部编数学七年级下册专题21人教七下册精选新定义题型(解析版)含答案

专题21 人教七下精选新定义题型（解析版）
类型一 实数中的新定义题型
1．（2022秋•辉县市校级月考）对于任意两个实数a ，b 定义两种运算：aΔb =a(a ≥b)b(a ＜b)，a∇b =b(a ≥b)a(a ＜b)，并且定义运算顺序任然是先做括号内的，例如（﹣2）Δ3＝3，（﹣2）∇3＝2，[（﹣2）Δ3]∇2＝2，那么
A B ．3C ．6D 思路引领：直接利用已知运算规律分别化简，进而得出答案．
解：原式＝2Δ3
＝3．
故选：B ．
总结提升：此题主要考查了实数的运算，正确理解题意是解题关键．
2．（2022•台山市校级一模）定义：求乘方运算中的指数运算叫做对数，如果N ＝a x ，则log a N ＝x ．例如log 28
＝3，那么log 31
27× ．思路引领：根据已知新定义计算即可确定出结果；
解：∵log 3
127=log 33﹣3＝﹣3，=3＝3，
∴log 31
27×−3×3＝﹣9．故答案为：﹣9．
总结提升：本题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
3．（2022•南京模拟）新定义一种运算@，其运算法则是x @y =2@（6@8）＝ ．思路引领：先根据新定义求出6@8＝7，然后计算2@7即可得到答案．
解：由题意得：6@87，
∴2@(6@8)=2@7=
总结提升：本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
4．（2022秋•永兴县期末）定义[x ]为不大于x 的最大整数，如[2]＝2，
=1，[4.1]＝4，则满足=5，则n 的最大整数为 ．
思路引领：由题意得：5≤6，然后利用平方运算，进行计算即可解答．
解：由题意得：
∵56，
∴25≤n＜36，
∴n的最大整数为35．
故答案为：35．
总结提升：本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．
5．（2022秋•隆回县期末）对于正实数a，b作新定义：a⊙b＝
25⊙x2＝4，则x的值为 ．
思路引领：直接利用已知得出关于x的方程，进而得出答案．
解：由题意可得：=4，
则10﹣|x|＝4，
解得：x＝±6．
故答案为：±6．
总结提升：此题主要考查了实数运算，正确理解题意是解题关键．
6．（2022秋•朝阳区校级期末）用⊗定义一种新运算：对于任意实数a和b，规定a⊗b＝a2﹣ab+1．
（1
（2⊗⊗= ．
思路引领：（1）利用新运算的规定列式计算即可；
（2）利用新运算的规定列式计算即可．
解：（1）∵a⊗b＝a2﹣ab+1，
∴原式=2×1
＝2﹣1
＝3﹣
（2）原式=[2+1]
=（3﹣+1）
=（4﹣
=2×（4﹣+1
＝2﹣6+1
＝9﹣
故答案为：9﹣
总结提升：本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键．
7．（2022•苏州模拟）对实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=a≥b，例如4◆3，因为4＞3，所
以4◆3=5，若x，y满足方程组4x−y=8
x+2y=20，则x◆y＝　32　．
思路引领：求出方程组的解得到x与y的值，再利用新定义求出所求即可．
解：4x−y=8①
x+2y=20②，
①×2+②得：9x＝36，
解得：x＝4，
把x＝4代入②得：y＝8，
则x◆y＝4◆8＝4×8＝32，
故答案为：32．
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．（2018秋•阳山县期末）对于实数x，y，定义一种新的运算“★”，规定x★y＝ax+by，其中a，b为常数，
等式右边是通常的加法和乘法运算．如果3★5＝12，1★2＝3= ．
思路引领：已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算即可求出值．
解：已知等式利用题中的新定义化简得：
3a+5b=12①
a+2b=3②，
②×3﹣①得：b＝﹣3，
把b＝﹣3代入①得：a＝9，
则原式==−3．
故答案为：﹣3．
总结提升：此题考查了解二元一次方程组，立方根以及实数的运算，解二元一次方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．（2022秋•屯留区期末）对于任意的正实数a和b，我们定义新运算：a∗b=≥b)
＜b)
．
如：27∗12=
求：（5*2）×（18*45）的值．
思路引领：根据定义确定好所用计算方法，再进行代入计算．
解：∵5＞2，18＜45，
∴（5*2）×（18*45）
×（+
＝3
＝3[22]
＝3（5﹣2）
＝3×3
＝9，
即（5*2）×（18*45）的值是9．
总结提升：此题考查了运用新定义进行实数运算的能力，关键是能准确理解并运用新定义，并进行正确地计算．
类型二平面直角坐标系中的新定义题型
10．（2022春•晋安区期末）定义：f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），例如：f（1，2）＝（﹣1，﹣2），g（2，3）＝（3，2），则g（f（5，﹣2））＝（ ）
A．（2，﹣5）B．（﹣2，5）C．（﹣5，2）D．（﹣2，﹣5）
思路引领：直接利用已知f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），进而分析得出答案．解：由题意可得：g（f（5，﹣2））＝g（﹣5，2）＝（2，﹣5）．
