x x C x eeC x --''==，1()1C x dx x C ==+⎰，也就是通解为：221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe -=（2）2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===．当x <0x <<0y ''<，是曲线的凸区间；当0x <<或x >0y ''>，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为3322()--．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j =--的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 【详解】（1）222z ax by =++，则2,2z zax by x y∂∂==∂∂； 所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭；gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--方向相同，且10gradf ==．也就得到2683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩（舍）．即11a b =-⎧⎨=-⎩．（2）22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 【详解】（1）证明：1n a x =⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰当(0,1)x ∈时，显然有1n nxx +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+； （2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+ 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim1nn n a a →∞-=．19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =．注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰，且由对称性，明显0x =，2y =．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．【详解】（1）由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组，得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时，()123111111,,23301110123012ααα===≠，即123,,ααα线性无关，确实是3R 空间的一组基．（2）()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-，显然23,,ααβ线性无关，当然也为3R 空间的一组基． 设()()23123,,,,a P αβααα=，则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=． 【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关；（3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本．（1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏其他， 取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑11 解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()n n i i d L X X X n X d σμσσσ==-+-=∑，得未知参数2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==-∑．。
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
XXX 时，下列无穷小量中最高阶是（）A。
$\int_{x^2}^{et-1}dt$B。
$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C。
$\int_0^x\frac{\sin x}{\sin t^2}dt$D。
$\int_0^x\frac{1-\cos x}{\sin t^2}dt$2.设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$，则（）A。
当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{|x|}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。
B。
当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。
C。
当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。
D。
当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。
3.设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$ 非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则（）A。
$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$ 存在。
B。
$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$ 存在。
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
, 2. 定义 Mn.C / 上的变
(1)求变换 T 的特征值. (2)若 A 可对角化，证明 T 也可对角化.
四.(20 分) A 为 n 阶实对称矩阵，令
S D fX jX T AX D 0, X 2 Rng
(1)求 S 为 Rn 中的一个子空间的充要条件并证明. (2)若 S 为 Rn 中的一个子空间，求 di mS .
C pn n
二.(15 分) 设 f .x/ 2 C Œa, b，f .a/ D f .b/，证明 9xn, yn 2 Œa, b, s.t . lim .xn yn/ D n!1 0，且 f .xn/ D f .yn/.
三.(15 分) 证明
Xn .
kD0
1/k
Cnk
k
C
1 m
C
1
D
X m .
kD0
1/k
Cmk
k
C
1 n
C
1
其中m, n是正整数
Y 1
X 1
四.(15 分) 无穷乘积 .1 C an/ 收敛，是否无穷级数 an 收敛？若是，证明这个
nD1
nD1
结论；若不是，请给出反例.
X 1
ż1
五.(15 分) 设 f .x/ D xn ln x，计算 f .x/dx.
0
nD1
六.(15 分) 设定义 .0, C1/ 上的函数 f .x/ 二阶可导，且 lim f .x/ 存在，f 00.x/ 有 x!C1 界，证明 lim f 0.x/ D 0. x!C1
(1)证明存在正交矩阵 P 使得
0
P T AP
D
BB@
a 0
0
1
2024年考研数学一真题及解析
