5年级奥数-等差数列求和(共33张)
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五年级快乐 课程 (kuàilè)
第1页，共33页。
高斯(ɡāo sī)的故事
德国著名大科学家高斯(1777～1855)出 生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话 就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看 着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错 误。
长大后他成为当代最杰出的天文学家、 数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡 献，现在电磁学的一个单位就是用他的名 卡尔·弗里德里希·高斯 字命名。数学家们则称呼他为“数学王 子”。
有许多重要而有趣的性质，在以后(yǐhòu)的近800年中一直 是许多学者研究的对象。
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例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38
分析(fēnxī)：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4
原数列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 倒过来的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6
（2）7+11+15+19+......+403
（3）9+19+29+39+......+99
（4）1+3+5+7+......+99
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练习(liànxí)答案：
解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，公差=3, 项数=（37-7）÷3+1=11 和=（7+37）×11÷2=242
第2项： 3=1+2
第3项： 5=1+2 ×2
第4项： 7=1+2 ×3
第5项： 9=1+2 ×4
首项+公差×1（2-1）
首项+公差×2（3-1） 首项+公差×3（4-1） 首项+公差×4（5-1）
第6项： 11=1+2 ×5
首项+公差×5（6-1）
等差数列的通项公式： 等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的末项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的首项=末项-公差×（项数-1）
值呢？
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高斯解释他发现的一个方法，这个方法就 是古时希腊人和中国人用来计算级数 1+2+3+…+n的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧， 觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观 点是不对的。他以后(yǐhòu)也认真教起书来，并且 还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。 在他的鼓励下，高斯以后(yǐhòu)便在数学上作了一 些重要的研究了。
适用条件：该数列一定要为等差数列
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等差数列的某一项=首项(shǒu xiànɡ)+公差×（项 数-1）
例1 已知数列2、5、8、11、14…… 求：（1）它的第10项是多少？
（2）它的第98项是多少？ （3）这个数列各项被几除有相同的余数？
分析：首项=2 公差=3
解：（1）第10项： （2）第98项：
规律： 等差数列的某一差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。
这个数列每1项除以3都余2。
等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。
答：这个数列第10项是29；第98项是293；这个数列各项
除以3余数相同。
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例2 已知数列2、5、8、11、14、17，这个(zhège)数列有
多少项。 分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第
4项比首项多3个公差……，那第n项比首项多（n-1)个公差。
规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到这个数 列的项数。
等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）÷公差 + 1
这个数列的项数= （17-2）÷3+1=6
悉了不同国家在商业上使用的算术体系。
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经过研究和比较，他认为其他数系无一能与印度—阿拉伯 数系相媲美。斐波那契于1200年回到家乡，把在各地学得的数
学知识加以总结，写成《算盘书》这是向西欧介绍印度—阿拉 伯数系和阿拉伯数学的最早的著作。这本书的开头介绍 了一些算盘知识，而后却偏离了这一课题。因此，书名 中“算盘”一词已失去它作为计算工具的本意，而应理 解为“算术”或由印度—阿拉伯数系而产生的“算法”。 斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献(wénxiàn) 的数学知识，改进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种 类型的方法和习题。在算术和一、二次方程的代数学方 面，已成为中世纪欧洲数学之典范。
（2）这是一个等差数列；首项=7，末项=403，公差=4， 项数=（403-7）÷4+1=100 和=（7+403）×100÷2=20500
（3）这是一个等差数列；首项=9，末项=99，公差=10， 项数=（99-9）÷10+1=10 和=（9+99）×10÷2=540
（4）这是一个等差数列；首项=1，末项=99，公差=2， 项数=（99-1）÷2+1=50 和=（1+99）×50÷2=2500
数列中的每一个(yī ɡè)数称为一项； 第1项称为首项；最后1项称为末项； 在第几个位置上的数就叫第几项； 有多少项称为项数；
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（二）等差数列 的基 (děnɡ chā shù liè) 本知识
（1）1、2、3、4、5、6…… （2）2、4、6、8、10、12…… （3）5、10、15、20、25、30
“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出
来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不 发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。
第3页，共33页。
教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3， 3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个(yī ɡè)数后
就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些 孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。
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例：在一个分成64小格的方板的每个格子中放入石 子(shí zǐ)。如果第一格放入2粒，第二格放入4粒，第3 格放入6粒，第四格放入8粒……依次类推，放满
