DL教育 最新高考 高中数学课件(可改)选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.1

3．已知|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. 解析： 设 O 为坐标原点，z1，z2，z1＋z2 对应的复数分别 为 A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2， ∴OBCA 是一个内角为 60°，边长为 2 的菱形． ∴|z1－z2|＝|AB|＝ OA2＋OB2－2OA×OB×cos 120° ＝ 22＋22＋2×2×2×12 ＝2 3.
3．复数加、减法的几何意义
若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为两邻边的_平__行__四__边__形___的对角线O→Z所对应的 ___复__数___，即复数的加法可以按照向量的____加__法____来进行， 如图(1)这就是复数加法的几何意义．
【正解】 因为|z－1－i|＝1，所以由复数减法的几何意义 可知，z 对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心，1 为半径的圆，而 |z＋1＋i|则是圆上的点到点(－1，－1)的距离，
所以|z＋1＋i|min＝ 1＋12＋1＋12－1＝2 2－1.
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• 高三数学复习知识点1
这两个复数的差 z1－z2 与向量O→Z1－O→Z2(等于Z→2Z1)对应．作 O→Z＝Z→2Z1，则点 Z 对应复数 z1－z2(如图(2))，即复数(a－c)＋(b －d)i.
1．复数加法运算的理解 (1)复数的加法中规定，两复数相加，是实部与实部相加， 虚部与虚部相加，复数的加法可推广到多个复数相加的情形． (2)在这个规定中，当b＝0，d＝0时，则与实数的加法法则 一致． (3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．
解析： (1)(－ 2＋ 3i)－[( 3－ 2)＋( 3＋ 2)i] ＝－ 2－( 3－ 2)＋[ 3－( 3＋ 2)]i ＝－ 3－ 2i.
(2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i] ＝(a＋b)－(a－b)＋[(a－b)＋(a＋b)]i ＝2b＋2ai. (3)(i2＋i)＋| 3－i|＋(i－2) ＝(－1＋i)＋ －12＋ 32＋(－2＋i) ＝－1＋i＋2－2＋i ＝－1＋2i.
答案： －3 －4
4．计算：(1)(－1＋i)＋|i|＋(1＋i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． 解析： (1)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i) ＝(－1＋i)＋1＋(1＋i) ＝1＋2i. (2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)原式＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
• 6.满足二元一次不等式(组)的整数x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称 为这个二元一次不等式(组)的一个解。所有整数解对应的点称为整点(也
D．1－5i
解析： B→C＝A→C－A→B＝(－2－3i)－(－1－8i)＝－1＋5i.
答案： B
3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差 为纯虚数，则实数a＝________，b＝________.
解析： z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i， z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i， 由已知得b＋4＝0，a＋3＝0，∴a＝－3，b＝－4.
(2)因为 C→A ＝O→A －O→C ，所以对角线 C→A 表示的复数为C→A
＝(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线 O→B ＝O→A ＋O→C ，所以对角线 O→B 表示的复
数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数 的加减运算转化为向量的坐标运算．
2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边 形法则和三角形法则．
2．已知平行四边形 ABCD 中，A→B与A→C对应的复数分别是 3＋2i 与 1＋4i，两对角线 AC 与 BD 相交于 O 点．
(1)求A→D对应的复数； (2)求D→B对应的复数； (3)求△AOB 的面积．
解析： (1)由于 ABCD 是平行四边形，所以A→C＝A→B＋A→D， 于是A→D＝A→C－A→B，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i， 即A→D对应的复数是－2＋2i. (2)由于D→B＝A→B－A→D，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即D→B对应的复数是 5.
复数的加、减法运算 (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合 并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点； (2)复数的加、减运算结果仍是复数； (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相 减)的混合运算； (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用．
1．计算：(1)(－ 2＋ 3i)－[( 3－ 2)＋( 3＋ 2)i]； (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i](a，b∈R)； (3)(i2＋i)＋| 3－i|＋(i－2)．
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝_(_a_＋__c_)＋__(_b_＋__d_)_i__ ， z1－z2＝__(_a_－__c)_＋__(_b_－__d_)i__. 2．加法运算律： 设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__z_2＋__z_1____， (z1＋z2)＋z3＝__z_1_＋__(z_2_＋__z_3)__．
C．1
D．－1
解析： z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋ a)i，
∵z1＋z2所对应的点在实轴上， ∴1＋a＝0.∴a＝－1.
