2020年高考物理复习：动量与能量综合 专项练习题(含答案解析)

2020年高考物理复习：动量与能量综合专项练习题
1.如图所示，在平直轨道上P点静止放置一个质量为2m的物体A，P点左侧粗糙，右侧光滑。

现有一颗质量为m 的子弹以v0的水平速度射入物体A并和物体A一起滑上光滑平面，与前方静止物体B发生弹性正碰后返回，在粗
糙面滑行距离d停下。

已知物体A与粗糙面之间的动摩擦因数为μ＝v20
72gd，求：
(1)子弹与物体A碰撞过程中损失的机械能；
(2)B物体的质量。

2.如图所示，水平光滑地面的右端与一半径R＝0.2 m的竖直半圆形光滑轨道相连，某时刻起质量m2＝2 kg的小球在水平恒力F的作用下由静止向左运动，经时间t＝1 s 撤去力F，接着与质量m1＝4 kg以速度v1＝5 m/s向右运动的小球碰撞，碰后质量为m1的小球停下来，质量为m2的小球反向运动，然后与停在半圆形轨道底端A点的质量m3＝1 kg的小球碰撞，碰后两小球粘在一起沿半圆形轨道运动，离开B点后，落在离A点0.8 m的位置，求恒力F 的大小。

(g取10 m/s2)
3.如图所示，半径为R的四分之三光滑圆轨道竖直放置，CB是竖直直径，A点与圆心等高，有小球b静止在轨道底部，小球a自轨道上方某一高度处由静止释放自A点与轨道相切进入竖直圆轨道，a、b小球直径相等、质量之比为3∶1，两小球在轨道底部发生弹性正碰后小球b经过C点水平抛出落在离C点水平距离为22R的地面上，重力加速度为g，小球均可视为质点。

求
(1)小球b碰后瞬间的速度；
(2)小球a 碰后在轨道中能上升的最大高度。

4.如图所示，一对杂技演员(都视为质点)荡秋千(秋千绳处于水平位置)，从A 点由静止出发绕O 点下摆，当摆到最低点B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A .已知男演员质量为2m 和女演员质量为m ，秋千的质量不计，秋千的摆长为R ，C 点比O 点低5R .不计空气阻力，求：
(1)摆到最低点B ，女演员未推男演员时秋千绳的拉力；
(2)推开过程中，女演员对男演员做的功；
(3)男演员落地点C 与O 点的水平距离s .
5.如图所示，光滑水平面上放着质量都为m 的物块A 和B ，A 紧靠着固定的竖直挡板，A 、B 间夹一个被压缩的轻弹
簧(弹簧与A 、B 均不拴接)，用手挡住B 不动，此时弹簧弹性势能为92mv 20
，在A 、B 间系一轻质细绳，细绳的长略大于弹簧的自然长度。

放手后绳在短暂时间内被拉断，之后B 继续向右运动，一段时间后与向左匀速运动、速度为v 0的物块C 发生碰撞，碰后B 、C 立刻形成粘合体并停止运动，C 的质量为2m 。

求：
(1)B 、C 相撞前一瞬间B 的速度大小；
(2)绳被拉断过程中，绳对A 所做的W 。

6.如图所示，半径R ＝2.8 m 的光滑半圆轨道BC 与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道在同一竖直平面内，两轨道间由一条光滑水平轨道AB 相连，A 处用光滑小圆弧轨道平滑连接，B 处与圆轨道相切．在水平轨道上，两静止小球P 、Q 压紧轻质弹簧后用细线连在一起．某时刻剪断细线后，小球P 向左运动到A 点时，小球Q 沿圆轨道到达C 点；之后小球Q 落到斜面上时恰好与沿斜面向下运动的小球P 发生碰撞．已知小球P 的质量m 1＝3.2 kg ，小球Q 的质量m 2＝1 kg ，小球P 与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，剪断细线前弹簧的弹性势能E p ＝168 J ，小球到达A 点或B 点时已和弹簧分离．重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
(1)小球Q运动到C点时的速度大小；
(2)小球P沿斜面上升的最大高度h；
(3)小球Q离开圆轨道后经过多长时间与小球P相碰．
7.如图所示的水平轨道中，AC段的中点B的正上方有一探测器，C处有一竖直挡板，物体P1沿轨道向右以速度v1与静止在A点的物体P2碰撞，并接合成复合体P，以此碰撞时刻为计时零点，探测器只在t1＝2 s至t2＝4 s内工作。

