《运筹学教程》胡云权-第五版-运筹学复习

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

x6
10
[2]
-5
1
0
-1
1
5
3M+2
3-4M
2M-5
0
-M
0
-z
-M
x4
2
0
[7/2 ]
1/2
1
1/2
-1/2
4/7
2
x1
5
1
-5/2
1/2
0
-1/2
1/2
-
0
7M/2+8
M/2-6
0
M/2+1
-3M/2-1
-z
3
x2
4/7
0
1
1/7
2/7
1/7
-1/7
2
x1
45/7
1
0
6/7
5/7
-1/7
1/7
✓ 右端项非负
解的重要概念
可行解(或可行点):满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x 2 , x n )
可行域:所有的可行解的全体
D { x Ax b, x 0}
最优解:在可行域中目标函数值最大(或最小)的可行解,最优解的全体
称为最优解集合
O {x D c x c y, y D }
0
x3
0
x4
0
x5

9
4
3
4
5
[ 10 ]
1
0
0
0
1
0
0
0
1
90
40
30
7
12
0
0
0
1
90
bi
360

aik
4
单纯形法的进一步讨论——大M法
大M法:若给定问题标准化后,系数矩阵中不存在m个
线性无关的单位列向量,则在某些约束的左端加入非负
变量(人工变量),使得变化后的系数矩阵中恰有m个
定存在m个线性无关的列向量,称由m个线性无关的列向量
构成的可逆矩阵 B (P , P ,, P ) 为问题L的一个基,L最多有
Cmn 个基。系数矩阵A中的m阶可逆子阵,记为B。其余为
非基矩阵,记为N。
j1
j2
jm
基向量:基矩阵B中的列,其余为非基向量。
基变量:与基矩阵B中列向量所对应的变量为基变量,记为
工变量,如果所得最优解中所有的人工变量都为零则得到原问题
的一个基可行解(而非最优解),否则原问题无可行解。如果第
一阶段求解结果最优解的目标函数值不为0,也即最优解的基变量
中含有非零的人工变量,表明原线性规划问题无可行解。
第二阶段:将第一阶段得到的基可行解作为原问题的初始基可行解,
以原目标函数为目标函数进行计算,然后按照单纯形法求解原问
运筹学复习
《运筹学》课程大纲
➢ 课程性质:方法技能类 专业必须课
➢ 课时数:1-14周,3,42学时
➢ 课程框架
约束条件、目标最大/小化、最优方案
线
























➢ 考核方案:作业(50%)+考试(50%)




《运筹学》教材内容
➢ 线性规划 第一章 1-5节
0
0
-50/7
-M-16/7
-1/7
-M+1/7
-z
由此可得,最优解X*=(45/7,4/7,0,0,0,0), Z*=102/7, 具有唯一解。
1.6(1)答案
【解】两阶段法
第一阶段的数学模型
min w x4 x6
x1 x2 x3 x4 7
2 x1 5 x2 x3 x5 x6 10
最优解
N
找一个较好
基可行解
Y
结束
由于基可行解数目有限(≤ Cmn ),因此,经过有限次迭代即可找到最优解。
前提:线性规划为标准型。
单纯形法求解——I.求初始基可行解
因为,基可行解是由一个可行基决定,
所以,构造初始基可行解 X 0 ,相当于确定一个初始可行基 B0
方法:若A中含I,
则 B0 I ;
图解法步骤:
Z=2
1、建立直角坐标系;
1
2、图示约束条件,判断可行域;
o
3、图示目标函数和寻找最优解;
1
2
3
4
x1
图解法求解的四种情况
基本定理
定理1:线性规划问题的可行域为凸集。
定理2:凸集的每个顶点对应一个基可行解。
基可行解的个数是有限的,当然凸集的顶点个
数也是有限的。
定理3:若线性规划有最优解,必在可行域某顶点上达到。