故选：A．
总结提升：此题主要考查了点的坐标，正确运用已知条件分析是解题关键．
11．（2022春•景县期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（2，﹣1），Q（﹣1，0），则P，Q的“实际距离”为4，即PS+SQ＝4或PT+TQ＝4．图中点A（3，2），B（5，﹣3）为共享单车停放点，嘉淇在点P处，则（ ）
A．他与A处的“实际距离”更近
B．他与B处的“实际距离”更近
C．他与A处和B处的“实际距离”一样近
D．无法判断
思路引领：根据实际距离的概念得出距离解答即可．
解：P到A处的“实际距离”＝|3﹣2|+|2﹣（﹣1）|＝1+3＝4，
P到B处的“实际距离”＝|5﹣2|+|﹣3﹣（﹣1）|＝3+2＝5，
故选：A．
总结提升：此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．
12．（2022春•思明区校级期末）给出一个新定义：若平面直角坐标系中的点（a，b）的横、纵坐标满足方程x﹣2y＝4，则称点（a，b）是方程x﹣2y＝4的坐标点，比如：点（6，1）就是方程x﹣2y＝4的坐标点．
（1）写出方程x﹣2y＝4的另一个坐标点　；
（2）若有一个点（3a，a+2）是方程x﹣2y＝4的坐标点，则a的值为 ．
思路引领：（1）给出x的一个值，代入求y的值；
（2）把点的坐标代入方程求解．
解：（1）当x＝4时，y＝0，
故答案为：（4，0）．
（2）由题意得：3a﹣2（a+2）＝4，
解得：a＝8．
故答案为：8．
总结提升：本题考查了方程的解，理解新定义是解题的关键．
13．（2022春•天河区期末）在平面直角坐标系中取任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义新运算“*”，得到新的C的坐标为（x1y2，x2y1），即（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1）．若点A在第一象限，点B 在第四象限，根据上述规则计算得到的点C的坐标在第 象限．
思路引领：根据每一象限内点的坐标特点进行分析解答．
解：∵点A （x 1，y 1）在第一象限，点B （x 2，y 2）在第四象限，
∴x 1＞0，y 1＞0．x 2＞0，y 2＜0．
∴x 1y 2＜0，x 2y 1＞0，
∴点C 的坐标（x 1y 2，x 2y 1）位于第二象限．
故选答案为：二．
总结提升：本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符号特征．
14．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）的“非常距离”给出如下定义：若|x 1﹣x 2|≥|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1﹣x 2|；若|x 1﹣x 2|＜|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1﹣y 2|，例如：点P 1（1，2），点P 2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点
Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）．已知点A(−12
，0)，B 为y 轴上的一个动点．
（1）若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标 ；
（2）直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值 ．
思路引领：（1）根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为（0，y ）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y |＝2，据此可以求得y 的值；
（2）设点B 的坐标为（0，y ）．因为|−12−0|≥|0﹣y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为|−12
−0|=12
．解：（1）∵B 为y 轴上的一个动点，
∴设点B 的坐标为（0，y ）．
∵|−12−0|=12
≠4，
∴|0﹣y |＝2，
解得y ＝2或y ＝﹣2；
∴点B 的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；
（2）∵|−12
−0|≥|0﹣y |，∴点A 与点B 的“非常距离”最小值为|−12−0|=12
；∴点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12
．故答案为：12
．总结提升：本题考查新定义问题，阅读并理解题意是解题关键．
15．（2022春•青山区校级月考）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a 指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h 指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”S ＝ah ．例如：A （1，2），B （﹣3，1），C （2，﹣2）则“水平底”a ＝5，“铅垂高”h ＝4，“矩面积”S ＝ah ＝20．若D （1，2），E （﹣2，1），F （0，t ）三点的“矩面积”为18，则t 的值为 ．