已知P1、P2的质量均为m＝1 kg，P与AC间的动摩擦因数为μ＝0.1，AB段长L＝4 m，g取10 m/s2，P1、P2和P 均视为质点，P与挡板的碰撞为弹性碰撞。

(1)若v1＝6 m/s，求P1、P2碰后瞬间的速度大小v和碰撞损失的动能ΔE；
(2)若P与挡板碰后，能在探测器的工作时间内通过B点，求v1的取值范围和P向左经过A点时的最大动能E。

8.如图所示，光滑半圆形轨道MNP竖直固定在水平面上，直径MP垂直于水平面，轨道半径R＝0.5 m。

质量为m1的小球A静止于轨道最低点M，质量为m2的小球B用长度为2R的细线悬挂于轨道最高点P。

现将小球B向左拉起，使细线水平，以竖直向下的速度v0＝4 m/s释放小球B，小球B与小球A碰后粘在一起恰能沿半圆形轨道运动到P点。

两球可视为质点，g＝10 m/s2，试求：
(1)B球与A球相碰前的速度大小；
(2)A、B两球的质量之比m1∶m2。

9.如图所示，固定点O上系一长L＝0.6 m的细绳，细绳的下端系一质量m＝1.0 kg的小球(可视为质点)，原来处于静止状态，球与平台的B点接触但对平台无压力，平台高h＝0.80 m，一质量M＝2.0 kg的物块开始静止在平台上的P点，现对物块M施予一水平向右的初速度v0，物块M沿粗糙平台自左向右运动到平台边缘B处与小球m发生正碰，碰后小球m在绳的约束下做圆周运动，经最高点A时，绳上的拉力恰好等于小球的重力，而物块M落在水平地面上的C点，其水平位移x＝1.2 m，不计空气阻力，g＝10 m/s2.
(1)求物块M碰撞后的速度大小；
(2)若平台表面与物块M间的动摩擦因数μ＝0.5，物块M与小球的初始距离为x1＝1.3 m，求物块M在P处的初速度大小．
10.如图所示，半径R＝2.8 m的光滑半圆轨道BC与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道在同一竖直平面内，两轨道间由一条光滑水平轨道AB相连，A处用光滑小圆弧轨道平滑连接，B处与圆轨道相切．在水平轨道上，两静止小球P、Q 压紧轻质弹簧后用细线连在一起．某时刻剪断细线后，小球P向左运动到A点时，小球Q沿圆轨道到达C点；之后小球Q落到斜面上时恰好与沿斜面向下运动的小球P发生碰撞．已知小球P的质量m1＝3.2 kg，小球Q的质量m2＝1 kg，小球P与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，剪断细线前弹簧的弹性势能E p＝168 J，小球到达A点或B点时已和弹簧分离．重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
(1)小球Q运动到C点时的速度大小；
(2)小球P沿斜面上升的最大高度h；
(3)小球Q离开圆轨道后经过多长时间与小球P相碰．
11.如图所示，半径为R1＝1.8 m的1
4光滑圆弧与半径为R2＝0.3 m的半圆光滑细管平滑连接并固定，光滑水平地面上
紧靠管口有一长度为L＝2.0 m、质量为M＝1.5 kg的木板，木板上表面正好与管口底部相切，处在同一水平线上，木板的左方有一足够长的台阶，其高度正好与木板相同．现在让质量为m2＝2 kg的物块静止于B处，质量为m1＝1 kg的物块从光滑圆弧顶部的A处由静止释放，物块m1下滑至B处和m2碰撞后不再分开，整体设为物块m(m＝m1＋m2)．物块m穿过半圆管底部C处滑上木板使其从静止开始向左运动，当木板速度为2 m/s时，木板与台阶碰撞立即被粘住(即速度变为零)，若g＝10 m/s2，物块碰撞前后均可视为质点，圆管粗细不计．
(1)求物块m 1和m 2碰撞过程中损失的机械能；
(2)求物块m 滑到半圆管底部C 处时所受支持力大小；
(3)若物块m 与木板及台阶表面间的动摩擦因数均为μ＝0.25，求物块m 在台阶表面上滑行的最大距离．
答案解析
1.如图所示，在平直轨道上P 点静止放置一个质量为2m 的物体A ，P 点左侧粗糙，右侧光滑。

