高中数学必修一第五章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性

第五章函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
课后篇巩固提升
基础达标练
1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
y=f (x )的零点就是函数图象与x 轴交点的横坐标.A 项中函数图象与x 轴没有交点,所以该函数没有零点;B 项中函数图象与x 轴有一个交点,所以该函数有一个零点;C,D 两项中的函数图象与x 轴有两个交点,所以该函数有两个零点.故选A .
2.(多选题)若函数f (x )的图象在R 上连续不断,且满足f (0)<0,f (1)>0,f (2)>0,则下列说法正确的是( ) A.f (x )在区间(0,1)上一定有零点 B.f (x )在区间(0,1)上一定没有零点 C.f (x )在区间(1,2)上可能有零点 D.f (x )在区间(1,2)上一定有零点
f (0)<0,f (1)>0,f (2)>0,所以f (0)·f (1)<0,因为函数f (x )的图象在R 上连续不断,由零点存在定理,可得f (x )在区间(0,1)上一定有零点.又f (1)·f (2)>0,因此无法判断f (x )在区间(1,2)上是否有零点.
3.函数f (x )=log 2x-1x
的零点所在的区间为( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(0,1
2
)
D.(1
2
,1)
f (x )的定义域为(0,+∞),且函数f (x )是增函数,
∵f (1)=log 21-1=-1<0,f (2)=log 22-12=1-12=1
2>0,∴在区间(1,2)内,函数f (x )存在零点,故选A .
4.函数
f (x )=x 3-(12)x
的零点个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.无数个
y=x 3与y=(12)x
的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f (x )只有一个零点.
故选B .
5.若函数y=f (x )在区间[a ,b ]上的图象是一条连续的曲线,则下列说法正确的是( ) A.若f (a )·f (b )>0,不存在实数c ∈(a ,b ),使得f (c )=0
B.若f (a )·f (b )<0,存在且只存在一个实数c ∈(a ,b ),使得f (c )=0
C.若f (a )·f (b )>0,有可能存在实数c ∈(a ,b ),使得f (c )=0
D.若f (a )·f (b )<0,有可能不存在实数c ∈(a ,b ),使得f (c )=0
,若f (a )·f (b )<0,则一定存在实数c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,但c 的个数不确定,故B,D 错误.若f (a )·f (b )>0,有可能存在实数c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,如f (x )=x 2-1,f (-2)f (2)>0,但f (x )=x 2-1在区间(-2,2)内有两个零点,故A 错误,C 正确.
6.已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )-g (x )=-x-3,根据所给数表,判断f (x )的一个零点所在的区间为( )
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
,由列表可知f (-1)=g (-1)+1-3=0.37-2=-1.63,f (0)=g (0)-0-3=1-3=-2,同理,f (1)=-1.28,f (2)=2.39,f (3)=14.39,∵f (1)·f (2)<0,∴函数f (x )的一个零点所在的区间为(1,2).
7.已知函数f (x )={x (x +4),x <0,x (x -4),x ≥0,
则该函数零点的个数为 .
x<0时,由f (x )=0,得x=-4,当x ≥0时,由f (x )=0,得x=4或x=0.故函数共有3个零点.
8.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为 .
2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图,图象有2个公共点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数解,也就是函数有2个零点.
9.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.
x2-mx+a-m=0,
因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,
故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,
即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0,
即a≤m 2
4
+m对任意的实数m恒成立.
∵m 2
4+m=1
4
(m+2)2-1≥-1,∴a≤-1.
∴实数a的取值范围是(-∞,-1].
能力提升练
1.(多选题)下列函数没有零点的是()
A.y=a x(a>0,且a≠1)
B.y=log a(x2+1)(a>0,且a≠1)
C.y=1
x2
(x≠0)
D.y=x2+x+1(x∈R)
A选项中函数无零点;令y=log a(x2+1)=0,解得x=0,故B选项中函数有零
点;由幂函数的性质知y=1
x2
没有零点;令x2+x+1=0,得Δ=1-4<0,所以y=x2+x+1无零点.
2.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是()
A.a<α<b<β
B.a<α<β<b
C.α<a<b<β
D.α<a<β<b
α,β是函数f(x)的两个零点,∴f(α)=f(β)=0.
又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.
3.若函数f (x )=x 2-1x
-1在区间(k ,k+1)(k ∈N )内有零点,则k=( ) A.1
B.2
C.3
D.4
k ∈N ,
所以k ≥0,y=x 2和y=-1
x -1在(k ,k+1)上都单调递增, 因此函数f (x )=x 2-1x
-1在(0,+∞)上单调递增. f (1)=-1,f (2)=4-12
-1>0.
故由f (1)·f (2)<0知函数f (x )=x 2-1x
-1的零点在区间(1,2)上,所以k=1.
4.若方程x lg(x+2)=1的实数根在区间(k ,k+1)(k ∈Z )内,则k 等于( ) A.-2 B.1
C.-2或1
D.0
,x ≠0,则原方程即为lg(x+2)=1
x
,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=1x
的图象,如图所示.由图象可知,原方程有两个解,一个在区间(-2,-1)内,一个在区间(1,2)内,所以k=-2或k=1.故选C.
5.已知x 0是函数f (x )=2x +1
1-x 的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则( ) A.f (x 1)<0,f (x 2)<0 B.f (x 1)<0,f (x 2)>0 C.f (x 1)>0,f (x 2)<0 D.f (x 1)>0,f (x 2)>0
设y 1=2x ,y 2=
1x -1,在同一直角坐标系中作出其图象,如图所示,在区间(1,x 0)内函数y 2=1
x -1
的图象在函数y 1=2x 图象的上方,即1
x 1-1>2x 1,所以2x 1+1
1-x 1<0,即f (x 1)<0,同理f (x 2)>0.
6.已知函数f (x )=3x +x ,g (x )=log 3x+2,h (x )=log 3x+x 的零点依次为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小关系是 .
y=3x ,y=log 3x ,y=-x ,y=-2的图象,如图所示.观察图象可知,函数
f (x )=3x +x ,
g (x )=log 3x+2,
h (x )=log 3x+x 的零点依次是点A ,B ,C 的横坐标,由图象可知a<b<c.
7.若关于x 的方程|x 2-2x-2|-m=0有3个不相等的实数解,则实数m 的值为 .
令f (x )=|x 2-2x-2|,则由题意可得函数y=f (x )与函数y=m 的图象有3个公共点.画出函数f (x )=|x 2-2x-2|的图象如图所示,结合图象可知,要使两函数的图象有3个公共点,则m=3.
素养培优练
若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x-1)=f (x+1),且当x ∈[-1,0]时,f (x )=-x 2+1,如果函数g (x )=f (x )-a|x|
恰有8个零点,则实数a 的值为 .
f(x+1)=f(x-1),则f(x)=f(x-2),故函数f(x)为周期为2的周期函数.
∵函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,
∴f(x)-a|x|=0在(-∞,0)上有四个解,
即f(x)的图象与直线y=a|x|在(-∞,0)上有4个公共点.又当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1, ∴当直线y=-ax与y=-(x+4)2+1相切时,即可在(-∞,0)上有4个公共点,
∴x2+(8-a)x+15=0.∴Δ=(8-a)2-60=0.
∵a>0,∴a=8-2√15.
-2√15。