幂的乘方与积的乘方 第二课时数学七年级下册同步教学课件(冀教版)

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(3)[(a 2)3+(2a 3)2]2.
导引:利用相关的幂的运算法则按先乘方,再乘除,
最后加减,有括号的先算括号里的顺序进行计
算,有同类项的要合并同类项,使结果最简.
解:(1)原式=x 3y 6;
(2)原式=a 2nb 6n+a 2nb 6n=2a 2nb 6n;
(3)原式=(a 6+4a 6)2=(5a 6)2=25a 12.
解:由题意知15x+2=153x-4,
所以x+2=3x-4. 所以x=3.
1. 下面的计算正确吗?正确的打“√”,错误的打“×”,并将
错误的改正过来.
(1)(ab 2)2=ab 4;
()
(2)(3cd )3=9c 3d 3; ( )
(3)(-3a 3)2=-9a 6; ( )
(4)(-x 3y )3=-x 6y 3. ( )
解:左边=3x+1×5x+1=(3×5)x+1=15x+1, 右边=152x-3,
所以x+1=2x-3, 解得x=4.
2 如果5n=a,4n=b,那么20n=__a_b_____.
3 若n 为正整数,且x 2n=3,则(3x 3n)2的值为_2_4_3_____.
4 若(-2a 1+xb 2)3=-8a 9b 6,则x 的值是( C )
解:(1)不正确,应为(2a)2=22a 2=4a 2. (2)不正确,应为(ab 2)3=a 3b 6. (3)不正确,应为(-3a 2)3=(-3)3·a 6=-27a 6. (4)不正确,应为(2ab 2)2=22a 2b 4=4a 2b 4.
2 计算:
(1)(3a)4; (3)(-x 2y 3)3;
一般地,若n 是正整数,则有
(ab)n n 个ab
= ab ·ab · … ·ab n 个a n 个b
= (a·a· … ·a) (b·b· … ·b)
= anbn.
归纳
(ab)n = anbn (n是正整数)
积的乘方,等于各因式乘方的积.
例1 把下列各式表示成幂的形式:
(1) (2x )2;
解:(1)25×55=(2×5)5=105.
(2)(-4)4×0.254=(-4×0.25)4=(-1)4=1.
(3)82 011×0.1252 011=(8×0.125)2 011=12 011=1.
(4)(-4)6×0.255=46×0.255=4×45×0.255=
4×(4×0.25)5=4.
8 计算a ·a 5-(2a 3)2的结果为( D )
A.a 6-2a 5
B.-a 6
C.a 6-4a 5
D.-3a 6
知识点 2 积的乘方法则的应用
积的乘方公式也可以逆用:anbn=(ab)n(n为正整数),
即:几个因式的乘方(指数相同)的积,等于它们的 积的乘方. 注意:①当两个幂的底数互为倒数,即底数的积为1
5 化简(2x )2的结果是( C )
A.x 4
B.2x 2
C.4x 2
D.4x
6 下列计算正确的是( C )
A.a 2+a 3=a 5
B.a 2·a 3=a 6
C.(a 2)3=a 6
D.(ab)2=ab 2
7 下列运算正确的是( B )
A.3m-2m=1
B.(m3)2=m 6
C.(-2m)3=-2m3 D.m 2+m 2=m 4
(2) (3ab)3;
(3) (-2b 2)3 ;
(4) (-xy 3) 2 ;
(5) (2a 2)3+ (-3a 2)3+ (a 2)2·a 3.
解:(1) (2x )2=22·x 2=4x 2. (2) (3ab)3=33a 3b 3=27a 3b 3. (3) (-2b 2)3 = (-2)3(b 2)3 =-8b 6. (4) (-xy 3) 2 = (-1)2·(x )2·(y 3)2 =x 2y 6. (5) (2a 2)3+ (-3a 2)3+ (a 2)2·a 2 =23·(a 2)3 + (-3)2·(a 2)3+(a 2)2·a 2 =8a 6+9a 6+a 6 =18a 6.
解:(1)原式=a 3+4+1+a 2×4+(-2)2×a 4×2=a 8+a 8+ 4a 8=6a 8.
