(完整版)数列典型例题(含答案)

《2.3 等差数列的前n项和》测试题
一、选择题
1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和
等于( )
A.64
B.100
C.110 D .120
考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算.
答案：B
解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，.
2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差，
，则( )
A.8
B.7
C.6
D.5
考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念.
答案：D
解析：由得，，即，将，
代入，解得.
3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( )
A.若，则数列有最大项
B.若数列有最大项，则
C.若数列是递增数列，则对任意，均有
D.若对任意，均有，则数列是递增数列
考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质.
答案：C
解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是
递增数列，但．对于选项D的命题，由，得，
因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真.
二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则
.
考查目的：考查等差数列的性质及基本运算．
答案：81.
解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故.
5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若
，则
.
考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力.
答案：.
解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴，∴，∴
.
6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则
____．
考查目的：考查等差数列的性质及基本运算.
答案：10.
解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵
，∴. ∴，故.
三、解答题
7.设等差数列的前项和为，且，求：
⑴的通项公式及前项和；
⑵．
考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力.
答案：⑴；.⑵
解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得.
⑴；
⑵由，得.
当时，．
当时，
，
∴
8.(2010山东理)已知等差数列满足：，，的前项和为．
⑴求及；
⑵令，求数列的前项和.
考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力.
答案：⑴，；⑵.
解析：⑴设等差数列的公差为，因为，，所以有
，解得，，所以，.
⑵由⑴知，所以，所以
，即数列的前项和.
一、选择题
1.(2009广东文)已知等比数列的公比为正数，且，，则
( ).
A. B. C.
D.2
考查目的：考查等比数列通项公式的基本应用.
答案：B
解析：设公比为，由已知得，得，又因为等比数列
的公比为正数，所以，故.
2.(2007天津理)设等差数列的公差，．若是与的等比中项，则( ).
A.2
B.4
C.6
D.8
考查目的：考查等差数列、等比数列的概念与通项公式、等比中项的概念等基础知识及基本运算能力.
答案：B
解析：∵，∴；又∵是与的等比中项，∴，
即；∵，∴，解得，或(舍去).
3.(2010江西理数)等比数列中，，，函数
，则( )
A. B. C.
D.
考查目的：多项式函数的导数公式、等比数列的性质等基础知识，考查学生的创新意识，综合与灵活地应用所学数学知识、思想和方法解决问题的能力.
答案：C.
解析：∵是多项式函数，∴的常数项的一次项系数，∴.
二、填空题
4.(2007重庆理)设为公比的等比数列，若和是方程
的两根，则__________.
考查目的：考查一元二次方程、等比数列的概念等基础知识，考查分析问题解决问题的能力．
答案：18.
解析：根据题意，得，，∴，∴.
5.(2009江苏卷)设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则 .
考查目的：考查等比数列的概念、等价转化思想和分析推理能力.
答案：.
解析：根据题意可知，有连续四项在集合中，因为
是等比数列，且公比满足，所以这四项只能依次是，所以公比，.
6.(2012辽宁理)已知等比数列为递增数列，且，，则数列的通项公式______________.
考查目的：考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力.
答案：.
解析：∵，∴，得，∴；又∵，∴，∴，解得或(舍去)，∴.
三、解答题
7.已知数列的首项，关于的二次方程(，且
)都有实数根，且满足.
⑴求证：是等比数列；
⑵求的通项公式.
考查目的：考查等比数列的概念、通项公式、一元二次方程的根与系数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.
答案：⑴略；⑵．
解析：⑴由题设可得，，(，且)；又由
，得. 所以，即()，化为(，且)，又，所以是首项为，公比为的等比数列.
⑵由⑴的结论，得，所以的通项公式为．
8.(2012广东文)设数列前项和为，数列的前项和为，满足
，.
⑴求的值；
⑵求数列的通项公式.
考查目的：考查等比数列的概念、递推公式的处理方法、化归思想，考查分析问题解决问题的能力.
答案：⑴；⑵.
解析：⑴当时，. 因为，所以，求得.
⑵当时，，∴
①，∴②. ②①得，所以
. ∵，易求得，∴，∴
. 所以是以3为首项，2为公比的等比数列，，故所以，.
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《2.5 等比数列的前n项和》测试题
一、选择题
1.(2007陕西理)各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，
则( )
A.16
B.25
C.30
D.80
考查目的：考查等比数列的前项和公式及运算求解能力.
