理论力学(机械工业出版社)第六章刚体的基本运动习题解答重点讲义资料
理论力学6—刚体的基本运动
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
理论力学(机械工业出版社)第六章刚体的基本运动习题解答
习 题6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC ，尺寸如图6-16所示。
图示瞬时，曲柄O 1A 的角速度为rad/s 5=ω，角加速度为2rad/s 2=α,试求三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。
图6-16m/s 5.051.01=⨯===ωA O v v D C2221n n m/s 5.251.0=⨯===ωA O a a D C 21ττm/s 2.021.0=⨯===αA O a a D C6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC 上有一圆弧形轨道，其半径R =100mm ，圆心O 1在导杆BC 上。
曲柄长OA =100mm ，以等角速度rad/s 4=ω绕O 轴转动。
设t =0时，0=ϕ，求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角︒=30ϕ时，导杆BC 的速度和加速度。
图6-17m 4cos 2.04cos 1.02cos 2cos 21t t t R OA x O =⨯⨯===ωϕ m/s 4sin 8.01t xO -= ︒=30ϕ时 m/s 4.01-=O x 21m/s 4cos 2.3t x O -= 21m/s 36.1-=O xm /s 4.0=v 22m/s 771.2m/s 36.1==a6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为2ωαc b --=,式中b 、c 均是常数。
设运动开始时飞轮的角速度为0ω，问经过多长时间飞轮停止转动？2ωαc b --= t c b d d 2-=+ωω ⎰⎰-=+t t c b 002d d 0ωωωt bc bc-=00|)arctan(1ωω )arctan(10ωb cbct =6-4 物体绕定轴转动的转动方程为334t t -=ϕ。
试求物体内与转轴相距R =0.5m 的一点，在t =0及t =1s 时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。
234t t -=ϕ 294t -=ϕt 18-=ϕ t =0时4=ϕ0=ϕ m/s 245.0=⨯==ωR v 222n m /s 845.0=⨯==ωR a 0τ==αR a2n m/s 8==a a t =1s 时5-=ϕ18-=ϕ m/s 5.255.0=⨯==ωR v222n m /s 5.12)5(5.0=-⨯==ωR a 2τm/s 9)18(5.0-=-⨯==αR a2m/s 4.15=a什么时刻改变其转向0942=-=t ϕs 32=t6-5 电机转子的角加速度与时间t 成正比，当t =0时，初角速度等于零。
理论力学第六章——刚体的简单运动
O2 r2
于是可得
r1 r1 2 1 , 2 1 r2 r2
即
1 1 r2 2 2 r1
例6-2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 j t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的 速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加 速度。 a M v an 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
O
R
dj 2t 4 dt
求当t=1s时，则为
2 2 rad / s 2rad / s
2 2 2
d 2j 2 2 dt
A
因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
v R 0.4m / s a R 0.4m / s an R 0.8m / s
方向如图所示。
M点的全加速度及其偏角为
2 a a2 an (0.4) 2 (0.8) 2 0.894 m / s 2
arctg 2 arctg0.5 2634
如图。
a M a an R O
现在求物体A的速度和加速度。因为
s A sM
•角速度与转速之间的关系：
dj dj 大小： dt dt 方向：逆时针为正
2n n 60 30
角加速度
d d 2j j 2 dt dt
d 0 dt
匀速转动
j j0 t
0 t
匀变速转动
d cont dt
上式两边求一阶及二阶导数，则得
A
vA vM
第六章《理论力学》课件
a
a2 t
an 2
R
2 4
tan at an 2
§6-４ 轮系的传动比
1. 齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线 沿轴线 滑动矢量
指向 右手螺旋定则
r
r
k
角加速度矢量
r
dr
d
r k
r
k
dt dt
2.绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度 v r 大小 rsin R v
方向 右手定则
加速度
ar dvr d r rr
ddtr
dt
rr
r dvB dt
r dvA dt
r aA
§6-2 刚体绕定轴的转动
1.定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚 体绕定轴转动，简称刚体的转动。
转轴 ：两点连线
转角： 单位:弧度(rad)
2.运动方程
f t
3.角速度和角加速度
角速度
d
dt
大小：ddt
方向：逆时针为正
角加速度
d
dt
d2
dt 2
& &&
匀速转动 匀变速转动