现有一颗质量为m 的子弹以v 0的水平速度射入物体A 并和物体A 一起滑上光滑平面，与前方静止物体B 发生弹性正碰后返回，在粗
糙面滑行距离d 停下。

已知物体A 与粗糙面之间的动摩擦因数为μ＝v 2072gd
，求：
(1)子弹与物体A 碰撞过程中损失的机械能；
(2)B 物体的质量。

【答案】 (1)13mv 20
(2)9m 【解析】 (1)设子弹与物体A 的共同速度为v ，由动量守恒定律有
mv 0＝3mv ，
则该过程损失的机械能
ΔE ＝12mv 20－12·3mv 2＝13mv 20。

(2)以子弹、物体A 和物体B 为系统，设B 的质量为M ，碰后子弹和物体A 的速度为v 1，物体B 的速度为v 2，由动
量守恒定律有
3mv ＝Mv 2＋3mv 1，
碰撞过程机械能守恒，有
12·3mv 2＝12·3mv 21＋12Mv 22
， 从子弹与物体A 滑上粗糙面到停止，由能量守恒定律有
3μmgd ＝12
·3mv 21， 又μ＝v 2072gd
， 综上可解得M ＝9m 。

2.如图所示，水平光滑地面的右端与一半径R ＝0.2 m 的竖直半圆形光滑轨道相连，某时刻起质量m 2＝2 kg 的小球在水平恒力F 的作用下由静止向左运动，经时间t ＝1 s 撤去力F ，接着与质量m 1＝4 kg 以速度v 1＝5 m/s 向右运动的小球碰撞，碰后质量为m 1的小球停下来，质量为m 2的小球反向运动，然后与停在半圆形轨道底端A 点的质量m 3＝1 kg 的小球碰撞，碰后两小球粘在一起沿半圆形轨道运动，离开B 点后，落在离A 点0.8 m 的位置，求恒力F 的大小。

(g 取10 m/s 2)
【答案】 8 N
【解析】 质量分别为m 2、m 3的两小球离开B 点后做平抛运动，
设平抛运动的初速度为v B ，则2R ＝12
gt 2， x ＝v B t
解得v B ＝2 2 m/s
设质量分别为m 2、m 3的两小球碰后的速度为v 3，根据机械能守恒定律有
(m 2＋m 3)g ·2R ＋12(m 2＋m 3)v 2B ＝12
(m 2＋m 3)v 23， 解得v 3＝4 m/s
设质量分别为m 2、m 3的两小球碰前质量为m 2的小球的速度为v 2，由动量守恒定律得m 2v 2＝(m 2＋m 3)v 3， 解得v 2＝6 m/s
设质量分别为m 1、m 2的两小球碰前质量为m 2的小球的速度为v 0，由动量守恒定律得：m 1v 1－m 2v 0＝m 2v 2，解得v 0＝4 m/s
对质量为m 2的小球，由动量定理得Ft ＝m 2v 0，
解得F ＝8 N 。

3.如图所示，半径为R 的四分之三光滑圆轨道竖直放置，CB 是竖直直径，A 点与圆心等高，有小球b 静止在轨道底部，小球a 自轨道上方某一高度处由静止释放自A 点与轨道相切进入竖直圆轨道，a 、b 小球直径相等、质量之比为3∶1，两小球在轨道底部发生弹性正碰后小球b 经过C 点水平抛出落在离C 点水平距离为22R 的地面上，重力加速度为g ，小球均可视为质点。

