高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 类比推理 参考教案
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第1节归纳与类比
§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积． 归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1， 得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1， 可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】 在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】 如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1． 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V PBCDV ABCD，同理，p b h b ＝V PACD V ABCD ，p c h c ＝V PABD V ABCD ，p d h d ＝V PABCV ABCD .∵V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABC ＝V ABCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABCV ABCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明． 思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1， 将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较 归纳推理类比类推相同点 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不 同 点特点 由部分到整体，由个别到一般 由特殊到特殊推理过程 从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 归纳推理 参考教案1
归纳推理一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、引入新课归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。
归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。
也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。
由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。
”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。
这里就有着归纳推理的运用。
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 (二)、例题探析例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。
解：考察一些多面体，如下图所示：将这些多面体的面数（F ）、棱数（E ）、顶点数（V ）列出，得到下表： 多面体面数（F ）棱数（E ）顶点数（V ）三棱锥 4 6 4 四棱锥 5 8 5 五棱锥 6 10 6 三棱柱 5 9 6 五棱柱 7 15 10 立方体 6 12 8 八面体 8 12 6 十二面体 123020从这些事实中，可以归纳出：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 复习点拨：类比推理的命题
谈类比推理的命题 类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理；类比推理由特殊到特殊的推理，借助类比推理可以推测未知、可以发现新结论、可以探索和提供解决问题的思路和方法；因此，类比推理是一种很重要的推理，它在近年各级各类的考试中，也时有出现；本文简介类比推理的命题特点，揭示求解规律，希望对你求解此类问题能有所帮助。
1、类比概念类比某些熟悉的概念，产生的类比推理型试题；在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路。
例1、等和数列的定义是：若数列{}n a 从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和；如果数列{}n a 是等和数列，且11=a ，22=a ，写出数列{}n a 的一个通项公式为；分析：由定义知公和为3，且31=+-n n a a ，那么)23(231--=--n n a a ，于是)23()1(2311--=--a a n n ， 因为11=a ，得21)1(23⋅-+=n n a 2、类比定理从初中到高中我们学过的定理很多，这些定理是产生类比型问题的“沃土”。
请看：例2、在平面几何里有勾股定理：“设ABC ∆的两边AC AB ,互相垂直，则222BC AC AB =+。
”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥BCD A -的三侧面ADB ACD ABC ,,两两垂直，则 。
”分析：在平面上是线的关系，在空间呢？假若是面的关系，类比一下：直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和，而直角顶点所对的面会有什么关系呢？大胆一点猜测：2222ADB ACD ABC BCD S S S S ∆∆∆∆++=事实上，如图作CD AE ⊥连BE ，则CD BE ⊥222222222)(41)(4141AB AD AC AE AB CD BE CD S BCD +=+=⋅=∆ =+∆2ACD S 222ADB ACD ABC S S S ∆∆∆++3、类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 归纳推理 参考教案3
1.1 归纳推理教学过程：一：创设情景，引入概念师：今天我们要学习第一章：推理与证明。
那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的过程。
（学生观看flash动画）。
师：有哪位同学能描述一下这段flash动画中的人物的推理过程吗？生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是得到推理：天下乌鸦一般黑。
师：很好！那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？生：这是从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的过程。
师：非常好！（引出推理的概念）。
师：推理包括合情推理和演绎推理，而我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。
那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过介绍数学中的一个非常有名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。
（引入哥德巴赫猜想）师：据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。
大家看这3个等式都是什么运算？生：加法运算。
师：对。
我们看来这些式子都是简单的加法运算。
但是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子交换了一下位置，即变为：10=3+7，20=3+17，30=13+17。
大家观察这两组式子，他们有什么不同之处？生：变换之前是把两个数加起来，变换之后却是把一个数分解成两个数。
师：大家看等式右边的这些数有什么特点？生：都是奇数。
师：那么等式右边的数又有什么特点呢？生：都是偶数。
师：那我们就可以得到什么结论？生：偶数=奇数+奇数。
师：这个结论我们在小学就知道了。
大家在挖掘一下，等式右边的数除了都是奇数外，还有什么其它的特点？（学生观察，有人看出这些数还都是质数。
）师：那么我们是否可以得到一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。
生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。
师：非常好！那么我们看偶数4又行不行呢？生：不行！师：那么继续往下验证。
（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那我们可以发现一个什么样的规律？生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。
高中数学北师大版选修2-2学案：1.1.2 类比推理 Word版含解析
1.2类比推理1.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点)2.会用类比推理对具体问题作出判断.(难点)[基础·初探]教材整理1类比推理阅读教材P5“1.2类比推理”至P6前16行，完成下列问题.由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③教材整理2合情推理阅读教材P6的最后4个自然段，完成下列问题.合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式. 合情推理的结果不一定正确.下列说法正确的是( )A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论不能判断正误【解析】 根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和.(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；(2)写出一个更为一般的结论(不必证明).【精彩点拨】 结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质.【自主解答】 (1)数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的.证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3，∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝10d ＋10d ＋…10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.(2)对于任意k ∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d .1.本题是等比数列与等差数列之间的类比推理，在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点.2.类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处.[再练一题]1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列. 【导学号：94210005】【解析】 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.【答案】 T 8T 4 T 12T 8a b c ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝1.