扭转及扭矩图

(rad/m)
或
T 180 [ ] m ax GI max P
(°/m)
例、(同上例)d=110mm，若各轮之间距离均为 l=2m， G=80GPa，[ ]=0.5°/m，(1)试校核轴的刚度；(2)计算 相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。
解：① 刚度计算
9kN.m 3kN.m B
T2
1m
C
1m
D
9kN.m 3kN.m
3kN.m
T3
ΣMx=0：-T2+9-3=0
CD段： T2=6kN.m
6kN.m + x 3kN.m
ΣMx=0：-T3-3=0
T3=-3kN.m
四、薄壁圆筒扭转实验时的切应力与切应变
m t 2π r 2 t
rF g L
切应力互等定理

T l 180 AD AD F ＝ 0 . 635 AD G I P
计 算 变 形 时 ︐ 扭 矩 应 取 代 数 值 ︒
T
轴两端截面之间的相对扭转角为：
F ＝ F ＋ F ＋ F ＝ 0 . 805 BD BC CA AD
在相互垂直的两个平面上，剪应力成对存在且数值相等， 且都垂直于这两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离该 交线。
t Gg 剪切虎克定律 G－切变模量（剪切弹性模量） E 对各向同性材料： G 2(1 )
五、圆轴扭转时的应力
等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力：
MA=15.9kN.m ， MD＝6.37kN.m 。
(1) 试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的剪应力。
(2) 若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。
解：① 内力分析 由扭矩图得知T2=9.56kN.m 危险横截面在AC段， Tmax=9.56kN.m
② 应力计算
3 T ρ 9560 40 10 2 τ 26 . 6 MPa ρ 4 12 I π 110 10 / 32 p
目 录
一、扭转外力偶矩
二、扭矩的定义及符号规定
三、扭矩图 四、薄壁圆筒扭转实验时的切应力与切应变 五、圆轴扭转时的应力 六、圆轴扭转的变形及刚度计算
一、扭转外力偶矩 直接计算法
②、按输入功率和转速计算
已知： 发电机输出功率－P 千瓦 KW r min 轴的转速－n 转/分钟 求：力偶矩Me 1 KW 1000 N m s 电机每秒输入功： 力偶矩每秒作功：
T
t max
T tρ Ip
横截面周边各点即 R 处的切
t max
T
应力最大为：
d
t max
d
式中Wp称为扭转截面系数，其单 位为 m3。
TR T T tmax Ip Ip W p R
t max
D
极惯性矩 IP 与抗扭截面模量 WP 的常用值：
③ 强度计算
T 9560 m ax τ 36 . 6 MPa m ax ＜[τ] 3 9 W π 110 10 / 16 t
∴该轴的强度满足要求。
例、（同上例）若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保 证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算空 心与实心轴的材料消耗之比。
¢ ñ ¢ ò
¢ ó
=-4.78 kN.m
类似可求出：
T2 =-9.56 kN.m
T3 = 6.37 kN.m ③ 作扭矩图：
例2、试作轴的扭矩图。
解：根据载荷分布情 况，应分三段研究。 AB段： ΣMx=0：T1-3x=0 T1=3x BC段：
T
x
3kN.m/m A 2m
3kN.m/m x T1
1
ΣMx=0: -T+Me=0 得： T=Me
T—称为横截面n-n上的扭矩 扭矩T—作用面垂直于轴线的内力偶
(2) 扭矩正负号的规定
右手螺旋法则
右手四指沿扭矩的转向环绕： 拇指指向与截面外法线方向一致，则扭矩为 正(+)； 反之为 负(-)
三、 扭矩图
rpm-转/分 rps-转/秒
例1、传动轴如图所示，转速n＝300rpm,主动轮输入功率 PA=500kW,从动轮功率分别为PB＝150kW， PC＝150kW， PD＝200kW，试作轴的扭矩图。
解： tmax36 .6 MPa
T 9 . 56 kN m max
W t
3 D
16
( 1 4)
由
t max
Tmax 16 T max 3 157 mm 得D 4 Wt ( 1 )t max
2 2 V A ( D d ) /4 空 空 0 . 235 2 V d 4 实 A 实 1/
W P 1000 ( N.m )
n WM e 2 60
式 中
60000 P P M 9549 N m e 2 n n
P n
KW
r min
二、扭矩的定义及符号规定
(1) 横截面上内力形式：
1 取左段研究:
ΣMx=0:
T-Me=0 得： T=Me 取右段研究:
(1)实心圆截面： (2)空心圆截面：
π d4 IP 32
π d3 WP 16
3 4 π D πD 4 (1 α ) IP (1 α4) W P 16 32
d 其中，α 为内外径之比。 D
D
d
例、 实心等截面直轴，d=110mm，MB=MC=4.78KN.m,
Tmax=9560N.m
T 180 m ax 0 . 48 [ ] m ax GI P
所以刚度符合要求。
②变形计算
T l BC BC 180 F ＝ 0 . 477 BC G I P T l CA CA180 F ＝ 0 . 954 CA G I P
解： ① 计算外力偶矩：
P Me 9549 n
P 500 A M 9549 9549 15 . 9 kN m A n 300
MB＝ MC＝4.78kN.m
MD＝6.37kN.m
② 分段计算扭矩：
I-I截面：
x
¢ ñ
¢ ò
¢ ó
ΣMx=0: T1+MB=0
得： T1 =-MB
d=0.9D=141mm
六、圆轴扭转的变形及刚度计算 1 、变形计算 若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆
TL F GI P
(单位：rad)
若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆
Ti Li F ( 单位： rad) i1 Gi I Pin2 Nhomakorabea刚度计算
d F T [ ] max dx max GI Pmax