同济高数第4章课件第四节

22
(1 (1
u)2 (1 u)(1
u
u2 2)
)du
1 u 1 u2
du
1
1
du u
1
1 u2du
1
u u2
du
1
1
du u
arctan u 1 ln(1 u2 ) ln | 1 u | C
2
x 2
ln | sec x | ln | 1 tan x | C.
2
2
23
)
（2）分母中若有 ( x2 px q)k ，其中p2 4q 0
则分项后对应于
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中 Mi , Ni 都是常数 (i 1,2, ,k)
5
例3 求
x2
x
3 5x
6
dx
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B A
2C 0, C 1,
A
4, 5
B
2,C 5
1, 5
10
(1
1 2 x )(1
x2
)
1
4
5 2x
2x 5 1 x2
1 5
.
(1
1 2 x )(1
x2
)
dx
1
4
5 2
x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
19
二、三角函数有理式的积分
由三角函数和常数 , 经过有限次四则运算
构成的函数．记为 R(sin x,cos x)
x
x
sin x 2sin x cos x
2 tan
2
2 tan 2
,
2 2 sec2 x 1 tan2 x
2
2
cos x cos2 x sin2 2
x 2
cos2
cos2
x sin2 2 x sin2
第四节 有理函数的积分
一、有理函数的积分
定义：P( x) a0 xn a1 xn1 an1 x an Q( x) b0 xm b1 xm1 bm1 x bm
其中m、n 都是非负整数；a0,a1, ,an ,b0 ,b1, ,bm
都是实数，并且 a0 0 b0 0
2
2a
a
17
(4)
Mx N dx, ( x2 px q)n
令 x pt 2
a2 q p2 , 4
x2
px
q
x
p 2
2
q
p2 4
t2 a2,
Mx N M ( x p) M p N 记b N Mp ,
2
2
2
则 Mx N Mt b
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
2
2
(2)
(
x
1 1)( x
2
dx 1)
(3)
1 x4
dx 1
12
(2)设
1
( x 1)( x2
1)
A x1
Bx C x2 1
A( x2
1) ( x 1)(Bx ( x 1)( x2 1)
C)
(
A
B)x2
(
(B x
C)( 1)( x2
x 1) 1)
(
A
C
)
A B 0,B C 0, A C 1, A 1 , B 1 ,C 1
Mt
(t2
a
b 2 )n
dx
18
(t
2
Mt a2
)n
dt
(t2
b a
2
)n
dt
1
2
(t 2
M a2 )n
d (t 2
a2)
b (t 2 a2 )n dt
2(n
M 1)(t 2
a 2 )n1
b
(t
2
1 a2
)n
dt
.
以上四类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论: 有理函数的原函数都是初等函数.
25
三、简单无理函数的积分
讨论类型
R( x, n ax b),
ax b
R( x, n
),
cx e
解决方法 作代换去掉根号.
例8
求积分
1 x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
26
1
x
t
2
, 1
dx
t
2tdt
2 12
,
1 x
1 xdx x
t
2
1t
t
2
2t
12dt
4arctan(x
1)
1 ln( x2 2x 2) 4arctan(x 1) C 2
4
有理真分式化为部分分式之和的步骤：
1.将分母分解因式， 2.按下列规律分项
（1）分母中若有因式 ( x a)k ， 则分项后对应于
(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak x
a
,
(
A1
,
A2
,
,
Ak是常数
x
2 x
2
2
20
2tan x
sin
x
1
2 tan2
x
,
2
1 tan2 x
cos
x
1
tan2
2 x
,
2
令u tan x x 2arctan u（万能置换公式） 2
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
R
1
2u u2
,
1 1
1 arctan 2
x
1 2
(
x
1 1)(
x
1)
dx
1 2
arctan
x
1 4
[x
1
1
x
1
]dx 1
1 arctan 2
x
1 ln x 1 1 ln x 1 1 arctan x C
4
4
2
14
么么么么方面
• Sds绝对是假的
几种简单分式的积分
(1)
(x
1 dx a)
ln |
x a | C
2
t 2dt t2 1
2
1
t
2
1
1
dt
2t
ln
t t
1 1
C
2
1
x
x
ln
x
1
x
x
2
1
C.