d 0
dt
0 t
d cont
dt
理论力学第六章习题答案
解 y x
a
A 动系圆环
a a = a rn + a en + a k
a ay = −rω 2 − 3rω 2 − 2rω 2 = −6rω 2 a ax = 0
B 动系圆环
a a = a rn + aen + a k
y x b y x
e a ay = −a n ( 2 / 5 ) = − 2 rω 2
o
曲柄长 OA = r
并以匀角速度 ω 绕 O 轴转动
o
装在水平
杆上的滑槽 DE 与水平线成 60 角 杆 BC 的速度
试求当曲柄与水平轴的交角分别为 ϕ = 0
30o 时
解
以 A 为动点
以 BC 杆为动系 有
va = ve + vr
在 ϕ = 0° 时 矢量右如图
υ BC = v e =
3 3 va = ωr 3 3
a a = a an + a at = a e + a rt + a rn + a c
式中各矢量如图 把各矢量分别向 x 方向和 y 方向投影得:
a an cos 60° + a at cos 30° = − a e cos 30° − a r cos 30° + a c cos 60° − a rn cos 60° a at sin 30° − a an sin 60° = − a e sin 30° + a rt sin 30° + a c sin 60° − a rn sin 60°
齿 条 又 带 动 半 径 为 0.1m 的 齿 轮 D 绕 固 定 轴 O1 转 动
ω = 5rad/s
理论力学第六章 刚体的运动
第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
6.2.2 角速度
角速度是反映刚体转动快慢的物理量。设在瞬t刚体的转角为， 经时间间隔 t，转角变为 + ， 称为角位移。 / t *称 为刚体在t 时间间隔内的平均角速度，当t 趋于零时，即得刚体在 t瞬时的角速度为 d * lim lim
第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
6.2.3 角加速度
角加速度是反映刚体转动时角速度变化快慢的物理量。设在瞬时t 刚体的角速度为，经时间间隔t ，角速度改变了 ， /t*称 为刚体在t时间间隔内的平均角加速度，当t 趋于零时，即得刚体 在t瞬时的角加速度为 d d 2 lim * lim 2
上两式表明，在任一瞬时A、B两点的速度相同，加速度也相同。 由于A、B两点是平移刚体上的任意两点，故可得结论：刚体平 移时其上各点的轨迹形状完全相同且互相平行，在同一瞬时各点的 速度和加速度都相同。 根据上述结论，刚体的平移可以用刚体内任意一点的运动来代 替。这样，刚体的平移问题就归结为上一章中已经研究过的点的运 动问题。 目录
目录
第六章 刚体的运动\刚体的平行移动
下面研究刚体平移时其上各点的轨迹、速度和加速度之间的关 系。 z A1 A2 A3 在平移刚体上任选一条直线AB，其 A 上A、B两点的轨迹及AB在不同瞬时t1、t2、 B1 B2 B3 B t3…的位置A1B1、A2B2,、A3B3、…如图所 O 示。由刚体及刚体平移的定义知，这些 y 线段都彼此平行且等长, 故四边形 x A1B1B2A2、 A2B2B3A3、…均为平行四边形 。显然，将折线A1A2A3… 沿AB方向移动AB一段距离后，便可与折线B1B2B3…逐点重合。当t1、 t2、t3、…无限接近时，折线A1A2A3…的极限就是A点的轨迹，而折 线B1B2B3…的极限就是B点的轨迹。由此可知，平移刚体上任意两 点的 的形状都相同，且彼此平行。
理论力学第六章
υ
思考题 试计算杆端A点和C点的 速度、加速度，并画出其 方向。
O
a an
C
A
b
B
l
l
例题 3
已知：h;0
y
A
初瞬时杆OA竖直。求：OA杆的 转动方程、角速度和角加速度。
O
h
0
x
解：建立图示坐标系
x
x 0t tan h h
0 t arctan( ) h
h0 d 2 22 dt h 0 t
BA
B
A
A
B A BA
B A cot 30
2 3 m / s 3.464 m s
BA A / sin 30 4 m /s
BA AB 2 rad/s AB
例 题 7 已知： AB=l=2 m;
A=2m/s 求：（1）杆端 B 的速度 B （2）AB 杆角速度 AB
上式中6个量中，应已知4个，此 两投影式只能求解2个未知量。
O
A x
平面图形上任意一点的速度，等于基点的速度与该点随图形 绕基点转动速度的矢量和。
例 题 7 已知： AB=l=2 m;
A=2 m/s 求：（1）杆端 B 的速度 B （2）AB 杆角速度 AB
解：取A点为基点
B
A
AB
30°
★ 刚体平面运动分解 为平动和转动
★ 平动和转动与
基点之间的关系
平动的轨迹、速度与加速度都与基点的位置有关。
★ 刚体平面运动分解 为平移和转动
★ 平动和转动与
基点之间的关系
平动的轨迹、速度与加速度都与基点的位置有关。
★ 刚体平面运动分解 为平动和转动
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：Rv R v A A ==ωRv R v B B 22==ωBA ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。
试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。
解：杆BC 的瞬心在点P ，滚子O 的瞬心在点DBD v B ⋅=ωBPBD BPv B BC ⋅==ωω︒︒⨯=30sin 27030cos 36012 rad/s 8=PC v BC C ⋅=ωm/s 87.130cos 27.08=︒⨯=6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
