2020年云南省中考数学模拟预测试卷(附答案)

云南省中考数学模拟预测试卷
一、选择题，共8个小题
1．下列各数中，最小的数是（）
A．0 B．1 C．﹣D．﹣1
2．下列计算正确的是（）
A．a6÷a2=a3B．a2+a3=a5C．（a2）3=a6D．（a+b）2=a2+b2
3．如图是一个由7个同样的立方体叠成的几何体．请问下列选项中，既是中心对称图形，又是这个几何体的三视图之一的是（）
A．B．C．D．
4．下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1的是（）
A．B．C．D．
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．D．
6．若一组数据1，1，2，3，8，x的平均数是3，则这组数据的中位数与众数分别是（）A．2.5与1、3 B．2与1 C．3与1 D．2.5与1
7．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C． D．
8．已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（6，2），D（0，2），直线y=kx+2将该四边形分成面积相等的两部分，则k的值为（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到与之相关的结果个数约为12500000，这个数用科学记数法表示为．
10．如图，⊙半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是．
11．化简÷（m﹣1﹣）的结果是．
12．如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧．与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．
13．如图，在△ABC．中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC 于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，
④A1F=CE．其中正确的是（写出正确结论的序号）．
14．如图所示，用围棋子拼成如图的“上”字．
请问：第n个“上”字由个围棋子构成．
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分）
15．计算：（）0﹣|1﹣|﹣+（cos30°）﹣1．
16．某校部分男生分3组进行引体向上训练．对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如下．
（1）求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；
（2）小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均成绩不可能提高3个这么多．”你同意小明的观点吗？请说明理由；
（3）你认为哪一组的训练效果最好？请提供一个解释来支持你的观点．
17．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
时间第一个月第二个月清仓时
单价（元）80 40
销售量（件）200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
18．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）
19．如图，已知函数y=x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A．将y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若=2，求反比例函数的解析式．
20．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．
（1）写出点M坐标的所有可能的结果；
（2）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．
21．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
22．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
23．已知：关于x的二次函数y=﹣x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．
（1）y1=y2，请说明a必为奇数；
（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；
（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n 的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题，共8个小题
1．下列各数中，最小的数是（）
A．0 B．1 C．﹣D．﹣1
【考点】实数大小比较．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣，
∴各数中，最小的数是﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．下列计算正确的是（）
A．a6÷a2=a3B．a2+a3=a5C．（a2）3=a6D．（a+b）2=a2+b2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数想减；幂的乘方，底数不变指数相乘；完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a6÷a2=a4，故本选项错误；
B、a2与a3，不是同类项不能合并，故本选项错误；
C、（a2）3=a6，正确；
D、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；
故选C．
【点评】主要考查同底数幂的除法，幂的乘方的性质，完全平方公式，熟练掌握各种运算的法则是解题的关键．
3．如图是一个由7个同样的立方体叠成的几何体．请问下列选项中，既是中心对称图形，又是这个几何体的三视图之一的是（）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图；中心对称图形．
【专题】压轴题．
【分析】首先把此几何体的三视图画出来，然后找出是中心对称图形．
【解答】解：A，这是主视图，它不是中心对称图形，故此选项错误；
B，这是俯视图，它是中心对称图形，故此选项正确；
C，这是左视图，它不是中心对称图形，故此选项错误；
D，它不是由7个同样的立方体叠成的几何体的三视图，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了三视图的几何知识，考查了学生的空间思维想象能力．
4．下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1的是（）
A．B．C．D．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据函数自变量的取值得到x＜1的取值的选项即可．
【解答】解：A、自变量的取值为x≠1，不符合题意；
B、自变量的取值为x≠0，不符合题意；
C、自变量的取值为x≤1，不符合题意；
D、自变量的取值为x＜1，符合题意．
故选D．
【点评】考查函数自变量取值范围的应用；考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可
【解答】解：，
解得，
即：﹣1＜x＜3，
在数轴上表示不等式的解集：．
故选：A．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．若一组数据1，1，2，3，8，x的平均数是3，则这组数据的中位数与众数分别是（）A．2.5与1、3 B．2与1 C．3与1 D．2.5与1
【考点】众数；中位数．
【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，进而就可以确定这组数的中位数和众数即可．
【解答】解：根据平均数的定义可知，x=3×6﹣1﹣1﹣2﹣8﹣3=3，
这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是2，3，故中位数为2.5，
数据1和3各出现了2次，并列最多，故众数为1和3，
故选A．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根
据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C． D．
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法．