求
(1)小球b 碰后瞬间的速度；
(2)小球a 碰后在轨道中能上升的最大高度。

【答案】 (1)6gR (2)13
R 【解析】 (1)b 小球从C 点抛出做平抛运动，有
12
gt 2＝2R 解得t ＝4R g
小球b 做平抛运动的水平位移x ＝v C t ＝22R
解得v C ＝2gR
根据机械能守恒有12m b v 2b ＝12m b v 2C
＋2m b gR 可知小球b 在碰后瞬间的速度v b ＝6gR
(2)a 、b 两小球相碰，由动量守恒得：m a v a ＝m a v a ′＋m b v b
a 、
b 两小球发生弹性碰撞，由机械能守恒得：
12m a v 2a ＝12m a v a ′2＋12
m b v 2b 又m a ＝3m b
解得：v a ＝23v b ，v a ′＝12v a ＝13
v b 可得：v a ′＝6gR 3
，小球a 在轨道内运动，不能到达圆心高度，所以小球a 不会脱离轨道，只能在轨道内来回滚动，根据机械能守恒可得12
m a v a ′2＝m a gh 解得h ＝R 3
4.如图所示，一对杂技演员(都视为质点)荡秋千(秋千绳处于水平位置)，从A 点由静止出发绕O 点下摆，当摆到最低点B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A .已知男演员质量为2m 和女演员质量为m ，秋千的质量不计，秋千的摆长为R ，C 点比O 点低5R .不计空气阻力，求：
(1)摆到最低点B ，女演员未推男演员时秋千绳的拉力；
(2)推开过程中，女演员对男演员做的功；
(3)男演员落地点C 与O 点的水平距离s .
【答案】 (1)9mg (2)6mgR (3)8R
【解析】 (1)第一个过程：两杂技演员从A 点下摆到B 点，只有重力做功，机械能守恒．设二者到达B 点的速度
大小为v 0，则由机械能守恒定律有：(m ＋2m )gR ＝12
(m ＋2m )v 02. 女演员未推男演员时，秋千绳的拉力设为F T ，由两杂技演员受力分析有：
F T －(2m ＋m )g ＝(m ＋2m )v 02R
所以F T ＝9mg
(2)第二个过程：两演员相互作用，沿水平方向动量守恒．
设作用后女、男演员的速度大小分别为v 1、v 2，
所以有(m ＋2m )v 0＝2mv 2－mv 1.
第三个过程：女演员上摆到A 点过程中机械能守恒，因此有mgR ＝12
mv 12. 女演员推开男演员时对男演员做的功为W ＝12×2mv 22－12
×2mv 02 联立得：v 2＝22gR ，W ＝6mgR
(3)第四个过程：男演员自B 点平抛，有：s ＝v 2t .
运动时间t 可由竖直方向的自由落体运动得出4R ＝12
gt 2， 联立可解得s ＝8R .
5.如图所示，光滑水平面上放着质量都为m 的物块A 和B ，A 紧靠着固定的竖直挡板，A 、B 间夹一个被压缩的轻弹
簧(弹簧与A 、B 均不拴接)，用手挡住B 不动，此时弹簧弹性势能为92mv 20
，在A 、B 间系一轻质细绳，细绳的长略大于弹簧的自然长度。

放手后绳在短暂时间内被拉断，之后B 继续向右运动，一段时间后与向左匀速运动、速度为v 0的物块C 发生碰撞，碰后B 、C 立刻形成粘合体并停止运动，C 的质量为2m 。