2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）已知函数cos 0()xtf x edt =⎰,2sin 0()xt g x e dt =⎰,则（）（A ）()f x 是奇函数，()g x 是偶函数（B ）()f x 是偶函数，()g x 是奇函数（C ）()f x 与()g x 均为奇函数（D ）()f x 与()g x 均为周期函数【答案】C ，【解析】由于cos te 是偶函数，所以()f x 是奇函数；又2(sin )cos ()x xg x e'=是偶函数，所以是()g x 奇函数.（2）设(,,),(,,)P P x y z Q Q x y z ==均为连续函数，∑为曲面0,0)Z x y = 的上侧，则Pdydz Qdzdx ∑+=⎰⎰（）（A ）()x yP Q dxdy z z ∑+⎰⎰（B ）()x yP Q dxdy z z ∑-+⎰⎰（C ）()xyP Q dxdy zz∑-⎰⎰（D ）()xyP Q dxdy zz∑--⎰⎰【答案】A ，【解析】由,z x z y z x z y z ∂∂==-=-∂∂，1cos cos dS dxdy dS dxdy γγ=→=cos cos cos cos cos cos Pdydz Qdzdx P dS Q dS Pdxdy Q dxdy αβαβγγ∑∑∑+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()z z x yP dxdy Q dxdy P Q dxdy x y z z∑∑∂∂=-+-=+∂∂⎰⎰⎰⎰.（3）设幂级数nn nxa ∑∞=0的和函数为)2ln(x +，则∑∞=02n nna（）（A ）61-（B ）31-（C ）61（D ）31【答案】（A ）【解析】法1，∑∞=--+=++=+=+11)21()1(2ln )211ln(2ln )211(2ln )2ln(n nn n x x x x所以⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，当n n n a n 22221,0⋅-=>，所以61411)21(21)2213112112202-=--=-=⋅-⋅==∑∑∑∑∞=+∞=∞=∞=n n n n n n n n n n na na （，故选(A)；法2：n n n xx x x )2()1(21)21(2121])2[ln(0∑∞=-=+=+='+C n x C n x x n n n n n n +-=++-=+∑∑∞=-+∞=1110)21()1(1)21()1()2ln(，2ln )02ln()0(=+==C S ，⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，所以)221(112202∑∑∑∞=∞=∞=⋅-==n n n n n n n n na na 61411)21(213112-=--=-=∑∞=+n n （4）设函数()f x 在区间上(1,1)-有定义，且0lim ()0x f x →=，则（）（A ）当0()limx f x m x→=时，(0)f m '=（B ）当(0)f m '=时，0()limx f x m x→=（C ）当0lim ()x f x m →'=时,(0)f m '=（D ）当(0)f m '=时，0lim ()x f x m→'=【答案】B ，【解析】因为(0)f m '=所以()f x 在0x =处连续，从而0lim ()(0)0x f x f →==，所以0()()(0)limlim 0x x f x f x f m x x →→-==-，故选B .（5）在空间直角坐标系O xyz -中,三张平面:(1,2,3)i i i i i a x b y c z d i π++==的位置关系如图所示,记(),,i i i i a b c α=,(),,,i i i i i a b c d β=若112233,r m r n αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则（）（A ）1,2m n ==（B ）2m n ==（C ）2,3m n ==（D ）3m n ==【答案】B ，【解析】由题意知111222333x d x d x d ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多解,故1122333r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由存在两平面的法向量不共线即线性无关,故1232r ααα⎛⎫ ⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭,则1122332r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2m n ==,故选B.（6）设向量1231111,,1111ab a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,若123,,ααα线性相关,且其中任意两个向量均线性无关,则（）（A ）1,1a b =≠（B ）1,1a b ==-（C ）2,2a b ≠=（D ）2,2a b =-=【答案】D ，【解析】由于123,,ααα线性相关，故1111011a a a =得1a =或2-，当1a =时，13,αα相关，故2a =-，又由112111111201111aa b b -=-=----得2b =故选D .（7）设A 是秩为2的3阶矩阵，α是满足0A α=的非零向量，若对满足0Tβα=的3维向量β均有A ββ=，则（）（A ）3A 的迹为2（B ）3A 的迹为5（C ）2A 的迹为8（D ）2A 的迹为9【答案】A ，【解析】由0A α=且0α≠，故10λ=，由于A 是秩为2的3阶矩阵，对于0Ax =仅有一个解向量，所以，1λ是一重，0Tβα=可得到所有的β有两个无关的向量构成，A ββ=,故21λ=为两重，故3A 的特征值为0,1,1，故3()2tr A =.（8）设随机变量,X Y 相互独立，且()()~0,2,~2,2X N Y N -，若}{}{2P X Y a P X Y +<>=，则a =（）（A）2-（B）2-+（C）2-（D）2-+【答案】B ，【解析】()2~ 2,10;~ (2,4)X Y N Y X N +---，所以{2}P X Y a +<=Φ={0}P Y X -<=02()2+Φ,022+=,2a =-+（9）设随机变量X 的概率密度为2(1)01()0,x x f x -<<⎧=⎨⎩，其他,在(01)X x x =<<的条件下,随机变量Y 服从区间(,1)x 上的均匀分布,则Cov(,)X Y =（）（A ）136-（B ）172-（C ）172（D ）136【答案】D ，【解析】当01x <<时，|1el 1,(|)1se 0,Y X x y f y x x ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，则2,1,01(,)0,x y x f x y else <<<<⎧=⎨⎩10,1(,)24yx y EXY xyf x y dxdy d y xydx -∞<<+∞-∞<<+∞===⎰⎰⎰⎰112(1)3EX x x dx =-=⎰，,2(,)3x y EY y f x y dxdy -∞<<+∞-∞<<+∞==⎰⎰所以1(,)36Cov X Y EXY EXEY =-=，故选D （10）设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-，则下列随机变量中与Z 同分布的是（）（A ）X Y +（B ）2X Y+（C ）2X （D ）X【答案】（D ）【解析】令{}{}zY X P z Z P z F Y X Z z ≤-=≤=-=)(,则0)(0=<z F z z 时，当当0≥z 时，dxdy e e dxdy y x f z F y x zy x zy x z λλλλ--≤-≤-⎰⎰⎰⎰==),()(zy x zy ye dy e e dy λλλλλ---+∞+-==⎰⎰120所以⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(z ez z F zz λ，显然Y X Z -=与X 同步，故选（D ）二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上。
2019考研数学一真题答案
2 3
+
−
xf ( x)dx =
2
0
x2 4 dx = ，且可求得分布函数 2 3
0, x 0, 2 1 2 x F ( x) = , 0 x 2, 故可得 P{F ( X ) EX − 1} = P{F ( X ) } = . 3 3 4 1, x 2.