【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（6，2），D（0，2），直线y=kx+2将该四边形分成面积相等的两部分，则k的值为（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【考点】一次函数的性质．
【分析】首先根据四边形ABCD的四个顶点的坐标，判断出四边形ABCD是平行四边形，然后根据过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，再根据直线y=kx+2经过四边形ABCD的顶点C，判断出直线y=kx+2是BC所在的直线，据此求出k的值为多少即可．
【解答】解：如图1，
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（6，2），D（0，2），
∴AB=5﹣（﹣1）=6，CD=6﹣0=6，
又∵点C、D的纵坐标相同，
∴AB∥CD且AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵当x=0时，y=k×0+2=2，
∴直线y=kx+2经过四边形ABCD的顶点C，
又∵直线y=kx+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴直线y=kx+2是BC所在的直线，
∴k=．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数的性质的应用，以及平行四边形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出直线y=kx+2是BC所在的直线．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到与之相关的结果个数约为12500000，这个数用科学记数法表示为 1.25×107．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于12500000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．
【解答】解：12 500 000=1.25×107．
故答案为：1.25×107．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
10．如图，⊙半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是．
【考点】弧长的计算；圆周角定理．
【分析】连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数，然后利用弧长计算公式求解即可．
【解答】解：连接OB，OC，
则∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
故劣弧BC的长是=π．
【点评】本题考查了弧长的计算公式以及圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键，难度一般．11．化简÷（m﹣1﹣）的结果是．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果．
【解答】解：原式=÷=•=，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧．与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．
【考点】特殊角的三角函数值；等边三角形的判定与性质；作图—复杂作图．
【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．
【解答】解：连接AB，
由图可知：OA=0B，AO=AB
∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°=．
故答案是：．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．
13．如图，在△ABC．中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC 于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，
④A1F=CE．其中正确的是①②④（写出正确结论的序号）．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】①两个不同的三角形中有两个角相等，那么第三个角也相等；
②根据ASA可得出△A1BF≌△CBE，再由A1B﹣BE=BC﹣BF即可得出结论；
③∠CDF=α，而∠C与顺时针旋转的度数不一定相等，所以DF与FC不一定相等；
④用角边角证明△A1BF≌△CBE后可得A1F=CE．
【解答】解：①∠C=∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）
又∵∠DFC=∠BFC1（对顶角相等）
∴∠CDF=∠C1BF=α，故结论①正确；
②∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠A1=∠C，A1B=CB，∠A1BF=∠CBE，
∴△A1BF≌△CBE（ASA），
∴BF=BE，
∴A1B﹣BE=BC﹣BF，
∴A1E=CF，故②正确；
③在三角形DFC中，∠C与∠CDF=α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，
故结论③不一定正确；
④∠A1=∠C，BC=A1B，∠A1BF=∠CBE
∴△A1BF≌△CBE（ASA）
那么A1F=CE．
故结论④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查旋转的性质，其中涉及三角形全等的定理和性质：角角边证明三角形全等，全等三角形对应边相等．
14．如图所示，用围棋子拼成如图的“上”字．
请问：第n个“上”字由4n+2个围棋子构成．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由题意可知：第1个“上”字中的棋子个数是6；第2个“上”字中的棋子个数是10；第3个“上”字中的棋子个数是14；…进一步发现第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）．
【解答】解：依题意可知n=1时，棋子数为6，
n=2时，棋子数为10，
n=3时，棋子数为14，
…
因此当n=n时，棋子数为：4n+2．
故答案为：4n+2．
【点评】此题考查图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分）
15．计算：（）0﹣|1﹣|﹣+（cos30°）﹣1．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】分别进行零指数幂、绝对值的化简、二次根式的化简、特殊角的三角函数值等运算，然后合并．
【解答】解：原式=1﹣（1﹣）﹣+
=．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了零指数幂、绝对值的化简、二次根式的化简、特殊角的三角函数值等知识掌握运算法则是解答本题关键．
16．某校部分男生分3组进行引体向上训练．对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如下．
（1）求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；
（2）小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均成绩不可能提高3个这么多．”你同意小明的观点吗？请说明理由；
（3）你认为哪一组的训练效果最好？请提供一个解释来支持你的观点．
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【专题】图表型．
【分析】（1）用训练后的成绩减去训练前的成绩除以训练前的成绩乘以100%即可；
（2）求出第二组的平均成绩增加的个数与小明的说法相比较即可作出判断；
（3）可以从训练前后成绩增长的百分数去分析，也可以通过个数比较．
【解答】解：（1）训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是
×100%≈67%；
（2）我不同意小明的观点，
设第二组男生的人数为x人，
第二组的平均成绩增加（8×10%•x+6×20%•x+5×20%•x+0×50%•x）÷x=3个．
故不同意小明的观点；
（3）本题答案不唯一，下列解法供参考．
我认为第一组的训练效果最好；
训练后每组的平均成绩比训练前增长的百分数分别为：
第一组：×100%≈67%，
第二组：×100%=50%，
