高三数学一轮复习【立体几何】练习题

高三数学一轮复习【立体几何】练习题
1.空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，则下列说法正确的有()
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b
C.若a∥γ，b∥γ，则a∥b
D.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
答案AB
解析根据空间平行直线的传递性可知A正确；由直线与平面垂直的性质定理知B正确；若a∥γ，b∥γ，则a，b可能平行、相交或异面，故C错误；若a⊥b，b⊥c，则a，c可能相交、平行或异面，故D错误.
2.对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项正确的为()
A.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
B.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥n
C.若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β
D.若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α
答案ACD
解析对A，令m，n分别为直线m，n的方向向量，因为m⊥α，n⊥β，所以
m⊥α，n⊥β，又α⊥β，所以m⊥n，即m⊥n，所以选项A正确；
对B，如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，令平面ABCD为平面α，平面
ABB1A1为平面β，直线A1C1为m，直线C1D为n，满足α⊥β，m∥α，n∥β，但
m与n既不平行也不垂直，所以选项B错误；
对C，若m⊄β，过m作一平面γ分别与平面α和平面β相交，且交线分别为a，
b，则m∥a，a∥b，所以m∥b，所以m∥β；若m⊂β，符合题意，所以选项C 正确；
对D，若n⊂α，符合题意；若n⊄α，过直线n作一平面β与平面α相交，设交线为b，因为b⊂α，m⊥α，所以m⊥b，又m⊥n，且n，b在同一平面内，所以n∥b，所以n∥α，所以选项D正确.
综上，选ACD.
3.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()
A.AE∥CD
B.CH∥BE
C.DG⊥BH
D.BG⊥DE
答案BCD
解析由正方体的平面展开图还原正方体如图，连接AH，DE，BG，BH，DG，HC.
由图形可知，AE⊥CD，故A错误；
因为HE∥BC，HE＝BC，所以四边形BCHE为平行四边形，所以CH∥BE，故B正确；
因为DG⊥HC，DG⊥BC，HC∩BC＝C，HC，BC⊂平面BHC，所以DG⊥平面BHC，又BH⊂平面BHC，所以DG⊥BH，故C正确；
因为BG∥AH，而DE⊥AH，所以BG⊥DE，故D正确.故选BCD.
4.用一个平面截正方体，所得的截面不可能是()
A.锐角三角形
B.直角梯形
C.有一个内角为75°的菱形
D.正五边形
答案BCD
解析对于A，如图1，截面的形状可能是正三角形，故A可能；
图1图2
对于B，首先考虑平面截正方体得到的截面为梯形，且QR与AA1不平行，如图2所示，不妨假设PQ⊥QR，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，PQ⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥PQ，从而有PQ⊥平面A1ABB1，这是不可能的，故B不可能；
对于C，当平面截正方体得到的截面为菱形(非正方形)时，只有如下情形，如图3，其中P，R为所在棱的中点，易知当菱形为PBRD1时，菱形中的锐角取得最小值，即∠PD1R最小.设正方体的棱长为2，则PD1＝RD1＝5，PR＝22，则
由余弦定理，得cos∠PD1R＝PD21＋RD21－PR2
2PD1·RD1
＝
5＋5－8
2×5×5
＝1
5<
6－2
4
＝
cos 75°，所以∠PD1R>75°，故C不可能；
图3
对于D，假设截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根
据面面平行的性质可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故D不可能.
综上所述，选BCD.
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为AA1的中点，平面α过点D1且与CM垂直，则()
A.CM⊥BD
B.BD∥平面α
C.平面C1BD∥平面α
D.平面α截正方体所得的截面图形的面积为9 2
答案ABD
解析如图，连接AC，则BD⊥AC.因为BD⊥AM，AM∩AC＝A，AM，AC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC，又CM⊂平面AMC，所以BD⊥CM，故A正确；取AD的中点E，连接D1E，DM，由平面几何知识可得D1E⊥DM，又CD⊥D1E，DM∩CD＝D，DM，CD⊂平面CDM，所以D1E⊥平面CDM，又CM⊂平面CDM，所以D1E⊥CM.连接B1D1，过点E作EF∥BD，交AB于F，连接B1F，所以CM⊥EF，又D1E∩EF＝E，D1E，EF⊂平面D1EFB1，所以CM⊥平面D1EFB1，所以平面α截正方体所得的截面图形即梯形D1EFB1.