求：
(1)B 、C 相撞前一瞬间B 的速度大小；
(2)绳被拉断过程中，绳对A 所做的W 。

【答案】 (1)2v 0 (2)12mv 20
【解析】 (1)B 与C 碰撞过程中动量守恒
mv B ＝2mv 0
解得：v B ＝2v 0
(2)弹簧恢复原长时，弹性势能全部转化为物块B 的动能，则E p ＝12mv 2B 0
解得：v B 0＝3v 0
绳子拉断过程，A 、B 系统动量守恒
mv B 0＝mv B ＋mv A
解得：v A ＝v 0
绳对A 所做的功为
W ＝12mv 2A ＝12mv 20
6.如图所示，半径R ＝2.8 m 的光滑半圆轨道BC 与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道在同一竖直平面内，两轨道间由一条光滑水平轨道AB 相连，A 处用光滑小圆弧轨道平滑连接，B 处与圆轨道相切．在水平轨道上，两静止小球P 、Q 压紧轻质弹簧后用细线连在一起．某时刻剪断细线后，小球P 向左运动到A 点时，小球Q 沿圆轨道到达C 点；之后小球Q 落到斜面上时恰好与沿斜面向下运动的小球P 发生碰撞．已知小球P 的质量m 1＝3.2 kg ，小球Q 的质量m 2＝1 kg ，小球P 与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，剪断细线前弹簧的弹性势能E p ＝168 J ，小球到达A 点或B 点时已和弹簧分离．重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
(1)小球Q 运动到C 点时的速度大小；
(2)小球P 沿斜面上升的最大高度h ；
(3)小球Q 离开圆轨道后经过多长时间与小球P 相碰．
【答案】 (1)12 m/s (2)0.75 m (3)1 s
【解析】 (1)两小球弹开的过程，由动量守恒定律得：m 1v 1＝m 2v 2
由机械能守恒定律得：E p ＝12m 1v 12＋12
m 2v 22 联立可得：v 1＝5 m/s ，v 2＝16 m/s
小球Q 沿圆轨道运动过程中，由机械能守恒定律可得：
12m 2v 22＝12
m 2v C 2＋2m 2gR 解得：v C ＝12 m/s ，
(2)小球P 在斜面向上运动的加速度为a 1，由牛顿第二定律得：
m 1g sin θ＋μm 1g cos θ＝m 1a 1，
解得：a 1＝10 m/s 2
故上升的最大高度为：h ＝v 12
2a 1
sin θ＝0.75 m (3)设两小球相遇点距离A 点为x ，小球P 从A 点上升到两小球相遇所用的时间为t ，小球P 沿斜面下滑的加速度为a 2，则：
m 1g sin θ－μm 1g cos θ＝m 1a 2，
解得：a 2＝2 m/s 2
小球P 上升到最高点所用的时间：t 1＝v 1a 1
＝0.5 s ， 则：2R ＝12gt 2＋h －12
a 2(t －t 1)2sin θ 解得：t ＝1 s.
7.如图所示的水平轨道中，AC 段的中点B 的正上方有一探测器，C 处有一竖直挡板，物体P 1沿轨道向右以速度v 1与静止在A 点的物体P 2碰撞，并接合成复合体P ，以此碰撞时刻为计时零点，探测器只在t 1＝2 s 至t 2＝4 s 内工作。

已知P 1、P 2的质量均为m ＝1 kg ，P 与AC 间的动摩擦因数为μ＝0.1，AB 段长L ＝4 m ，g 取10 m/s 2，P 1、P 2和P 均视为质点，P 与挡板的碰撞为弹性碰撞。

(1)若v 1＝6 m/s ，求P 1、P 2碰后瞬间的速度大小v 和碰撞损失的动能ΔE ；
(2)若P 与挡板碰后，能在探测器的工作时间内通过B 点，求v 1的取值范围和P 向左经过A 点时的最大动能E 。

【答案】 (1)3 m/s 9 J (2)10 m/s≤v 1≤14 m/s 17 J
【解析】 (1)P 1和P 2碰撞过程动量守恒，有mv 1＝2mv ，
解得v ＝v 12
＝3 m/s 。

碰撞过程中损失的动能为ΔE k ＝12mv 21－12
(2m )v 2＝9 J 。

(2)由于P 与挡板的碰撞为弹性碰撞，故P 在AC 间的运动可等效为匀减速直线运动，
加速度大小为a ＝μg ＝1 m/s 2，
根据运动学公式有v B ＝v －at ，v 2B －v 2＝－2a ·3L ，又因为v ＝ v 12。