hv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===ωω习题6-5图OO 1ABCOO 1ABCD习题6-3解图习题6-3图v Av B ωωCBOϕθ ωCBO ϕθω vv B PD习题6-4图习题6-4解图ωB习题6-6图习题6-6解图l ϕυl2BO 1ωABAυB υO1O ABωω解：图（a ）中平面运动的瞬心在点O ，杆BC 的瞬心在点C 。
图（b ）中平面运动的杆BC 的瞬心在点P ，杆AD 做瞬时平移。
6－6 图示的四连杆机械OABO 1中，OA = O 1B =21AB ，曲柄OA 的角速度ω= 3rad/s 。
试求当示。
ϕ= 90°而曲柄O 1B 重合于OO 1的延长线上时，杆AB 和曲柄O 1B 的角速度。
解：杆AB 的瞬心在O 3===ωωOAvAABrad/s ωl v B3=2.531===ωωl v BBO rad/s6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A 有向右的速度v A = 0.8m/s ，试求卷轴中心O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？解：如图333.16.08.03.09.0==-=AOv ωrad/s 2.1689.09.0=⨯==OOv ωm/s 卷轴向右滚动。
理论力学第六章_刚体基本运动
刚体的平动 刚体绕定轴转动
刚体平动
1．定义 如果在物体内任取一直线，
在运动过程中这条直线始终 与它的初始位置平行，这种 运动称为平行移动。（直线 平动和曲线平动）
2.平动刚体的运动特点
rA rB BA 求导 vA vB aA aB
结 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一 论 瞬间，各点的速度相同，加速度也相同。
速n1=1450 r/min,试求从动轮IV的转速n4。
解：
n2 n3
V
i12
n1 n2
z2 z1
n
i34
n3 n4
z4 z3
n1n3 z2 z4 n2n4 z1 z3
i14
n1 n4
z2 z4 z1 z3
12.4
n4
n1 i14
117 r / min
2、皮带轮传动
例：荡索木的用摆两动条 规等律长为的 钢 索0 s平in 行4 t吊起。，试钢求
当t=0和t=2s时，荡木中点M的速度和 加速度。
o1
l
A
o
o2
l
M
B
解：AB平动，M点速度、加 o1
速度同A点。
0
s
in
4
t
SA
0l
sin
4
t
l
A
o
vA
ds dt
4
l0
cos
4
t
a
dv dt
ห้องสมุดไป่ตู้
2
16
l
0
sin
4
t
vB
o2
2
R2
vA
1 A R1 o1
理论力学第6章汇总
齿轮做定轴转动
送料机的杆
运动方程
转角：
单位:弧度(rad)
代数量：逆时针“ + ”， 顺时针动的运动方程 具有一个自由度
角速度和角加速度
d 角速度： ω dt
单位：rad/s
角速度表征刚体转动的快慢和方向
代数量：刚体逆时针转动时为正
d d 2 角加速度： 2 单位：rad/s2 dt dt
例6-1 已知：刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O, 角速度矢为 5sin πt i 5cos πt j 5 3k 。 2 2 求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及 加速度矢。 解：
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转 2 t 4t ，单位为弧度。求 动方程 t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速 度。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s 时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
两轮的角速度与其半径成反比
[例]下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿 数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减 速箱的总传动比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3。
解：求传动比： 则有：
§ 6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
角速度矢量和角加速度矢量 角速度矢量
大小：
d dt
作用线：沿轴线滑动矢量 指向：右手螺旋定则
k
角加速度矢量
d d k k dt dt
1.角速度矢量和角加速度 矢量均为滑动矢量。 2.当二者方向相同时，刚 体越转越快；当二者方向 相反时，刚体越转越慢。
理论力学刚体的简单运动课件
vMr0.36 m s－ 1
理论力学 刚体的简单运动
vM at
aM M
O an
αω
加速度的两个分量
at r0.36m s－ 2
a nr2 0 .64m 8 s－ 2
总加速度 aM 的大小和方向
aMat2an20.74m 1 s－ 2
A
tan2 0.55,6
29
理论力学 刚体的简单运动
vM at
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aN
vN aM
v 理论力学 刚体的简单运动 M
思考2：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aMt
aMn
vM
理论力学 刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
例 题 6- 1
O1 l A
O
（+）
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索
长为长l，度单位为m。当荡