1
1
2
②∵ P1,P3线性无关,∴(P1, P3)为基.
x1 , x3为基变量,令非基变量x2 , x4为0,
得 x1 = 5/2,x3=11/5
则基解为(5/2 , 0 , 11/5 , 0),可行解。
(5/2 , 0 , 11/5 , 0)为基可行解,z2=43/5
①∵ P1,P2线性无关,∴(P1, P2)为基. ③……
max z 2 x1 3 x2 5 x3 Mx4 0 x5 Mx6
x1 x2 x3 x4 7
2 x1 5 x2 x3 x5 x6 10
x1 6 0
cj
2
3
-5
-M
0
-M
Θ
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
-M
x4
7
1
1
1
1
0
0
7
-M
最优值:最优解的目标函数值
v c x, x O
线性规划的求解方法——图解法
Max Z= x1 + 2 x2
2 x1 + 2 x2 ≤ 8
0 x1 + 2 x2 ≤ 4
x1 ,
x2
最优解:x1=2, x2=2
2 x 1 + 2 x2 = 8
最优值:Z=6
4
Z=6
≥ 0
3
2 x2 = 4
2
每个问题都用一组未知变量 x1 , x2 ,, xn 表示目标函数
和约束条件。
有一个目标函数,且可表示为一组未知量 x1 , x2 ,, xn
的线性函数,目标函数可以是求最大也可以求最小。
存在一组约束条件,都可以用一组未知量 x1 , x2 ,, xn
的线性等式或不等式表示。
线性规划模型三要素
方法:
① 计算每个x j 的检验
数 j c j CB B 1 Pj
②若所有 j 0 ,则
当前解为最优解
检验数向量,记为 。当 0 时,当前解为最优解。
③否则,有 j 0 ,
则找到最大的 k ,
其对应的 xk 作为
换入变量。
单纯形法求解——III.可行性检验
x1 , x2为基变量,令非基变量x3 , x4为0, ④……
得 x1 = -1/3,x2=11/3
⑤……
则基解为(-1/3 , 11/3 , 0 , 0),非可行解。⑥……
最优解为(5/2 , 0 , 11/5 , 0),最优值为43/5。
1.6(1)答案
【解】大M法
化为标准型,并加入人工变量得
➢ 运输问题 第三章 1-4节
➢ 整数规划 第五章 1-5节
➢ 动态规划 第七章 1-4节
➢ 图与网络分析 第八章 1-3节
➢ 对策论 第十二章 1-3节
➢ 决策论 第十三章 1-3节
第一章 线性规划及单纯形法
主要内容
线性规划问题及其数学模型
线性规划解的概念、图解法
单纯形法原理
线性规划应用
线性规划问题的特征
题的最优解。
线性规划最优解的几种情况
Байду номын сангаас






教材
P35
作业p44
• 1.1 图解法
• 1.2
• 1.3
• 1.6
• 1.7
• 1.10
• 1.12
• 1.13
• 1.14 (1)
1.3——线性规划标准型解的概念
基矩阵(基):设A是 m n阶系数矩阵(m n ),秩A=m,则A中一
若A中不含I,则用人工变量法(大M法)构造一个I。
问题:若 B0 I ,则 X 0 ?
1
x1 2 x2 x3

x4 3
2 x1 x2
x , x , x , x 0
1 2 3 4
例1中的 X 0 ?
单纯形法求解——II.最优性检验
把目标函数用非基变量表示:
1
2
3
4
5
max z 7 x1 12 x2
9 x1 4 x2 360
4 x + 5x 200