B. D.
2. 4.
x3 ，所以选 C. 3
2、设函数 f ( x) =
x x , x 0, 则 x = 0 是 f ( x) 的 x ln x, x 0,
B. 不可导点，极值点. D. 不可导点，非极值点.
A. 可导点，极值点. C. 可导点，非极值点. 【答案】B
x →0 x →0
(−1) n n x 在 (0, +) 内的和函数 S ( x) = n = 0 (2n)!
.
【答案】 cos x . 12、设 为曲面 x + y + 4 z = 4 ( z 0) 的上侧，则
2 2 2
4 − x 2 − 4 z 2 dxdy =
.
【答案】 【解答】
32 . 3
r ( A) = 1, r ( A) = 1.
【答案】A. 【解答】因为 3 张平面无公共交线，则说明方程组 Ax = b 无解，即 r ( A) r ( A) .
又因为 3 张平面两两相交，且交线相互平行，则齐次方程组 Ax = 0 只有一个线性无关解， 所以 r ( A) = 2 . 故答案选 A. 7、设 A, B 为随机事件，则 P ( A) = P ( B ) 充分必要条件是 A. P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ). C. P( AB) = P( B A). 【答案】C 【解析】 P( AB) = P( B A) P( A) − P( AB) = P( B) − P( AB) P( A) = P( B) ；选 C.
2019考研数一真题答案及详细解析
（皿）因为
P{X<1,z<— l}=P{X< l,XY<— l}=O,
P{X< l} > O, P{Z<-1} > O,
所以
P{X< ,Z<— l} #- P{X< l}P{Z<— 1}. I
�o 由a,� —a, +za, 可知A (�z) 气 -Za, +a,
从而(—;z)即为Ax�O的基础解系
Ax=0的通解为k(l,-2,l)T,故应填X =k(1, — 2,l)T ,k为任意常数．
2
(14)
—
3
=订尸 解 由随机变址X的概率密度f(x)
O<x<2 '可知X的分布函数
厂; a·< Q,
故应选A
二、填空题
(9) — y + — X cosx cosy
a a ax 解 —之 = -cosx • J'+y ' — 之 =cosy • J'+x,代入得 切
l • o—z + l如 • — cosx扣cosy oy
= y + — X ．故应填 y
cosx cosy
cosx
立＇ 十cosy
．
则』JydV= J'nzCl — z) 2dz 0
=王， 12
fl
主+). (o, 故；三飞，则形心为
{1
(20)解 C I)由题目可知：
』b+c+l = l
』a = 3
P = ba1 +c贮+a 3'代入可得2b+3c+a = l,解得b = 2
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(10年)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则A．x．B．z．C．一x．D．一z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得知识模块：高等数学2．(11年)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A．f(0)＞1，f”(0)＞0．B．f(0)＞1，f”(0)＜0．C．f(0)＜1，f”(0)＞0．D．f(0)＜1，f”(0)＜0．正确答案：A解析：则AC—B2＞0,故(A)．知识模块：高等数学3．(12年)如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限正确答案：B 涉及知识点：高等数学4．(13年)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为A．x—y+z=一2．B．x+y+z=0．C．x一2y+z=一3．D．x—y—z=0．正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)+yz+x，则n={2x—ysin(xy)+1，一xsin(xy)+x，y)|(0,1,-1)={1，一1，1}则所求切平面方程为x一(y一1)+(z+1)=0即x—y+2=一2 知识模块：高等数学5．(88年)设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则A．B．C．D．正确答案：C解析：由于(C)选项中的被积函数f(x，y，z)=z既是x的偶函数，也是y的偶函数，而积分域Ω1既关于yOz坐标面前后对称，又关于xOz坐标面左右对称，则知识模块：高等数学6．(91年)设D是xOy平面上以(1，1)，(一1，1)和(一1，一1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dxdy等于A．B．C．D．正确答案：A解析：如图2．8，△OAB所围区域记为D2，△OBC所围区域记为D3．由于xy关于x是奇函数，积分域D2关于y轴对称，则又cosxsiny是y的奇函数，D3关于x轴对称，则又cosxsiny是x的偶函数，D2关于y轴对称，则从而有知识模块：高等数学填空题7．(11年)设函数F(x，y)=正确答案：4解析：知识模块：高等数学8．(12年)正确答案：(1，1，1)．解析：知识模块：高等数学9．(14年)曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为______．正确答案：2x—y—z=1．解析：由z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)得zx’=2x(1一siny)一y2cosx，zx’(1，0)=2zy’=一x2cosy+2y(1一sinx)，zy’(1，0)=一1所以，曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的法向量为[*738]=(2，一1，一1)，该点处切平面方程为2(x一1)一y一(z一1)=0,即2x—y—z=1．知识模块：高等数学10．(15年)若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+z+cosx=2确定，则dz|(0,1)=_______．正确答案：一dx．解析：将x=0，y=1代入ez+xyz+x+cosx=2中得ez+1=2，则z=0方程ez+xyz+x+cosx=2两端微分得ezdz+yzdx+xzdy+xydz+dx—sinxdx=0将x=0，y=1，z=0代入上式得dx+dz=0则dz|(0,1)=一dx 知识模块：高等数学11．(16年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y2=x2f(x-z，y)确定，则dz|(0,1)=________，正确答案：一dx+2dy．解析：由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程(x+1)z—y2=x2f(x—z，y)两边求全微分zdx+(x+1)dz一2ydy=2xf(x—z，y)dx+x2[f1’.(dx—dz)+f2’dy]将x=0，y=1，z=1代入上式得dz|(0,1)=一dx+2dy 知识模块：高等数学12．(87年)设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分(2xy一2y)dx+(x2一4x)dy的值是______.正确答案：一18π．解析：由格林公式可知知识模块：高等数学13．(89年)向量场u(x，y，z)=xy2i+yezj+xln(1+x2)k在点P(1，1，0)处的散度divu=_____．正确答案：2解析：由散度计算公式其中u=Pi+Qj+Rk得知识模块：高等数学14．(89年)设平面曲线L为下半圆周则曲线积分∫L(x2+y2)ds=_______．正确答案：π解析：由于下半圆周上的点(x，y)也满足x2+y2=1，则知识模块：高等数学15．(90年)积分∫02dx∫x2的值等于______．正确答案：解析：交换累次积分次序得知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学一》真题及详解【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学一》真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的渐近线方程为（ ）。
A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 【正确答案】B【参考解析】由已知1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则可得： 1ln 11lim lim lim ln 11x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e 。
2．若微分方程y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。
A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜0 【正确答案】C【参考解析】由题意，微分方程的特征方程为λ2＋a λ＋b ＝0。
当Δ＝a 2－4b ＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零。
若C 1、C 2都不为零，则微分方程的解为1212xx y C eC e λλ=+。
因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。
当Δ＝a 2－4b ＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2。
若C 2≠0，则微分方程的解为2212a a x x y C eC e--=+。
因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。