答案：C.
解析：由，可知，的公比，∴①，②，
②式除以①式，得，解得(舍去)，代入①，得. ∴
.
2.(2010天津理)已知是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为( )
A.或
B.或
C.
D.
考查目的：考查等比数列前项和公式的应用及等比数列的性质.
答案：C
解析：设的公比为，若，则，，不合题意，所以. 由，得，得，所以，因此是首项为1，公比为的等比数列，故前5项和为.
3.设等比数列的前项和为，若，则等于( )
A. B. C.
D.
考查目的：考查等比数列前项和公式及性质等基础知识，考查运算求解能力.
答案：A.
解析：解法1：若公比，则，∴. 由
，得，∴，∴
.
解法2：由可知，公比(否则有).设，则，根据，，也成等比数列，及，，得，∴，故.
二、填空题
4.在等比数列中，已知，则公比
.
考查目的：考查等比数列的前项和公式及其中包含的分类讨论思想．
答案：1或.
解析：由已知条件，可得，当时，，符合题意；当时，由
，消去，得，解得或(舍去). 综上可得，公比
或.
5.(2009浙江理)设等比数列的公比，前项和为，则
．
考查目的：考查等比数列通项公式与前项和公式的基本应用.
答案：15.
解析：∵，，∴.
6.已知等比数列的首项为，是其前项和，某同学经计算得，，
，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是，该数列的公比是 .
考查目的：考查等比数列的概念、前项和概念及公式等基础知识，考查分析问题解决问题的能力.
答案：，.
解析：假设正确，则由，得，所以公比，可计算得，，但该同学算只算错了一个数，所以不正确，，正确，
可得，，所以公比.
三、解答题
7.(2010重庆文)已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和.
⑴求通项及；
⑵设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.
考查目的：考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式的基本应用以及运算求解能力.
答案：⑴，；⑵，.
解析：⑴因为是首项为，公差为的等差数列，所以
，.
⑵由题意，所以，.
8.(2012陕西理)设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.
⑴求数列的公比；
⑵证明：对任意，成等差数列.
考查目的：考查等比数列的通项公式、前项和公式、等差数列的概念等基础知识，考查推理论证能力.
答案：⑴；⑵略.
解析：⑴设数列的公比为(). 由成等差数列，得，即. 由，得，解得(舍去)，所以数列的公比为.
⑵证法一：对任意，
，所以对任意，成等差数列.
证法二：对任意，，
，∴
，因此，对任意，成等差数列.
第二章《数列》测试题（一）
一、选择题
1.(2012安徽理)公比为等比数列的各项都是正数，且，则
( ).
A.4
B.5
C.6
D.7
考查目的：考查等比数列的通项公式与性质、对数的概念与运算等基础知识.
答案：B.
解析：∵，∴，∵的各项都是正数，∴，∴，∴.
2.(2011江西理)已知数列的前项和满足：，且，那么
( ).
A.1
B.9
C.10
D.55
考查目的：考查数列的递推公式、等差数列的概念及通项公式、与的关系.
答案：A
解析：令，得，∵，∴，∴是首项为，公差为的等差数列，，因此，.
3.(2011天津理)已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为
的前项和，，则的值为( ).
A.-110
B.-90
C.90
D.110
考查目的：考查等比中项的概念以及等差数列通项公式、前项和公式的基本应用.
答案：D
解析：设等差数列的公差为，根据题意得，即
，将代入，并解得，所以
.
4.(2012湖北理)定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列
，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①；②；③；④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为( ).
A.①②
B.③④
C.①
③ D.②④
考查目的：本题考察等比数列的性质及函数计算.
答案：C.
解析：对于①，，所以是“保等比数
列函数”；对于②，，所以
不是“保等比数列函数”；对于③，
，所以是“保等比
数列函数”；对于④，，所以
不是“保等比数列函数”.
5.已知数列满足，当时，，则( ).
A.1
B.2
C.-1
D.-2
考查目的：考查数列递推公式的运用、周期数列的概念与判断，考查分析判断能力.
答案：A.
解析：由条件可得该数列为：，所以是周期为的周期数列，所以.
6.(2012上海理)设，，在中，正数的个数是( ).
A.25
B.50
C.75
D.100
考查目的：数列前项和的概念、三角函数的周期性，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.