图1-1-10证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 p a h a ＝12BC ·p a 12BC ·h a ＝S △PBC S △ABC ， 同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c＝S △P AB S △ABC . ∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB S △ABC ＝1. 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝1.证明如下：p a h a＝13S △BCD ·p a 13S △BCD ·h a＝V P BCD V A BCD ， 同理，p b h b ＝V P ACD V A BCD ，p c h c ＝V P ABD V A BCD ，p d h d＝V P ABC V A BCD . ∵V P BCD ＋V P ACD ＋V P ABD ＋V P ABC ＝V A BCD ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝V P BCD ＋V P ACD ＋V P ABD ＋V P ABC V A BCD＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.[再练一题]2.在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cos C ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小.猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[探究共研型]“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理.探究2已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和.因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝n2＋2n－n2＝n（n＋1）2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n2的和.【提示】因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，…23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝13⎝⎛⎭⎪⎫n3＋3n2＋3n－3n2＋5n2＝2n3＋3n2＋n6＝n（n＋1）（2n＋1）6.已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明 【自主解答】 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n ).因为点M (m ，n )是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2， 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征.然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.(2016·温州高二检测)如图1-1-11所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于________.图1-1-11【解析】 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c ，0)，B (0，b )，A (a ，0)，所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b ).又因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，所以e 2－e －1＝0，所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去).【答案】 1＋52 [构建·体系]1.下面使用类比推理恰当的是( )A.“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D.“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”【解析】 由实数运算的知识易得C 项正确.【答案】 C2.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )【导学号：94210006】A.r22 B.l22C.lr2 D.无法确定【解析】扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝lr 2.【答案】 C3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】1∶84.在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，有如下方法：先改写第k项：k(k＋1)＝13[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n＋1)＝13[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝13n(＋1)(n＋2).类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n＋2)”，其结果写成关于n 的一次因式的积的形式为________________.【解析】1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n (n ＋2)＝16[n (n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n (2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝16n (n ＋1)(2n ＋7).【答案】 16n (n ＋1)(2n ＋7)5.如图1-1-12(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC .若类比该命题，如图1-1-12(2)，三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则可以得到什么命题？命题是否是真命题，并加以证明.(1) (2)图1-1-12【解】 命题是：三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD ，是一个真命题.证明如下：如图，连接DM ，并延长交BC 于E ，连接AE ，则有DE ⊥BC .因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AE .又AM ⊥DE ，所以AE 2＝EM ·ED .于是S 2△ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心.【答案】 D2.下列推理正确的是()A.把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB.把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC.把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝x n＋y nD.把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz).故选D.【答案】 D3.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R＝()【导学号：94210007】A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V 四面体S -ABC＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C4.在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d ≠0，则有a 4a 6>a 3a 7.类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q ≠1，则关于b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系正确的是( )A.b 5b 7>b 4b 8B.b 7b 8>b 4b 5C.b 5＋b 7<b 4＋b 8D.b 7＋b 8<b 4＋b 5【解析】 b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 1(q 4＋q 6－q 3－q 7) ＝b 1[q 3(q －1)＋q 6(1－q )] ＝b 1[－q 3(q －1)2(1＋q ＋q 2)]<0， ∴b 5＋b 7<b 4＋b 8. 【答案】 C5.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A -BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A.1B.2C.3D.4【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4×13×34r＝13×34×63⇒r＝612，故AO＝AM－MO＝63－612＝64，故AO∶OM＝64∶612＝3∶1.【答案】 C二、填空题6.(2016·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________.【解析】类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.【答案】4657.在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22，将此结论类比到空间有______________________________.【解析】Rt△ABC类比到空间为三棱锥A-BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A-BCD的外接球.【答案】在三棱锥A-BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A-BCD的外接球半径R＝a2＋b2＋c228.已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论____________________.【解析】由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12 (20)30b1b2 (30)【答案】10b11b12 (20)30b1b2…b30三、解答题9.如图1-1-13(1)，在平面内有面积关系S△P A′B′S△P AB＝P A′·PB′P A·PB，写出图1-1-13(2)中类似的体积关系，并证明你的结论.(1) (2)图1-1-13【解】 类比S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，有V P A ′B ′C ′V P ABC＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC . 证明：如图，设C ′，C 到平面P AB 的距离分别为h ′，h .则h ′h ＝PC ′PC ，故V P A ′B ′C ′V P ABC＝13S△P A ′B ′·h ′13S △P AB ·h＝P A ′·PB ′·h ′P A ·PB ·h ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC .10.