当Δ＝a 2－4b ＜0时，特征方程的根为1,222a i λ=-±。
2019年考研数学(一)真题及解析
2019年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点（C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点 3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A ==7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B = （C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ） （A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z z x x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ．10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．三、解答题 15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j=--v v v 的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本． （1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点【答案】（B ）【详解】（1）01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当10x e<<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所以函数在0x =取得极大值．3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】（D ）【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞存在，记为lim n n u u →∞=；又设n ∀，满足n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且2210n n u u +-≥，则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑，前n 项和：221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛．4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -【答案】（D ）【详解】显然，由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂，也就是1(,)()P x y C x y=-+，其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数．只有（D ）满足．5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A == 【答案】（A ）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()r A r A <； （2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2r A ≥；7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =； 对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ）（A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ． 【答案】cos cos y xx y+解：cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=，即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =，所以y =．11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑，从而有：110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =，从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量．由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系，通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程． 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解：22x y Ce -=，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解，设22()x y C x e-=为其解，代入方程，得2222(),()1x x C x eeC x --''==，1()1C x dx x C ==+⎰，也就是通解为：221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe -=（2）2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===．当x <0x <<时，0y ''<，是曲线的凸区间；当0x <<或x >0y ''>，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为3322()--．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j=--v v v的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 【详解】（1）222z ax by =++，则2,2z zax by x y∂∂==∂∂；所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭；gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--v v v方向相同，且10gradf ==．也就得到683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩（舍）．即11a b =-⎧⎨=-⎩．（2）22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==L 当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 【详解】（1）证明：1n a x=⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰L当(0,1)x ∈时，显然有1n nxx +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰L则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+L 令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ； （2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim1nn n a a →∞-=．19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =． 注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰，且由对称性，明显0x =，2y =．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．【详解】（1）由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组，得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时，()123111111,,23301110123012ααα===≠，即123,,ααα线性无关，确实是3R 空间的一组基．（2）()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-，显然23,,ααβ线性无关，当然也为3R 空间的一组基． 设()()23123,,,,a P αβααα=，则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=． 【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关； （3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本． （1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏L 其他， 取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑L解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()nn ii d L X X X n Xd σμσσσ==-+-=∑L ，得未知参数2σ的最大似然估计量为¶2211()n i i X n σμ==-∑．。
19考研数一真题和答案
