幂函数经典例题(答案)

幂函数的概念
例1、以下结论中，正确的选项是( )
A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，1
2
时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，应选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，应选项B不正确；而当α＝－1时，y ＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C
例2、幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1
5
(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函
数，XX数t的值．
分析关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p
q(|p|、|q|互质)，
当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p
q是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝x
p
q的奇
偶性与p的值相对应．
解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，
∴t＝－1,1或0.
当t＝0时，f(x)＝x 7
5
是奇函数；
当t＝－1时，f(x)＝x 2
5
是偶函数；
当t＝1时，f(x)＝x 8
5
是偶函数，且
2
5
和
8
5
都大于0，
在(0，＋∞)上为增函数．
故t＝1且f(x)＝x 8
5
或t＝－1且f(x)＝x
2
5
.
点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．
例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，那么( )
A ．-1<n<0<m<1
B ．n <－1,0<m <1
C ．－1<n <0，m >1
D ．n <－1，m >1
解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，那么“点低指数大〞．如图，0<m <1，n <－1.
答案 B
点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．
例4、x 2
>x 1
3，求x 的取值X 围．
错解 由于x 2
≥0，x 1
3∈R ，那么由x 2
>x 1
3
，可得x ∈R .
错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况以下图象的分布．
正解
作出函数y=x2和y=3
1
x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.
例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．
分析 解答此题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确
定m .
解 根据幂函数定义得
m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，
当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；
当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．
变式y ＝(m 2
＋2m －2)x 1m 2－1
＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．
解
由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2＋2m －2＝1
m 2
－1≠0
2n －3＝0
，
解得⎩⎨⎧
m ＝－3
n ＝3
2
，
所以m ＝－3，n ＝3
2
.
例6、比拟以下各组中两个数的大小： 〔1〕5
35.1，5
37.1；〔2〕0.71.5，0.61.5
；〔3〕3
2)
2.1(－
－，3
2)
25.1(－
－．
解析：〔1〕考察幂函数y ＝5
3
x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴5
35.1＜5
37.1，
〔2〕考察幂函数y ＝2
3x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． 〔3〕先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵3
2)
2.1(－
－＝3
22
.1－
，3
2)
25.1(－
－＝3
225
.1－
，又3
22
.1－
＞3
225
.1－
， ∴3
2
)
2.1(－
－＞
3
2
25
.1－．
点评：比拟幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
〔1〕假设能化为同指数，那么用幂函数的单调性； 〔2〕假设能化为同底数，那么用指数函数的单调性；
〔3〕假设既不能化为同指数，也不能化为同底数，那么需寻找一个恰当的数作为桥梁来比拟大小．
例7、比拟以下各组数的大小
(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫197
8
.
分析 比拟大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用
0与1去比拟，这种方法叫“搭桥〞法．
解 (1)函数y ＝x －5
2
在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以3－52>3.1－5
2
.
(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪
⎫
197
8
， 从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫197
8
.
点评 比拟大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善
于运用“搭桥〞法进展分组，常数0和1是常用的参数．
变式 比拟以下各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23
； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23
.
解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23
，
∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π
6，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2
3
.
(2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)3
5<0，
所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25
.
例8、 幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m
3
的a 的X 围．
解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，∴m ＝1,2.
又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，
∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－1
3
.
又∵y ＝x －1
3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，
解得23<a <3
2
或a <－1.
点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函
数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．
变式 幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．
解 由，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，
当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．
当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．
练习
一、选择题 1．以下命题：
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限； ③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；
⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的选项是( )
A ．①和④
B ．④和⑤
C ．②和③
D ．②和⑤ 答案 D
2．以下函数中，不是幂函数的是( )
A ．y ＝2x
B ．y ＝x －1
C ．y ＝x
D ．y ＝x 2 答案 A
3．设α∈
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
－2，－1，－12，13，12，1，2，3，那么使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 A
4．当x ∈(1，＋∞)时，以下函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )
A ．y ＝x 1
2
B ．y ＝x －2
C ．y ＝x 2
D ．y ＝x －1
答案 B
5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，那么m 的取值是( )
A ．－1≤m ≤2 B．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2 D ．m ＝1 答案 B
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－3m ＋3＝1
m 2－m －2≤0
∴m ＝1或m ＝2.
