理论力学-刚体的平面运动案例
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理论力学4-刚体的平面运动
其中 a
n BA
AB ω
2 AB
337.5 cm s
2
A
aA
0
n aB
2 a A O1 B ω0 2700 cm s 2
O1
τ (目标：求 aB )
向x方向投影:
n a aA cos60o aBA B
n aBA a BA
O
aB
x
B
aA
OB
a B 9.74 1/s 2 OB
2、两点运动关系。
四、方法: 复合运动法，在基点固连平移系，任一点相对 圆周运动。本章采用矢量法。
第四章 刚体的平面运动
4-1 刚体平面运动方程 平面运动方程
确定运动的独立参数
一、运动的简化
z
y
y
y
S
B
o x
x
A
o
x
刚体 图S 线段AB 平移+转动
第四章 刚体的平面运动
4-1 刚体平面运动方程 二、 运动方程
aC
aC
1 aB 2
4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析
4.2.3 投影法
问: 基点法公式 在任何方向的投影式成立，在何方
向获得最简形式？ (1) 速度投影法 将 vB vA vBA在AB连线上投影
vBA
vB
B
vA
vBA AB
基点法投影式
A
vA
有 v B AB v A AB
B
B
B
B A
A
A
A
A B ωA ωB
求导
理论力学1A全本课件7章刚体的平面运动ppt课件教案
(） (）
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
运动为圆周运动的合成 va vB;ve vA;vr vBA,
vAB 大小 AB,方向 AB, 指向与 转向一致．
根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
vB vA vBA
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法， 也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
aB aA aBA aBAn
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
aB aA aBA aBAn
其中：aBA AB ，方向AB，指向与 一致； aBAn AB 2 ，方向沿AB，指向A点。
即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕 基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度 的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速 度的基本方法。
刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
[例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，
取柄OA以匀 转动。 求：当 =45º时,
滑块B的速度及AB杆的角速度． 解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运
动,滑块B作平动。 基点法（合成法）
大小？ √ ？ √
方向√ √ √ √
作加速度矢量图，将上式向BA线上投影 aB cos 30 0 0 aBAn
aB
aBA
n
/c
os30
20 3
3 2 /
3 2
理论力学-刚体的平面运动
表示为
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60
vD
60
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60
vD
60
理论力学PPT课件第4章 刚体的平面运动
2024年3月15日
1. 轮C作平面运动，
C1为其速度瞬心，C。
2. BD作平面运动，
C2为其速度瞬心，BD。
3. AB作平面运动，
C3为其速度瞬心，AB。
43
平面图形在任一瞬时的运动可以 视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬 心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若点C 为速度瞬心，则任意一点A的速
度大小为 vA AC ω 方向A C，指
16
车轮的运动分解
车轮的平面运动可以看成 是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成．
车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
2024年3月15日
17
2024年3月15日
18
转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
aB cos 300 aBnA
式中
aBnA
AB
2 AB
15 3 ( 2 )2 20 3 2cm/s2
3
3
aB aBnA / cos 300
40 2cm/s2
3
aB 8 2cm/s2
R9
2024年3月15日
64
例2. 已知 : OA = r AB = l、ω
求: vc、ac 解： 各联接点速度如图.
将 vB vA vBA 在AB连线上投影
vBA AB
有 [vB ]AB [vA ]AB
基点法投影式.
或 vB cos vA cos
2024年3月15日
53
结 论：S上任意两点的速度在这两点
连线上投影相等. 意 义：刚体上两点距离不变. 注 意：仅在两点连线上成立.
