高二数学课件 异面直线课件

异面直线的距离公式：
d l 2 m2 n2 2mncos
练 习 已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ,说出下列各对棱所在直
线的公垂线，并求它们之间的距离：
D'
C'
⑴A1B1与BC； ⑵AB与CB1 ；
⑶AC与D1B1； ⑷CD与B1C1； A'
B'
⑸A1B与CD;
这其中要注意公 式的变形及夹角。
D1
C1 (1)A到CD1的距离
A1
B1
D A
C B
正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题
D1 A1
C1 B1
(1)A到CD1的距离 (2)A到BD1的距离
D A
C B
正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题
D1 A1
C1 B1
(1)A到CD1的距离 (2)A到BD1的距离 (3)A到CE的距离
E
P
已知三棱锥P-ABC的
顶点P到底面三角形
ABC的三条边的距离
相等,试判断点P在底
A 面ABC的射影的位置？
B
O
内心
C
4、直线到平面的距离
一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点 到这个平面的距离叫做直线到平面的距离
A lB
A1
B1
当直线与平面平行时，直线上不同点到平面的 距离有何关系？为什么？
Al B
O
（E为BB1的中点）
D
C
A
B
3、点到平面的距离
从平面外一点引这个平面的垂线 垂足叫做点在这个平面内的射影
这个点和垂足间的距离叫做
A
点到平面的距离
H
线面垂直
点的射影 点面距离
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
D1 A1
C1 B1
(1)A到面A1B1CD
D A
C B
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
高中数学
9.8 距 离 1
杭州实验外国语学校
问题１：立体图形是由 点、线和面 组成的？
问题２：点、线和面三者中有几种距离的情 况？
两点间的距离
点 点到直线的距离
点到面的距离 两平行线间的距离 两直线间的距离
线
两异面直线的距离
直线到与它平行的平面的距离
面
两平行平面的距离
一、两点间的距离：就是两点连线段的长度
A`
Al
A`
点—面 线—面
如果一条直线上有两个点到平面的距离 相等，则这条直线和平面平行吗？
已知一条直线上有两个点A,B到平面的距离 分别为3cm和5cm，求AB中点到平面的距离
3
5
5
3
空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相等
的平面有几个？
A
A
B C
4
B
DB A
DB
D A
D C
空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相
等的平面有几个？
A
A
A
D
D
B
B
C
C
D
B
C
3
空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相 等的平面有几个？
A A
B
C
4
D D
B
C
3
如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’中， 棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到平面 A’BCD’的距离。
D A'
C' B'
D A
C
E B
5.两个平行平面的距离
二、转化法： （1）转化为直线与
平行平面之间的距离 （2）转化为两平行平面之 间的距离。
EA AA , AA AF ,
EA , AF or ,
Ea A’ m
d
l
a’
A
n F
θ b
l 2 m2 d 2 n2 2mncos ,
d l2 m2 n2 2mncos .
定理二：两条异面直线的公垂线段是分别连结
两条异面直线上两点的线段中最短的一条。
a
A
C
B
Db
两条异面直线的公垂线段的长度，叫做 两条异面直线的距离
D1 A1
C1
O1
B1
H
D
C
O
A
B
课堂小结：
求异面直线的距离的常用方法：
（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
a
（2） 转化为求线面间的距离。
a//平面α b
α
b
（3） 转化为求平行平面间的距离。
α
a
a//平面β, b//平面α
a b
β
b
注意：（2）3）可进一步转化为点到平面的距离。
D1 A1
C1 B1
(1)A到面A1B1CD (2)A到平面BB1D1
D A
C B
棱长为1的正四面体P——ABC中， 求点P到平面ABC的距离？
P
A
B
O
C
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC
试判断点P在底面ABC的射影的位置？ 外心
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂
直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心
D A
C B
6.两平行直线的距离:
P
Q
AB与CD是平面 内相距28㎝的两条平行直 线,EF是 外与AB平行且和AB距离为17 ㎝和
相距15cm的直线,求EF和CD间的距离.
7.异面直线的距离
如图,已知异面直线AA1和BC， A1 直线AB与异面直线AA1，BC都垂 直相交。
和两条异面直线都垂直相交 的直线叫做两条异面直线的 A 公垂线，公垂线夹在异面直 线间的部分，叫做这两条异 面直线的公垂线段。
例 已知两条异面直线所成的角为 ，在直线 a、 b上
分别取 E 、F ，已知 AE m , AF n , EF l ，求公垂线
段 AA的长度 d 。
解： EF EA AA AF ,
2
| EF |2 EA AA AF
| EA |2 | AA |2 | AF |2
2 EA AA AA AF EA AF
O
D
A C
E B
例5：
已知二面角α-l-β的大小是1200，A,C l, B , D
且AB⊥l,CD⊥l，AB=CD=a, AC=2a, 求（1）BD的长；
（2）BD和AC所成角的余弦值； （3）BD和AC的距离。
α
C
B O
A
l
D Eβ
思考：已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1， 求异面直线 AB1 与 A1C1 的距离。
（4）用模型公式 d l 2 m2 n2 2mncos
F mA b
d
l
Ba
n
E
在棱长为a的正方体AC1中，
求：（1）异面直线AA1与B1C的距离。
（2）异面直线AD1与B1C的距离。
（3）取BB1、BC中点E、F，求异面直线AD1与 EF间
的距离。
Ｄ１
Ｃ１
A１
Ｂ１
Ｄ A
Ｃ Ｂ
一、定义法： （1）直接找（2）先作后找
⑴和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个平 面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。
⑵两个平行平面
A
的公垂线段的长
度，叫做两个平
行平面的距离。
A
A
l
A1
线—面
Al
A1
点—面
面—面
Al A1
面—面
正方体AC1 B1
平面A1BD与平面 CB1D1的距离
思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？
有多少条公垂线？
C B
定理一： (提供求异面直线距离转移为线面距离)
任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
存在性：
aA
A1
直线AB就是异面
直线a,b的公垂线
a1
B
唯一性：
b B1
假如还有直线A1B1也是a,b的公垂线，则
A1B1⊥a A1B1⊥b a1//a A1B1⊥a1 所以 A1B1⊥平面α 又AB ⊥平面α AB//A1B1 则 a,b共面 矛盾！
C
B
D
A
二、点到直线的距离
1、过该点(如图所示点P)作直线(图中l)的垂线， 点P与垂足Q之间的线段│PQ│长度.
P P
Q
l O Ql
2、过P作直线l所在平面的垂线，垂足为O， 过O作直线l的垂线，垂足为Q，连结PQ， 则|PQ|为所求的距离(利用三垂线定理)
正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题
D A
C B
正方体ABCD——A1B1C1D1中，P为AB中点，Q为BC 中点，AA1=a, O为正方形ABCD的中心，求PQ与C1O 间的距离。
D1 A1
C1 B1
D O
C
MQ
A
P
B
7. 如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长 都是1，D,E分别是OA,BC的中点，连结DE。 （1）求证：DE是OA和BC的公垂线。 （2）求OA和BC间的距离。
利用三角形求长度或两点的坐标距离公式或向量长度
在正方体ABCD-
z
A1B1C1D1中，边长
D1
为2，E，F分别为
C1
AB、CC1的中点， 求E、F两点的距离
A1
B1
E
D
Cy
A
x
FB
练习：已知在一个120°的二面角的棱上有 两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角 的两个面内，且垂直于AB的线段， 又AB=AC=BD=4，求C、D两点之间的距离