O2
木摆动时钢索的摆动规律
M
l B
为
0
s inπ 4
t，其中
t
为
时间，单位为s；转角φ0的单
位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
荡木的中点M的速度和加速
度。
理论力学 刚体的简单运动
O1 φl
2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度 v r 大 方 小 向 右 手 r法 si则 n R v
加速度 advdr
dt dt
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
第六章 刚体的基本运动 习题全解[习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=ϕ（ϕ以rad 计，t 以s 计）。
试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解：角速度： 2394)34(t t t dt ddt d -=-==ϕω 角加速度：t t dtddt d 18)94(2-=-==ωα速度： )94(2t r r v -==ω)/(2)094(5.0|20s m r v t =⨯-⨯===ω)/(5.2)194(5.0|21s m v t -=⨯-⨯==切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα法向加速度：22222)94()]94([t r rt r v a n -=-==ρ 加速度： 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+=)/(8165.0)094(0324|24220s m r a t =⨯=⨯-+⨯== )/(405.1581.305.0)194(1324|24221s m r a t =⨯=⨯-+⨯== 物体改变方向时，速度等于零。
即：0)94(2=-=t r v )(667.0)(32s s t ==[习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。
后因刹车，该点以)/(1.02s m t a t =作减速运动。
设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。
解：t dtd a t 1.04.022-===ϕρα （作减速运动，角加速度为负）t dt d 25.022-=ϕ12125.0C t dtd +-=ϕ2130417.0C t C t ++-=ϕ12124.005.0)125.0(4.0C t C t dtd R v +-=+-⨯==ϕ104.0005.0|120=+⨯-==C v t图题46-251=C0000417.0|2130=+⨯+⨯-==C C t ϕ 02=C ，故运动方程为： t t 250417.03+=ϕt t t t R s 100167.0)250417.0(4.033+-=+-==ϕ速度方程：1005.02+-=t v)/(8.910205.0|22s m v t =+⨯-== 切向加速度：)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=⨯-=-== 法向加速度：222)25125.0(4.0+-⨯==t a n ρω)/(1.240)252125.0(4.0|2222s m a t n =+⨯-⨯==[习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。
理论力学-刚体的基本运动
r2 r1
z2 z1
主动轮 从动轮
显然当：| i1,2 | 1 时，w2 w1 ，为升速转动； | i1,2 | 1 时，w2 w1 ，为降速转动。
21
二.皮带轮系传动
vA vB (而不是vA vB 方向不同 )
w ArA wBrB 皮带传动
i
AB
w w
A B
rB rA
三.链轮系
设有： A、B、C、D、E、F、 G、H 为轮系，则总传动比为：
30
a
v12 v0 2 2s
1600 625 9 2 200
0.27 m/s 2
v0
30 1000 3600
25 m/s, 3
v1
48 1000 3600
40 m/s 3
列车走上曲线时，
a 0.27 m/s 2 , an0 全加速度
v0 2 R
(25 / 3)2 300
0.23 m/s 2
解：由
x v0 c ost
①
y v0sin
t 1 gt2 2
②
v
y
dy dt
v0
sin
gt
由于在A点时，vy=0，所以上升到最大高度 A点时所用时
间为：
t
v0
s in
g
32
将上式代入①和②，得：
x
A
v02
sin2
2g
,
y
A
v02
sin 2g
2
③
yA xA
1.5 5
v02 sin2
2g
v02 sin 2
dt dt dt
dt
a ε r ω v
v ωr a ε r
理论力学_第06章_刚体的平面运动分析_4 (NXPowerLite)
vB= vA+ vBA
x´ 其中， B点相对速度(定轴转动线速度)：
(B点绕A点 作定轴转动)
vBA = ω ×rB
任意点的速度 = 基点绝对速度 + B点相对速度 (矢量和)
速度分析： 速度投影法
速度投影定理法：
用速度投影定理分析平面 图形上点的速度的方法
vBA vB
B
rAB B vA A A vA
定轴转动
曲柄滑块机构
直线平移
刚体平面运动的模型简化
刚体平面运动： 刚体上处于同一平面内的各点到固定平面的
距离保持不变 运动轨迹在各平面内
S2面内：
S和A点到S1面的距离相同，S点相对A 点转动或静止（两点间距固定，不可
能相对平动；二者可同时平动）；
面内各点运动可由SA直线的运动代表
A1A2线上：
yP
r2 (l-l1) l
sin ωt
平面运动分解（平移+转动）
在t内，平面图形由位置I运动到Ⅱ， 线段从AB运动到A´B´