64格，一共要放入多少粒石子？
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例：在下图中，每个最小的等边三角形的面积
是12cm²，边长是1根火柴(huǒchái)棍。
4、它的第60项=7+5×（60-1）=302； 这个数列各项被5除有相同的余数。
（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。）
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二、等差数列 的和 (děnɡ chā shù liè)
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意大利数学家斐波那契
经过12世纪的传播时期之后，初等数学在欧洲获 得了相应的发展．在13世纪欧洲大多数国家里，城市成为
2、一串数：2、4、6、8、……2008。（1）它的第25项是多
少?（2）这串数共有多少个？
3、一串数：101、102、103、104、……199。（1）它的第
30项是多少?（2）这串数共有多少个？
4、一串数：7、12、17、22……。（1）它的第60项是多少? （2）这个数列各项被几除有相同的余数？
44 44 44 44 44 44 44 44 44
两数列之和=（6+38）×9
解：原数列之和=（6+38）×9÷2
=44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
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例：计算(jìsuàn)1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5
第19页，共33页。
斐波那契数列
假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月 就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年 之后可繁殖成多少对兔子？这个问题使斐波那契名垂史册．问 题的答案由下列和式给出：
1＋1＋2＋3＋5＋8＋…＋233．
其中从第三项起，每一项都是前两项的和。这个数列 现称斐波那契数列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它
商业和手工业发展的中心．特别是商业的发展，带来了相当 复杂的计算．这时的欧洲出现了第一批理论数学家．意大利 作为当时的商业中心，培育了中世纪最杰出(jiéchū)的教学 家——斐波那契。
斐波那契是一个商人的儿子，早年
随父到过北非，跟从阿拉伯教师学习
计算。后来到埃及、叙利亚、希腊、西 西里和法国旅游，拜访各地的学者，熟
你知道高斯是如何计算的吗？
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一、等差数列 的基 (děnɡ chā shù liè) 本知识
第6页，共33页。
（一）数列的基本知识
（1）1、2、3、4、5、6…… （2）2、4、6、8、10、12…… （3）5、10、15、20、25、30
像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列
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练习(liànxí)答案：
1、它的第21项=1+2×（21-1）=41； 这个数列的项数= （49-1）÷2+1=25；
2、它的第25项=2+2×（25-1）=50； 这个数列的项数= （2008-2）÷2+1=1004；
3、它的第30项=101+1×（30-1）=130； 这个数列的项数= （199-101）÷1+1=99
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2
= 277×28 =7756
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练习(liànxí)
1、计算
（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37
第2页，共33页。
他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里 来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小 用。而他又有些偏见：穷人的孩子(hái zi)天生都是笨蛋，教这 些蠢笨的孩子(hái zi)念书不必认真，如果有机会还应该处罚他 们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。
这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那 抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生 处罚了。
还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师， 答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去， 回去再算！错了。”他想不可能这么快就会有答案了。可是高斯 却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对 的。”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了
这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得 到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数
（1）最大三角形的面积是多少cm²？ （2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
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例：在一个分成(fēn chénɡ)64小格的方板的每个格子中 放入石子。如果第一格放入2粒，第二格放入4粒， 第3格放入6粒，第四格放入8粒……依次类推，放 满64格，一共要放入多少粒石子？
2+3 ×（10-1）=29 2+3 ×（98-1）=293
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等差数列的某一项=首项(shǒu xiànɡ)+公差×（项数-1）
例1 已知数列2、5、8、11、14…… 求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？
分析：
被除数=余数+除数×商
等差数列的某一项= 2+ 3×（项数-1）
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小结 ： (xiǎojié)
等差数列项的有关规律
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
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练习(liànxí)
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第21项 是多少?（2）这串数共有多少个？
第24页，共33页。
等差数列知识(zhī shi)总结：
怎样判断一个数列是等差数列 怎样求出等差数列的任意一项或项数
怎样求出等差数列前几项的和 必须牢记等差数列的基本公式和重要结论
1、等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 2、等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1 3、等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 4、等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。
（公差=1）
（公差=2）
（公差=5）
