中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题附答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．
【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（，2），
∴DO=AD=3，
∴A点坐标为：（，5），
∴k=5 ；
（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，
∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）
∴2= ，解得x= ，
∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，
∴菱形ABCD平移的距离为，
同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
菱形ABCD平移的距离为，
综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．
2．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴
的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．
【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，
∴反比例函数的解析式为y=﹣
（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．
在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，
∴OA= =2，∠AOC=30°，
∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOC=60°．
过点B作x轴的垂线交x轴于点D．
在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，
∴B点坐标为（﹣1，），
将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，
∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上
（3）解：由y=﹣得xy=﹣，
∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，
∴m（ m+6）=﹣，
∴m2+2 m+1=0，
∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．
∵△OQM的面积是，
∴OM•QM= ，
∵m＜0，∴mn=﹣1，
∴m2n2+2 mn2+n2=0，
∴n2﹣2 n=﹣1，
∴n2﹣2 n+9=8．
【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由
△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反
比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6
∴反比例函数解析式为：
把C（﹣1，n）代入，得：
n=﹣6
∴C（﹣1，﹣6）
把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：
所以一次函数解析式为y1=2x﹣4
（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．
（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形
如图，
过B作BP1⊥y轴于P1，
∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形
此时，P1（0，2）
过B作BP2⊥AB交y轴于P2
∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形
在Rt△P1AB中，
在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB
∴
∴P2（0，）
综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．
4．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为
s，且s=1+ ．
（1）当n=1时，求点A的坐标；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．
【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，
当n=1时，s= ，
∴a= = ．
（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．
∴m=n= ．
∴1+ = •an．
即n4﹣4n2+4=0，
∴k2﹣4k+4=0，
∴k=2．
解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．
∴m=n．
设△OPQ的面积为s1
则：s1= ∴•mn= （1+ ），
即：n4﹣4n2+4=0，
∴k2﹣4k+4=0，
∴k=2．
（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，∴△OPQ∽△OAP．
设：△OPQ的面积为s1，则 =
即： = 化简得：
化简得：
2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0
（k﹣2）（2k﹣n4）=0，
∴k=2或k= （舍去），
∴当n是小于20的整数时，k=2．
∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，
∴n是大于0且小于20的整数．
当n=1时，OP2=5，
当n=2时，OP2=5，
当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，
当n是大于3且小于20的整数时，
即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：
42+ 、52+ 、62+ …192+ ，
∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，
∴OP2的最小值是5．
【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.
5．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A（，6）和点B（-3，），直线AB与轴交于点C．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵点A（，6）和点B（-3，）在双曲线，∴m=1，n=-2，
∴点A（1，6），点B（-3，-2），
将点A、B代入直线，得，解得，
∴直线AB的表达式为：
（2）解：分别过点A、B作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点M、N，
则∠AMO＝∠BNO＝90°，AM=1，BN=3，
∴AM//BN，∴△ACM∽△BCN，
∴
【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得m和n的值，利用待定系数法求一次函数的表达式；作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理可得结论．
6．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.
由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：
①当x-3时，y=x+3；
②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，
在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，
则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），
把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，
得：，
解得：，
∴y=-x-3.
综上，新函数的解析式为y=.
（2）解：如图2，
①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，
∴a=4，
∵点C（1，4）在反比例函数y=上，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=.
∵点D是线段AC上一动点，
∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，
∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，
∴点P的坐标为（，m+3），
∴PD=-m，
∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，
∵a=<0，
∴当m=时，S有最大值，最大值为，
又∵-3<<1，
∴△PAD的面积的最大值为.
②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP与AC不能互相平分，
∴四边形PAEC不能为平行四边形.
【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.
7．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E.