A点处地安放平移坐标系，其原点A称为基 点。
由平面运动方程可见: A点固定不动，刚体作定轴转动 线段AB方位不变（=常数），刚体作平移
平面运动分解为随基点A的平移（牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）
B 速度分析： 瞬时速度中心法
rAB B A A vA
vA
vB= vA+ vBA vBA = ω ×rB
瞬时速度中心的概念
只有vA和vBA共线时, 合速度才可能为0
y’ vCA
P
C
S
vA
0 A
vA
过A点作vA的垂直线PA，PA上各点的速度由两
理论力学习题解答(第六章)
6－1在图示四连杆机构中，已知：匀角速度O ω，OA =B O 1=r 。
试求在°=45ϕ且AB ⊥B O 1的图示瞬时，连杆AB 的角速度AB ω及B 点的速度。
解：连杆AB 作平面运动，由基点法得BA A B v v v +=由速度合成的矢量关系，知φcos v A BA =v杆AB 的角速度)(/AB /O BA AB 2122+==ωωv （逆时针）B 点的速度2245/r cos v O A B ω=°=v （方向沿AB ）6－2. 在图示四连杆机构中，已知：3.021===L B O OA m ，匀角速度2=ωrad/s 。
在图示瞬时，11==L OB m ，且杆OA 铅直、B O 1水平。
试求该瞬时杆B O 1的角速度和角加速度。
解：一．求1ω60230..OA v A =×=⋅=ω m/s取A 为基点，则有BA A B v v v += 得 23.0/6.0ctg v v A B ===ϕ m/sm09.2)3.01()3.0/6.0(sin /v v 2/122A BA =+×==ϕ杆B O 1的角速度67630211../BO /v B ===ω rad/s 顺时针 二．求1ε取点A 为基点，则有n BA A a a a a a ++=+ττBA nB B将上式向X 轴投影21222857s /m .B O /ctg v )sin AB /v (OA ctg a )sin /a (a a a sin a cos a sin a BBA n B n BA A B nBA A n B B +=⋅+⋅+⋅−=++−=−=+−ϕϕωϕϕϕϕϕττ杆B O 1的角加速度7.1923.0/8.57/11===B O a B τεrad/s 2逆时针6－3.图示机构中，已知：OA =0.1m ， DE =0.1m ，m 31.0=EF ，D 距OB 线为h=0.1m ；rad 4=OA ω。
《理论力学》第六章 刚体的根基运动习题全解
物体改变方向时，速度等于零。即：
v r(4 9t 2 ) 0
[习题6-2]
t 2 (s) 0.667(s) 3
飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。后因刹车，该点以
角加速度： d d (4 9t 2 ) 18t dt dt
速度： v r r(4 9t 2 )
v |t0 r 0.5 (4 9 02 ) 2(m / s) v |t1 0.5 (4 9 12 ) 2.5(m / s) 切向加速度： at r(18t) 18rt
at 0.1t(m / s 2 ) 作减速运动。设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及
ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向
d dt
0.125t 2
d 2 0.4
dt 2
0.0417t 3 C1t C2
v
R
d dt
C1
0.4 (0.125t 2
法向加速度： an
v2
[r(4 9t 2 )]2 r
r(4 9t 2 )2
加速度： a at2 nn2 (18rt)2 [r(4 9t 2 )2 ]2 r 324t 2 (4 9t 2 )4
a |t0 r 324 02 (4 9 02 )4 0.5 16 8(m / s 2 )
v |t0 0.05 02 0.4C1 10
0.1t （作减速运动，角加速度为负）
C1 )
0.05t 2
1
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们邓社新。出寻始小会的邓（找终平主关小1一代坚义）键平种表持的我2在对能.1中把科本国人社9够国发学质社5才会从4先展社，会年，主更进作会是主，人义深生为主解义毛才本层产执义放制在的质次1力政理生度《成所.认社1的兴论产还论长作.识发会发国和力刚十靠的社展主展的实，刚大教概会才义要第践发建关坚育括主是本求一的展立系2持。，义硬质、，要基生，》以人一，道理发大务本产还重发才方从理论展力是成力没要展资面而，把才促由果，有讲社的源强为把我是进中，消完话会办是调四中发们（硬先国抓灭全中主法第必、国展对2道进共住剥建提三义解一）须科的生社理生产“削立出、经决资采解学社产会，产党什，（代济前源取放技会力主是力的么消还1表基进。从和术主作义）对的执是除不中础科低发是义1为的吧社3发政社两完9国基的学级展.第建发社认二国5会展地会极全先本问技到6生一设展会识、内主，年位主分巩进建题术高产生在才主提发外义是底所义化固生立，实级力产改是义高1展一时中我决，的邓产的是力9，力革硬建到是切间5国定怎最思小力同实和国另3开道设了党积经共对的样终想年平的时行国家一放理的一执极验产农，建达。1一发，改民资方中2，根个政因教党业是设到（月再展我革教本面探是本新兴素训站、对社共2，强要国开育主指索）适任的国都的在手一执会同毛调求的放水义出出第创应务科在的调深时工、政主富1泽，政以平的4了一三造.时，学社第动刻坚代.业发规义裕东中一治来，过2解条节性代符水会一起总持前.和展律”。关社 国个领我始度放发、地主合平阶要来结社列资才认这”于会 社公域们终形和展社提题马。级务为。会，本是识个1总主 会有也党是式发更会9出变克社二关中主保硬的根8路义 主制发的衡。