2
s.t. 1
3 x1 10 x2 300

x1 , x2 0
1 c1 CB B P1
1
9

7 [0, 0, 0]
4


3
体实现。
单纯形表的主要结构
C
A

−1 −1 A

—— 单位矩阵I
问题:第一张表的 −1 =?
1


c

C
B
Pj
j
j
B
检验数的公式在哪里?
−1 中的第j 列
−1 在哪里?
单纯形法求解
解:(1)转化为标准型
例2 用单纯形法求解线性规划问题 max z 7 x 12 x 0 x 0 x 0 x
基 ( P1 , …,Pl 1 , Pk , Pl 1 , …,Pm ) ;
② 对应这个基可以找到一个新的基可行解;
③ 重复步骤II和III,直到结束,求出最优解。
旋转变换的实质就是用一系列的初等行变换将主元列变为
?
单位列向量,其中主元变为1,主元列的其余元素都为零。
单纯形法求解——单纯形表
单纯形表:基于单纯形法的步骤设计的计算格式,是单纯形法的具
✓ 目标最大化
a
x
+
a
x
+

+
a
x
=
b
11
1
12
2
1n
n
1
约束条件:
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
✓ 约束为等式
x1, x2, …, xn ≥ 0
其中bi ≥0 ,i = 1, 2, …, m
✓ 决策变量均非负

7
XB
x3
x4
x5
9 x1 4 x2 x3
4 x + 5x
x4
1
2
s.t.
3 x1 10 x2

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
主元素
CB
0
0
0

B-1b
360
200
300
360
200
x5 300
aik 0
7
x1
12
x2
因为,基可行解与基相对应,
所以,寻找新的可行解,即将初始可行基 B0 转化为 B1 ,称基变换。
改善:Z1 Z 0
基变换的原则
1
可行:
B

1 b 0
换入变量: j 0 中最大的 k 所对
应的 xk 换入基;
1
1
换出变量:由 X B B b B NX N 0
2/7
1/7
-1/7
0
x1
45/7
1
0
6/7
5/7
-1/7
1/7
0
0
0
1
0
1
-z
由此可得,第一阶段最优解X*=(45/7,4/7,0,0,0,0), 原线性规划的基可行解。
x1 6 0
cj
0
0
0
1
0
1
Θ
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
1
x4
7
1
1
1
1
0
0
7
1
x6
10
[2]
-5
1
0
-1
1
5
-3
4
-2
0
1
0
-z
1
x4
2
0
[7/2 ]
1/2
1
1/2
-1/2
4/7
0
x1
5
1
-5/2
1/2
0
-1/2
1/2
-
0
-7/2
-1/2
0
-1/2
-1/2
-z
0
x2
4/7
0
1
1/7
决定出基变量。
j 0 , 对应的p j 进基

方法:令 k max
j


( B 1b)i
1
i 1
( B pk)
令 l min

i 0 , 对应的p l 出基
i
( B pk)
i


i
bi
aik
检验比
单纯形法求解——IV.求解新的基可行解
方法:
① 用入基变量 xk 替换基变量中的换出变量 xl ,得到一个新的
线性无关的单位列向量,并且在目标函数中减去这些人
工变量与M的乘积(M是相当大的一个正数)。对于变
化后的问题,取这m个单位列向量构成的单位矩阵为初
始基,该基对应的解一定是基可行解。
单纯形法的进一步讨论——两阶段法
第一阶段(目的是求解该问题的一个初始基可行解):在约束中加入
人工变量使系数矩阵出现单位阵,然后目标函数变为maxW=-∑人
次应调入哪一个非基变量为基变量,可使目标函数值得到
改善;
可行性条件:确定应调出哪一个基变量(使其成为非基变
量)可确保新的基本解仍然是可行解。
单纯形法基本步骤
I. 求初始基可行解
II. 确定换入变量的最优性条件

III. 确定换出变量的可行性条件
IV.运用初等行变换求出新的基
可行解
初始基可行解
是否是
在有限个基可行解中间存在最优解。
单纯形法的基本原理
从一个初始基可行解出发,通过对基变量的迭代运算
(每次迭代更换一个基变量,相当于从一个可行极点移动
至与其相邻的另一个可行极点)而得到下一个基可行解,
同时使目标函数值得到改善;经过有限次的迭代运算,就
能得到LP的最优解。
相关文档
最新文档