思路引领：根据“矩面积”的定义，得出若D （1，2），E （﹣2，1），F （0，t ）三点的“矩面积”的“水平底”a ＝3，由矩面积”S ＝ah ＝18，得出“铅垂高”h ＝18÷3＝6，则D 、E 、F 三点的纵坐标差的最大值为2﹣t ＝6或t ﹣1＝6，从而求得t 的值．
解：由题意知，
D 、
E 、
F 三点的“矩面积”的“水平底”a ＝1﹣（﹣2）＝3，
∵D 、E 、F 三点的“矩面积”S ＝ah ＝18，
∴D 、E 、F 三点的“铅垂直”h ＝18÷3＝6，
当点F 在点D 下方时，2﹣t ＝6，
解得t ＝﹣4．
当点F 在点D 上方时，t ﹣1＝6
解得：t ＝7，
故答案为：﹣4或，7．
总结提升：本题考查坐标确定位置，掌握“矩面积”的定义是解题的关键．
16．（2022秋•霍邱县校级月考）在平面直角坐标系中，对于点P 、Q 两点给出如下定义：若点P 到x ，y 轴
的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．
（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C 的坐标；
（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．
思路引领：（1）根据“等距点”的定义解答即可；
（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．
解：（1）由题意，可分两种情况：①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；
②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，
综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；
（2）由题意，可分两种情况：①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，
∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），
解得k＝9或k=1
3
（不合题意，舍去）；
②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，
∴4+k＝6或4+k＝﹣6，
解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；
综上所述，k＝2或k＝9．
总结提升：本题主要考查了点的坐标，掌握“等距点”的定义是解答本题的关键．
17．（2022春•莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P （x，y）平移到P′（x+e，y﹣e）称为将点P进行“e型平移”，点P′称为将点P进行“e型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“e型平移”称为将图形M进行“e型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”．
（1）已知点A（﹣1，2），B（2，3），将线段AB进行“1型平移”后得到对应线段A′B′．
①画出线段A′B′，并直接写出A′，B′的坐标；
②四边形ABB′A′的面积为 （平方单位）；
（2）若点A（2﹣a，a+1），B（a+1，a+2），将线段AB进行“2型平移”后得到对应线段A′B′，当四边形ABB′A′的面积为8平方单位，试确定a的值．
思路引领：（1）①根据定义平移即可；
②根据平移后的图形，写出坐标即可；
（2）利用割补法求四边形的面积．
解：（1）①A （﹣1，2）“1型平移”后得到A '（0，1），
B （2，3）“1型平移”后得到B '（3，2）；
②S 四边形ABB ′A ′＝S △ABB '+S △AB 'A '=
12×4×1+12
×4×1＝4，故答案为：4；
（2）A （2﹣a ，a +1）“2型平移”后得到A '（4﹣a ，a ﹣1），
B （a +1，a +2）“2型平移”后得到B '（a +3，a ），
如图，在四边形外作矩形CDEF ，
∴C （2﹣a ，a +2），D （2﹣a ，a ﹣1），E （a +3，a ﹣1），F （a +3，a +2），
∴BC ＝2a ﹣1，AC ＝1，BF ＝2，B 'F ＝2，AD ＝2，A 'D ＝2，AE ＝2a ﹣1，BE '＝1，
∴CF ＝2a +1，CD ＝3，
∴S 四边形ABB ′A ′＝3（2a +1）−12×（2a ﹣1）×1×2−12×2×2×2＝4a ，∵四边形ABB ′A ′的面积为8平方单位，
∴4a ＝8，
∴a ＝2．
总结提升：本题考查坐标与图形变化，熟练掌握平面内点的坐标特点，利用割补法求四边形的面积是解题的关键．
类型三二元一次方程组中的新定义题型
18．（2022春•梁山县期末）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5＝10，4*7＝28，则3*6＝（ ）
A．18B．19C．20D．21
思路引领：已知等式利用题中的新定义化简求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