9 理论力学--刚体的平面运动
y
时间而变化（见图9-3）。
x A = f1 ( t ) y A = f 2 ( t ) ϕ = f ( t ) 3
yA
y′
A
B
ϕ
x′
x 图 9-3
（9-1）
O xA
刚体平面运动的运动方程（Equations 刚体平面运动的运动方程 of planar motion of rigid bodies）
由几何关系可得
vD = vB = 150 cm/s
vDB = vB = 150 cm/s
vD vD ω DE = = = 5 rad/s 杆DE的角速度为 DE l vDB ωDB = = 5 rad/s 杆BD的角速度为 DB 再以B为基点，依据公式 vC = v B + vCB
作速度平行四边形，如图9-8所示。
DB CB BD D C
AB和DE作定轴转动，B、D两
ω
C
60º
D vB 60º
vB
vB
ωDE
E
点的速度分别垂直于杆AB和 DE。杆BD作平面运动。
A 60º 图 9-8
vB = ω ⋅ AB = 150 cm/s
（2）选择基点并求解：选点B为基点，依据公式
v D = v B + v DB
作速度平行四边形，如图9-8所示。
∆ϕ1 = ∆ϕ 2 ∆ϕ1 ∆ϕ 2 lim = lim ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆t ω A = ωB
B
B′′ ∆ϕ1 ∆ϕ2 A′
图 9-5
B′
A
dω A d ω B = dt dt
A′′
α A = αB
图形S绕基点转动的角速度、角加速度称为平面图形的角速 度和角加速度，而不必指明其基点。
时间而变化（见图9-3）。
x A = f1 ( t ) y A = f 2 ( t ) ϕ = f ( t ) 3
yA
y′
A
B
ϕ
x′
x 图 9-3
（9-1）
O xA
刚体平面运动的运动方程（Equations 刚体平面运动的运动方程 of planar motion of rigid bodies）
由几何关系可得
vD = vB = 150 cm/s
vDB = vB = 150 cm/s
vD vD ω DE = = = 5 rad/s 杆DE的角速度为 DE l vDB ωDB = = 5 rad/s 杆BD的角速度为 DB 再以B为基点，依据公式 vC = v B + vCB
作速度平行四边形，如图9-8所示。
DB CB BD D C
AB和DE作定轴转动，B、D两
ω
C
60º
D vB 60º
vB
vB
ωDE
E
点的速度分别垂直于杆AB和 DE。杆BD作平面运动。
A 60º 图 9-8
vB = ω ⋅ AB = 150 cm/s
（2）选择基点并求解：选点B为基点，依据公式
v D = v B + v DB
作速度平行四边形，如图9-8所示。
∆ϕ1 = ∆ϕ 2 ∆ϕ1 ∆ϕ 2 lim = lim ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆t ω A = ωB
B
B′′ ∆ϕ1 ∆ϕ2 A′
图 9-5
B′
A
dω A d ω B = dt dt
A′′
α A = αB
图形S绕基点转动的角速度、角加速度称为平面图形的角速 度和角加速度，而不必指明其基点。
理论力学_刚体的平面运动
(基点法： 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法： 不能求出图形 ； 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键。）
16
[例1] 曲柄肘杆压床机构 已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m,
BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平
AB 求该位置时的 BD 、
vo PO rsin 4sin30 2 3 4 3 m/s()
(
）
1 PB PO 2 OB 2 2 PO OB cos120 2 2 4 2 224 2 7 m 2
v B PB 2 7 2 3 4 21 18.3 m/s
研究AB, P１为其速度瞬心 v A OA 0.1510 1.5 m/s
AB vA 1.5 1.5 2 （ 7.16 rad/s AP ABsin 60 0.76 3 1
