沪科版数学八年级下册 18
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能是 ( D )
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm
D. 18 cm
3. 已知点 (2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_1_0__.
4. 如图,有两棵树,一棵高 8 米,另一棵高 2 米, 两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵 的树梢,问小鸟至少飞行多少米?
B
y
解:如图,过点 A 作 x 轴的垂线,
过点 B 作 x,y 轴的垂线,相交于A
5 4
点 C,连接 AB.
3
则 AC = 5 - 2 = 3,BC = 3 + 1 = 4. C
2B
在 Rt△ABC 中,由勾股定理得
1
AB AC2 BC2 5.
-3 -2 -1-1 O 1 2 3 x
∴ A,B 两点间的距离为 5.
例3 在一次台风的袭击中,小明家房前的一棵大树在 离地面 6 米处折断,树的顶部落在离树根底部 8 米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗?
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解:根据题意可以构建一个 直角三角形模型,如图. 在 Rt△ABC 中, AC = 6 米,BC = 8 米, 由勾股定理得
AB AC 2 BC 2 62 82
12
侧面展开图 12
A解:在 Rt△ABA′ 中,由勾股A 定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15(cm).
归纳 立体图形中求表面上两点间的最短距离,一般把 立体图形展开成平面图形,根据“两点之间线段最短” 确定最短路线,再根据勾股定理求最短路程.
例5 有一个圆柱形油罐,要以 A 点环绕油罐建梯子, 正好建在 A 点的正上方点 B 处,问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 2 m,高 AB 是 5 m,π 取 3)?
例6 如图,一个牧童在小河的南 4 km 的 A 处牧马,而
他正位于他的小屋 B 的西 8 km 北 7 km 处,他想把他的
马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所
走的最短路程是多少?
北
解:如图,作出点 A 关于河岸的对称点 A′,
东
连接 A′B,则 A′B 的长就是最短路程. A′
由题意得 A′C BC = 8 km.
10米.
B ∴ 这棵树在折断之前的高度 是 6 + 10 = 16(米).
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:
(1)读懂题意,分析已知、未知间的关系;
(2)构造直角三角形;
(3)利用勾股定理等列方程;
(4)解决实际问题. 实际问题 转化 数学问题
解决
构建
勾股定理 利用 直角三角形
练一练 1. 湖的两端有 A,B 两点,从与 BA 方向成直角的 BC
时留下了一点食物在 B 处,恰好在 A 处的一
B
只蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处,问怎么走最近?最短路程怎 A
么求?
蚂蚁从 A→B 的路线
B
A
将侧面展开后,根据“两点之间线段最短”可得最近路线.
若已知圆柱体高为 12 cm,底面半径为 3 cm,π 取 3.
A'
3 O
B
A' 3π B
在Rt△COD 中,根据勾股定理得
A
OD2 = CD2 - OC2 = 2.62 - (2.4 - 0.5)2 = 3.15C.
∴OD 3.15 1.77.
∴BD OD OB 1.77 1 0.77.
∴ 梯子的顶端沿墙下滑 0.5 m 时,
OB D
梯子底端并不是也外移 0.5 m,而是外移约 0.77 m.
解:如右下图,在 Rt△ABC 中, AC=36 cm,BC=108÷4 =27 (cm). 由勾股定理,得 AB2=AC2+BC2 =362+272=2025=452. ∴ AB=45 cm. ∴ 整个油纸的长为 45×4=180 (cm).
用勾股定理解 决实际问题
勾股定理 的应用
解决“HL”判定方法 证全等的正确性问题
BC BC.
△ABC≌△ABC (SSS) .
C
B C′
B′
利用勾股定理求最短距离
问题 在 A 点的小狗,为了尽快吃到 B 点的香肠,它
选择 A B 路线,而不选择 A C B 路线,难道小
狗也懂数学?
C
A
B
AC+CB >AB(两点之间,线段最短) 思考 在立体图形中,怎么寻找最短路线呢?
问题:在一个圆柱形石凳上,小明在吃东西
A
B
解:台阶的展开图如图,连接 AB.
在 Rt△ABC 中,根据勾股定理得
C
B
AB2 = BC2+AC2 = 552+482 = 5329 = 732. ∴ AB = 73 cm.
能力提升: 6. 为筹备迎接新生晚会,同学们设计了一个圆筒形灯 罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸,如图.已知圆 筒的高为 108 cm,其横截面周长为 36 cm,如果在表 面均匀缠绕油纸 4 圈,应裁剪多长的油纸?
第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
勾股定理的简单实际应用 问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进 门的情况,并结合小贤和一菲的做法,对于长竹竿 进门之类的问题你有什么启发? 这个跟我们学的
勾股定理有关, 将实际问题转化 为数学问题
典例精析
例1 一个门框的尺寸如图所示,一块长 3 m,宽 2.2 m
B
B
B'
A
A
A'
解:油罐的展开图如图,则 AB' 为梯子的最短距离.