在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有什么样的等式成立？【解】 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则可得 b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋).[能力提升]1.已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A.正四面体的内切球的半径是其高的12 B.正四面体的内切球的半径是其高的13 C.正四面体的内切球的半径是其高的14D.正四面体的内切球的半径是其高的15【解析】 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14.【答案】 C2.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD.d n ＝nc 1·c 2·…·c n 【解析】 若{a n }是等差数列， 则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ， ∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn （n －1）2， ∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列. 【答案】 D3.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题： 已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________.【导学号：94210008】【解析】 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，故a 18＝3.从而S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.【答案】 3S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数4.(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是双曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).【解】 (1)证明如下： 设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )， 依题意，得A (－a ，0)，B (a ，0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a ). 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 2a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )， 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2).。
【教案】高中数学北师大版选修22第1章归纳推理word教案2
【关键字】教案1.1 归纳推理教学过程：1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。
如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。
教师指导，合作交流，归纳：，，，F+V-E=2等等，其中“F+V-E=为“欧拉公式”。
3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。
定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).多面体面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱锥 4 4 6四棱锥 5 5 8三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12正八面体8 6 12五棱柱7 10 15截角正方体7 10 15尖顶塔9 9 16说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。
4.例题解析例1：在数列中，猜想这个数列的通项公式？解析：先由学生计算：归纳：说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化时,往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律.例2：（拓展）问：如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论。
高中数学选修2-2 北师大版 1.1归纳与类比类比推理 教案
类比推理一、教学目标1、知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理；（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。
2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。
培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。
我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
①归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子方法归纳。
（二）、引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。
又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。
惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。
（三）、例题探析例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。
得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。
2018-2019学年高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比教案(含解析)北师大版选修2-2
1归纳与类比归 纳推 理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？ 提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？ 提示：一切金属都能导电．问题3：若数列{a n }的前四项为2,4,6,8，试写出a n . 提示：a n ＝2n (n ∈N ＋)．问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？ 提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．归纳推理的定义及特征定义特征根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.类 比 推 理问题1：试写出三角形的两个性质． 提示：(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题2：你能由三角形的性质推测空间四面体的性质吗？试写出来． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题3：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么．提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．类比推理的定义及特征定义特征由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.合情推理与演绎推理1．合情推理的含义(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．2．演绎推理的含义演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．1．归纳推理的特点：(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．2．类比推理的特点：(1)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象；(2)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠；(3)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具．数与式的归纳[例1] (1)1>12，1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， …，请你归纳出一般性结论：______________. (2)已知f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1，且n ∈N ＋)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N ＋)的表达式为________．[思路点拨] (1)观察左边最后一项分母的特点为2n－1，不等式右边为n2，由此可得一般结论．(2)根据关系式，求出前几项的函数值，归纳出一般性结论．[精解详析] (1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2.(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x . 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.[答案] (1)1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x[一点通] 1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．1．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为( ) A ．1＋122＋132＋142＋152<95B ．1＋122＋132＋142＋152<116C ．1＋122＋132＋142＋152＋162<95D ．1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析：选D 观察每个不等式的特点，知第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.2．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，……归纳得：x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a ＝________. 解析：当n ＝1时，a ＝1， 当n ＝2时，a ＝4＝22， 当n ＝3时，a ＝27＝33， …∴当分母指数取n 时，a ＝n n. 答案：n n3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4；(2)归纳猜想数列{a n }的通项公式． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝a n 1＋2a n (n ∈N ＋)，得a 2＝13，a 3＝a 21＋2a 2＝15，a 4＝a 31＋2a 3＝17. (2)由a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，可归纳猜想a n ＝12n －1(n ∈N ＋)． 图与形的归纳[例2] 个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1fn －1的值．[思路点拨] 先求出f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值，并归纳出n 与f (n )的关系，然后即可解决问题(2)、(3)．[精解详析] (1)f (5)＝41. (2)f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，……由上式规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1fn －1＝12nn －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，∴1f 1＋1f2－1＋1f 3－1＋…＋1fn －1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n.[一点通] 利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式．(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式．4．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36解析：选B 有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 … 个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝6n ＋2.6．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝____________；当n >4时，f (n )＝______________.(用含n 的数学表达式表示)解析：画图可知，f (4)＝5，当n >4时， 可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1，由f (n )－f (n －1)＝n －1， f (n －1)－f (n －2)＝n －2，…f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)，又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2，化简整理得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)．答案：5 12(n －2)(n ＋1)几何图形的类比[例3] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；(2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2.[思路点拨] 先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面类比体． [精解详析] 圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C ＝πd 球的表面积S ＝πd 2圆的面积S ＝πr 2球的体积V ＝43πr 3[一点通] 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形 立体图形 点 点、线 直线 直线、平面 边长 棱长、面积 面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 平行四边形平行六面体圆球7．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12()AB ―→＋AC ―→，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13()AB ―→＋AC ―→＋AD ―→ 8．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_________________．解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大9．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cosB ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P —ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.定义、定理或性质中的类比[例4] [精解详析] (1)两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量； (2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律， 即：a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； (3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算， 即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解，x ＝－a 与x ＝－a ；(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a .在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．10．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边长的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3)D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．11．已知等差数列{a n }的公差为d ，a m ，a n 是{a n }的任意两项(n ≠m )，则d ＝a n －a mn －m，类比上述性质，已知等比数列{b n }的公比为q ，b n ，b m 是{b n }的任意两项(n ≠m )，则q ＝________.解析：∵a n ＝a m qn －m，∴q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1－n m.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a n am 1－n m1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A.B．△C.D．○解析：选A 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N＋，且n≥3)．A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：选C ①是类比推理；②④是归纳推理，故①②④都是合情推理．3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为( ) A．1∶2 B．1∶4C．1∶8 D．1∶16解析：选C 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.4．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…则第70个“整数对”为( )A．(3,9) B．(4,8)C．(3,10) D．(4,9)解析：选D 由整数对的排列规律知前11排有1＋2＋…＋11＝66个整数，所以第67个“整数对”是第12排的第一个“整数对”(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列{a n}的通项公式为a n＝__________.解析：根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝OA21＋A1A22＝12＋12＝2，a3＝OA3＝OA22＋A2A23＝22＋12＝3，…，故可归纳推测出a n＝n.答案：n7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n－1)＝n2(n≥2，n∈N＋)．8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．解：在△DEF中，由正弦定理，得dsin D＝esin E＝fsin F.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．。
高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比演绎推理教案北师大版选修2-2(2021学年)
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演绎推理一、教学目标1、知识与技能:（1)了解演绎推理 的含义;(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理；（3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
2、方法与过程:认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式，包括三步(１）大前提，（2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。
３、情感态度与价值观:通过本节的学习，使学生认识到演绎推理在数学中的重要性，我们既需要用合情推理来发现结论，也要用演绎推理来证明结论的对否.二、教学重点：了解演绎推理的含义,能利用“三段论"进行简单的推理。
教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程（一）、复习准备:1. 练习: ① 对于任意正整数n ，猜想(２n —1)与(ｎ+１)2的大小关系?②在平面内，若,a c b c ⊥⊥,则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论:在空间中,若,a c b c ⊥⊥,则//a b ;或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则)２. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明,有什么能使结论正确的推理形式呢?3. 导入:（二）、新课探析1.概念:① 概念:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。
北师版数学选修22类比推理教案
4、尽管合情推理的结果不一定正确，但是它依然有非常重要的价值。
5、对于数学命题，需要通过演绎推理严格证明。演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
四、巩固练习（选做）
1、杨辉三角的前5行是
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
请试写出第8行，并归纳、猜想出一般规律，从上面的等式中，你能猜想出什么结论？教Biblioteka 过程教师活动学生活动
备注
一、复习引入
1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?