. .2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .1.下列函数中在x 0处不可导的是（）（A）f ( x) x sin x （B）f (x) x sin x（C） f ( x) cos x （D） f (x) cos x2.过点(1,0,0) ，(0,1,0) ，且与曲面2 2z x y 相切的平面为（）（A）z0与x y z 1 （B）z0与2x 2y z 2 （C）x y与x y z 1 （D）x y与2x 2y z 23.nn( 1)2n 3(2n 1)!（）A sin1 cos1B 2sin1 cos1C 2sin1 2cos1D 2sin1 3cos14.设2(1 x)M dx221 x21 x， 2N dx， 2K (1 cosx)dx，则（）xe2 2（A）M N K （B）M K N（C）K M N （D）K N M1 1 00 1 1 5. 下列矩阵中阵，与矩阵相似的是（）0 0 1. .专业资料 . .. .1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 （A）（B）（C）（D）0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 5.设A, B是n阶矩阵，记r(X ) 为矩阵X 的秩，( X ,Y)表示分块矩阵，则（）（A）r ( A, AB) r (A) （B）r ( A, BA) r (A)T T（C）r ( A, B) max{ r ( A), r ( B)} （D）( , ) ( , )r A B r A B6.设随机变量X 的概率密度 f (x) 满足f (1 x) f (1 x) ，且20 f (x)dx 0.6则P{ X 0} ( )（A）0.2 （B）0.3 （C）0.4 （D）0.57.设总体 X 服从正态分布2N(, ) , X1, X2, ,X n 是来自总体X 的简单随机样本，据此样本检测，假设H0 : 0 ,H1 : 0 ,则（）（A）如果在检验水平0.05下拒绝H，那么在检验水平0.01下必拒绝0 H ；（B）如果在检验水平0.05下拒绝H，那么在检验水平0.01下必接受0 H ；（C）如果在检验水平0.05下接受H，那么在检验水平0.01下必拒绝H0；（D）如果在检验水平0.05下接受H，那么在检验水平0.01下必接受H0。
2019年数一考研真题及答案
2019年数一考研真题及答案2019年的数学一（数学基础）考研真题是考研考生备考的重要参考资料。
本文将为大家整理并解析2019年数学一考研真题及答案，以帮助考生更好地应对考试。
一、选择题部分1. 设函数$ f(x) $在$ x=a $处连续，则满足条件$ \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a) $的是（）。
A. 可导函数B. 非单调函数C. 非奇异函数D. 周期函数正确答案：A解析：根据连续函数的定义可得，函数在$ x=a $处连续的充要条件是$ \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a) $。
故选项A为正确答案。
2. 曲面$ z = x^2 - y^2 $在点$ (1,1,0) $的切平面方程为（）。
A. $ x+y=0 $B. $ x-y=0 $C. $ x+y=1 $D. $ x-y=1 $正确答案：B解析：切平面的法向量等于曲面的法向量，即$ \mathrm{n} = (2x, -2y, 1) $。
带入点$ (1,1,0) $，得到法向量$ \mathrm{n} = (2,-2,1) $，切平面方程为$ 2(x-1)-2(y-1)+0 = 0 $，化简得$ x - y = 0 $。
故选项B为正确答案。
二、填空题部分1. 线性方程组$ Ax = b $若有解，则齐次线性方程组$ Ax = 0 $必有（）个线性无关的解。
正确答案：$ r $解析：线性方程组的解空间维数等于非齐次线性方程组的解空间维数减去齐次线性方程组的解空间维数。
根据线性方程组的基本定理，有$ r+m = n $，其中$ r $为非齐次线性方程组的秩，$ m $为齐次线性方程组的基础解系的维数，$ n $为未知量的个数。
所以齐次线性方程组的维数为$ m = n-r $，其有$ r $个线性无关的解。
历年考研数一真题及答案
历年考研数一真题及答案【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.?121?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a= ???????x3????0??_____________.(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为19,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(d)f(x)g(x)?f(a)g(a)(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有(a)??xds?4s??xdss1(b)??yds?4??xdsss1(c)??zds?4??xdsss1(d)??xyzds?4??xyzdsss1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为n?1(a)??(?1)nun (b)??u2nn?1nn?1(c)??(u2n?1?u2n)n?1(d)??(un?un?1)n?1(a)e(x)?e(y)(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(c)e(x2)?e(y2) (d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2三、(本题满分6分) 1求lim(2?exx??4?sinx).1?exx四、(本题满分5分) 设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?2z?x?y.五、(本题满分6分) 计算曲线积分i??xdy?ydxl4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数f(x)在s(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0?f(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)求幂级数??1xnn?13n?(?2)nn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数f(x)在[0,?]上连续,且???f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)??1000?000? 设矩阵a的伴随矩阵a*??1??1010??,且?0?308??aba?1?ba?1?3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?y??. ?n(1)求??xn?1?与??xn?的关系式并写成矩阵形?y?n?1??y?n?式:??xn?1??xn?y??a???. n?1??yn??1??是a的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.?1?(3)当??x1??2?时,求??y?????xn?1??. 1???1??yn?1??2??十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命x的概率密度为?2e?2(x??)x??f(x;?)??x???0x1,x2,,其中??0为未知参数.又设,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________. (4)设a2?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}? _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a)(b)(c)【篇二：2000年-2016年考研数学一历年真题完整版(word版)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.1??x1??1??12??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a=_____________. ????????1a?2????x3????0??(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (a)f(x)g(b)?f(b)g(x) (c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x) (d)f(x)g(x)?f(a)g(a)1,a发生b不发生的概率与b发生a不发9(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有 (a)(c) ??xds?4??xdsss1(b)(d)??yds?4??xdsss1ss1??zds?4??xdsss1??xyzds?4??xyzds(3)设级数?un?1?n收敛,则必收敛的级数为u(a)?(?1)nnn?1n?(b)?un?1?2n(c)?(un?1?2n?1?u2n)(d)?(un?1?n?un?1)(5)设二维随机变量(x,y)服从二维正态分布,则随机变量??x?y 与 ??x?y不相关的充分必要条件为(a)e(x)?e(y)(c)e(x2)?e(y2)三、(本题满分6分)(d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2求lim(x??2?e1?e1x4x?sinx). x四、(本题满分5分)xx?2z设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求. yy?x?y五、(本题满分6分)计算曲线积分i?xdy?ydx??l4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有???xsx?0?