解：根据题中的新定义得：2a+5b+1=10 4a+7b+1=28，
解得a=12
b=−3，
∴3*6＝3×12+6×（﹣3）+1＝19．
故选：B．
总结提升：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2022春•万州区校级期中）把y＝ax+b（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝2．
（1）x＝3是“雅系二元一次方程”y＝3x+m的“完美值”，求m的值；
（2）类比“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）的定义，对于一个“雅系二元一次不等式”
y＞kx+1（k≠0，k是常数）的“完美解集”为x＞2，请求出k的值．
思路引领：（1）由已知可得x＝3x+m，将x＝3代入即可求m；
（2）假设存在，得到x＝kx+1，所以（1﹣k）x＝1，当k＝1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，
存在“完美值”x=
1
1−k
．
解：（1）由已知得：x＝3x+m，
把x＝3代入x＝3x+m得：3＝9+m，
∴m＝﹣6；
（2）若“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”，则有x＝kx+1，
∴（1﹣k）x＝1，
当k＝1时，不存在“完美值”，
当k≠1，k≠0时，存在“完美值”，
∵y＞kx+1（k≠0，k是常数），
则有x＞kx+1，
∴（1﹣k）x＞1，
∵完美解集为x＞2，
∴x＞
1
1−k
=2，
解得k＝0.5．
总结提升：本题考查二元一次方程的解，新定义；能够理解题意，将所求问题转化为一元一次方程求解是关键．
20．（2022春•如皋市期中）定义：数对（x，y）经过运算φ可以得到数对（x'，y'），记作φ（x，y）＝
（x'，y'），其中x′=ax+by
y′=ax−by（a，b为常数）．如，当a＝1，b＝1时，φ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．
（1）当a＝2，b＝1时，φ（1，0）＝ ；
（2）若φ（2，1）＝（0，4），则a＝ ，b＝ ；
（3）如果组成数对（x，y）的两个数x，y满足x﹣2y＝0，xy≠0，且数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），求a和b的值．
思路引领：（1）当a＝1且b＝1时，分别求出x′和y′即可得出答案；
（2）根据条件列出方程组即可求出a，b的值；
（3）根据对任意数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），得到ax+by=x
ax−by=y，，根据x﹣2y＝0，得
到x＝2y，代入方程组即可得到答案．解：（1）当a＝2，b＝1时，
x′＝2×1+1×0＝2，
y′＝2×1﹣1×0＝2，
故答案为：（2，2）；
（2）根据题意得：2a+b=0 2a−b=4，
解得：a=1
b=−2，
故答案为：1，﹣2；
（3）∵对任意数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），
∴ax+by=x ax−by=y，
∵x﹣2y＝0，∴x＝2y，
代入方程组解得：a=3
4 b=1
2
．
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
21．（2022春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组x&y=4−m
x⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1
a2x⊗b2y=c2的解为
x=4
y=5，求关于x，y的方程组
3a
1(x+y)&4b
1
(x−y)=5c
1
3a
2(x+y)⊗4b
2
(x−y)=5c
2
的解．
思路引领：（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
解：（1）由题意得a+b=1
3a−2b=8，解得
a=2
b=−1；
（2）依题意得2x−y=4−m
2x+5=5m，解得
x=m+1
y=3m−2，
∵x+y＝5，
∴m+1+3m﹣2＝5，
解得m=3 2；
（3）由题意得2a
1
+b
1
y=c
1
2a
2
+b
2
y=c
2
的解为
x=4
y=5，
由方程组3a
1
(x+y)&4b
1
(x−y)=5c
1
3a
2
(x+y)⊗4b
2
(x−y)=5c
2
得
6a
1
(x+y)−4b
1
(x−y)=5c
1
6a
2
(x+y)+4b
2
(x−y)=5c
2
，
整理，得2a
1
⋅3
5
(x+y)−b
2
⋅4
5
(x−y)=c
1
2a
2
⋅3
5
(x+y)+b
2
⋅4
5
(x−y)=c
2
，
(x+y)=4 (x−y)=5
，
解得x=155
24
y=5
24
．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
22．（2022春•江阴市期中）对整数x、y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝ax y﹣by x（其中a、b是常数），如：T（2，1）＝a×21﹣b×12＝2a﹣b．