）
18
7.160.760.57.162.72 m/s vB BP AB cos 60 1 AB
求：当 =60º 时 (OAAB),滚轮的Ｂ，Ｂ．
翻页请看动画
13
分析: 要想求出滚轮的Ｂ, Ｂ 先要求出vB, aB
解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动
研究AB：
P1
n /3060 /30 2 rad/s v A OA 152 30 cm/s
P１为其速度瞬心 P2为轮速度瞬心
4
aa aB ; ae a A ; ar aBA aBA aBAn
于是,由牵连平动时加速度合成定理 aa ae ar 可得如下公式：
aB a A aBA aBA n
其中：aBA AB ， 方向AB，指向与 一致；
16
[例1] 曲柄肘杆压床机构 已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m,
BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平
AB 求该位置时的 BD 、
vo PO rsin 4sin30 2 3 4 3 m/s()
(
）
1 PB PO 2 OB 2 2 PO OB cos120 2 2 4 2 224 2 7 m 2
v B PB 2 7 2 3 4 21 18.3 m/s
研究AB, P１为其速度瞬心 v A OA 0.1510 1.5 m/s
AB vA 1.5 1.5 2 （ 7.16 rad/s AP ABsin 60 0.76 3 1
）
18
7.160.760.57.162.72 m/s vB BP AB cos 60 1 AB
求：当 =60º 时 (OAAB),滚轮的Ｂ，Ｂ．
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13
分析: 要想求出滚轮的Ｂ, Ｂ 先要求出vB, aB
解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动
研究AB：
P1
n /3060 /30 2 rad/s v A OA 152 30 cm/s
P１为其速度瞬心 P2为轮速度瞬心
4
aa aB ; ae a A ; ar aBA aBA aBAn
于是,由牵连平动时加速度合成定理 aa ae ar 可得如下公式：
aB a A aBA aBA n
其中：aBA AB ， 方向AB，指向与 一致；
理论力学第九章刚体的平面运动
O 基点
转角
基点的选取是任意的，平面图形的位置可由O’点 坐标及直线O’M与x’的夹角φ 完全确定。 基点的选择不同，其运动方程9-1a不同，平面图形随基 点平移的速度和加速度也不同。但平面图形绕不同基 点转动的角速度和角加速度却完全相同。证明如下
f (t ) f (t ) 3 3
结 论
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面L上的运动。
6
2、运动分析
思考
刚体平面运动是复杂运动，考虑是否可以用 简单运动合成来分析？
Oxy 平移坐标系(动系) 平面运动=随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动
=
+
7
3 运动方程
xO f1 t 9-1a yO f 2 t f3 t 9-1b
vB AB = vA
OA
vD
vB
vB
cos30 2 CD作定轴转动（C）
0.2309 m s
vE
vA
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
vD vE DE = vD ,vE cos 30 vD , vE cos 30 0.8 m s
第九章 刚体的平面运动
本章重点：刚体平面运动的基本概念，求平面图形上各 点的速度与加速度的基点法，以及求速度的 速度投影法和瞬心法，运动学的综合应用。
1
刚体平面运动举例：行星齿轮中小齿轮运动情况
2
车轮运动情况
3
观察曲柄滑块机构中连杆AB的运动情况
4
§ 9-1
1、概念
刚体平面运动的概述和运动分解
30
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
刚体的平面运动
对静坐标系的绝对角速度ωa ，为什么？