2、 归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式。
3、归纳推理的步骤有哪些？
二、新课讲解
1、引例：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
情感态度、价值观
1．体会并认识类比推理在数学发现中的作用。
2．培养学生“发现—猜想—证明”的合情推理能力。
教学重点
了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点
用类比进行推理，做出猜想。
教学方法
引导、实例分析、探究、应用举例
学法指导
观察、对比、分析、思考、分组讨论
教具、仪器
教学课件、多媒体设备
学生
练习
有配套课件。
教师可根据学生情况选讲。
板书设计
2、类比推理
课件演示课堂练习
1、2、
教学反思
2、类比推理的一般步骤：
a)找出两类事物之间的相似性或者一致性。
b)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。
高二北师大数学选修22第一节归纳与类比1.2类比推理教学设计
第一章推理与证明1.2类比推理教学目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。
会进行简单的类比推理。
3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。
提高归纳、类比联想的能力。
重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；教学过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．例题分析我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c;(1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。
(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
即例3如图，已知点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，则1111111=++CC OC BB OB AA OA （Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论 （Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 解读归纳推理
解读归纳推理一、归纳推理的定义及理解归纳推理就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，它是从特殊到一般的过程。
简而言之，归纳推理是有部分到整体，由个别到一般的推理，例如由“铜、铁、铝、金、银等金属能导电”归纳出“一切金属都能导电”。
由“直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°”，归纳出“所有三角形的内角和都是180°”等等，这些都是归纳推理。
在统计学中，我们总是从所研究的全体对象中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体作出判断，这也是归纳推理。
应用归纳推理可以发现新的事实，获得新的结论。
二、归纳推理的步骤：⑴通过观测个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。
三、典例剖析例1 如图1所示，在一张方格纸上画折线（用粗线表示的部分），图中每个小方格的边长为1，从A点出发依次给每条直线段编号。
⑴编号为2010的直线长度是多少？⑵长度为2010的直线段的编号是多少？分析：仔细观察表中的编号与长度列出表格，根据表格中的编号与长度的关系归纳出一般规律。
解：通过观察列出编号与长度的关系表：编号1、2 3、4 5、6 7、8 9、10 …长度 1 2 3 4 5 …从表中看出：长度为n的线段编号为2n-1和2n。
⑴编号为2010的线段长为2010÷2=1005。
⑵长度为2010的线段有两条，编号分别为：2010×2-1=4019，2010×2=4020。
点评：本题主要考查识图能力，利用表格将题目中的编号与长度都对应表示出来，从而使题目中的各种关系明朗化，便于解题。
- 1 - / 2四、拓展提高⑴归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的。
⑵归纳具有发现新知识和探索真理的功能，在数学中有预测答案，探索解题思路的作用，对于较为复杂的问题，当难以找到解决问题的方法时，可以通过归纳猜想的办法，预测结论，从而找到解决问题的途径。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 高考中的类比推理
高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。
”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。
类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。
例1、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，,34)(3R R V π=24)(R r S π=.答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。
类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。
分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。
在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。
2012-2013高二北师大数学选修2-2第一节归纳与类比1.2类比推理教学设计
第一章推理与证明1.2类比推理教学目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。
会进行简单的类比推理。
3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。
提高归纳、类比联想的能力。
重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；教学过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．例题分析我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c;(1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。
(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
即例3如图，已知点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，则1111111=++CC OC BB OB AA OA （Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论 （Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。
高中数学北师大版选修2-2第1章类比推理word教案
类比推理教学进程一．问题情境从一个传说提及：春秋时期鲁国的公输班（后人称鲁班，被以为是木工业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是如此的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也能够是齿形的.那个推理进程是归纳推理吗？二．数学活动咱们再看几个类似的推理实例。
例1、试按照等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b a+c=b+c; (1) a＞b a+c＞b+c;(2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc;(3) a=b a2=b2;等等。
(3) a＞b a2＞b2;等等。
问：如此猜想出的结论是不是必然正确？例二、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的概念：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间能够确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶查验猜想。