（1）填空：T（2，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（3，2）＝10，T（8，﹣1）=−3 4．
①求a与b的值；
②若T（x，1）＝T（1，x），求出此时x的值．
思路引领：（1）根据新运算的运算顺序计算即可；
（2）①由题意列出二元一次方程组，再解方程组即可；
②由题意得2x﹣1＝2﹣x，解方程可得x的值．
解：（1）由题意得，T（2，﹣1）＝a×2﹣1﹣b×（﹣1）2=1
2
a﹣b，
故答案为：1
2
a﹣b；
（2）①
=10
a−b=−3
4
，
解得a=2，b=1
答：a的值是2，b的值是1；
（3）由题意得，2x﹣1＝2﹣x，
解得x＝1．
总结提升：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
类型四一元一次不等式中的新定义问题
23．（2022•南谯区开学）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣
π]＝﹣4，如果[x1
2
]=3，则x的取值范围是（ ）
A．5≤x＜7B．5＜x＜7C．5＜x≤7D．5≤x≤7
思路引领：根据题意可得：3≤x1
2
＜4，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
3≤x1
2
＜4，
∴6≤x+1＜8，
∴5≤x＜7，
故选：A．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，理解定义的新运算是解题的关键．
24．定义一种法则“？”如下：a？b=a(a＞b)
b(a≤b)，例如：1？2＝2，若（﹣2m﹣5）？3＝3，则m的取值范围是 ．
思路引领：根据题中新定义的运算可得出关于m的不等式﹣2m﹣5≤3；接下来求解即可得到m的取值
范围．
解：∵1⊕2＝2，若（﹣2m﹣5）⊕3＝3，
∴﹣2m﹣5≤3，解得m≥﹣4．
故答案为：m≥﹣4．
总结提升：本题考查了不等式的解和解集，解答此题的关键是掌握不等式的解及解集的意义．25．（2022秋•临湘市期末）现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣2）*x≥0的解集为 ．
思路引领：直接根据题意得出不等式，进而计算得出答案．
解：∵a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，
∴不等式（﹣2）*x≥0可变形为：4﹣2x≥0，
解得：x≤2．
故答案为：x≤2．
总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式，正确将原式变形是解题关键．
26．（2022春•舒城县校级月考）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a−3
2
（a+b），
如1⊕5＝2×1−3
2
（1+5）＝﹣7．
（1）若x⊕4＝0，则x＝　；
（2）解不等式x⊕6＞3；
（3）求不等式x⊕2＞（﹣2）⊕（x+4）的负整数解．
思路引领：（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可；
（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可；（3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可．
解：（1）∵a⊕b＝2a−3
2
（a+b），
∴x⊕4＝2x−3
2
（x+4）=
1
2
x−6，
∵x⊕4＝0，
∴1
2
x−6=0，
解得x＝12，
故答案为：12；
（2）由x ⊕6＞3，可得2x −32
（x +6）＞3，解得x ＞12．
（3）∵a ⊕b ＝2a −32
（a +b ），∴x ⊕2＝2x −32（x +2）=12x−3，﹣2⊕（x +4）＝2×（﹣2）−32（﹣2+x +4）＝﹣4+3−32x ﹣6=−32
x ﹣7∵x ⊕2＞（﹣2）⊕（x +4），
∴12x−3＞−32
x ﹣7，解得x ＞﹣2，
∴不等式的负整数解为﹣1．
总结提升：本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x 的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键．
27．（2022秋•西湖区校级月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）在不等式①3x ﹣5＜0，②x ≥1，③x ﹣（3x ﹣1）＜﹣5④3x 12＞x 中，不等式x 12
−1≥x 的“云不等式”是 .（填序号）
（2）若a ≠﹣2，若关于x 的不等式x +2≥a 与不等式（a +2）x ＜a +2互为“云不等式”，求a 的取值范围．
思路引领：（1）分别求出各不等式的解，再根据“云不等式”的定义即可得出结论；
（2）先求出不等式x +2≥a 的取值范围，再分a +2＞0和a +2＜0两种情况进行讨论．
解：（1）①解不等式3x ﹣5＜0得，x ＜53；②x ≥1；
③不等式的解集为：x ＞3；
④不等式的解集为x ＞﹣1．
解不等式x 12
−1≥x 得，x ≤﹣1．∵只有不等式3x ﹣5＜0的解集与不等式x 12
−1≥x 有公共部分，
∴不等式x1
2
−1≥x的“云不等式”是不等式3x﹣5＜0．
故答案为：①；