◆ 相对于平动坐标系的角速度ωr和相对于静坐 标系的角速度ωa有何区别？
相对角速度ωr ？ 绝对角速度ωa ？
因为平动参考系相对定
参考系没有方位的变化，平
面图形的角速度既是平面图 形相对于平动参考系的相对
角速度，也是平面图形相对
于定参考系的绝对角速度。
1 2 d ＝ lim lim t 0 t t 0 t dt
C 点的速度。
刚体平面运动
求加速度的解题步骤：
1.选择基点； 2.分析三种加速度，列表分析；
3.画加速度图；
4.根据基点法方程求解。
问题1？
基点法公式：
vB vA vBA
相对速度VAB＝AB· r , ωr是平面图形相对于 ω
平动坐标系的相对角速度。 前面例题中求相对速度时，用的是平面图形相
第三种情形
已知平面图形上两点的速 度矢量的大小与方向，而且二 矢量互相平行，并且都垂直于 两点的连线。
两速度矢量端点连线与直线AB的交点
速度瞬心
v A vB vA vB ACv BC v AB
第四种情形
B A
vB vA
已知平面图形上两点的速度矢量的 大小相等、方向相同, 二矢量互相平行， 并且都垂直于两点的连线。
两速度垂线的交点
速度瞬心
vA vB ACv BC v
(三)几种特殊情形下速度瞬心的确定
第二种情形
已知平面图形上两点的速 度矢量的大小与方向，而且二 矢量互相平行、方向相反，但 二者都垂直于两点的连线。 两速度矢量端点连线与线段AB的交点
速度瞬心
vA vB ACv BC v
(三)几种特殊情形下速度瞬心的确定
第十章刚体的平面运动
理论力学
如图 10－2 所示，刚体运动方式为平面运动，刚体上点 A 的运动轨迹为圆弧，点 B 的运动轨迹为直线，可见刚体上各 点的运动轨迹各不相同。
图 10－2
第10章 刚体的平面运动
理论力学
为了研究刚体的运动情况，将刚体的运动分解为平动和
转动两种基本运动方式，平动部分可任选一点作为基点来研
究。例如 A 点，在基点建立动坐标系 o1x1y1。注意，动坐标系 原点 o1 与刚体上的 A 点是“铰接”关系，即 o1 与 A 点仅仅保 持坐标始终相等，运动轨迹始终相同，但刚体上的 A 点显然 还有与刚体一起旋转的运动，而动坐标系的原点 o1 始终不产 生任何转动，其 x1 轴和 y1 轴的指向始终不变，这样的动坐标 系随 A 点运动时必然只存在平动方式，而且只反映刚体平面 运动中的平动部分，接下来在动坐标系中研究刚体的运动时，
令(υM)O′M、(υO′)O′M、(υMO′)O′M 分别表示 υM、υO′、υMO′ 在 O′M 上的投影，则根据式(10－1)可得：
(υM)O′M＝(υO′＋υMO′)O′M＝(υO′)O′M＋(υMO′)O′M
＝(υO′)O′M
(10－2)
第10章 刚体的平面运动
理论力学
式(10－2)在推导时，利用了 υMO′始终与 O′M 所具有的 垂直关系，故 υMO′在 O′M 上的投影(υMO′)O′M＝0。速度投 影定理的成立主要是由于刚体不可变形的假设而存在的。试 想，如果刚体上两点的速度在其连线上的投影不相等，那么 这两点之间的距离必然发生变化，这与刚体不可变形的假定 相矛盾。
第10章 刚体的平面运动
理论力学
10.2 刚体平面运动时的速度
10.2.1 基点法 根据前面的分析，刚体的任何平面运动都可以分解为两个简
刚体平面运动
B C
aC = aB + aCB
aC = R (α O + α C )
(1)
工程力学研究所 税国双
理论力学II
分别取两圆柱为研究对象 画受力图.其 中TA = TB = T
TA R = MR2 α O /2 = TR TB R = MR2
α C /2 = TR
(2) (3) O
RO
A
TA Mg
Mg - T = M aC 联立(1)----(4)式得: aC = 0.8 g T = 0.2 Mg
Mg
a
I N
M (a -R α) = F MR2 α = F R 联立(1) (2) (3)式得:
(2) (3)
F
α=
a 2R
ac = 1 a 2
工程力学研究所 税国双
理论力学II
例： 均质圆柱体O 和C的质
O A
量均为M,半径相等.圆柱O可 绕通过点O 的水平轴转动. 一绳绕在圆柱O上 , 绳的另 一端绕在圆柱C上. 求圆柱下 落时,其质心C 的加速度及 AB段绳的拉力。
例：质量为M长为l 的
O1 O2
均质杆AB用等长的细 绳悬挂静止如图所示.若 突然把绳O2B剪断, 求
A C B
此瞬时绳O1A的拉力T 为多少.