第三组：×100%≈22%，
训练后第一组的平均成绩比训练前增长的百分数最大，所以第一组的训练效果最好．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识，解决此类题目的关键是正确的识图，通过正确的识图，从中整理出进一步解题的信息．
17．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
时间第一个月第二个月清仓时
单价（元）80 40
销售量（件）200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题；压轴题．
【分析】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；
（2）利用“获利9000元”，即销售额﹣进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
【解答】解：（1）80﹣x，200+10x，800﹣200﹣（200+10x）
时间第一个月第二个月清仓时
单价（元）80 80﹣x 40
销售量（件）200 200+10x 800﹣200﹣（200+10x）
（2）根据题意，得
80×200+（80﹣x）（200+10x）+40[800﹣200﹣（200+10x）]﹣50×800=9000
整理得10x2﹣200x+1000=0，
即x2﹣20x+100=0，
解得x1=x2=10
当x=10时，80﹣x=70＞50
答：第二个月的单价应是70元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价﹣进价．
18．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】压轴题．
【分析】根据CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长．
【解答】解：设CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE=，
即tan30°=，
∴，
3x=（x+100），
解得x=50+50=136.6，
∴CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1≈138（m）．
答：该建筑物的高度约为138m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据tan∠CAE=得出x的值是解决问题的关键．
19．如图，已知函数y=x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A．将y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若=2，求反比例函数的解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据一次函数图象的平移问题由y=x的图象向下平移6个单位得到直线BC的解析式为y=x﹣6，然后把y=0代入即可确定C点坐标；
（2）作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，易证得Rt△OAE∽△RtCBF，则===2，若设A点坐标为（a，a），则CF=a，BF=a，得到B点坐标为（+a，a），然后根据反比例函数上点的坐标特征得a•a=（+a）•a，解得a=3，于是可确定点A的坐标为（3，4），再利用待定系数法确定反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C，∴直线BC的解析式为y=x﹣6，
把y=0代入得x﹣6=0，解得x=，
∴C点坐标为（，0）；
（2）作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，
∵OA∥BC，
∴∠AOC=∠BCF，
∴Rt△OAE∽Rt△CBF，
∴===2，
设A点坐标为（a，a），则OE=a，AE=a，
∴CF=a，BF=a，
∴OF=OC+CF=+a，
∴B点坐标为（+a，a），
∵点A与点B都在y=的图象上，
∴a•a=（+a）•a，解得a=3，
∴点A的坐标为（3，4），
把A（3，4）代入y=得k=3×4=12，
∴反比例函数的解析式为y=．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数图象的平移问题．
20．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．
（1）写出点M坐标的所有可能的结果；
（2）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况结果即可；
（2）列表得出点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
1 2 3
1 （1，1）（2，1）（3，1）
2 （1，2）（2，2）（3，2）
3 （1，3）（2，3）（3，3）
则点M坐标的所有可能的结果有9个：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；
（2）求出横纵坐标之和，如图所示：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
得到之和为偶数的情况有5种，
故P（点M的横坐标与纵坐标之和是偶数）=．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S
=．
扇形BOC
在Rt△OCD中，
∵，
∴．
∴．
∴图中阴影部分的面积为：．
【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．
22．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【专题】几何综合题；压轴题；动点型；分类讨论．
【分析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t，即QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
【点评】本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
23．已知：关于x的二次函数y=﹣x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．
（1）y1=y2，请说明a必为奇数；
（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；
（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n 的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到答案；
（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解；
（3）本问为存在型问题．如解答图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称．于是得到n+1=，从而可以求出n=﹣1．
【解答】解：（1）∵点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在二次函数y=﹣x2+ax（a＞0）的图象上，
∴y1=﹣n2+an，y2=﹣（n+1）2+a（n+1）
∵y1=y2，
∴﹣n2+an=﹣（n+1）2+a（n+1）
整理得：a=2n+1
∴a必为奇数；
（2）当a=11时，∵y1≤y2≤y3
∴﹣n2+11n≤﹣（n+1）2+11（n+1）≤﹣（n+2）2+11（n+2）
化简得：0≤10﹣2n≤18﹣4n，
解得：n≤4，
∵n为正整数，
∴n=1、2、3、4．
（3）假设存在，则BA=BC，如右图所示．
过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E．
∵x A=n，x B=n+1，x C=n+2，
∴AD=CE=1．
在Rt△ABD与Rt△CBE中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．
∴∠ABD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．
由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称，
∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，
∴n+1=，
∴n=﹣1．
∴a为大于2的偶数，存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点，有一定的难度，是一道好题．。