（2）不等式x+2≥a的解集为x≥a﹣2，
①当a+2＞0时，即a＞﹣2，可得x＜1，根据题意a﹣2＜1，即a＜3，a的取值范围为a＜3；
②当a+2＜0时，即a＜﹣2，可得x＞1，此时不论a为小于﹣2的何值均符合题意．
故a＜3且a≠﹣2．
总结提升：本题考查了解一元一次不等式，解出不等式、根据解集判断系数的取值范围是解题的关键．28．（2022春•永春县期中）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”．
（1）最大的“对称数”为 ，最小的“对称数”为 ．
（2）若上述定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有 个．
（3）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，且
个位数字b −1≤x−2
2
b
有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．
思路引领：（1）根据题意，可以写出最小的“对称数”和最大的“对称数”；
（2）根据个位数字b −1≤x−2
2
b
有3个整数解，可以求得b的值，然后根据题意，
可以得到所有满足条件的“对称数”M的值．
解：（1）由题意可得，最大的“对称数”是9999，最小的“对称数”为1010，故答案为：9999；1010；
（2）∵|x+1|＜4，1≤x≤9，x为整数，
∴x＝1或2，
∴当x＝1时，对称数有1010，1100，
当x＝2时，对称数有1111，1201，1021，2110，2200，2020，
故定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有8个，
故答案为：8；
（3−1≤x−2
2
b
，得
b1
8
＜x≤4，
∵个位数字b −1≤x−2
2
b
有3个整数解，
∴1≤b1
8
＜2，
解得7≤b＜15，
∵b为个位数字，
∴b＝7，8，9，
∵一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，∴百位数字为3a，十位数字是10﹣b，
∴a+b＝3a+（10﹣b），
∴a＝b﹣5，
∴当b＝7时，a＝2，此时对称数”M的值是2637，
当b＝8时，a＝3，此时对称数”M的值是3928，
当b＝9时，a＝4，此时百位数字3a＝12不存在，舍去，
由上可得，对称数”M的值是2637，3928．
总结提升：本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出M的值．
29．（2022春•如东县期中）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n 均为非零常数）．例如T（1，1）＝3m+2n．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．
①求m，n的值；
②若关于P的不等式组T(2p，2−p)＞4
T(4p，3−2p)≤a恰好有3个整数解，求a的取值范围．（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对于任何有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．
思路引领：（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题；
解：（1）①由题意，得−(m−n)=0 8n=8，
∴m=1 n=1；
②由题意，得(2p+2−p)(2p+4−2p)＞4①
(4p+3−2p)(4p+6−4p)≤a②，解不等式①，得p＞﹣1．
解不等式②，得p≤a−18 12
．
∴﹣1＜p≤a−18 12
．
∵恰好有3个整数解，
∴2≤a−18
12
＜3．
∴42≤a＜54．
（2）由题意得：（mx+ny）（x+2y）＝（my+nx）（y+2x），
∴mx2+（2m+n）xy+2ny2＝2nx2+（2m+n）xy+my2，
∵对任意有理数x，y都成立，
∴m＝2n．
总结提升：本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
30．（2022春•长沙县期末）定义：对于任意实数a，b，如果满足a+b＝ab，那么称a，b互为“朋友数”，点（a，b）为“朋友点”．
（1）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”；
①1.5与3是互为“朋友数”的；
②若点（a，b）为“朋友点”，则点（b，a）也一定为“朋友点”；
③若点a与b互为相反数，则（a，b）一定不是“朋友点”；
④存在与1互为“朋友数”的实数．
（2）填空：若（a，3）为“朋友点”，则a＝ ．
（3）已知P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组x−2y=m2−9
2x+y=2m2+7的解，请判断点P（x，y）是否为“朋友点”？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．
思路引领：（1）①由1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，可得①是真命题；
②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，有b+a＝ba，可知②是真命题；