通过观察，我们可以发现上面的每一个数 列中，从第一项开始，后项与前项的差都相 等的，具有这样特征的数列称为等差数列， 这个差称为这个数列的公差。
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二、等差数列 的项 (děnɡ chā shù liè)
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数列(shùliè)：1、3、5、7、9、11……
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高斯(ɡāo sī)的故事
德国著名大科学家高斯(1777～1855)出 生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话 就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看 着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错 误。
长大后他成为当代最杰出的天文学家、 数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡 献，现在电磁学的一个单位就是用他的名 卡尔·弗里德里希·高斯 字命名。数学家们则称呼他为“数学王 子”。
有许多重要而有趣的性质，在以后(yǐhòu)的近800年中一直 是许多学者研究的对象。
第20页，共33页。
例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38
分析(fēnxī)：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4
原数列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 倒过来的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6
（2）7+11+15+19+......+403
（3）9+19+29+39+......+99
（4）1+3+5+7+......+99
第23页，共33页。
练习(liànxí)答案：
解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，公差=3, 项数=（37-7）÷3+1=11 和=（7+37）×11÷2=242
第2项： 3=1+2
第3项： 5=1+2 ×2
第4项： 7=1+2 ×3
第5项： 9=1+2 ×4
首项+公差×1（2-1）
首项+公差×2（3-1） 首项+公差×3（4-1） 首项+公差×4（5-1）
第6项： 11=1+2 ×5
首项+公差×5（6-1）
等差数列的通项公式： 等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的末项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的首项=末项-公差×（项数-1）
值呢？
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高斯解释他发现的一个方法，这个方法就 是古时希腊人和中国人用来计算级数 1+2+3+…+n的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧， 觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观 点是不对的。他以后(yǐhòu)也认真教起书来，并且 还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。 在他的鼓励下，高斯以后(yǐhòu)便在数学上作了一 些重要的研究了。
适用条件：该数列一定要为等差数列
第10页，共33页。
等差数列的某一项=首项(shǒu xiànɡ)+公差×（项 数-1）
例1 已知数列2、5、8、11、14…… 求：（1）它的第10项是多少？
（2）它的第98项是多少？ （3）这个数列各项被几除有相同的余数？
分析：首项=2 公差=3
解：（1）第10项： （2）第98项：
规律： 等差数列的某一差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。
这个数列每1项除以3都余2。
等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。
答：这个数列第10项是29；第98项是293；这个数列各项
除以3余数相同。
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例2 已知数列2、5、8、11、14、17，这个(zhège)数列有
多少项。 分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第
4项比首项多3个公差……，那第n项比首项多（n-1)个公差。
规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到这个数 列的项数。
等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）÷公差 + 1
这个数列的项数= （17-2）÷3+1=6
悉了不同国家在商业上使用的算术体系。
第18页，共33页。
经过研究和比较，他认为其他数系无一能与印度—阿拉伯 数系相媲美。斐波那契于1200年回到家乡，把在各地学得的数
学知识加以总结，写成《算盘书》这是向西欧介绍印度—阿拉 伯数系和阿拉伯数学的最早的著作。这本书的开头介绍 了一些算盘知识，而后却偏离了这一课题。因此，书名 中“算盘”一词已失去它作为计算工具的本意，而应理 解为“算术”或由印度—阿拉伯数系而产生的“算法”。 斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献(wénxiàn) 的数学知识，改进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种 类型的方法和习题。在算术和一、二次方程的代数学方 面，已成为中世纪欧洲数学之典范。
（2）这是一个等差数列；首项=7，末项=403，公差=4， 项数=（403-7）÷4+1=100 和=（7+403）×100÷2=20500
（3）这是一个等差数列；首项=9，末项=99，公差=10， 项数=（99-9）÷10+1=10 和=（9+99）×10÷2=540
（4）这是一个等差数列；首项=1，末项=99，公差=2， 项数=（99-1）÷2+1=50 和=（1+99）×50÷2=2500
数列中的每一个(yī ɡè)数称为一项； 第1项称为首项；最后1项称为末项； 在第几个位置上的数就叫第几项； 有多少项称为项数；
第7页，共33页。
（二）等差数列 的基 (děnɡ chā shù liè) 本知识
（1）1、2、3、4、5、6…… （2）2、4、6、8、10、12…… （3）5、10、15、20、25、30
“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出
来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不 发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。
第3页，共33页。
教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3， 3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个(yī ɡè)数后
就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些 孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。
第25页，共33页。
例：在一个分成64小格的方板的每个格子中放入石 子(shí zǐ)。如果第一格放入2粒，第二格放入4粒，第3 格放入6粒，第四格放入8粒……依次类推，放满
64格，一共要放入多少粒石子？
第26页，共33页。
例：在下图中，每个最小的等边三角形的面积
是12cm²，边长是1根火柴(huǒchái)棍。