即例3.在平面上,设h a ,h b ,h c 是三角形ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P到相应三边的距离别离为p a ,p b ,p c ,咱们能够取得结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论.巩固提高1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情形下加以推行,即要求取得一个更一般的命题,算了知命题应成为所推行命题的一个特例,推行的命题为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．1=++c c b b a a h p h p h p直角三角形3个面两两垂直的四面体∠C＝90°3个边的长度a，b，c2条直角边a，b和1条斜边c∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1，S2，S3和S3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S3．（2004，北京）概念“等和数列”：在一个数列中，若是每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么那个数列叫做等和数列，那个常数叫做该数列的公和。
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第2节综合法与分析法
§2 综合法与分析法2.1 综合法学习目标核心素养1．了解综合法的思考过程、特点．(重点) 2．会用综合法证明数学命题．(难点) 1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？[提示]综合法是由因导果的顺推思维．1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B2．在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则△ABC一定是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形C[由条件可知cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C>0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形．]3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法．综合法[证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]用综合法证明三角问题【例1】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C.(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．思路探究：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A. (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. [证明] (1)由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ， 得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B)＝3， sin B ＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1． 因为0°<B<120°， 所以30°<B＋30°<150°， 所以B ＋30°＝90°，即B ＝60°， 所以A ＝B ＝C ＝60°， 即△ABC 为等边三角形．证明三角等式的主要依据1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式．3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．1．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.[证明] ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α①又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin 2β＝sin θcos θ②将②代入①2，得1＋2sin 2β＝4sin 2α， 又sin 2 β＝1－cos 2β2，sin 2α＝1－cos 2α2，∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α， 即2cos 2α＝cos 2β.用综合法证明几何问题【例2】 如图，在四面体BACD 中，CB ＝CD ，AD⊥BD，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD ； (2)平面EFC⊥平面BCD.思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．[证明] (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF∥AD，又EF 平面ACD ，AD平面ACD ，所以直线EF∥平面ACD.(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F ，所以BD⊥平面EFC. 因为BD平面BCD ，所以平面EFC⊥平面BCD.证明空间位置关系的一般模式本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．2．如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝a ，AB ＝2a ，E ，F 分别为C 1D 1，A 1D 1的中点．(1)求证：DE⊥平面BCE ； (2)求证：AF∥平面BDE. [证明](1)∵BC⊥侧面CDD 1C 1，DE侧面CDD 1C 1，∴DE⊥BC.在△CDE 中，CD ＝2a ，CE ＝DE ＝2a ，则有CD 2＝DE 2＋CE 2，∴∠D EC ＝90°，∴DE⊥EC. 又∵BC∩EC＝C ，∴DE⊥平面BCE.(2)连接EF ，A 1C 1，设AC 交BD 于点O ，连接EO ， ∵EF 12A 1C 1，AO 12A 1C 1， ∴EFAO ，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∴AF∥OE. 又∵OE平面BDE ，AF平面BDE ，∴AF∥平面BDE.用综合法证明不等式[探究问题]1．综合法证明不等式的主要依据有哪些？ [提示] (1)a 2≥0(a∈R)．(2)a 2＋b 2≥2ab，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)a ，b∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地，b a ＋ab ≥2．(4)a －b≥0⇔a≥b；a －b≤0⇔a≤b. (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca. (6)b a ＋ab≥2(a，b 同号，即ab>0)．(7)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a ，b∈R)．左边等号成立的条件是ab≤0，右边等号成立的条件是ab≥0. 2．使用基本不等式证明不等式时，应该注意什么？请举例说明．[提示] 使用基本不等式时，要注意①“一正、二定、三相等”；②不等式的方向性；③不等式的适度，如下例．[题] 已知，a ，b∈(0，＋∞)，求证：a b ＋b a≥a ＋ b.若直接使用基本不等式，a b ＋b a≥2ab ·b a＝24ab ，而a ＋b ≥24ab.从而达不到证明的目的，没掌握好“度”，正确的证法应该是这样的：[证明] ∵a>0，b>0， ∴ab ＋b ≥2a ，ba ＋a ≥2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ， 即ab ＋ba≥a ＋ b. 【例3】 已知x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.思路探究：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明． [证明] 法一：因为x>0，y>0,1＝x ＋y≥2xy ， 所以xy≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy ≥1＋8＝9.法二：因为1＝x ＋y ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x . 又因为x>0，y>0，所以x y ＋yx ≥2，当且仅当x ＝y 时，取“＝”． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.1．本例条件不变，求证：1x ＋1y≥4.[证明] 法一：因为x ，y∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1， 所以x ＋y≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 所以xy ≤12，即xy≤14，所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy ≥4.