③若a＝b＝0，则a+b＝ab，故③是假命题；
④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，方程无解，可知④是假命题；
（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，解得a=3 2；
（3）由x−2y=m2−9
2x+y=2m2+7得：
x=m2+1
y=5，若P（m
2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，
可解得m＝±1
2
，即可得答案．
解：（1）①∵1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，
∴1.5与3是互为“朋友数”的，①是真命题，
故答案为：√；
②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，
∴b+a＝ba，
∴点（b，a）也一定为“朋友点”；②是真命题，故答案为：√；
③若a＝b＝0，则a+b＝ab，
∴此时（a，b）是“朋友点”，③是假命题，
故答案为：×；
④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，
方程无解，
∴不存在与1互为“朋友数”的实数，④是假命题，故答案为：×；
（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，
解得a=3 2，
故答案为：3 2；
（3）当m＝±1
2
时，P（m2+1，5）是“朋友点“，理由如下：
由x−2y=m2−9
2x+y=2m2+7得：
x=m2+1
y=5，
∴P（m2+1，5），
若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，
解得m＝±1 2，
∴当m＝±1
2
时，P（m2+1，5）是“朋友点”题意，理解“朋友数”和“朋友点”的定义．
31．（2022春•灌云县期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一
次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组x−1＞1
x−2＜3的解集为2
＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组x−1＞1
x−2＜3的“相依方程”．
（1）在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式组x＞2
x≤5的“相依方程”是　①　；（填序号）
（2）若关于x的方程2x+k＝6＞x
2x1
3
−1
的“相依方程”，求k的取值范围．
思路引领：（1）求出不等式组的解集，以及各方程的解，判断即可；
（2）求出已知不等式组的解集，根据方程为不等式组的“相依方程”，确定出k的范围即可．解：（1）方程①x﹣3＝0，
解得：x＝3；
②3x+2＝x，
解得：x＝﹣1；
③2x﹣10＝0，
解得：x＝5，
不等式组x＞2
x≤5，
解得：2＜x≤5，
则方程①x﹣3＝0是不等式组x＞2
x≤5的“相依方程”；
故答案为：①；
（2＞x
2x1
3
−1
，
解得：﹣1＜x≤1，方程2x+k＝6，
解得：x=6−k 2
，
代入得：﹣1＜6−k
2
≤1，
解得：4≤k＜8．
总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关
键．
32．（2022春•蜀山区校级期中）阅读理解：我们把|a b c d |称为二阶行列式，规定它的运算法则为|a b c d |
=ad ﹣bc ，例如：|2345|
=2×5﹣3×4＝﹣2．
（1）填空：若|−12x−10.5x |=0，则x ＝　14　，|213−x x |＞0，则x 的取值范围 ；（2）若对于正整数m ，n 满足，1＜|1n m 4|＜3，求m +n 的值；
（3）若对于两个非负数x ，y ，|x−1y 23|=|x −y 2−1|=k ，求实数k 的取值范围．思路引领：（1）根据法则得到﹣x ﹣0.5（2x ﹣1）＝0、2x ﹣（3﹣x ）＞0，然后解得即可．
（2）根据法则得到1＜4﹣mn ＜3，解不等式求得1＜mn ＜3，由m 、n 是正整数，则可求得m +n ＝3；
（3）根据法则得到3（x ﹣1）﹣2y ＝﹣x +2y ＝k ，解方程组求得x ，y 的值，然后根据题意得关于k 的不等式组，解得即可．
解：（1）由题意可得﹣x ﹣0.5（2x ﹣1）＝0，
整理可得﹣x ﹣x +0.5＝0，
解得x =14
；由题意可得2x ﹣（3﹣x ）＞0，
解得x ＞1，
故答案为14
，x ＞1；（2）由题意可得，1＜4﹣mn ＜3，
∴1＜mn ＜3，
∵m 、n 是正整数，
∴m ＝1，n ＝2，或m ＝2，n ＝1，
∴m +n ＝3；
（3）由题意可得3（x ﹣1）﹣2y ＝﹣x +2y ＝k ，∴3x−2y =k +3①−x +2y =k ②，
①+②得：2x ＝2k +3，
解得：x =2k 32
，将x =2k 32代入②，得：−2k 32
+2y ＝k ，
解得y=4k3 4
，
∵x、均为非负数，
≥0
≥0
，
解得k≥−3 4．
总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式和解一元二次方程组，关键是看懂题目所给的运算法则，根据题意列出等式或不等式．。