①当t ＝2 s 时通过B 点，解得v 1＝14 m/s ；
②当t ＝4 s 时通过B 点，解得v 1＝10 m/s 。

综上可得v 1 的取值范围为10 m/s≤v 1≤14 m/s 。

设向左经过A 点的最大速度为 v A ，则v 1＝14 m/s 时有此最大速度，由
v 2A －v 2B ＝－2aL ，
得v 2A ＝17 m 2/s 2。

则通过A 点的最大动能为E ＝12
(2m )v 2A ＝17 J 。

8.如图所示，光滑半圆形轨道MNP 竖直固定在水平面上，直径MP 垂直于水平面，轨道半径R ＝0.5 m 。

质量为m 1的小球A 静止于轨道最低点M ，质量为m 2的小球B 用长度为2R 的细线悬挂于轨道最高点P 。

现将小球B 向左拉起，使细线水平，以竖直向下的速度v 0＝4 m/s 释放小球B ，小球B 与小球A 碰后粘在一起恰能沿半圆形轨道运动到P 点。

两球可视为质点，g ＝10 m/s 2，试求：
(1)B 球与A 球相碰前的速度大小；
(2)A 、B 两球的质量之比m 1∶m 2。

【答案】 (1)6 m/s (2)1∶5
【解析】 (1)设B 球与A 球碰前速度为v 1，碰后两球的速度为v 2。

B 球摆下来的过程中机械能守恒
12m 2v 20＋m 2g ·2R ＝12
m 2v 21 解得v 1＝6 m/s
(2)碰后两球恰能运动到P 点，则
(m 1＋m 2)g ＝(m 1＋m 2)v 2P R
得v P ＝gR ＝ 5 m/s
碰后两球沿圆弧运动机械能守恒
12(m 1＋m 2)v 22＝12
(m 1＋m 2)v 2P ＋(m 1＋m 2)g ·2R 解得v 2＝5 m/s
两球碰撞过程中动量守恒m 2v 1＝(m 1＋m 2)v 2
解得m 1∶m 2＝1∶5
9.如图所示，固定点O 上系一长L ＝0.6 m 的细绳，细绳的下端系一质量m ＝1.0 kg 的小球(可视为质点)，原来处于静止状态，球与平台的B 点接触但对平台无压力，平台高h ＝0.80 m ，一质量M ＝2.0 kg 的物块开始静止在平台上的P 点，现对物块M 施予一水平向右的初速度v 0，物块M 沿粗糙平台自左向右运动到平台边缘B 处与小球m 发生正碰，碰后小球m 在绳的约束下做圆周运动，经最高点A 时，绳上的拉力恰好等于小球的重力，而物块M 落在水平地面上的C 点，其水平位移x ＝1.2 m ，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2.
(1)求物块M 碰撞后的速度大小；
(2)若平台表面与物块M 间的动摩擦因数μ＝0.5，物块M 与小球的初始距离为x 1＝1.3 m ，求物块M 在P 处的初速度大小．
【答案】 (1)3.0 m/s (2)7.0 m/s
【解析】 (1)碰后物块M 做平抛运动，设其平抛运动的初速度为v 3，平抛运动时间为t
h ＝12
gt 2① x ＝v 3t ②
得：v 3＝x g 2h
＝3.0 m/s ③ (2)物块M 与小球在B 点处碰撞，设碰撞前物块M 的速度为v 1，碰撞后小球的速度为v 2，由动量守恒定律： Mv 1＝mv 2＋Mv 3④
碰后小球从B 点处运动到最高点A 过程中机械能守恒，设小球在A 点的速度为v A ，则
12mv 22＝12
mv A 2＋2mgL ⑤ 小球在最高点时有：2mg ＝m v A 2
L
⑥ 由⑤⑥解得：v 2＝6.0 m/s ⑦
由③④⑦得：v 1＝mv 2＋Mv 3M
＝6.0 m/s ⑧ 物块M 从P 点运动到B 点过程中，由动能定理：
－μMgx 1＝12Mv 12－12
Mv 02⑨ 解得：v 0＝v 12＋2μgx 1＝7.0 m/s ⑩
10.如图所示，半径R ＝2.8 m 的光滑半圆轨道BC 与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道在同一竖直平面内，两轨道间由一条光滑水平轨道AB 相连，A 处用光滑小圆弧轨道平滑连接，B 处与圆轨道相切．在水平轨道上，两静止小球P 、Q 压紧轻质弹簧后用细线连在一起．某时刻剪断细线后，小球P 向左运动到A 点时，小球Q 沿圆轨道到达C 点；之后小球Q 落到斜面上时恰好与沿斜面向下运动的小球P 发生碰撞．已知小球P 的质量m 1＝3.2 kg ，小球Q 的质量m 2＝1 kg ，小球P 与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，剪断细线前弹簧的弹性势能E p ＝168 J ，小球到达A 点或B 点时已和弹簧分离．重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
