高中数学第二章参数方程2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程学案

2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程
[对应学生用书P24]
[自主学习]
1．有向线段的数量
如果P ，M 是l 上的两点，P 到M 的方向与直线的正方向一致，那么PM 取正值，否则取
负值．我们称这个数值为有向线段PM u u u r
的数量．
2．直线参数方程的两种形式
(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α
(t 为
参数)．
其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M 的位移，可以用有向线段PM u u u r
的数量来表示．
(2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1
＋λx
2
1＋λ，y ＝y 1
＋λy 2
1＋λ
(λ为参数，λ≠－1)．
其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M 分有向线段QP u u u r
的数
量比QM MP
.
①当λ>0时，M 为内分点；
②当λ<0且λ≠－1时，M 为外分点； ③当λ＝0时，点M 与Q 重合．
[合作探究]
1．如何引入参数求过定点P (x 0，y 0)且与平面向量a ＝(a ，b )⎝
⎛⎭
⎪⎫
或斜率为b a
平行的直线的
参数方程？
提示：在直线l 上任取一点M (x ，y )，因为PM u u u r ∥a ，由两向量共线的充要条件以及PM
u u u r
＝(x －x 0，y －y 0)，可得
x －x 0a ＝y －y 0b ，设这个比值为t ，即：x －x 0a ＝y －y 0
b
＝t ，则有：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt
(t ∈R )．
2．问题1中得到的参数方程中参数何时与⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α
(t ∈R )中参数t 具有
相同的几何意义？
提示：当a 2
＋b 2
＝1时．
[对应学生用书P24]
直线参数方程的确定
[例1] (1)写出直线l 的参数方程；
(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点．
[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此
题需要将条件代入⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α
得到直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可
求得交点．
[精解详析] (1)直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°
(t 为参数)，
即⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＝3－1
2t ，y ＝4＋3
2
t (t 为参数)．
(2)把⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3－12t ，y ＝4＋3
2
t 代入x －y ＋1＝0，
得3－12t －4－3
2
t ＋1＝0，得t ＝0.
把t ＝0代入⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝3
－12t ，y ＝4＋3
2
t ，得两直线的交点为(3,4)．
1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．
2．已知直线过两点，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1
＋λx
2
1＋λ，
y ＝y 1
＋λy
2
1＋λλ为参数且λ≠－1
.
3．已知直线经过的定点与其方向向量a ＝(a ，b )(或斜率b
a
)，则其参数方程可为：
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋ta ，
y ＝y 0＋tb
(t 为参数)．
1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．
解：设直线AB 与l 的交点M (x ，y )，且AM
MB
＝λ，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ
(λ为参数且λ≠－1)．①
把①代入y ＝x 得1＋3λ1＋λ＝3＋λ
1＋λ，得λ＝1，
所以点M 分AB 的比为1∶1.
利用直线参数方程中参数的几何意义解决距离问题
[例2] 写出经过点M 0(－2,3)，倾斜角为4的直线l 的参数方程，并且求出直线l 上
与点M 0相距为2的点的坐标．
[思路点拨] 本题考查直线参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的应用，特别是
参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M 0相距为2的点对应的参数t ，然后代入参数方程求此点的坐标．
[精解详析] 直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋t
cos 3π
4，y ＝3
＋
t sin 3π4
(t 为参数)．①
设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，M 点对应的参数为t ，则|M 0M |＝|t |＝2， ∴t ＝±2.将t 的值代入①式：
当t ＝2时，M 点在M 0点上方，其坐标为(－2－2，3＋2)； 当t ＝－2时，M 点在M 0点下方，其坐标为(－2＋2，3－2)．
1．过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α
的直线的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参
数)，|t |的几何意义是有向线段PM u u u r
的长度，即P 与M 间的距离．
2．过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为b
a 的直线的参数方程是⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t
为参数)．当a 2
＋b 2
＝1时，|t |的几何意义是有向线段0M M u u u u u r 的长度，当a 2＋b 2
≠1时，|t |
的几何意义是0M M u u u u u r
的长度的
1
a 2＋
b 2
.
2．过点A (1，－5)的直线l 1的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝1＋t ，
y ＝－5＋3t
(t 为参数)，它与方程为x
－y －23＝0的直线l 2相交于一点P ，求点A 与点P 之间的距离．
解：将直线l 1的参数方程化为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋1
22t ，y ＝－5＋32
2t
(t 为参数)．
⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＝1且32＞0，令t ′＝2t ，则将t ′代入上述方程得直线l 1
的参数方程的标准式为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋1
2t ′，y ＝－5＋32
t ′(t ′为参数)．代入x －y －23＝0得
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ′－⎝ ⎛
⎭⎪⎫－5＋32t ′－23＝0，解得t ′＝43， ∴|AP |＝|t ′|＝4 3.
直线与圆锥曲线的位置关系
[例3] 已知直线l 过点P (1,0)，倾斜角为3，直线l 与椭圆2
3＋y 2
＝1相交于A ，B 两
点，设线段AB 的中点为M .
(1)求P ，M 两点间的距离； (2)求线段AB 的长|AB |.