(f)x?dyd(z)x?2xyfex?dzd0x,f(x)在z(0,d??x)内具有连续的一阶导数dy其中函数,且limf(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)八、(本题满分7分)1xn求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n3?(?2)nn?1?设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,?]上连续,且??f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两?个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)?10?01*?设矩阵a的伴随矩阵a??10??0?300100?0??,?1?1且aba?ba?3e,其中e为4阶单位矩阵,求0??8?矩阵b.十一、(本题满分8分)1熟练工支援其他生产部62门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第5某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?1??xn??xn?1??xn?与的关系式并写成矩阵形式:?a???????.?yn?1??yn??yn?1??yn??xn??. ?yn?(1)求??4???1??1??1??1??x1??2??xn?1?(3)当?????时,求??.y1y?1????n?1????2?十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分)?2e?2(x??)x??设某种元件的使用寿命x的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知参数.又设x???0x1,x2,?,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:?0?1dy?1?y2f(x,y)dx＝_____________.2(4)设a?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}?_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a) (b)(c) (d)(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则(a)dz|(0,0)?3dx?dy(b)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}(c)曲线z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}y?0z?f(x,y)(d)曲线在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}y?0(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?f(1?cosh)(a)lim存在2h?0h(c)limh?0f(1?eh)(b) lim存在h?0h(d)limh?0f(h?sinh)存在h2111111111??4??1?0,b???01???1??00000000f(2h)?f(h)存在h?1?(4)设a??1?1??10??0?,则a与b 0??0?(a)合同且相似 (c)不合同但相似(b)合同但不相似 (d)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n次,以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则x和y相关系数为(a) -1 (c)(b)0 (d)11 2三、(本题满分6分)arctanex. 求?e2x四、(本题满分6分)【篇三：历年考研数学一真题及答案(1987-2015)】1987-2014 （经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?x(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?2z?11?1?1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分) 求正的常数a与b,使等式lim1x2x?0bx?sinx?0?1成立.三、(本题满分7分)1(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?x,?v?x. (2)设矩阵a和b满足关系式ab=a?2b,其中?301?a???110?,求矩阵 ?4?b.?01??四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处(a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设f(x)为已知连续函数s,i?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则i的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、t和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t (3)设常数?k?0,则级数?(?1)nk?nn2n?1(a)发散(b)绝对收敛2(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a*六、（本题满分10分）求幂级数?a1n?1的收敛域，并求其和函数. xnn?2n?1?是a的伴随矩阵，则|a*|等于(a)a (b)1 (c)an?1七、（本题满分10分）求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,?(d)an??z?1?y?3f(x)?其中?是由曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?. ?2x?0??八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）3问a,b为何值时,现线性方程组?x2?x3?x4?02?2x3?2x4?1x2?(a?3)x3?2x4?bx1?2x2?x3?ax4?? 1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量____________.4x的概率密度函数为f(x)??x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)?10?x?1,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.?y其它y?05。
2019年考研数学一真题答案解析
2019年考研数学一真题解析一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2.C.3. D.4.【答案】C【答案解析】根据泰勒公式有331~tan x x x --，故选C.对泰勒不熟悉的同学，本题也可以用洛必达法则. 2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.【答案B 】【答案解析】由于xx x x 0ln lim 0-+→不存在（极限为无穷属于极限不错在），故0=x 是)(x f 的不可导点.且当0)0(0)(,10;0)(,0=<<<<<f x f x x f x 且，由极值定义可知，0=x 是)(x f 的极值点，故选B.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-.C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.【答案】D 【答案解析】选项A ：n u 单调递增有界，知{}n u 收敛, 故lim nn u u →∞=≠0，也就是n 趋近无穷时，,n u n n 1故根据极限形式的比较审敛发，n n u n ∞=∑1与n n ∞=∑11同敛散，而n n∞=∑11发散，故选项A 发散。
本选项也可举反例=arctan n n u ；选项B ：n u 单调递增有界，知{}n u 收敛.故1lim ，故lim0nn n nu u u →∞→∞=≠≠0，由数列收敛的必要条件可知B 发散。
本选项也可举反例=arctan n n u ；选项C ：该选项最具迷惑性，一般项趋近0，是正项级数，单调减.但这种正项级数是否收敛取决于递减的速度。
2019年考研数学一真题附答案解析