工程力学研究所 税国双
理论力学II
解：取杆为研究对象进行运动分析. 剪断O2B的瞬时
ωAB= 0 aC = aA+aτCA
x
O2
a A= 0
(1)
O1
×
A C B
y'
y
F1
c
Fn
ϕ
x'
Fi
macx = m&&c = ∑ Fix( e) x &&c = ∑ Fiy( e) macy = my
aC = aB + aCB
aC = R (α O + α C )
(1)
工程力学研究所 税国双
理论力学II
分别取两圆柱为研究对象 画受力图.其 中TA = TB = T
TA R = MR2 α O /2 = TR TB R = MR2
α C /2 = TR
(2) (3) O
RO
A
TA Mg
Mg - T = M aC 联立(1)----(4)式得: aC = 0.8 g T = 0.2 Mg
Mg
a
I N
M (a -R α) = F MR2 α = F R 联立(1) (2) (3)式得:
(2) (3)
F
α=
a 2R
ac = 1 a 2
工程力学研究所 税国双
理论力学II
例： 均质圆柱体O 和C的质
O A
量均为M,半径相等.圆柱O可 绕通过点O 的水平轴转动. 一绳绕在圆柱O上 , 绳的另 一端绕在圆柱C上. 求圆柱下 落时,其质心C 的加速度及 AB段绳的拉力。
例：质量为M长为l 的
O1 O2
均质杆AB用等长的细 绳悬挂静止如图所示.若 突然把绳O2B剪断, 求
A C B
此瞬时绳O1A的拉力T 为多少.
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解：取杆为研究对象进行运动分析. 剪断O2B的瞬时
ωAB= 0 aC = aA+aτCA
x
O2
a A= 0
(1)
O1
×
A C B
y'
y
F1
c
Fn
ϕ
x'
Fi
macx = m&&c = ∑ Fix( e) x &&c = ∑ Fiy( e) macy = my
9.4 刚体平面运动微分方程
(讲解完毕)
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5
例9.4-3 图示匀质圆轮半径为r, 质量为m1 .三角块质量为m2, 倾角为θ, 放 在光滑水平面上. 圆轮沿斜面向下自由纯滚动(两者之间有摩擦), 推动三 角块向左运动.求: 1) 圆轮角加速度ε和三角块加速度ae ; 2)地面对三角块 的支持力、圆轮与三角块之间的相互作用力(支持力与摩擦力)
设系统从静止开始运动, 能否对圆轮与三角块接触点处应 用速度瞬心动量矩定理？
例9.4-4 图示系统中物块1质量为m. 定滑轮2和动滑轮3半径都为r, 质 量也都为m, 对各自质心轴的回转半径都为ρ. 动滑轮3在重力作用下 向下运动, 通过缠绕的细绳(不打滑)带动系统运动. 求轮2、轮3各自 的角加速度ε2、ε3及细绳拉力.
4
例9.4-2 图示匀质圆环半径r=1m, 其上焊接的匀质细杆OA长度也为r, 圆环1和细杆2质量相等, m1=m2=m=1kg. 用手扶住圆环, 使其在OA杆处 于水平位置时静止, 然后放手,圆环作纯滚动, 求放手后瞬间圆环的角 加速度ε、地面对圆环的摩擦力FS及法向支持力FN .