法二：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以x ＋y≥2xy>0，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 1x ＋1y≥21xy>0， 当且仅当1x ＝1y时，取“＝”，所以(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4. 又x ＋y ＝1，所以1x ＋1y≥4.法三：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋yy＝1＋y x ＋xy＋1≥2＋2x y ·yx＝4， 当且仅当x ＝y 时，取“＝”．2．把本例条件改为“a>0，b>0，c>0”且a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac≤13.[证明] ∵a>0，b>0，c>0， ∴a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc， a 2＋c 2≥2ac.∴a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.∴(a＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥3(ab＋bc ＋ac)． 又∵a＋b ＋c ＝1， ∴ab＋bc ＋ac≤13.综合法的证明步骤1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．2．综合法的特点(1)从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件．(2)证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹．(3)由综合法证明命题“若A，则D”的思考过程如图所示：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )(2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )(1)√(2)√(3)√[(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．]2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4B[若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又mβ，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若l⊥α，mβ，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确；若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确．]3．已知p ＝a ＋1a －2(a>2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a>2)，则p 与q 的大小关系是________． p>q [p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q<22＝4≤p.]4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)．求证：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝n ＋2n S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴n ＋2nS n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2(n ＋1)n S n ，∴S n ＋1n ＋1S n n ＝2，又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1(n≥2)，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1， ∴S n ＋1＝4a n .2.2 分析法学 习 目 标核 心 素 养1．了解分析法的思考过程、特点．(重点) 2．会用分析法证明数学命题．(难点)1．通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件1．用分析法证明：要使①A>B，只需使②C<D.这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [根据分析法的特点，寻找的是充分条件，∴②是①的充分条件，①是②的必要条件．] 2．欲证2－3<6－7，只需证( ) A ．(2＋7)2<(3＋6)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2－3)2<(6－7)2D ．(2－3－6)2<(－7)2A [欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证(2＋7)2<(3＋6)2．]3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab，只需证a 2＋b 2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab≥0 (a －b)2≥0 (a －b)2≥0应用分析法证明不等式【例1】 已知a>b>0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.思路探究：本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．[证明] 要证(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a>b >0，∴同时除以(a －b )22，得(a ＋b )24a <1<(a ＋b )24b ，同时开方，得a ＋b 2a<1<a ＋b 2b，只需证a ＋b<2a ，且a ＋b>2b ， 即证b<a ，即证b<a. ∵a>b>0，∴原不等式成立， 即(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.分析法证题思维过程1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．1．已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2．[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a ＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2．上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题【例2】 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，若函数y ＝f(x ＋1)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 思路探究：由于已知条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口．[证明] 要证函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋(a ＋b)x ＋14a ＋12b ＋c ，其对称轴为x ＝－a ＋b 2a ，因此只需证－a ＋b2a ＝0，即只需证a ＝－b ，又f(x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＋c ，其对称轴为x ＝－2a ＋b 2a ，f(x)的对称轴为x ＝－b 2a ，由已知得x ＝－2a ＋b 2a 与x ＝－b2a 关于y 轴对称，所以－2a ＋b 2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，得a ＝－b 成立，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．分析法证题思路1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．[证明] 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1．∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？[提示] 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】 在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来． [证明] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c2b ，且a>0，b>0，c>0.