答案： D
2．在复平面内，向量A→B，A→C对应的复数分别为－1－8i，
－2－3i，则B→C对应的复数为( )
A．－1－5i
B．－1＋5i
C．－3＋11i
◎复数z满足|z－1－i|＝1，求|z＋1＋i|的最小值．
【错解】 复数 z 对应的点的轨迹是以点(－1，－1)为圆心， 以 1 为半径的圆，|z＋1＋i|表示圆上的点到复数 1＋i 对应的点 (1,1)的距离，
所以|z＋1＋i|的最小值为 －1－12＋－1－12－1＝2 2 －1.
【错因】 本题错用了复数减法的几何意义，其实|z－1－ i|表示复数z对应的点到复数1＋i对应的点的距离，而|z＋1＋i|表 示复数z对应的点与－1－i对应的点之间的距离．
[问题 1] 试写出O→Z1，O→Z2及O→Z1＋O→Z2的坐标． [提示 1] O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)， O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)． [问题 2] 向量O→Z1＋O→Z2对应复数是什么？
[提示 2] a＋c＋(b＋d)i，也就是 z1＋z2.
复数的加、减法法则
2．复数减法的几何定义的实质 (1)根据复数减法的几何意义知，两个复数对应向量的差所 对应的复数就是这两个复数的差． (2)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连 向被减”的方法确定．
1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2所对应的点在实 轴上，则a为( )
A．3
B．2
• 3.直线l：Ax+By+C=0(A、B不全为零)把坐标平面划分成两部分，其中一 部分(半个平面)对应二元一次不等式Ax+By+C>0(或≥0)，另一部分对 应二元一次不等式Ax+By+C<0(或≤0)。
• 4.已知平面区域，用不等式(组)表示它，其方法是：在所有直线外任取一 点(如本题的原点(0，0))，将其坐标代入Ax+By+C，判断正负就可以确定 相应不等式。
• 1.满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，称为二元 一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二 元一次不等式(组)的解集。
• 2.二元一次不等式(组)的每一个解(x，y)作为点的坐标对应平面上的一个 点，二元一次不等式(组)的解集对应平面直角坐标系中的一个半平面(平 面区域)。
复数加、减运算的几何意义
如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分 别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)A→O 表示的复数； (2)对角线 C→A 表示的复数； (3)对角线 O→B 表示的复数．
[思路点拨]
解析： (1)因为 A→O ＝－O→A，所以 A→O 表示的复数为－3
－2i.
(3)由于O→A＝12C→A＝－12A→C＝－12，－2， O→B＝12D→B＝52，0， 即O→A＝－12，－2，O→B＝52，0， 于是O→A·O→B＝－54， 而|O→A|＝ 217，|O→B|＝52，
所以 217·52·cos∠AOB＝－54， 因此 cos∠AOB＝－ 1177，故 sin∠AOB＝41717， 故 S△AOB＝12|O→A||O→B|sin∠AOB ＝12× 217×52×41717＝52. 即△AOB 的面积为52.
①
源自文库
(a－c)2＋(b－d)2＝1,
②
由①②得 2ac＋2bd＝1.
6分
∴|z1＋z2|＝ a＋c2＋b＋d2 ＝ a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.
12 分
方法二：设 O 为坐标原点，
z1，z2，z1＋z2 对应的点分别为 A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB 是边长为 1 的正三角形，
1．已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． [问题] 多项式的加、减实质是合并同类项，类比想一想 复数如何加、减？ [提示] 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚 部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
2．如图O→Z1，O→Z2分别与复数 a＋bi，c＋di 对应．
4分
∴四边形 OACB 是一个内角为 60°，边长为 1 的菱形，且|z1
＋z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长，
6分
∴|z1＋z2|＝|OC|
＝ |OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos 120°＝ 3.
12 分
1.设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相 等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程 思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．
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复数的加、减运算
计算：(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)； (2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)； (3)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)． [思路点拨] 按照复数加、减运算的运算法则进行计算．
(1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i. (2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i. (3)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.
2．在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点 为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1 ＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边 形 OACB 为 菱 形 ； ④ 若 |z1| ＝ |z2| 且 |z1 ＋ z2| ＝ |z1 － z2| ， 则 四 边 形 OACB为正方形．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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3．2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义
自主学习 新知突破
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2．理解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
综合应用
已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. [思路点拨] 解答本题既可利用z1，z2的代数形式求解，又 可利用复数运算的几何意义求解．
∈R)，
方法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，
• 5.一个二元一次不等式表示的平面区域是相应直线划分开的半个平面，一 般用特殊点代入二元一次不等式检验就可以判定，当直线不过原点时常 选原点检验，当直线过原点时，常选(1，0)或(0，1)代入检验，二元一次 不等式组表示的平面区域是它的各个不等式所表示的平面区域的公共部 分，注意边界是实线还是虚线的含义。“线定界，点定域”。