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4），
∵F为AB的中点，∴F（6，2），
又∵点F在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=12，
∴该函数的解析式为y= （x＞0）
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（，4），F（6，），
∴，
=
=
=
= ，
∴当k=12时，S有最大值．S最大=3
【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
8．在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q．且规定：当a≥b时，Q 为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）．
（1）点（2，1）的变换点坐标为________；
（2）若点A（a，﹣2）的变换点在函数y= 的图象上，求a的值；
（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M．判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论．
【答案】（1）（1，﹣2）
（2）解：当a≥﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（﹣2，﹣a），
代入y= 可得﹣a= ，解得a= ；
当a＜﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（a，2），
代入y= 可得2= ，解得a= ，不符合题意；
综上可知a的值为；
（3）解：设直线l的解析式为y=kx+b （k≠0 ），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b
得：，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣ x+3．
当x=y时，x=﹣ x+3，解得x=2．
点C的坐标为（2，﹣2），点C的变换点的坐标为C′（ 2，﹣2 ），
点（6，0）的变换点的坐标为（0，﹣6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，﹣3），
当x≥2时，所有变换点组成的图形是以C′（ 2，﹣2）为端点，过（0，﹣6 ）的一条射线；即：y=2x﹣6，其中x≥2，
当x＜2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣3）的一条射线，
即y= x﹣3，其中，x＜2．
所以新的图形M是以C′（2，﹣2）为端点的两条射线组成的图形．
如图所示：
由和得：x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②
讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得：
①当方程①无实数根时，即：当c＞﹣时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点；
②当方程①有两个相等实数根时，即：当c=﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交点；
③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当﹣5＜c＜﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点；
④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时，即：当c=﹣5或c=﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；
⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当﹣6＜c＜﹣5时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点；
⑥当c＜﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点．
【解析】【解答】解：（1）∵2≥﹣1，
∴点（2，1）的变换点坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）；
【分析】（1）由变换点的定义可求得答案；（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x≥2和x＜2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
9．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，4），与x 轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC.
（1）请直接写出二次函数的解析式.
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0),
∴
解得
∴抛物线表达式：
（2）解：△ABC是直角三角形.
令y=0,则
解得x1=8,x2=-2,
∴点B的坐标为(-2,0),
由已知可得,
在Rt△ABO中
AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中
AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∴BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中
AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵A(0,4),C(8,0),
AC= =4 ,
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),
②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( ,0)或( ,0)
③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),
综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、( ,0)、(3,0)、 ,0)
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标
10．已知，抛物线的图象经过点，．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图1，是抛物线对称轴上一点，连接，，试求出当的值最小时点的坐标；
（3）如图2，是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：将，的坐标分别代入．
得
解这个方程组，得，
所以，抛物线的解析式为
（2）解：如图1，由于点、关于轴对称，所以连接，直线与轴的交点即为所求的点，
由，令，得，
解得，，
点的坐标为，
又，
易得直线的解析式为：．
当时，，
点坐标
（3）解：设点的坐标为，
所以所在的直线方程为．那么，与直线的交点坐标为，与抛物线的交点坐标为．
由题意，得
① ，即，
解这个方程，得或（舍去）．
② ，即，
解这个方程，得或（舍去），
综上所述，点的坐标为，或，．
【解析】【分析】（1）将点、的坐标代入可得出、的值，继而得出这个抛物线的解析式；（2）由于点、关于轴对称，所以连接，直线与轴的交点即为所求的点，利用待定系数法确定直线的解析式，然后求得该直线与轴的交点坐标即可；（3）如图2，交于，设，根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，设点的坐标为，，．
然后分类讨论：分别利用或，列关于的方程，然后分别解关于的方程，从而得到点坐标
11．如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点
（1）求抛物线的解析式及A点坐标；
（2）若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
（3）若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围________.
【答案】（1）解：将B（4,0），C（0,4）代入y=x2+bx+c得，
，解得，
所以抛物线的解析式为，
令y=0，得，解得，，
∴A点的坐标为（1,0）
（2）解：设D点横坐标为，则纵坐标为，
①当∠BCD=90°时，如下图所示，连接BC，过C点作CD⊥BC与抛物线交于点D，过D作DE⊥y轴与点E，
由B、C坐标可知，OB=OC=4，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
又∵∠BCD=90°，
∴∠ECD+∠OCB=90°
∴∠ECD=45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE=CE=a
∴OE=OC+CE=a+4
由D、E纵坐标相等，可得，
解得，，
当时，D点坐标为（0,4），与C重合，不符合题意，舍去.
当时，D点坐标为（6,10）；
②当∠CBD=90°时，如下图所示，连接BC，过B点作BD⊥BC与抛物线交于点D，过B作FG⊥x轴，再过C作CF⊥FG于F，过D作DG⊥FG于G，
∵∠COB=∠OBF=∠BFC=90°，
∴四边形OBFC为矩形，
又∵OC=OB，
∴四边形OBFC为正方形，
∴∠CBF=45°
∵∠CBD=90°，
∴∠CBF+∠DBG=90°，
∴∠DBG=45°，
∴△DBG为等腰直角三角形，
∴DG=BG
∵D点横坐标为a，
∴DG=4-a，
而BG=
∴
解得，，
当时，D点坐标为（4,0），与B重合，不符合题意，舍去.