2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点【答案】（B ）【详解】（1）01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当10x e<<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所以函数在0x =取得极大值．3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】（D ）【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞存在，记为lim n n u u →∞=；又设n ∀，满足n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且2210n n u u +-≥，则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑，前n 项和：221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛．4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -【答案】（D ）【详解】显然，由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂，也就是1(,)()P x y C x y=-+，其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数．只有（D ）满足．5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A == 【答案】（A ）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()r A r A <； （2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2r A ≥；7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =； 对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ）（A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ． 【答案】cos cos y x x y+ 解：cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=，即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =，所以y =11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑，从而有：110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =，从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量．由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系，通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程． 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解：22x y Ce -=，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解，设22()x y C x e-=为其解，代入方程，得2222(),()1x x C x eeC x --''==，1()1C x dx x C ==+⎰，也就是通解为：221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe -=（2）2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===．当x <0x <<0y ''<，是曲线的凸区间；当0x <<或x >0y ''>，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为3322()--．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j =--的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 【详解】（1）222z ax by =++，则2,2z zax by x y∂∂==∂∂； 所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭；gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--方向相同，且10gradf ==．也就得到2683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩（舍）．即11a b =-⎧⎨=-⎩．（2）22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 【详解】（1）证明：1n a x =⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰当(0,1)x ∈时，显然有1n nxx +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+； （2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+ 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim1nn n a a →∞-=．19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =．注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰，且由对称性，明显0x =，2y =．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．【详解】（1）由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组，得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时，()123111111,,23301110123012ααα===≠，即123,,ααα线性无关，确实是3R 空间的一组基．（2）()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-，显然23,,ααβ线性无关，当然也为3R 空间的一组基． 设()()23123,,,,a P αβααα=，则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=． 【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关；（3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本．（1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏其他， 取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑11 解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()n n i i d L X X X n X d σμσσσ==-+-=∑，得未知参数2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==-∑．。
考研数学一真题及答案
考研数学一真题（一）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。
答案写在题中横线上）(1)曲线的斜渐近线方程为。
【答案】【解析】所以斜渐近线方程为。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)微分方程满足的解为。
【答案】【解析】原方程等价于所以通解为将代入可得综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设函数,单位向量，则。
【答案】【解析】因为所以综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(4)设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则。
【答案】。
【解析】综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(5)设均为三维列向量，记矩阵如果，那么。
【答案】2。
【解析】【方法一】【方法二】由于两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以综上所述，本题正确答案是2。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理(6)从数中任取一个数，记为，再从中任一个数，记为,则。
【答案】。
【解析】【方法一】先求出的概率分布，因为是等可能的取，故关于的边缘分布必有,而只从中抽取，又是等可能抽取的概率为所以即：X Y12341000200304所以【方法二】1综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）(7)设函数,则(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)恰有三个不可导点 【答案】C 。
【解析】 由知由的表达式和其图像可知在处不可导，在其余点均可导。
综上所述，本题正确答案是C 。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (8)设是连续函数的一个原函数，表示的充分必要条件是，则必有(A)是偶函数是奇函数 (B)是奇函数是偶函数 (C)是周期函数是周期函数 (D)是单调函数是单调函数【答案】A 。
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为周期的解。
x
x
14. （本题满分 10 分） 设数列 xn 满足
x1 0,x e n 1 e n 1( n 1,2,3,
)。
n
证明 xn 收敛，并求 lim
x。
n
n
***
***
15. （本题满分 11 分） 设二次型
.
. 专业资料 .
.
***
.
.
f( x , x , x) 123
2
(x x x )
0} ( )
（ A） 0.2
（ B） 0.3
7. 设 总体 X 服从正态分布 N( ,
本，据此样本检测，假设
H0 :
（ C） 0.4 2 ) , X1 , X 2 ,
（ D） 0.5 ,X n 是来自总体 X 的简单随机样
0 ,H 1 :
,0 则（
）
（ A）如果在检验水平 （ B）如果在检验水平 （ C）如果在检验水平 （ D）如果在检验水平
3z 的前侧 ，计算曲面积分
3
3
I
xdydz ( y 2) dzdx z dxdy .