要证(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)， 只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)， 因(b ＋1)(c ＋1)≤(b ＋1)＋(c ＋1)2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a≥b＋c.由于2a ＝b 2c ＋c2b ，故只需证b 2c ＋c2b≥b＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c)(b 2＋c 2－bc)≥(b＋c)bc ， 即证b 2＋c 2－bc≥bc，即证(b －c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)．分析综合法特点综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 构成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c(b ＋c)＋a(a ＋b)＝(a ＋b)(b ＋c)， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A，B ，C 成等差数列， ∴2B＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2accos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立．1．综合法与分析法的区别与联系区别：综合法 分析法 推理方向 顺推，由因导果 逆推，执果索因 解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路， 利于思考(优点) 表述形式 形式简洁，条理清晰(优点)叙述烦琐，易出错 思考的 侧重点侧重于已知条 件提供的信息侧重于结论 提供的信息联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用2．分析综合法常采用同时从已知和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径．上面的思维模式可概括为下图：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越． ( ) (3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．( )(1)× (2)× (3)√ [(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．] 2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值决定C [当a ＝1时，P ＝1＋22，Q ＝2＋5，P<Q ，故猜想当a≥0时，P<Q.证明如下：要证P<Q ，只需证P 2<Q 2，只需证2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，即证a 2＋7a<a 2＋7a ＋12，只需证0<12．∵0<12成立，∴P<Q 成立．]3．设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．9 [因为a ＋b ＋c ＝1，且a>0，b>0，c>0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca ≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan Bcos A .证明：a ＋b ＝2c. [证明] 由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos Acos B ＋sin B cos Acos B，化简得2(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B)＝sin A ＋sin B ， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 从而sin A ＋sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a ＋b ＝2c. 命题得证．。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 高考新题型：类比题
高考新题型--类比题类比型试题能考查学生的数学学习能力、应用能力、探究能力、创新能力，它像一朵耀眼的奇葩频频出现在高考中，现采撷几类与大家共享.1与已知概念类比例1（2004年北京）定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5．那么18a 的值为 ，这个数列前n 项和n S 的计算公式为 ．分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法.解：∵{}n a 是等和数列，12a =，公和是5，23a =∴，则3423a a ==L ，，知23n a =，212()n a n *-=∈N ．183a =∴，数列{}n a 形如：232323L L ，，，，，，． 5()251()22n n n S n n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，∴为奇数． 评述：这是一道新情境题型，关键要吃透定义，对于n 为奇数时，15512(1)2222n n S S n n -=+=-+=-． 2．与已知数学方法类比例2 （2003年上海春招）设()22x f x =+，利用推导等差数列前n 项和的方法――倒序相加法，求(5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++L L 的值为 ． 解：本题类比数学方法，即利用倒序相加法，通过合情猜想即可解决． 由1()(1)22222x x f x f x -+-=++．设(5)(4)(0)(5)(6)S f f f f f =-+-+++++L L ，又(6)(5)(0)(4)(5)S f f f f f =+++++-+-L L ，212[(5)(6)]2S f f =-+=∴，32S =∴．3．与已知结论类比 例3 （2005年湖南）函数()y f x =的图象与直线x a x b ==，及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[]a b ，上的面积，已知函数sin y x =在π0n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为2()n n *∈N ，则（1）函数sin3y x =在2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为 ；（2）函数sin(3π)1y x =-+在π4π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为 ． 解析：（1）令3n =，则sin3y x =在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为23，又∵sin3y x =在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积相等，所以sin3y x =在2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为43； （2）由sin(3π)1y x =-+，设33πx ϕ=-，sin31y ϕ=+∴．又π4π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵， []303πϕ∈，∴， [0π]ϕ∈，∴．由（1）sin3y ϕ=在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为23，sin31y ϕ=+∴在[0π]，上的面积为1233324233S S S S S ++=⨯+=+， 3421(π0)π3S S =⨯--=-∵， sin(3π)1y x =-+∴在π4π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为2π3+．。
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1.2 类比推理
教学过程
一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：
(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;
(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;
(3) a=b⇒a2=b2;等等。
(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶检验猜想。
即
例3.在平面上,设h a ,h b ,h c 是三角形ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P
到相应三边的距离分别为p a ,p b ,p c ,我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
1
=++c c
b b a a h p h p h p。