当时，D点坐标为（2,-2）；
综上所述，D点坐标为(6,10)或(2,-2).
（3）3+ ＜m ＜6或 3- ＜m ＜2
【解析】【解答】解：（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，如下图所示，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D'，
∵BC为圆O'的直径，
∴∠BDC=∠BD'C=90°，
∵，
∴D到O'的距离为圆O'的半径，
∵D点横坐标为m，纵坐标为，O'点坐标为（2,2），
∴
即
化简得：
由图像易得m=0或4为方程的解，则方程左边必有因式，
∴采用因式分解法进行降次解方程
或或，
解得，，，
当时，D点坐标为（0,4），与C点重合，舍去；
当时，D点坐标为（4,0），与B点重合，舍去；
当时，D点横坐标；
当时，D点横坐标为；
结合（2）中△BCD形成直角三角形的情况，
可得△BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+ ＜m ＜6或 3- ＜m ＜2.【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再令y=0，求A的坐标；（2）设D点横坐标为a，代入函数解析式可得纵坐标，分别讨论∠BCD=90°和∠CBD=90°的情况，作出图形进行求解；（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D'，此时△BCD和△BCD'就是以BC为斜边的直角三角形，利用两点间距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到m的取值范围.
12．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG 与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE
（1）求证:直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；
①求证:△CBH∽△OBC；
②求OH+HC的最大值.
【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG是⊙O的切线；
（2）证明：①∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB，
∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
解：②由△CBH∽△OBC可知：
∵AB=8，
∴BC2=HB•OC=4HB，
∴HB= ，
∴OH=OB-HB=
∵CB=CH，
∴OH+HC=
当∠BOC=90°，
此时BC=
∵∠BOC＜90°，
∴0＜BC＜
令BC=x
∴OH+HC= = =
当x=2时，
∴OH+HC可取得最大值，最大值为5
【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，
从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：
，所以HB= ，
由于BC=HC，所以OH+HC=
利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
13．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）
（1）求抛物线的解析式
（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点
①当点N在何处时，△CAN的周长最小？
②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．
【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3
（2）解：①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小．
设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b，则：，解得：，故直线AC'的表达式为：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣2，故点N（1，﹣2）；
②如图2，过点C作CG⊥ED于点G．
设NG=n，则NE=3﹣n．
∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE，则tan∠NCG=n=tan∠MNE
，故ME=﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n时，ME，则m
的最小值为：；
如下图所示，当点N与点D重合时，m取得最大值．
过C作CG⊥ED于G．
∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．
∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．
∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．
故：m≤5．
【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，
则此时△CAN的周长最小，即可求解；②如图2，ME=﹣n2+3n，求出ME最大值，则可求出m的最小值；当点N与点D处时，m取得最大值，求解即可．
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1， y1）和N（x2， y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：抛物线 y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4．
∴点 A（-5，0），点B（-1，0）．
∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（ x+1）
∴y=-x2-6x-5．
（2）解：如图1，
依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx．
∴抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．
∴b＞0．
记平移后的抛物线顶点为P，
∴点P的坐标（，），
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴ =
∴b=2．
∴点P的坐标（1，1）．
（3）解：如图2，
当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n．
∴抛物线的对称轴为直线 x=2．
∵点M（x1， y1）和N（x2， y2）在抛物线上，
且x1＜2，x2＞2，
∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．
∵x1+x2＞4，
∴2-x1＜x2-2，
∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，
∴y1＞y2．
【解析】【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．
15．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标
为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=10，求点E的坐标．
【答案】（1）解：把点A（2，6）代入y= ，得m=12，则y= ．
把点B（n，1）代入y= ，得n=12，
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得
，
解得，
则所求一次函数的表达式为y=﹣x+7
（2）解：如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）．
∴PE=|m﹣7|．
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=10，
∴×|m﹣7|×（12﹣2）=10．
∴|m﹣7|=2．
∴m1=5，m2=9．
∴点E的坐标为（0，5）或（0，9）．
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；（2）设点E 的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE=|m﹣7|，根据S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=10，求出m的值，从而得出点E的坐标．。