展快主了化思会6、系国义持道深本3线基 义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本 基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制 本体重主邓合国力民根主要基本.主变事所平化向业也，1整度 制，大要小国家的享本9义。本质义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任原理6本的服问法设根社对刻表确 的个化验年提和本段到会 1务理论第质同务题进与本会党揭一.述立 确共，。出社主社和社主基，的二理时的行社体主实示、：， 立同确苏“会义会目会3义本是提节论，基关改会现义了社.从为 ，富立共社文，社主的主一改矛巩出、的我本键造主和改其社会中当 使裕了二会明就会义。义、造盾固，对重国方是。义根造所会之华代 占，中十主程是主基建中的和和为第社要针这改本基承主一人中 世这国大义度在义本设国基两发进一会意。靠不造要本担义本民国 界是共以财的国基制内成特本类展一节主义的（自仅同求完的本质共一 人我产后富重家本度涵果色完矛社步、义主2己保时。成历质理和切 口们党毛属要直）制的包最伴社成盾会推中本要的证并，史论国发 四必领泽于标接正度确括大随会，的主进国质矛发了举标第的这成展 分须导东人志控确的立（，着主是学义改特理盾展2社。志五需是提立进 之坚的提民。制处确是1.能社义我说采制革色论也。会实着章要对）出，步 一持人出，和理立中够会建国，取度开社的发的践中。马把到奠 的民要社支经，国社充经设强积的放会提生稳证国克解社定 东民“会配济是历会分济道调极必和主出了定明历思放会了 方主以下建4广史主体制路要引然社义变，.史主和主把制 大专苏义的设大上义现度初严导要会二建化而党上义发义对度 国政为的资和劳最的出和步经格、求主设。且坚长的展改企基 进党的鉴致本社动深本对社探济区逐。义确道人极持达重生造业础 入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产基的。 了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千发力逐本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年展概步完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的，括实成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶对为现，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级于国这人制 社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥建家是的度 会线治道富资列家变一的本变类中了成制迅主社削设的一改的 ，第制路。本重的革、道变化不国强立度速义会制中社个造建 这三主度。社大主，社路化，同这大，的发事主度国的会过结立 是节要。会义关人也会，1社性场的标重展业义的特本主.渡合极 世、内人主有系解和是主奠我会质巨思志大的的工结（色质义时起大 界社容民义初。决社2义定国主的大想着意需发业束3社0。工期来地 社（会被民原级了会基）世了社义矛而武我义要展化，会（业。，提 会2主概则和3在生本把纪理会经盾深器国同），同实主2化党把高 主对义括专，高一产制资中）论的济，刻。新经遵改总时现义新是在对了 义手制为政第级个资度本国强基阶成在特的通民济循革之并了具民党这资工 运二七度“实一形以料的主又调础级分新别社过主文自4过，举由有主在个本人 动、届 业在一质是式农的.（初义一消，关已民是它会（没主化愿于和的新重主过过主阶 史新社二 的中化上发之民主1步工次灭开系占主要是变4收义不互集平方民（大）义渡渡义级 上民会中 社国三已展）分为人确商划剥阔也绝主正中革官能利中改针主3的用社时时工和 又主全 会的改成生坚。主立）业时削了发对义确国，僚命满、的造，主理和会期期商广 一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义论平的.的业大 个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向和赎五总总搞劳 历革造出 改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3实买种路路糟动 史命的使 造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会践的经线线成人 性理历中 ，化级是导的义后√ 1农为巨极。的会内体对革成本要的和如刻主意）方济的和为民 的论史国 党”专共、工的中村自变分邓主指部实生命的结建国初实的义积法成主总自的 伟是经“ 和即政同稳家商半国的食。化小义导矛际产在走社束状设家步现社的。极改分体任食积 大以验稳 政社；致步资业殖社革阶其们平。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极 胜一毛步 府会人富前本的民会命级力吐对1有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性 利、泽地 采主民。进农社地第的必和出社制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和 。适东由 取义代”的业会半二阶须社了会已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农 了工表这方是、主封节级走层会最主成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业 积大段针国手义建、构农状主终义为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.社成村况义达本我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转 领，制成采对业造东会主包，劳到质国领装已坏体武济阶成，互向发会基来业中质变人相劳点表变 导“度为取私的方主要围制动共