(2)原式=-a 3nb 2n-a 3nb 2n=-2a 3nb 2n. (3)原式=a 3×2·a 3+a 2·a 7-(-5)3·a 3×3=a 6+3+a 9
A.0
B.1
C.2
D.3
例3 用简便方法计算:
(1)
1
2 5
6
×0.254×
5 7
6
×(-4)4;
(2)0.1252 015×(-82 016).
导引:本例如果按照常规方法进行运算,(1)题比较麻
烦,(2)题无法算出结果,因此需采用非常规方
法进行计算.(1)观察该式的特点可知本题需利
用乘法的结合律和逆用积的乘方公式求解;
4 计算:
(1) (-mn 2)3; (3) (2ab 3)2·(ab)2 ;
(2) (x 3)2·(x 2)3 ; (4) -3x 2·(-x )2.
解:(1)(-mn 2)3=-m 3n 6. (2)(x 3)2·(x 2)3=x 6·x 6=x 12. (3)(2ab 3)2·(ab)2=4a 2b 6·a 2b 2=4a 4b 8. (4)-3x 2·(-x)2=-3x 2·x 2=-3x 4.
=2a 3b 6.
2 计算(-2a)2-3a 2的结果是( B ) A.-a 2 B.a 2 C.-5a 2 D.5a 2
3 已知2n·x n=22n(n 为整数),求正数x 的值.
解:由题意知(2x )n=22n=4n,所以2x=4,即x=2.
4 已知3x+2·5x+2=153x-4,求x 的值.
=-(0.125×8)2 015×8=-12 015×8=-8.
总结
底数互为倒数的两个幂相乘时,先通过逆用同底数幂的 乘法法则化为指数相同的幂,然后逆用积的乘方法则转化为 底数先相乘、再乘方,从而大大简化运算.
1 比一比谁算得快,并进行交流.
(1)25×55;
(2)(-4)4×0.254 ;
(3)82 011×0.1252 011 ; (4)(-4)6×0.255.
一般的,如果n 是正整数,(ab)n=a nb n 成立吗?
知识点 1 积的乘方法则
1. 观察下面的运算过程,指出每步运算的依据.
(3×7)2
=(3×7)·(3×7) (
)
=(3×3)·(7×7) (
)
=32×72.
(
)
2. 按照上面的方法,完成下面的填空.
(ab)2=______________________; (ab)3=______________________. 3.试着归纳:如果n 是正整数,(ab)n=_______.
2 计算:
(1)59×0.28; (3)22×42×56.
(2)
2 3
9
3 2
9

解:(1)59×0.28=5×58×0.28=5×(5×0.2)8=5×18=5.
(2)
2 3
9
3 2
9
2 3
3 2
9
=(-1)9=-1.
(3)22×42×56=22×(22)2×56=22×24×56=26×56
3
计算
2 3
2017
×(-1.5)2
018×(-1)2
019的结果是(
D
)
A. 2 3
B. 3 2
2 C.- 3
D.-3 2
4 计算:
(1)a 3·a 4·a+(a 2)4+(-2a 4)2; (2)(-a n)3(-b n)2-(a 3b 2)n; (3)(-a 3)2·a 3+(-a)2·a 7-(5a 3)3.
的表面积大约是多少平方米?(π取 3.14)
解:S=4πr 2
=4×3.14×(6.37×106)2 =4×3.14×6.372×1012 ≈5.10×1014 (m2). 答:地球的表面积大约是5.10×1014 m2.
总结
在实际问题中,当数值较大时,一般利用科学记数法表示.
1 已知3x+1×5x+1=152x-3,求x 的值.
3 计算:
(1)(x 2y )5; (3)-(y 4)2;
(2)(-3x )3; (4)-(m n)3.
解:(1)(x 2y )5=(x 2)5·y 5=x 10y 5. (2)(-3x )3=(-3)3x 3=-27x 3. (3)-(y 4)2=-y 4×2=-y 8. (4)-(m n)3=-m 3n.
(2)(-2x 2)3; (4)(-3x 2)3·(3x )2.