13. （本题满分 10 分） 已知微分方程
y y f (x) ，其中 f (x) 是R 上的连续函数。
（ I ）若 f (x)
x f (x) ，求方程的通解； （II ）若 T 是周期为 的函数，证明：方程存在
T 唯一的以
(x
1
2
3
2
x ) (x
2
3
ax ) 1
2
a ，其中
是参数。
3
（ I ） f (x , x , x )
求
12 3
0 的解；（II ）求
16. （本题满分
a 11 分）设
是常数，且矩阵
f (x , x , x ) 的规范型。 12 3
12 a
A 13 0 阵
可经过初等列变换化为矩
27 a
1 a2
B
。 (I)
）
r （ A） ( A, AB)
r (A)
（ B） r ( A, BA) r (A)
r （C） ( A, B) max{ r ( A), r (
B)}
6.
X 设随机变量
的概率密度
f (x)
满足 f (1
x)
( （ D）
,)
(
r AB
f (1
x) ，且
TT
,
)
rA B 2 0 f (x)dx
则P{ X
10. （本题满分
10 分） 求不定积分
e x arctan
2 x arctan
e
dx . 2
x1
x1
11. （本题满分 10 分） 将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三 个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
12. （本题满分 10 分）设 面
是曲 x
2
2
1 3y
x （ D） y 与 2x 2 y z 2
3.
n(
n 2n 1) (2n
3 1)!
（
）
0
A sin1 cos1
B 2sin1 cos1
C 2sin1 2cos1
D 2sin1 3cos1
2
1x
4.
(1 x) ，
2
设M
2
dx N
2
1x
dx ，
2
K
(1
cosx)dx ，则（
）
x
2
e
2
2
M （ A）
NK
M （ B）
)
1
2
，则 A ____。
1
2
9. 设随机事件 A 与 B 相互独立， A 与 C BC 相互独立，
,
1
P( A) P( B)
，
2
1
P( AC AB C)
, 则P(C ) ____ 。
4
三、解答题： 15— 23 小题，共 94 分 . 请将解答写在答题．纸．．指定位置上 . 解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤 .
1
1 tan x sin kx
8. lim
e
若 x 0 1 tan x
，则 k ____ 。
x 10.
设函数 f ( x)
具有二阶连续导数，若曲线
y
f (x) 过点 ( 0,0) ，且与
2
y
在点
(1,2) 处相切，求
1 xf ( x)dx
0
______ 。
11、 设函数 F(x, y, z)
xy i
0.05 下拒绝 0.05 下拒绝 0.05 下接受 0.05 下接受
H ，那么在检验水平 0
H ，那么在检验水平 0
H ，那么在检验水平 0
H ，那么在检验水平 0
0.01 下必拒绝 0.01 下必接受 0.01 下必拒绝 H0 ； 0.01 下必接受 H0 。
0.6
H； 0
H； 0
二、填空题： 9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题．纸．．指定位置上 .
yz j zxk ，则r otF (1,1,0)
_____ 。
12. L 设 是曲面
2
2
21
x
y
z
x 与平面
13. 设二阶矩阵 A 有两个不同的特征值，
y z 0 的交线，则 xyds ___ 。 L
1, 2 是 A 的线性无关的特征向量，且满 足
***
***
.
. 专业资料 .
.
***
.
.
2
A(
K
N
K （ C）
M
N K （ D）
NM
110
0 1 1 5. 下列矩阵中阵，与矩阵
相似的是（
）
001
***
***
.
. 专业资料 .
.
***
.
.
11
1
10
1
11
1
10
1
01 1 （ B）
01 1 （ C）
01 0 （ D）
0 1 0 （ A）
00 1
00 1
00 1
00 1
5. 设 A, B 是n r ( 阶矩阵，记 X ) X 为矩阵 ( 的秩， X , Y) 表示分块矩阵，则（
（ B） f (x)
x sin x
（ C） f ( x) cos x 2. 过点 ( 1,0,0) ， (0,1,0) ，且与曲面
（ D） f (x)
cos x
2
2
zx
y 相切的平面为（
）
z （ A） 0 与 x y z 1
z （ B） 0 与 2x 2 y z 2
x （ C） y 与 x y z 1
的概率密度为
其中
(0,
) 为未知参数，
X1,X 2 ,
x 1
f (x;
)
e,
x
，
2
, X X 的 n 为来自总体
的简单随机样本， 记
最大似然估计量为
。（I ）求 ；（II ）求 E( ) 和 D( ) 。
答案解析 14. 【答案】 ( D )
.
.
2018 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一考研真题与全面解析
一、选择题： 1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上
.
1. 下列函数中在 x 0 处不可导的是（
）
（ A） f ( x) x sin x
a AP B P ？ 求
；（II ）求满足
的可逆矩阵
0 11
11 1
17. （本题满分
X,Y X 11 分） 设随机变量
相互独立，
的概率分布为
Y 服从参数为 布。
1
PX 1 P X
1
，
2
的泊松分布。令
Z
XY ，（I ）求 Cov( X ,Z) ；（II ）求 Z 的概率分
18. （ 本题满分
11 X 分）设总体