直线与圆的位置关系知识点及例题

直线与圆的位置关系知识
点及例题
Prepared on 22 November 2020
直线与圆的位置关系
一、知识点梳理
1、直线与圆的位置关系：
图形
名称相离相切相交
判定d>r d=r d<r
交点个数无1个2个
例1、下列判断正确的是（）
①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆
相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．
A．①②③ B．①② C．②③ D．③
例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．
例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．
例4、下列直线是圆的切线的是（）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线
例5．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切
2、切线的判定：
（1）根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线.
（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
判定切线时常用的辅助线作法：
（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.
（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线
作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.
例6、判断下列命题是否正确
（1）经过半径的外端的直线是圆的切线
（2）垂直于半径的直线是圆的切线；
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；
（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；
（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.
例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系
是（）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．
例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线
于点E，连结BC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，tan∠BCD=1
2，求⊙O的直径．
例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=1
2，∠D=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．
例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．
3、切线的性质：
1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论
4、切线长定理：
切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。

PO交⊙O于E点
（1）若PB=12，PO=13，则AO=____
（2）若PO=10，AO=6，则PB=____
（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.
（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.
例13、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、 A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D两点。

（1）若PA=12，则△PCD周长为____。

（2）若△PCD周长=10，则PA=____。

（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠A MB=____
3、三角形的内切圆
（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等.
（3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角. （4）三角形的内切圆和三角形的外接圆的比较：
图形
⊙O 的名称
△ABC 的名称
圆心O 的名称
圆心O 确定
“圆心”的性质
⊙O 叫做△ABC 的内切
圆
△ABC 叫做⊙O 的外
切三角形 圆心 O 叫做△ABC
的内心 作两角的角平分
线 内心O 到三边的距离相等
⊙O 叫做△ABC 的外接
圆
△ABC 叫做⊙O 的内
接三角形 圆心 O 叫做△ABC
外心
作两边的中垂线
外心O 到三个顶点的距离相等
(5)、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系： 如图，⊙I 切△ABC 三边于点 D 、E 、F ，
则AD=AF=)(21
BC AC AB -+
BD=BE=)(21
AC BC AB -+
CE=CF=)(2
1
AB BC AC -+
特别地，当∠C =Rt ∠时，如图，四边形CEID 是正方形， 内切圆的半径
rl S ABC 2
1
=
(其中r 、l 分别是内切圆的半径和三角形的周长) 例14、如图Rt △ABC 的内切圆分别与AB 、AC 、BC 、相切于点E 、D 、F ，且∠ACB=90°，AC=3、BC=4，求⊙O 的半径。

例15、如图7—162，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O 是三角形的内心．
求：∠BOC ．
例16、如图，⊙O 是△A BC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（ ）
A ．70°
B ．110°
C ．120°
D ．130° D
F
E
I
A
B
C
D
F
E
I
A
C
例17、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，•DC=1，则⊙O的半径等于（）
A．4
5
B．
5
4
C．
3
4
D．
5
6。