JP
JC
(m1
1 L cos
2
aCy
1 L cos
2
1 L 2 sin
2
14
8
图2
9
→ JC
aC
[m1r 2
aO
→
1
ma1Ot(C4
r)2a]OnC[11211m2r
2
m2
(
1 4
vO r
r)2 ] aO
29 24
rε
mr2
10 12
rε 0.25 r 0
理论力学B-第八章刚体平面运动.ppt
基点速度与平面图形的角速度是描述刚体平 面运动的特征量：
对于分解为平移和转动的情形，平面图形上
任选基点A 的速度vA，以及平面图形的角速度，
是描述刚体平面运动的特征量。 ➢ vA 描述图形跟随基点的平移
➢ 描述相对于基点平移系的转动
§8-2 求平面图形内各点速度的基点法
已知平面图形内A 点的速度和图形 的角速度，求另一点B 点的速度。
lr
sin θ sin
sin r sin ωt ωt θ
l
连杆的平面运动方程为：
xA r cos ωt ,
yA r sin ωt ,
arcsin ( r sin ωt)
l
例题 1——曲柄滑块机构
y
A
P
B
yP
x
xP
O
2、连杆上P 点的运动方程：
xP r cos ωt l1
1
r
sin
纯滚动(只滚不滑)约束
确定速度瞬心位置的方法
已知A、B两点的速度方向， 试确定速度瞬心的位置。
vA B
A
vB
A
vA A
vA
B vB
vB
B
（a）
（b）
A
vA A
vA
B
B
vB
vB
瞬时平移
（c）
（d）
例: 沿直线轨道作纯滚动的车轮,其半径为R，轮心的速度为u, 求轮上A、B、C、D的速度。
解：车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。
解： AB作平面运动，速度瞬心为点C。
AB
vA AC
vA
l sin
vB AB BC vA cot
例8-8
已知：矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄OE 借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲柄OE
理论力学7—刚体的平面运动3+运动学综合应用举例(3个)
曲柄OA长r, AB长4r， 曲柄的角速度为w, 角加速度为
n t n t n t a B a B a A a A a BA a BA
将各项加速度向y轴投影得 :
a cos30 a cos60 a a
n B t B n A
n BA
a a a cos 60 5 2 w r 2
w
aB
A
aA
a AB 其 中 a n AB w 2 BA
t BA
7.4 求平面图形上各点的加速度
最终得：
t a BA
B aB
aA
t n aB aA aBA aBA
aBA
w
A
a
n BA
aA
即：平面图形内任一点的加速度等于随基点平 移的加速度与绕基点转动的切向加速度和法向 加速度的矢量和。这就是用基点法求平面图形 上点的加速度公式。
vA OA w 2m s
wAB
t n aB aA aBA aBA
45º
vB
B
t n aB aA aBA aBA
其中
aA a OA w 20m s
n A 2 2
y
aA
O
A
45º
wAB 2rad s
n aBA
t aBA
45º
C aBn
t aC n aC
n t n n t aC + aC a B ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱaCB aCB
a AB w 100 mm/s
n B 2 2
B
n aB
A
2
45º D
wBC 0.5 rad/s
刚体的平面运动.ppt
a4B5a
aBnA B
A
aB A
aBnA
AB
w
2 AB
4m
s2
waA
A
aB
取 a如A图的aB投A 影a轴BnA，由
O 45
将各矢量投影到投影轴上，得
aB sin 45 aA aBA aB cos 45 aBnA
AB
a4B5a
lw12
1
l r
2
它与半径OB 间的夹角为
arctan
aO
a
n BO
arctan
lw12
l2 r
w12
arctan r l
例3 图示曲柄连杆机构中，已知曲柄
C
OA长0.2m，连杆AB长1m，OA以匀角速度
w AB
w＝10rad/s，绕O轴转动。求图示位置滑
块B的加速度和AB杆的角加速度。 vA
aO
。设车轮与地面接触无
相对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。
解： 车轮作平面运动，其速度瞬
心在与地面的接触点C。
其角速度 w vO ，
R
则 dw 1 dvO
dt R dt
因轮心O作直线运动， 则ao
dvo dt
取中心O为基点，则C点的加速度 aC aO aCt O aCnO
解：AB作平面运动，瞬心