4、它的第60项=7+5×（60-1）=302； 这个数列各项被5除有相同的余数。
（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。）
第16页，共33页。
二、等差数列 的和 (děnɡ chā shù liè)
第17页，共33页。
意大利数学家斐波那契
经过12世纪的传播时期之后，初等数学在欧洲获 得了相应的发展．在13世纪欧洲大多数国家里，城市成为
2、一串数：2、4、6、8、……2008。（1）它的第25项是多
少?（2）这串数共有多少个？
3、一串数：101、102、103、104、……199。（1）它的第
30项是多少?（2）这串数共有多少个？
4、一串数：7、12、17、22……。（1）它的第60项是多少? （2）这个数列各项被几除有相同的余数？
44 44 44 44 44 44 44 44 44
两数列之和=（6+38）×9
解：原数列之和=（6+38）×9÷2
=44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
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例：计算(jìsuàn)1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5
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斐波那契数列
假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月 就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年 之后可繁殖成多少对兔子？这个问题使斐波那契名垂史册．问 题的答案由下列和式给出：
1＋1＋2＋3＋5＋8＋…＋233．
其中从第三项起，每一项都是前两项的和。这个数列 现称斐波那契数列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它
商业和手工业发展的中心．特别是商业的发展，带来了相当 复杂的计算．这时的欧洲出现了第一批理论数学家．意大利 作为当时的商业中心，培育了中世纪最杰出(jiéchū)的教学 家——斐波那契。
斐波那契是一个商人的儿子，早年
随父到过北非，跟从阿拉伯教师学习
计算。后来到埃及、叙利亚、希腊、西 西里和法国旅游，拜访各地的学者，熟
你知道高斯是如何计算的吗？
第5页，共33页。
一、等差数列 的基 (děnɡ chā shù liè) 本知识
第6页，共33页。
（一）数列的基本知识
（1）1、2、3、4、5、6…… （2）2、4、6、8、10、12…… （3）5、10、15、20、25、30
像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列
第15页，共33页。
练习(liànxí)答案：
1、它的第21项=1+2×（21-1）=41； 这个数列的项数= （49-1）÷2+1=25；
2、它的第25项=2+2×（25-1）=50； 这个数列的项数= （2008-2）÷2+1=1004；
3、它的第30项=101+1×（30-1）=130； 这个数列的项数= （199-101）÷1+1=99
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2
= 277×28 =7756
第22页，共33页。
练习(liànxí)
1、计算
（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37
第2页，共33页。
他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里 来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小 用。而他又有些偏见：穷人的孩子(hái zi)天生都是笨蛋，教这 些蠢笨的孩子(hái zi)念书不必认真，如果有机会还应该处罚他 们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。
这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那 抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生 处罚了。
还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师， 答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去， 回去再算！错了。”他想不可能这么快就会有答案了。可是高斯 却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对 的。”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了
这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得 到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数
（1）最大三角形的面积是多少cm²？ （2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
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例：在一个分成(fēn chénɡ)64小格的方板的每个格子中 放入石子。如果第一格放入2粒，第二格放入4粒， 第3格放入6粒，第四格放入8粒……依次类推，放 满64格，一共要放入多少粒石子？
2+3 ×（10-1）=29 2+3 ×（98-1）=293
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等差数列的某一项=首项(shǒu xiànɡ)+公差×（项数-1）
例1 已知数列2、5、8、11、14…… 求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？
分析：
被除数=余数+除数×商
等差数列的某一项= 2+ 3×（项数-1）
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小结 ： (xiǎojié)
等差数列项的有关规律
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
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练习(liànxí)
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第21项 是多少?（2）这串数共有多少个？
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等差数列知识(zhī shi)总结：
怎样判断一个数列是等差数列 怎样求出等差数列的任意一项或项数
怎样求出等差数列前几项的和 必须牢记等差数列的基本公式和重要结论
1、等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 2、等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1 3、等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 4、等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。
（公差=1）
（公差=2）
（公差=5）
通过观察，我们可以发现上面的每一个数 列中，从第一项开始，后项与前项的差都相 等的，具有这样特征的数列称为等差数列， 这个差称为这个数列的公差。
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二、等差数列 的项 (děnɡ chā shù liè)
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数列(shùliè)：1、3、5、7、9、11……