解:(1)(3a)4=34a 4=81a 4. (2)(-2x 2)3=(-2)3·(x 2)3=-8x 6. (3)(-x 2y 3)3=-(x 2)3·(y 3)3=-x 6y 9. (4)(-3x 2)3·(3x )2=-33·(x 2)3·32·x 2=-27x 6·9x 2 =-243x 8.
易错点:对积的乘方的运算法则理解不透而导致出错
解:(1)×,原式=a 2b 4. (2)×,原式=27c 3d 3. (3)×,原式=9a 6. (4)×,原式=-x 9y 3.
2. 计算:
(1)(2x 2yz )3;
(2)(-3x 3y 4)3.
解:(1)(2x 2yz )3=23x 2×3y 3z 3=8x 6y 3z 3. (2)(-3x 3y 4)3=-27x 9y 12.
=(2×5)6=106.
3
式子22 019·
1 2
2018
的结果是(
C
)
A. 1 2
B.-2
C.2
D.-1 2
知识点 3 幂的混合运算
幂的三种运算是指: ①同底数幂的乘法; ②幂的乘方; ③积的乘方. 在计算中,既可以是上面任意两种运算的混合,也 可以是三种运算的混合.应特别注意掌握运算的顺序 及不同运算的方法.
总结
幂的混合运算顺序与有理数的运算顺序相同.
1 计算:
(1)(-x 2)3+(-3x 2)2·x 2 ; (2)(ab 2)3+(ab 2)2·ab 2 . 解:(1)(-x 2)3+(-3x 2)2·x 2=-x 6+(-3)2·(x 2)2·x 2
=-x 6+9x 4·x 2=-x 6+9x 6=8x 6. (2)(ab 2)3+(ab 2)2·ab 2=(ab 2)3+(ab 2)3=2(ab 2)3
时,逆用积的乘方法则可起到简化运算的作用. ②当遇到指数比较大,但指数相差不大时,可以考
虑逆用积的乘方法则解题. ③必须是同指数的幂才能逆用法则,逆用时一定要
注意:底数相乘,指4πr 2.地球可以近似地 看成一个球体, 它的半径r 约为6.37×106 m.地球
8.2 幂的乘方 与积的乘方
第2课时
知识回顾
幂的意义: a ·a ·…·a =a n n 个a
同底数幂的乘法运算法则:
a m·a n=a m+n (m,n 都是正整数)
幂的乘方运算法则:
(a m)n = a mn (m,n 都是正整数)
思考 计算 46×0.256 小明认为46×0.256=(4×0.25)6,马上得出结果为1.你认 为他这样计算有道理吗?
总结
运用积的乘方时,每个因式都要乘方,不能漏 掉任何一个因式;系数应连同它的符号一起乘方, 系数是-1时不可忽略.
1 下列各式的计算是否正确?如果不正确.请改正过来.
(1) (2a)2=2a 2;
(2) (ab 2)3 =a 3b 2;
(3) (-3a 2)3 = -9a 4;
(4) (2ab 2)2=4a 2b 2.
易错点:对于底数是多个因式的乘方运算,乘方时易 漏项
1 下列计算:①(ab)2=ab 2;②(4ab)3=12a 3b 3;
③(-2x 3)4=-16x 12;④
2 3
a
3
8 3
a3
,其中
正确的有( A )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2 如果(a nb m)3=a 9b 15,那么( B ) A.m=3,n=6 B.m=5,n=3 C.m=12,n=3 D.m=9,n=3
(2)82 016=82 015×8,故该式逆用同底数幂的乘
法和积的乘方公式求解.
解:(1)
1
2 5
6
0.254
5 7
6
(-4)4

1
2 5
6
5 7
6
×[0.254×(-4)4]

7 5
5 7
6
×(0.25×4)4=1×1=1.
(2)0.1252 015×(-82 016)=-0.1252 015×82 016
(1)三种混合运算的顺序 先算乘方(先算积的乘方,再算幂的乘方),再算 乘法(同底数幂的乘法),最后再加减(合并同类项).
(2) 幂的乘方与同底数幂的乘法混合运算 幂的乘方与同底数的幂的乘法比较容易混淆,在 其混合运算时,要特别注意区分.
例4 计算:(1)(x ·y 2)3;
(2)(a nb 3n)2+(a 2b 6)n;
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