在C点，则 vA OA w 2 m s
wA
O 45
w AB
vA AC
2 rad
s
waA
A
AB作平面运动，以A点为 O 45
45
理论力学7—刚体的平面运动3-运动学综合应用举例
1 t aDA
aA aC ar
4.407 m/s t ae 2 1 62.95 rad/s O1 D
2
x
（
）
综合例题3: 图示平面机构, 杆O1B和OC的长度均 为r, 等边三角形ABC的边长为2r, 三个顶点分别 与杆O1B、OC及套筒铰接, 直角折杆EDF穿过套 筒A, 其DF段置于水平槽内。在图示瞬时, O1B杆 水平, B、C、O三点在同一铅垂线上, 杆OC的角 速度为0, 角加速度为零。试求此瞬时杆EDF的 速度和加速度。 E O1 B
OA 2 AD AD 0
AD
aA
选取动点： 滑块 D 动系：杆O1D 由： aa (aD ) ae t ae n ar aC 2 21vr ? ? ? O D 大小 1 1 方向 ? O1D DO1 //O1D O1D
将上式代入下式，得
aA a
P154习题 7-28
提示：这是刚体平面运动和点的合成运动的综合 应用题。先分析杆ABD，求出杆上点D（即滑块） 的速度和加速度；再以滑块D为动点，动系固结 于摇杆O1C，利用点的合成运动理论求出牵连速 度和牵连切向加速度，由此即可求得摇杆的角速 度和角加速度。
解： （1）速度分析 杆ABD作瞬时平移，有
t B n B
n aBC
aC a
a a
n B
t BC
a
n BC
O
将各矢量向水平方向投影得
t BC
a
t BC
t aBC 0 BC
v a 0 r
n B
2 B
3）再以C点为基点, 分 析A点的加速度, 有
O1
B
E ar A aC D ae
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大小 0
?
2 AB
AO
?
2evr
方向
沿aet方向投影
0
at e
aC
at e
aC
3v 2 4l
AB
aet AO
3 3v2 8l 2
另解： 1.取坐标系Oxy
2. A点的运动方程
xA l cot
3.速度、加速度
xA l sin 2 v
v sin 2
l
v l
sin
2
v2 l2
aB
aA
at BA
an BA
ar
aC
大小 aB
aA ?
2 AE
AB
?
2 AE vr
方向
沿
a
t B
方A 向投影
aB
cos 30o
aA
sin 30o
at BA
aC
沿 a方r 向投影
aB
sin 30
aA
cos 30
an BA
ar
ar 65 mm s2
AE
at BA
AB
3 rad s2 6
第八章 刚体的平面运动
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解： 1. AB作平面运动 基点： A
2. vB vA vBA 大小 ？ vA ? 方向
vB vA cot
vBA
vA
sin
AB
vBA l
vA
l sin
DE
vD DE
vB l
5rad
s
BD
vDB BD
vB l
5rad
s
3. vC vB vCB
大小 ？ l BDl 2
方向 ?
vC vB2 vC2B 1.299 m s 方向沿BD杆向右
例8-3 已知：曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= OA以匀角速度ω转动。
3r。如曲柄
求：当 0,60,90 时点 B的速度。
v l
vB BE OB v
取E为基点
a B
aE
aBt E
aBnE
大小 ? 0 ? E2 BE
方向
沿BE方向投影
aB cos 45 aBnE
2v2 l
aB
aBnE cos 45
2v2 l
2.动点 ：滑块B 动系 ：OA杆
绝对运动 ：直线运动(BD) 相对运动 ：直线运动(OA) 牵连运动 ：定轴转动(轴O)
3 l
2
加速度分析
aA
aB
a
t AB
aAnB
aA aet aen ar
aC
aB
a
t AB
a
n AB
大小
0 l 2
2
?
2vr 0
?
2 AB
l
方向 √ √ √ √ √ √ √
沿aC方向投影 aC aAt B sin 30 aAnB cos 30
at AB
3
3l 2
AB
at AB
例8-2 已知：如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。
在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为ω=5rad/s。
求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解： 1.BD作平面运动 基点：B
2. vD vB vDB
大小 ？ l ?