[思路点拨] 本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问
题中的应用，解答此题需要求出直线的形如⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α
(t 为参数)的方程，然后
利用参数的几何意义求解．
[精解详析] (1)∵直线l 过点P (1,0)，倾斜角为π3，cos α＝12，sin α＝3
2.
∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋1
2t ，y ＝32t
(t 为参数)．①
∵直线l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程 并整理得5t 2
＋2t －4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0.
设这个二次方程的两个实根为t 1，t 2.
由根与系数的关系得：t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－4
5，
由M 为AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝|
t 1＋t 2
2|＝1
5
. (2)|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 2
2
－4t 1t 2＝
8425＝2215
.
1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便．
2．在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α
代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋
t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.
(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. (2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝
t 1＋t 2
2
(解题时可以作为基本结论使用)．
3．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的
长．
解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2
2
t ，y ＝2＋2
2
t (t 为参数)代入抛物线方程y 2
＝4x ，
得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋
22t 2＝4⎝
⎛⎭⎪⎫
1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.
本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题．
[考题印证]
(湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2s ＋1，
y ＝s (s 为参数)和直线l 2：
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝at ，
y ＝2t －1
(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．
[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法．
[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意．
[答案] 4
[对应学生用书P26]
一、选择题
1．已知直线l 过点A (1,5)，倾斜角为π
3
，P 是l 上一动点，若以PA u u r ＝t 为参数，则直
线l 的参数方程是( )
A.⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝5－3
2t
B.⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＝1－12t ，y ＝5＋3
2t
C.⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋12t ，y ＝5＋3
2
t
D.⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－12t ，y ＝5－3
2
t
解析：选D ∵PA u u r ＝t ，∴AP u u u r
＝－t .
则参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋
－t cos π
3，
y ＝5＋
－t
sin π3
，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－1
2t ，y ＝5－3
2
t .故选D.
2．直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋t sin 20°，
y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )
A ．20°
B ．70°
C ．110°
D ．160°
解析：选C 法一：将原方程改写成
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －3＝t sin 20°，
－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝tan 110°(x －3)，
所以直线的倾斜角为110°.
法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋－t cos 110°，y ＝－t sin 110°，
令－t ＝t ′，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋t ′cos 110°，
y ＝t ′sin 110 °，
所以直线的倾斜角为110°. 3．直线⎩⎨⎧
x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t
(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是
( )
A ．(－4,5)
B ．(－3,4)
C ．(－3,4)或(－1,2)
D ．(－4,5)或(0,1)
解析：选C 设直线上的点Q (－2－2t,3＋2t )与点P (－2,3)的距离等于2， 即d ＝
－2－2t ＋22
＋3＋2t －3
2
＝ 2.
解得t ＝±
22
.
当t ＝2
2时，⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2－2×2
2＝－3，y ＝3＋2×2
2＝4，
∴Q (－3,4)．
当t ＝－2
2时，⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝3＋2×⎝ ⎛
⎭⎪⎫－22＝2，
∴Q (－1,2)．
综上，符合题意的点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．
4．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π
3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )
A.3＋1 B ．6(3＋1) C ．6＋ 3
D ．63＋1
解析：选B 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋12t ，y ＝5＋3
2
t (t 为参数)，代入直
线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．
根据参数t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． 二、填空题
5．过P (－4,0)，倾斜角为
5π
6
的直线的参数方程为________． 解析：∵直线l 通过P (－4,0)，倾斜角α＝5π
6
，
所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－4＋t cos
5π
6
，y ＝0＋t sin 5π
6
，
即⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＝－4－3
2t ，y ＝t 2.
答案：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4－32t ，y ＝12t
6．若直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2t ，
y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析：直线⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1－2t ，y ＝2＋3t
的斜率为－3
2
，
∴－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32＝－1，k ＝－6.
答案：－6
7．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋t sin θ，y ＝－2＋t cos θ
(t 为参数)，其中角θ的范围是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，则直线l 的倾斜角是________．
解析：将原参数方程改写成⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，
消去参数t ，
得y ＋2＝(x －1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角
为3π
2
－θ. 答案：3π
2
－θ
8．直线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2－1
2
t ，y ＝－1＋1
2
t (t 为参数)与圆x 2＋y 2
＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标
为(2，－1)，则|PA |·|PB |＝________.
解析：把直线的参数方程代入圆的方程，
得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12t 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋12t 2＝1， 即t 2
－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，
∴A (1,0)，B (0,1)．
∴|PA |＝12＋12＝2，|PB |＝22＋22＝2 2.
∴|PA |·|PB |＝2×22＝4.
答案：4
三、解答题
9．已知P 为半圆C ：x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，
点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3
. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求点M 的极坐标；
(2)求直线AM 的参数方程．
解：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π3. (2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)． 10．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程； (2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于点A 和点B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角α＝
π6，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．
(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4， 整理，得t 2＋(3＋1)t －2＝0.
因为t 1，t 2是方程t 2＋(3＋1)t －2＝0的根，
所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.
所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ
(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2是圆锥曲线
的左、右焦点． (1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．
解：(1)圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 2
3＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33
，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t 为参数)，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝32t －1，
y ＝12t (t 为参数)． (2)法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1sin 120°－θ， 即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3. 法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，
将⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程：
ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.。