2010 学而思杯 6年级 数学 真题及答案

2010年10月5日京城学而思杯数学试题（及答案）
1.计算：
1
1
1
3
2
+=
+。

【分析】原式=9 7
2.太极拳有一招叫云手，它的动作顺序是先顺时针方向转180度，然后逆时针方向转90
度，再顺时针方向转270度，然后再逆时针方向转90度。

如果最后要求再转一次就转回到与最初位置相同的位置，需要再顺时针方向转度（每次转的度数不超过360度）。

【分析】画图可得顺时针90 º
3.今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是。

【分析】1112131716
⨯⨯=，1213142184
⨯⨯=，所以是2184
4.两个棱长分别为1cm和3cm的立方体如图放置，如果在这个立体图形上切一刀，要求
切面与已有立方体的表面平行，那么得到的两个立体图形的表面积之和最大是_____cm3
.
【分析】32×6+12×4+12×2+32×2=78
5.2010除以正整数N，余数是15，那么N的所有可能值的个数是。

【分析】2010151995
-=，199535719
=⨯⨯⨯，1995的约数有16个，其中小于等于15的有5个，所以满足条件的N有11个。

6.甲、乙两位运动员从400米跑道的同一地点同时出发同向而行，绕着跑道练习跑步，
已知甲每60秒跑一圈，乙每68秒跑一圈，那么甲会在跑第圈的时候第一次从后面超过乙。

【分析】甲：860480
⨯=，960540
⨯=
乙：768476
⨯=，868544
⨯=
所以甲跑第9圈的时候超过乙。

7.将100个5分硬币排成一排，每次操作都从第一个开始。

第一次操作将硬币按顺序1，
2，1，2……数，然后将数到2的硬币全部用1角硬币替换；第二次操作将硬币按顺序1，2，3，1，2，3……数，然后将数到3的硬币全部用5角硬币替换；第三次操作将硬币按顺序1，2，3，4，1，2，3，4……数，然后将数到4的硬币全部用1元硬币替换，那么经过上述操作后这100个硬币的总值是元。

【分析】显然12个硬币为一个周期，我们考察前12个硬币，依次为5分，1角，5角，
1元，5分，5角，5分，1元，5角，1角，5分，1元。

总和为4.9元，所以100个总和为4.98 1.6540.85
⨯+=元。

8.有一个电子表的表面用2个数码显示“小时”，另用2个数码显示“分”。

例如“21：
32”表示21时32分，那么这个手表从“10：00”至“11：30”之间共有分钟表面上显示有数码“2”.
【分析】显示小时的数码不会出现2，只有分钟会出现。

10点到11点分别有2，12，20，21，22，……，29，32，42，52，共15次，11点到11点半有2，12，20，21，22，……，29共12次，所以有27分钟。

9.下图中有四条弦，每一条弦都把大圆分割成两个面积比为1:3的区域，而且这些弦的交
点恰好是一个正方形的四个顶点。

这些弦把圆分割成9个区域，则此正方形的面积是
π=）
区域P面积的倍。

（ 3.14
【分析】去掉两边的弓形之后，中间部分面积是整个圆的一半，横竖两块中间部分面积和就等于圆面积，所以重叠部分面积等于4个P面积的和。

即正方形面积是P的4倍。

10.老王批发了桃子和香蕉两种水果去市场上销售，成本共250元。

一开始桃子按50%的利润
定价，香蕉按60%的利润定价，结果一个也没有卖出去。

后来他只好把两种水果都按定价的90%销售，卖完后共获得利润101元。

那么桃子的成本是元。

【分析】设桃子成本为x，香蕉成本为y
桃子香蕉
成本x y
九折后定价150%90%
⨯
⨯160%90%
可列方程200
x
=
+y
-+-=
(1.351)(1.441)101
x y
解得 100x = 那么，桃子成本100元。

11. 如图，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，J 为GD 的中点，EJ 交
CD 于I 。

已知正方形ABCD 边长为10cm ，则图中阴影部分的面积是__ ___ cm 2. J I
H
G F E D C B
A
【分析】 连结EG 、FJ 可得GI ：IF=2:3，所以阴影部分的面积应该是正方形EFGH 的十
分之二，也就是大正方形的十分之一，为10 cm 2
12. 在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的。

如果十进制中的
147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens ”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens ”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens ”的数指的是十进制中的数 。

【分析】 102014777=（）（），10204929=（）（），所以ha 代表十位，ugens 代表个位，dew 代
表9，naw 代表2。

201092（）=（182），所以答案是182.
13. 巍巍、涛涛分别从A 、B 两地同时相向出发，往返跑步，第一次相遇地点距离A 地600
米；巍巍到B 地、涛涛到A 地后都立即返回，且速度均变为原来的3倍，两人第二次相遇地点距离B 地300米，那么，A 、B 两地相距＿＿＿米．
【分析】 如果返回时不提速，那么巍巍能行100米，此时两人合走了123
个全程，第一次相遇两人合走了1个全程，所以两次所花时间比为12:13
，巍巍到第2次相遇共走了1600214003
⨯=米，所以全程为14001001300-=米。

14. 在一次小组长选举中，铮铮与昊昊两人作为候选人参加竞选，一共得了7张选票。

在
将7张选票逐一唱票的过程中，昊昊的得票始终没有超过铮铮。

那么这样的唱票过程有 种不同的情况。

【分析】 标数法（1）7张全是铮铮，1种；
（2）6张铮铮,1张昊昊,6种；
（3）5张铮铮,2张昊昊,14种；
（4）4张铮铮,3张昊昊,14种。

一共35种。

15. 包包给自行车装配8档变速齿轮装置，他选择了两个不同的前齿轮，它们的齿数在40
和60之间（包含40和60），以及四个不同的后齿轮，齿数在5到35之间（包含5和
35），齿轮的传动比等于前齿轮的齿数除以后齿轮的齿数. 例如，如果他选择了45和55个齿数的前齿轮，还选择了8、13、18、22个齿数的后齿轮，那么得到的8个传动比就是458，4513，4518，4522，558，5513，5518，5522. 选择不当的话，某些传动比就会相同（例如45551822
=），就得不到8个不同的传动比. 如果包包选择不当，他得到的不同传动比的最小数目是 个，此时后齿轮中最大齿数是 .
【分析】 令两个前齿轮齿数是A 和B （A<B ），四个后齿轮齿数分别是a ，b ，c ，d （a<b<c<d ）. 显然有B B B B a b c d >>>和A A A A a b c d >>>，要使传动比数目小，理想情况下A B a b
=，A B b c =，A B c d =，此时只有5个不同的传动比. 所以有B b c d A a b c ===，3()B d a A =，B A 是个分数，所以a 是某个3次方数的倍数，如果a 是27的倍数，d 就会超过35，所以
a 只能是8的倍数，取32
B A =，尝试得后4个齿轮齿数分别是8，12，18，27，前齿数分别是40和60是唯一符合情况的4个齿数. 所以不同传动比的最小数目是5个，后齿轮中最大齿数是27.。