由EF∥BD，BD⊄平面α，EF⊂平面α，得BD∥平面α，故B正确；
连接AB1，AD1，易知平面AB1D1∥平面C1BD，而平面AB1D1∩平面α＝B1D1，所以平面C1BD与平面α不平行，故C不正确；
截面图形为等腰梯形D1EFB1，EF＝2，B1D1＝22，D1E＝B1F＝5，所以截
面图形的面积S＝1
2×(2＋22)×（5）2－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
22－2
2
2
＝9
2
，故D正确.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点，则()
A.CM与PN是异面直线
B.CM>PN
C.平面PAN⊥平面BDD1B1
D.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
答案BCD
解析对于选项A，如图，连接NC，PC，则A，N，C三点共线.又M为AP的中点，N为AC的中点，所以CM与PN共面，故A错误；
对于选项B，因为P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，所以AC>AP.在
△MAC中，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AM cos∠MAC＝AC2＋1
4AP
2－
AC·AP·cos∠MAC.在△PAN中，PN2＝AP2＋AN2－2AP·AN cos∠PAN＝AP2＋1 4
AC 2－AP ·AC cos ∠PAN ，则CM 2－PN 2＝3
4(AC 2－AP 2)>0，所以CM >PN ，故B 正确；
对于选项C ，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，易知AC ⊥平面BDD 1B 1，即AN ⊥平面BDD 1B 1，又AN ⊂平面PAN ，所以平面PAN ⊥平面BDD 1B 1，故C 正确； 对于选项D ，连接A 1C 1，在平面A 1B 1C 1D 1内作PK ∥A 1C 1，交C 1D 1于K ，连接KC .在正方体中，A 1C 1∥AC ，所以PK ∥AC ，PK ，AC 共面，所以四边形PKCA 就是过P ，A ，C 三点的正方体的截面，AA 1＝CC 1，A 1P ＝C 1K ，所以AP ＝CK ，即梯形PKCA 为等腰梯形，故D 正确.故选BCD.
7.如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是( )
A.直线PB 1∥平面BC 1D
B.三棱锥P-BC 1D 的体积为13
C.三棱锥D 1-BC 1D 外接球的表面积为3π
2
D.直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最大值为5
3 答案 ABD
解析 对于A 选项，连接B 1D 1，AB 1，根据正四棱柱的性质可知AD 1∥BC 1，BD ∥B 1D 1，因为BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1，同理得BD ∥平面AB 1D 1，又BC 1∩BD ＝B ，所以平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，又
PB 1⊂平面AB 1D 1，所以PB 1∥平面BC 1D ，所以A 选项正确；
对于B 选项，易知AD 1∥平面BC 1D ，所以V P-BC 1D ＝V A-BC 1D ＝V C 1-ABD ＝13×1
2×1×1×2＝1
3，所以B 选项正确；
对于C 选项，三棱锥D 1-BC 1D 的外接球即正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球.设外接球的半径为R ，则4R 2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积为4πR 2＝6π，所以C 选项错误；
对于D 选项，过P 作PE ∥AB ，交BC 1于点E ，则PE ⊥平面BCC 1B 1，连接B 1E ，则∠PB 1E 即直线PB 1与平面BCC 1B 1所成的角，当B 1E 最小时，∠PB 1E 最大，此时B 1E ⊥BC 1，由等面积法得S △BB 1C 1＝12BC 1·B 1E ＝1
2BB 1·B 1C 1，解得B 1E ＝2
5
，在Rt △PB 1E 中，PE ＝AB ＝1，所以PB 1＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252
＝35
，所以∠PB 1E 的正弦值的最大值为PE PB 1＝5
3，所以D 选项正确.
故选ABD.
8.如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则( )
A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面的面积为9 2
D.点A1和点D到平面AEF的距离相等
答案BCD
解析对于选项A，假设AF与D1D垂直，又D1D⊥AE，AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以D1D⊥平面AEF.因为EF⊂平面AEF，所以D1D⊥EF，这显然是错误的，所以假设不成立，故A错误；
图1
对于选项B，取B1C1的中点N，连接A1N，GN，如图1所示，易知A1N∥AE，又AE⊂平面AEF，A1N⊄平面AEF，所以A1N∥平面AEF.因为GN∥EF，EF⊂平面AEF，GN⊄平面AEF，所以GN∥平面AEF.又A1N，GN⊂平面A1GN，A1N∩GN＝N，所以平面A1GN∥平面AEF.