方向
vD vDB vB l
的速度为 vO ，加速度为 aO ，车轮与地面接触无相
对滑动。 求：车轮上速度瞬心的加速度。
解： 1. 车轮作平面运动，瞬心为 C。
2. vO
R d 1 dvO aO
dt R dt R
3.选Ｏ为基点
aC aO aCt O aCnO
大小 ？ aO R R2
方向 ？
aC aCnO R 2
AB
3
3 2
例8-14 如图所示平面机构中，杆AC铅直运动，杆BD水平运动， A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时
AB 60mm, 30 , vA 10 3mm / s, aA 10 3mm / s2 ,
vB 50mm / s , aB 10mm / s2 。
求：该瞬时槽杆AE的 角速度 、角加速度及 滑块B相对AE的加速度。
长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG，GD和
GE组成，杆BG和GD各长500mm。 求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
解: 1.杆GE作平面运动，瞬心为 C1 。 OG 800mm 500mmsin15 929.4mm
EC1 OC1 OE 3369mm
GC1
OG sin 150
l12 0 r22
√ √√
aB aO2 aBnO 2
l12
1
l r
2
arctan aO arctan r
aBnO
l
例8-9 已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速 度ω绕O 轴转动。OD＝AD＝BD＝l。
求：当 60 时，尺AB的角加速度和点A的加速度。
解： 1. AB作平面运动，瞬心为 C。
例8-11 已知：图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与 BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块 E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为 2l 。图示 瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为 45
求：该瞬时杆
OA的角速度
与角加速度。
解： 1.杆BE作平面运动，瞬心在O点。
BE
v OE
sin
2
sin
2
当 600时有
AB
3v 4l
3 3v2
AB
8l 2
例8-13 已知：如图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆 OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度ω绕轴O转动，滑块
B以匀速 v l沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，
AB与水平线OB夹角为 。30
求：此瞬时AB杆的 角速度及角加速度。
解： 动点：滑块B 动系：杆AE
va ve vr
基点：A
ve vB' vA vB' A
va vA vB' A vr
vBA : vB cos30 vA cos60 vBA
vr : vB sin 30 vA sin 60 vr
vr 10 mm s
AE
vBA AB
3 rad s 2
解： 1. AB作平面运动 基点：A 2. vB vA vBA
大小 ？ r ?
方向
60
vB vA cos 30 2 3r 3
0
vB 0
90
vB vA r, vBA 0
例8-4
已知：如图所示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定，半
径为r1 ，行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2。
与杆AC距离为l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为 60。
求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。
解： 1. 动点 ： 铰链A 动系 ： 套筒O
2. va ve vr 大小 v ? ?
方向
ve va sin 60
3v 2
vr
va
cos 60
v 2
AB
ve AO
3v 4l
aa aet aen ar aC
va ve vr 大小 v ? ?
方向 √ √ √
沿BD方向投影
ve va v
vr 0
OA
ve OB
v l
aa aet aen ar aC
大小 2v2 l
? O2Al ?
0
方向
沿BD方向投影
at e
aa
2v 2 l
OA
at e
OB
2v 2 l2
例8-12
已知：在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速v 平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O
系杆OA角速度为 O 。
求：轮Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B，C 两点的速度。
解: 1.轮Ⅱ作平面运动 基点：A
2.vD vA vDA 0
vDA vA O r1 r2
Ⅱ
vDA DA
vA r2
O
1
r1 r2
３. vB vA vBA
大小 ？O r1 r2 Ⅱr2
方向
vB
解： 速度分析 1.杆AB作平面运动，基点为B。
vA vB vAB 2.动点 ：滑块 A，动系 ：OC 杆
大小
vA ve vr vB vAB
OA ? l ?
方向
√ √√√
沿vB方向投影
沿 v方r 向投影
vB
vAB
sin
30
ve
l
2
vAB 2vB ve l
AB
vAB l
vr vAB cos 300
v
2 A
vB2A
2O r1 r2
4. vC vA vCA
vC vA vCA 2O r1 r2
例8-5 如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速 度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿 水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A，B， E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。
AB
vD CD
l
l
2.选D为基点
aD l2
aA
aD
a
t AD
a
n AD
大小 ？ l2 ? l2
方向
分别沿 轴和 轴投影
aA cos aD cosπ 2 aAnD
0