理论力学复习第六章
2. 转动方程、角速度、角加速度
(t ) (, ) d (rad / s)
dt
0 + z
2n 0.1n 转速 n (rpm) 60 d d 2 2 (rad / s 2 ) dt dt 几种特殊情况的转动方程 0 t 匀速转动
4
理论力学· 运动学
再求导，得A点的切向加速度
O1 φ l A O
（+）
O2 l M B
dv π2 π at l 0 sin t dt 16 4
A点的法向加速度
v2 π2 π 2 an l 0 cos 2 t l 16 4
代入t = 0和t = 2，可求得A点（亦即点M）在这两瞬时的 速度和加速度。计算结果列表如下：
当刚体运动时，其中任一直线都始终保持平行于本身。 1定义： 2平移运动的特性：
rB rA AB
B A rA
刚体内各点的轨迹相同 drB d vB ( rA rAB ) dt dt drA drAB v A ( 0) dt dt
vB aB vA
B’
A’
rB aA
②当ｔ＝5s时， v M 20 5 100m/s
n aM 2 v M 1002 25000 2 m/s R 0.4
8
理论力学· 运动学
例2-2 已知：杆O1A=O2B=2r,AB=O1O2,0为常数 ，求两 轮边缘上点M的加速度。
vA
A
vM
a1
1
B
解： 杆O1A与O2B定轴转动,AB 与轮1曲线平移
a a sin 40 sin30 50 rad/s2 R R 0.4 1 2 1 0 0, 0 t t 50 t 2 25t 2 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习 题6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC ，尺寸如图6-16所示。
图示瞬时，曲柄O 1A 的角速度为rad/s 5=ω，角加速度为2rad/s 2=α,试求三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。
图6-16m/s 5.051.01=⨯===ωA O v v D C2221n n m/s 5.251.0=⨯===ωA O a a D C 21ττm/s 2.021.0=⨯===αA O a a D C6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC 上有一圆弧形轨道，其半径R =100mm ，圆心O 1在导杆BC 上。
曲柄长OA =100mm ，以等角速度rad/s 4=ω绕O 轴转动。
设t =0时，0=ϕ，求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角︒=30ϕ时，导杆BC 的速度和加速度。
图6-17m 4cos 2.04cos 1.02cos 2cos 21t t t R OA x O =⨯⨯===ωϕ m/s 4sin 8.01t xO -= ︒=30ϕ时 m /s 4.01-=O x 21m/s 4cos 2.3t x O -= 21m/s 36.1-=O xm/s 4.0=v 22m/s 771.2m/s 36.1==a6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为2ωαc b --=,式中b 、c 均是常数。
设运动开始时飞轮的角速度为0ω，问经过多长时间飞轮停止转动？2ωαc b --= t c b d d 2-=+ωω ⎰⎰-=+t t c b 002d d 0ωωωt b c bc -=0|)arctan(1ωω )arctan(10ωb cbct =6-4 物体绕定轴转动的转动方程为334t t -=ϕ。
试求物体内与转轴相距R =0.5m 的一点，在t =0及t =1s 时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。
234t t -=ϕ 294t -=ϕt 18-=ϕ t =0时4=ϕ0=ϕ m/s 245.0=⨯==ωR v222n m/s 845.0=⨯==ωR a 0τ==αR a2n m/s 8==a a t =1s 时5-=ϕ18-=ϕ m/s 5.255.0=⨯==ωR v222n m/s 5.12)5(5.0=-⨯==ωR a2τm/s 9)18(5.0-=-⨯==αR a 2m/s 4.15=a什么时刻改变其转向0942=-=t ϕs 32=t6-5 电机转子的角加速度与时间t 成正比，当t =0时，初角速度等于零。
经过3s 后，转子转过6圈。
试写出转子的转动方程，并求t =2s 时转子的角速度。
ct =α t ct d d =ω ⎰⎰=tt ct 0d d ωω 221ct =ω 221d d ct t =ϕ 361ct =ϕt =3s 时，π12π26=⨯=ϕ3361π12⨯⨯=c9π427π1261==c 39π4t =ϕ3396.1t =t =2s 时r a d /s 76.163π1643π43π42==⨯==t ω6-6 杆OA 可绕定轴O 转动。
一绳跨过定滑轮B ，其一端系于杆OA 上A 点，另一端以匀速u 向下拉动，如图6-18所示。
设OA=OB =l ，初始时0=ϕ，试求杆OA 的转动方程。
ut l AB -=2l utl ut l OA AB OAB 21222/cos -=-==∠即 l ut 212cos -=ϕ )21arccos(2lut -=ϕ6-7 圆盘绕定轴O 转动。
在某一瞬时，轮缘上点A 的速度为m/s 8.0=A v ，转动半径为m 1.0=A r ；盘上任一点B 的全加速度B a 与其转动半径OB 成θ角，且6.0tan =θ，如图6-19所示。
试求该 瞬时圆盘的角加速度。