27
例9 求积分
1 x1
3
x
dx. 1
解 令 t 6 x 1 6t 5dt dx,
1 x 1 3
x 1 dx t 3
1
t
2
6t
5dt
6
t 3 dt t 1
2t 3
3t 2
解
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A B A( x 3) B( x 2) , x 2 x 3 ( x 2)(x 3)
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A B (3A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
2
1 2x
11
5 ln(1 2x) 5 1 x2 dx 5 1 x2dx
2 ln 1 2x 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C .
5
5
5
11
练习 求积分
(1)
(
x
1)(
x
1
2)(x
dx 3)
2ln | x 2 | 1 ln | x 1 | 3 ln | x 3 | C
24
(记b p , a2 p2 q)
2
4
(
x
1 b)2
a2
dx
1 arctan x b C
a
a
2
例1
求积分（1）
x2
1 3x
dx 2
(2)
x2
3 4x
9
dx
(1)原式
(
x
1 1)(
x
2)
dx
(
x
1
1
x
1
)dx 2
ln x 1 ln x 2 C
(2)原式
(
x
3 2)2
5
dx
例7
求积分
1 sin4
dx. x
解（一） u tan x , 2
sin
x
1
2u u2
,
dx
1
2 u2
du,
1
sin4 x dx
1
3u2 3u4 8u4
u6du
1[ 1 8 3u3
3 u
3u
u3 ] C 3
1 24 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 tan 8
x 2
1 24
(
x
1 1)2
x
1
1
dx
1dx x
(
x
1 1)2
dx
x
1
dx 1
ln x 1 ln x 1 C . x1
9
例5 求积分
(1
1 2 x )(1
x2 ) dx
1
A Bx C
解 (1 2x)(1 x2 ) 1 2x 1 x2 ,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
1 5
1
(
3 x
2)2
dx
5
1 5
1
(
3 x
2)2
d
x
2 5
1 arctan x 2 C
5
5
5
3
例2 求
x2
x
3 2x
2
dx
解
x3 dx
x2 2x 2
(x x2
1) 4 2x 2
dx
1 2
2x 2 x2 2x
dx 24 (x来自1 1)2dx 1
1 2
d( x2 2x 2) x2 2x 2
tan
x 2
3
C.
24
解（二）
1 sin4
x
dx
csc4 xdx csc2 xd cot x
(cot2 x 1)d cot x cot2 xd cot x d cot x
1 cot3 x cot x C 3
结论 万能置换不一定是最佳方法, 在三角有理 式的积分计算中，应在其它手段与用万 能置换中择优选用.
C 2
(2x
p) x2
(2D / C px q
p) dx
C 2
2x p x2 px
q
dx
C 2
2D / x2
C p px q
dx
C d( x2 px q) (D Cp / 2)
1 dx
2 x2 px q
x2 px q
C ln( x2 px q) (D Cp) 1 arctan x b C
(2)
(
x
1 a)k
dx
1 ( x a)1k C 1 k
(k 1)
(3)
x2
1 px
q
dx
( p2 4q 0)
x
Cx 2
D px
q
dx
Mx N
(4) ( x2 px q)n dx,
16
(3)
x
Cx 2
D px
q
dx
( p2 4q 0)
C 2
2x x2
2D / C dx px q
(1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式；
1
几种简单分式的积分
(1)
(x
1 dx a)
ln |
x
a | C
(2)
(x
1 a)k
dx
1 (x 1 k
a)1k
C
(3)
1
dx ( p2 4q 0)
x2 px q
(k 1)
1
(x
p)2
p2
dx q
u2 u2
1
2 u2
du.
21
例6
求积分
1
sin sin x
x
cos
x
dx.
解
由万能置换公式
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du,
1
sin sin x
x
cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
2u 1 u2 1 u2
(1 u)(1 u2 ) du
1) ,
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊来确定系数 A, B,C 取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
8
x(
x
1
1)2
dx
1 x
6
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
x2
x
3 5x
6
dx
5 x2
dx
x
6
dx 3
5ln | x 2 | 6ln | x 3 | C
例4 求
x(
1 x
1)2dx
解
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
7
x(
1 x1)2
A( x
1)2 Bx Cx( x x( x 1)2
2
22
(
x
1 1)( x2
1)
dx
1 2
(
x
1
1
x 1)dx x2 1
1 ln x 1 1 ln( x2 1) 1 arctan x C
2
4
2
13
(3)
1 dx x4 1
1 ( x2 1)( x2 1) dx
1 2
[
x
1 2
1
1
x
2
]dx 1
1 2
1 x2
dx 1
6t
6ln | t
1| C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
28