答案：D.
解析：当时，；当时，，但其绝对值要小于时相应的值；当时，；当时，，但其绝对值要小于
时相应的值；当时，. ∴当时，均有.
二、填空题
7.(2009北京理)已知数列满足：，，，，则
______；_________.
考查目的：考查数列的概念、周期数列等基础知识.
答案：1，0.
解析：依题意，得，.
8.(2011湖北理)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.
考查目的：考查等差数列的概念、基本运算以及运算能力.
答案：.
解析：记题中的等差数列为，公差为，前项和为. 根据题意知，，两式联立解得，，∴
.
9.(2010天津文)设是等比数列，公比，为的前项和.记
，，设为数列的最大项，则 .
考查目的：考查等比数列的前项和公式及平均值不等式等基础知识，考查运算能力.
答案：4.
解析：根据等比数列前项和公式，得
.∵
，当且仅当，即时取等号，而，∴当时，取最大值，即数列的最大项为，所以.
10.(2011江苏卷)设，其中成公比为的等比数列，
成公差为1的等差数列，则的最小值是________.
考查目的：考查等差数列、等比数列的概念和通项公式，考查不等式的有关知识及推理判断能力.
答案：.
解析：由题意可得，∴
. ∵，∴当取最小值时，，∴，即的最小值是.
11.(2012四川理)记为不超过实数的最大整数，例如，，，.
设为正整数，数列满足，，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5，3，2；②对数列都存在正整数，当时总有；
③当时，；④对某个正整数，若，则. 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)
考查目的：本题属于新概念问题，主要考查对新概念的理解、不等式的性质，以及数列知识的灵活运用和推理论证能力.
答案：①③④
解析：易证，对于取整函数有下列性质：性质1：当时，；性质2：对，有；性质3：若，，则. ①当时，
，，故①为真；②当时，易知该数列为：(1与2交替出现)，所以②为假；③∵
，∴；由题易知，对一切，均为正整数，所以无论
是奇数还是偶数，均有
，故③为真；④若对某个正整数，则由
，得，∴，∵是正整数，∴.又∵，
，∴(或由③为真，
及，直接可得)，故，因此④为真.
第二章《数列》测试题（二）
三、解答题
12.(2009浙江文)设为数列的前项和，，，其中是常数．
⑴求及；
⑵若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
考查目的：考查数列的通项与前项和以及它们之间的关系，考查等比数列的概念以及运算求解能力.
答案：⑴，；⑵或.
解析：⑴当时，；当时，
.而也适合上式，所以.
⑵∵，，成等比数列，∴，即，化简并整理得. ∵此式对成立，∴或.
13.(2010全国卷Ⅱ文)已知是各项均为正数的等比数列，且，
.
⑴求的通项公式；
⑵设，求数列的前项和.
考查目的：考查等比数列的通项公式与前项和公式、方程与方程组等基础知识，考查运算求解能力.
答案：⑴.⑵.
解析：⑴设的公比为，则.由已知，有
，
化简得，解得，(舍去)，所以.
⑵由⑴知，所以
.
14.(2008湖南理)数列满足
⑴求，，并求数列的通项公式；
⑵设，，证明：当时，.
考查目的：考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识，考查数列求和、不等式证明的基本方法，以及分析问题解决问题的能力.
答案：⑴，，；⑵略.
解析：⑴∵，，∴，
.
一般地，当时，，即，所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此.
当时，，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此.
∴数列的通项公式为.
⑵由⑴知，，①，②，
得，，∴
.
要证明当时，成立，只需证明当时，成立.
证明：要证明，只需证明.令，则
，∴当时，.
∴当时，.于是当时，.
15.(2012广东理)设数列的前项和为，满足，且，
，成等差数列．
⑴求的值；
⑵求数列的通项公式；
⑶证明：对一切正整数，有．
考查目的：考查数列和不等式的概念及其性质、数列与函数的关系等基础知识，考查数列递推公式的运用、不等式放缩等基本方法，考查综合运用知识分析问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.
答案：⑴；⑵；⑶略.
解析：⑴在中，令得；令得，解得，.又∵，∴解得.
⑵由，得.又∵也满足，∴成立，∴，∴，∴.
⑶(法一)∵，∴，
∴.
(法二)∵，∴，当时，，，，…，，累乘得，
∴.。