(1)小球Q 运动到C 点时的速度大小；
(2)小球P 沿斜面上升的最大高度h ；
(3)小球Q 离开圆轨道后经过多长时间与小球P 相碰．
【答案】 (1)12 m/s (2)0.75 m (3)1 s
【解析】 (1)两小球弹开的过程，由动量守恒定律得：m 1v 1＝m 2v 2
由机械能守恒定律得：E p ＝12m 1v 12＋12
m 2v 22 联立可得：v 1＝5 m/s ，v 2＝16 m/s
小球Q 沿圆轨道运动过程中，由机械能守恒定律可得：
12m 2v 22＝12
m 2v C 2＋2m 2gR 解得：v C ＝12 m/s ，
(2)小球P 在斜面向上运动的加速度为a 1，由牛顿第二定律得：
m 1g sin θ＋μm 1g cos θ＝m 1a 1，
解得：a 1＝10 m/s 2
故上升的最大高度为：h ＝v 12
2a 1
sin θ＝0.75 m (3)设两小球相遇点距离A 点为x ，小球P 从A 点上升到两小球相遇所用的时间为t ，小球P 沿斜面下滑的加速度为a 2，则：
m 1g sin θ－μm 1g cos θ＝m 1a 2，
解得：a 2＝2 m/s 2
小球P 上升到最高点所用的时间：t 1＝v 1a 1
＝0.5 s ， 则：2R ＝12gt 2＋h －12
a 2(t －t 1)2sin θ
解得：t ＝1 s.
11.如图所示，半径为R 1＝1.8 m 的14
光滑圆弧与半径为R 2＝0.3 m 的半圆光滑细管平滑连接并固定，光滑水平地面上紧靠管口有一长度为L ＝2.0 m 、质量为M ＝1.5 kg 的木板，木板上表面正好与管口底部相切，处在同一水平线上，木板的左方有一足够长的台阶，其高度正好与木板相同．现在让质量为m 2＝2 kg 的物块静止于B 处，质量为m 1＝1 kg 的物块从光滑圆弧顶部的A 处由静止释放，物块m 1下滑至B 处和m 2碰撞后不再分开，整体设为物块m (m ＝m 1＋m 2)．物块m 穿过半圆管底部C 处滑上木板使其从静止开始向左运动，当木板速度为2 m/s 时，木板与台阶碰撞立即被粘住(即速度变为零)，若g ＝10 m/s 2，物块碰撞前后均可视为质点，圆管粗细不计．
(1)求物块m 1和m 2碰撞过程中损失的机械能；
(2)求物块m 滑到半圆管底部C 处时所受支持力大小；
(3)若物块m 与木板及台阶表面间的动摩擦因数均为μ＝0.25，求物块m 在台阶表面上滑行的最大距离．
【答案】 (1)12 J (2)190 N (3)0.8 m
【解析】 (1)设物块m 1下滑到B 点时的速度为v B ，由机械能守恒可得：
m 1gR 1＝12
m 1v B 2，解得v B ＝6 m/s m 1、m 2碰撞满足动量守恒：m 1v B ＝(m 1＋m 2)v 共，
解得v 共＝2 m/s
则碰撞过程中损失的机械能为：E 损＝12m 1v B 2－12
mv 共2＝12 J (2)物块m 由B 到C 满足机械能守恒：12mv 共2＋mg ×2R 2＝12
mv C 2 解得：v C ＝4 m/s
在C 处由牛顿第二定律可得：F N －mg ＝m v C 2
R 2
解得：F N ＝190 N.
(3)物块m 滑上木板后，当木板速度为v 2＝2 m/s 时，物块速度设为v 1， 由动量守恒定律得：mv C ＝mv 1＋Mv 2 解得v 1＝3 m/s
设在此过程中物块运动的位移为x 1，木板运动的位移为x 2，由动能定理得：
对物块m ：－μmgx 1＝12mv 12－12
mv C 2， 解得：x 1＝1.4 m
对木板M ：μmgx 2＝12
Mv 22， 解得：x 2＝0.4 m
此时木板静止，物块m 到木板左端的距离为：x 3＝L ＋x 2－x 1＝1 m 设物块m 在台阶表面上运动的最大距离为x 4，由动能定理得：
－μmg (x 3＋x 4)＝0－12
mv 12， 解得：x 4＝0.8 m.。