因为A1G⊂平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，
故B正确；
对于选项C，连接AD1，FD1，如图2所示，因为AD1∥EF，所以四边形AD1FE 为平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，又AD1＝22＋22＝22，
图2
EF ＝
12＋12＝2，
D 1F ＝A
E ＝
12＋22＝5，
所以四边形AD 1FE 为等腰梯形， 高为
（5）2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝32
2，
则S 梯形AD 1FE ＝12×(2＋22)×322＝9
2，故C 正确；
对于选项D ，连接A 1D ，如图2所示，由选项C 可知A 1D 与平面AEF 相交且交点为A 1D 的中点，所以点A 1和点D 到平面AEF 的距离相等，故D 正确.综上，选BCD.
9.已知棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且总满足MP ⊥MC ，则下列结论中正确的是( ) A.点P 的轨迹中包含AA 1的中点
B.点P 在侧面AA 1D 1D 内的轨迹的长为5a
4 C.MP 长度的最大值为21a
4
D.直线CC 1与直线MP 所成角的余弦值的最大值为5
5 答案 BCD
解析 如图，取A 1D 1的中点E ，分别取A 1A ，B 1B 上靠近A 1，B 1的四等分点F ，G ，连接EM ，EF ，FG ，MG ，易知EM ∥FG 且EM ＝FG ，所以E ，M ，F ，G 四
点共面.
连接GC ，因为MG 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＝5a 2
16，MC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＝5a 24，GC 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a 42＋a 2
＝25a 2
16，因此MG 2＋MC 2＝GC 2，所以MG ⊥MC ，易知ME ⊥MC ，又MG ∩ME ＝M ，MG ，ME ⊂平面MEFG ，所以MC ⊥平面MEFG ，即点P 的轨迹为四边形MEFG (不含点M )，易知点P 在侧面AA 1D 1D 内的轨迹为EF ，且EF ＝MG ＝5a
4，所以A 选项错误，B 选项正确；根据点P 的轨迹可知，当P 与F 重合时，MP 最长，易知FG ⊥平面BB 1C 1C ，则FG ⊥MG ，连接MF ，所以MF ＝a 2
＋5a 216＝21a
4，故C 选项正确；
由于点P 的轨迹为四边形MEFG (不含点M )，所以直线CC 1与直线MP 所成的最小角就是直线CC 1与平面MEFG 所成的角，又向量CC 1→与平面MEFG 的法向量
CM →的夹角等于∠C 1CM ，且sin ∠C 1CM ＝a
25a 2＝55，所以直线CC 1
与平面MEFG 所成角的余弦值为5
5，即直线CC 1与直线MP 所成角的余弦值的最大值等于5
5，故D 选项正确.
10.如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，M 为AA 1的中点，过B 1M 作长方体的截面α交棱CC 1于N ，则( )
A.截面α可能为六边形
B.存在点N，使得BN⊥截面α
C.若截面α为平行四边形，则1≤CN≤2
D.当N与C重合时，截面图形的面积为36 4
答案CD
解析设N0为棱CC1的中点，当N从C1移动到C时，其过程中存在以下几种情况，如图1，
当点N在线段C1N0上时，截面α为平行四边形；当点N在线段N0C上(不包括点N0，C)时，截面α为五边形；当点N与点C重合时，截面α为梯形.
图1图2
由以上分析可知，对于A，截面α不可能为六边形，所以A错误；
对于B，假设BN⊥截面α，因为B1M⊂α，所以BN⊥B1M，所以必有点N，C重合，而BC与平面B1CQM不垂直，所以B错误；
对于C，当截面α为平行四边形时，点N在线段C1N0上，则1≤CN≤2，所以C 正确；
对于D，当点N与点C重合时，截面α为梯形，如图2，过M作MM′⊥B1C，垂足为M′.设梯形的高为h，B1M′＝x，则在Rt△B1MM′中，由勾股定理，得
h2＝(2)2－x2，①
同理h 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2，② 由①②，解得x ＝255，h ＝6
5，
所以截面α的面积等于12×⎝
⎛⎭⎪⎫5＋52·h ＝12×352×65＝364，所以D 正确. 综上可知，选CD.。