6．在函数y ＝1
x
2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )
A ．1
B ．0
C ．2
D ．3 答案 C
解析 依据幂函数的定义判定，应选C.
7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
4，12，那么f (8)的值为( )
A ．26
B ．64 C.24D.1
64
答案 C
解析 设f (x )＝x α
(α为常数)，将⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x －
12，∴f (8)＝8－12＝24
. 8．以下函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( )
A ．y ＝2x
B ．y ＝x 2
C ．y ＝x －2
D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B
解析 根据函数图象，选B. 二、填空题
1．假设幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
9，13，那么f (25)＝_____________.
答案 1
5
解析 设f (x )＝x α
，那么9α
＝13，α＝－1
2
.
∴f (25)＝25－12＝1
5
.
2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，那么函数y ＝x α的值域是______________．
答案 [0，＋∞)
解析 由4＝8α
，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.
3. 如下图是幂函数y=x α在第一象限内的图象，α取±2，± 四个值，那么
相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为.
答案 2，12，－1
2
，－2
4．假设幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，那么f (25)的值是________．
答案 5
解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，
∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝251
2
＝5.
5．幂函数y ＝x α (α∈R )的图象一定不经过第________象限．
答案 四
6．把以下各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫322
3
，按由小到大的排列顺序为
__________________．
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<22
3
.
7．幂函数f (x )＝x －1
2，假设f (a ＋1)<f (10－2a )，那么a 的取值X 围是________．
答案 3<a <5
解析 f (x )＝x －12＝1
x (x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋
1)<f (10－2a )，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1>0，
10－2a >0，a ＋1>10－2a .
得⎩⎪⎨⎪⎧
a >－1，a <5，a >3.
∴3<a <5.
三、解答题
1．求函数y ＝52x ＋2x 5
1＋4〔x ≥－32〕值域．
解析：设t ＝x 5
1，∵x ≥－32，∴t ≥－2，那么y ＝t 2＋2t ＋4＝〔t ＋1〕2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．
∴函数y ＝5
2
x ＋2x 5
1＋4〔x ≥－32〕的值域为［3，＋∞〕． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
2．f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比
例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
解 (1)假设f (x )为正比例函数，那么
⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)假设f (x )为反比例函数，那么
⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)假设f (x )为二次函数，那么
⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.
(4)假设f (x )为幂函数，那么m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。

3．点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝
⎛
⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问
当x 为何值时，
(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．
解 设f (x )＝x α，由题意得：2＝(2)2⇒α＝2， ∴f (x )＝x 2.
同理可求：g(x)=x-2，在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如下图． 由图象可知：
(1)当x>1或x<-1时， f(x)>g(x)．
(2)当x=±1时，f(x)=g(x)．
(3)当-1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．
4．函数y ＝(a 2－3a ＋2)xa 2－5a ＋5 (a 为常数)． (1)a 为何值时此函数为幂函数？ (2)a 为何值时此函数为正比例函数？ (3)a 为何值时此函数为反比例函数？
解 (1)由题意，得a 2－3a ＋2＝1， 即a 2－3a ＋1＝0.
解得a ＝3±52，即a ＝3±5
2
时，此函数为幂函数；
(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
－5a ＋5＝1，
a 2－3a ＋2≠0.
解得a ＝4，即a ＝4时，此函数为正比例函数；
(3)由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－5a ＋5＝－1，
a 2－3a ＋2≠0.
解得a ＝3，即a ＝3时，此函数为反比例函数．
5．函数y＝42
－．
x－
15x
2
〔1〕求函数的定义域、值域；
〔2〕判断函数的奇偶性；
〔3〕求函数的单调区间．
解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，那么y＝4t，〔1〕由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，
∴t＝16－〔x－1〕2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．
〔2〕∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
〔3〕∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，
∴x∈［－5，1］时，t随x的增大而增大；x∈〔1，3〕时，t随x的增大而减小．又∵函数y＝4t在t∈［0，16］时，y随t的增大而增大，
∴函数y＝42
－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为〔1，3］．
x－
2
15x
答案：〔1〕定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；
〔2〕函数即不是奇函数，也不是偶函数；。