图6-19m/s 8.0==ωA A r v rad/s 81.08.0===A A r v ω 6.0tan 2==ωαθ 22rad/s 4.386.0||=⨯=ωα6-8 如图6-20所示，电动机轴上的小齿轮A 驱动连接在提升铰盘上的齿轮B ，物块M 从其静止位置被提升，以匀加速度升高到1.2m 时获得速度0.9m/s 。
试求当物块经过该位置时：（1）绳子上与鼓轮相接触的一点C 的加速度；（2）小齿轮A 的角速度的角加速度。
图6-20(1)2.1209.0τ22⨯=-a 3375.04.249.0τ==a 5.16.09.0==B ω 35.15.16.02n =⨯=a 222n m/s 39.135.13375.0=+=a (2)3150450===A B B A R R ωω rad/s 5.43==B A ωω 5625.06.03375.0τ===C B R a α 2rad/s 6875.13==B A αα6-9 杆OA 的长度为l ,可绕轴O 转动，杆的A 端靠在物块B 的侧面上，如图6-21所示。
若物块B 以匀速v 0向右平动，且x =v 0t ,试求杆OA 的角速度和角加速度以及杆端A 点的速度。
图6-21t v x 0= l tv l x 0cos ==ϕ lt v 0arccos =ϕ22020200)(1t v l v l t v l v O -=-==ϕω3220230)(t v l tv O O -==ωα22020tv l lv l v O A -==ω6-10 图6-22所示机构中，杆AB 以匀速v 向上滑动，通过滑块A 带动摇杆OC 绕O 轴作定轴转动。
开始时0=ϕ，试求当4/πϕ=时，摇杆OC 的角速度和角加速度。
图6-22lvt =ϕtan对时间求导l v=ϕϕ2sec ϕϕϕω22cos sec lv l v === ϕϕωϕωα222cos 2sin )2sin (lv l v -=-⨯== 4π/=ϕ时lv2=ω222lv -=α6-11 如图6-23所示，电动绞车由皮带轮Ⅰ和Ⅱ以及鼓轮组成，鼓轮Ⅲ和皮带轮Ⅱ刚性地固定在同一轴上。
各轮的半径分别为m 4.0m 75.0m 3.0321===r r r ，，，轮Ⅰ的转速为n 1=100r/min 。
设皮带轮与皮带之间无相对滑动，求重物M 上升的速度和皮带各段上点的加速度。
图6-233π1030π11==n ω 3π43π1075.03.01212=⨯==ωωr r m/s 6755.13π44.023=⨯==ωr v0==CD AB a a222211m/s 8987.323π10)3π10(3.0==⨯==ωr a AD222222m/s 1595.133π4)3π4(75.0==⨯==ωr a BC6-12 两轮Ⅰ、Ⅱ铰接于杆AB 的两端，半径分别为mm 200mm 15021==r r ，，可在半径为R =450mm 的曲面上运动，在图6-24所示瞬时，点A 的加速度大小为2mm/s 1200=A a ，方向与OA 连线成︒60角。
试求该瞬时：（1）AB 杆的角速度和角加速度；（2）点B 的加速度。
图6-242mm/s 1200=A a2n mm/s 60060cos =︒=A Aa a 2112)(ωr R r R v A+=+=rad/s 1150450600=+=ωα)(360060sin 1τr R a a A A +==︒=21rad/s 33600=+=r R α222n mm/s 650)(=+=ωr R a B22τmm/s 3650)(=+=αr R a B 2mm/s 1300=B a6-13 如图6-25所示，机构中齿轮Ⅰ紧固在杆AC 上，AB=O 1O 2，齿轮Ⅰ与半径为2r 的齿轮Ⅱ啮合，齿轮Ⅱ可绕O 2轴转动且与曲柄O 2B 没有联系。
设O 1A = O 2B=l ，t b ωϕsin = ，试确定)2(πω=t 时，轮Ⅱ的角速度的角加速度。
图6-25t b B O ωωϕωcos 2== t b B O ωωϕαsin 22-== 当ω2π=t 时 02=B O ω 0=B v0==B D v v (齿轮Ⅰ与杆AC 平动，点D 为轮I 、II 接触点)0II =ω22ωαb B O -= 2τ2ωαbl l a B O B-== 2ττωbl a a B D -== 222τII r bl r a D ωα-==6-14 如图6-26所示，摩擦传动机构的主动轴Ⅰ的转速为n =600r/min 。
轴Ⅰ的轮盘与轴Ⅱ的轮盘接触，接触点按箭头A 所示的方向移动。
距离d 的变化规律为d =100-5t ，其中d 以mm 计，t 以s 计。
已知mm 50=r ，R =150mm 。
求：（1）以距离d 表示的轴Ⅱ的角加速度；（2）当r d =时，轮B 边缘上一点的全加速度。
图6-26(1)π2030π==nω dπ10002=ω 222222rad/π5000)5(π1000π1000s dd d d =-⨯-=-== ωα (2) r d =时π2050π10002==ω22πrad/2s =α232242242mm/s 10177.5921π40000π300π4π)20(150⨯=+=+=+=αωR a B2m/s 177.592=6-15 如图6-27所示，录音机磁带厚为δ，图示瞬时两轮半径分别为1r 和2r ，若驱动轮Ⅰ以不变的角速度1ω转动，试求轮Ⅱ在图示瞬时的角速度和角加速度。
图6-272211ωωr r = 1212ωωr r =222211ωωω r r r+= 222112r r rωωω -= 轮Ⅰ转过一周π)2(，半径增大δ，转过1d ϕ，则增大1d π2ϕδ故 11d π2d ϕδ=rtt r d d π2d d 11ϕδ⨯= 11π2ωδ=r 而在轮Ⅰ转过一周π)2(时，轮Ⅱ半径减小δ21r r，故1212π2ωδ⨯⨯-=r r r2221122r r rωωωα -== 12221212121211ωωωr r r r rr r r r r -=⨯-=122121121π2π2ωωδωδr r r r r ⨯⨯+⨯=212222212π2)1(ωδ⨯+=r r r r )1(π22221221r r r +=δω。