AA' = 2×3×2 = 12, A'B' = 5,根据勾股定理得
AB′ AA′2 AB′2 13. 即梯子最短需 13 米.
数学思想: 立体图形
转化 展开
平面图形
【变式题】看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿,小明 灵光乍现,又拿出了长方体形状的牛奶盒,把小蚂蚁放 在了点 A 处,并在点 B 处滴了一滴蜂蜜,你能帮小明 求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路程么?
用勾股定理解决点的 距离及最短路径问题
1. 从电线杆上离地面 5 m 的 C 处向地面拉一条长为 7 m
的钢缆,则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是 ( D )
A. 24 m
B. 12 m C. 74 m
D. 2 6 m
2. 如图,一支铅笔放在圆柱形笔筒中,笔筒的内部底
面直径是 9 cm,内壁高 12 cm,则这只铅笔的长度可
的长方形薄木板能否从门框内通过? 为什么?
分解析::在可Rt以△看AB出C木中板,横根着据,勾竖股着定都理, D C
不A能C2通= A过B,2 +只B能C2斜= 着12过+ 2. 2门=框5,的对角
2m
线ACAC 的5长 2度.2是4 . 斜着能通过的最大长
度因,为只A要C 大AC于的木长板大的于宽木2板.2的m,宽就能 通所过以.木板能从门框内通过.
练一练 如图是一个边长为 1 的正方体硬纸盒,现在
A 处有一只蚂蚁,想沿着正方体的外表面爬到 B 处吃
食物,求蚂蚁爬行的最短路程是多少?
B
B
1
A
A
解:由题意得 AC = 2,BC = 1.
2
C
在 Rt△ABC 中,由勾股定理得
AB2 = AC2 + BC2 = 22+ 12 = 5.
∴ AB = 5,即最短路程为 5 .
方法总结:两点间的距离公式:一般地,设平面上有任
意两点 A x1,y1 ,B x2,y2 ,则AB x2 x1 2 y2 y1 2 .
Hale Waihona Puke 思考 在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结
论:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全
等 (HL).学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?
已知:如图,在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中,∠C =
C
A
解:如图,过点 A 作 AC⊥BC 于点 C.
由题意得 AC = 8 (米),BC = 8 - 2 = 6 (米),
∴ AB AC2 BC2 10(米).
答:小鸟至少飞行 10 米.
5. 如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别 等于 55 cm,10 cm 和 6 cm,A 和 B 是这个台阶的两个 相对的端点,A 点上有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的 食物. 这只蚂蚁爬行的最短路程是多少?A
方向上的点 C 测得 CA = 130 米,CB = 120 米,则 AB
为( A ) A. 50 米 B. 120 米 C. 100 米 D. 130 米 A
130
?
C
120 B
2. 如图,学校教学楼前有一块长为 4 米,宽为 3 米的 长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”, 在草坪内走出了一条“近路”,却踩伤了花草. (1) 求这条“近路”的长; (2) 他们仅仅少走了几步 (假设 2 步为 1 米)?
AB 1m
例2 如图,一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙
AO 上,这时 AO 为 2.4 m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑
0.5 m,那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗?
解:在 Rt△AOB 中,根据勾股定理得
OB2 = AB2 - OA2 = 2.62 - 2.42 = 1,∴ OB = 1.
B
牛奶盒
A 10 cm
8 cm 6 cm
6 B3 10
8 A 10
解:由题意知有三种展开方法, 如图. 由勾股定理得
B1 6B
B2 88
6
AB12 =102 + (6 + 8)2 = 296,
AB22 = 82 + (10 + 6)2 = 320, AB32 = 62 + (10 + 8)2 = 360, ∴ AB1<AB2<AB3. ∴ 小蚂蚁找到蜂蜜的最短 路程为 AB1,长为 2 74 .
∠C′ = 90°,AB = A′B′,AC = A′C′ . A
A′
求证:△ABC≌△A′B′C′.
C B C′ B′
证明:在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中,
∠C =∠C′ = 90°,
根据勾股定理得 BC= AB2 -AC2,
BC AB2 AC2 .
A
A′
AB AB,AC AC,
=
4
+
4
+
7
=
15
(km),牧童
A
在ABRt△1A5′C2 B8中2 ,1由7(k勾m股). 定即理最得短路程是17Ckm. 小屋 B
归纳 求直线同侧的两定点到直线上一动点的距离之和 最小的方法:先作其中一定点关于这条直线的对称点, 连接对称点与另一定点的线段的长就是最小的距离之 和,以此线段为斜边构造直角三角形,再结合勾股定 理就能求出这个最小的距离之和.
解:(1) 在 Rt△ABC 中,根据勾股定理得
A
别踩我,我怕疼!
AB 32 42 5米,
∴ 这条“近路”的长为 5 米.
(2) 他们仅仅少走了
(3 + 4 - 5)×2 = 4 (步).
C
B
利用勾股定理求两点间的距离及验证“HL”
例4 如图,在平面直角坐标系中有两点 A(-3,5),
B(1,2),求 A,B 两点间的距离.