湘教版数学八年级下册第2章四边形2.2.1平行四边形的性质第1课时

知识点二 平行四边形边、角性质的应用 (P41例2拓展)
【典例2】(2019·安徽中考)如图， 点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE. (1)求证：△BCE≌△ADF. (2)设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T， 求 S 的值.
T
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵AF∥BE， ∴∠EBA+∠BAF=180°， ∴∠CBE=∠DAF，
2.2 平行四边形 2.2.1 平行四边形的性质
第1课时
【知识再现】 平行四边形中，对边有___2___组，对角有___2___组， 对角线有___2___条.
【新知预习】阅读教材P40-P41，归纳结论并填空： 我们一起来观察如图中的竹篱笆格子和汽车的防护链， 想一想它们是什么几何图形？
它们是___平__行__四__边__形____，你还能举出平行四边形在生 活中应用的例子吗？ 你发现的规律： 1.定义：两组对边分别___平__行____的四边形叫作平行四 边形.
★★4.(2019·陕西三模)如图，▱ABCD中，BE⊥CD，
BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE=2，DF=1，
∠EBF=60°，则这个▱ABCD的面积是 ( D )
世纪金榜导学号
A.2 2 C.3 6
B.2 6 D.12 3
【学霸提醒】 平行四边形的边、角性质 1.边：对边平行且___相__等____. 2.角：对角___相__等____，邻角___互__补____.
2.表示：平行四边形用符号“▱”来表示. 平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”. 3.性质定理：平行四边形的___对__边____相等，平行四边 形的___对__角____相等.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.在下列性质中，平行四边形不一定具有的是 ( C )
5
2
★2.如图，已知△ABC的面积为24，
点D在线段AC上，点F在线段BC的延
长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平
行四边形，则图中阴影部分的面积为 ( C )
A.3
B.4
C.6
D.8
★★3.如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，连接 CE，若平行四边形ABCD的面积为24 cm2，求△CDE的面 积. 世纪金榜导学号
A.对边相等
B.对边平行
C.对角互补
D.内角和为360°
2.(2019·哈尔滨香坊区月考)在▱ABCD中，
∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是 ( B )
A.1∶2∶3∶4
B.2∶3∶2∶3
C.2∶2∶1∶1
D.2∶3∶3∶2
3.(2019·宿迁期中)已知▱ABCD中，∠A+∠C=240°，
则∠B的度数是 ( B )
S▱1ABCD，
2
∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T， ∴ S＝ S =2.
T 1S 2
【学霸提醒】 应用平行四边形的边、角性质的“两注意”
1.注意隐含条件的挖掘：平行四边形提供了线段的数 量及位置关系，也提供了角的关系，为证明线段的相 等、角的相等、三角形的全等提供了条件.
2.在解题时，能应用平行四边形直接得到的结论，不 要再通过三角形的全等去证明.
A.100° B.60°
C.80°
D.160°
知识点一 平行四边形的边、角性质(P41例1拓展) 【典例1】如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边BC，AD 的中点，求证：△ABE≌△CDF.
【尝试解答】∵四边形ABCD是平行四 边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D. …………………………平行四边形的性质 ∵点E，F分别是边BC，AD的中点，
则▱ABCD的周长是 ( C )
A.16
B.14
C.26
D.24
2.如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB， 垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为 ( B ) A.53° B.37° C.47° D.123°
★3.在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F， 延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F= ( D ) 世纪金榜导学号 A.110° B.30° C.50° D.70°
【正解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠EAD= 1∠BAD，∠ADE= 1 ∠ADC，
2
2
∴∠EAD+∠ADE= 1(∠BAD+∠AD三角形.
【一题多变】 如图，AC是▱ABCD的对角线，以点C为圆心，CD长为半 径作圆弧，交AC于点E，连接DE并延长交AB于点F，求 证：AF=AE.
∴BE= 1 ___B_C___，DF= 1 ___A_D___，
2
2
………………………………线段中点的定义
又AD=BC，∴BE=DF.…………………………等量代换
在△ABE与△CDF中， ∴△ABE≌△CDF.………… SAS判定三角形全等
【题组训练】
1.如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=8，BE=3，
【题组训练】 1.如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，以C为圆心，适当 长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点 P，Q为圆心，大于 1 PQ的长为半径画弧，两弧相交于
2
点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是 世纪金 榜导学号( B )
A. 1
B.1
2
C. 6
D. 3
证明：由题可得，CD=CE，∴∠CDE=∠CED， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠AFD=∠CDE，∵∠AEF=∠CED， ∴∠AFD=∠AEF，∴AE=AF.
【母题变式】 【变式一】(变换条件)如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于 E，CF⊥BD于F.求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABE=∠CDF. 又∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°.
同理得∠BCE=∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
CBE DAF，
∵ BC AD，
BCE ADF，
∴△BCE≌△ADF(ASA).
(2)∵点E在▱ABCD内部，
∴S△BEC+S△AED=
S12▱ABCD，
由(1)知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE=S△ADF， ∴S四边形AEDF=S△ADF+S△AED=S△BEC+S△AED=
在△ABE与△CDF中，
ABE CDF， AEB CFD，
AB CD，
∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF.
【变式二】(变换问法)变式一的条件下，求证BF=DE. 证明：∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF， ∴BE+EF=DF+EF，∴BF=DE.
解：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA，
∴S△ABC=S△ADC=
×1 24=12(cm2)，
2
∵AE=DE，∴S△CDE= S12△ADC=6(cm2)，
所以△CDE的面积为6 cm2.
【火眼金睛】 在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，判 断△AED的形状.