17-5-1 一次函数与二元一次方程(组)课件2022-2023学年华东师大版八年级数学下册

对应
二元一次方程
一次函数
对应
一条直线
即为
即为
二元一次方程的解
一次函数两变量的值
直线上的点的坐标
例1 在平面直角坐标系中画出方程2x-y+3=0所对应的直线.
导引：将二元一次方程化为一次函数的形式，再确定两个点的坐标，在平面 直角坐标系中描出两点，过这两点的直线就是这个方程对应的直线.
解:将方程2x-y+3=0转化为y=2x+3，有
-2 -4
l2：y= 3 x 1 . 2
l1：y=
3 2
x
1
作出l1和l2的图象，如图所示，两条直线平行，故方程组无解.
思考
上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.
当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式：
aa12
x x
b1 b2
y y
c1 c2
比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以 及常数项之比，从中你发现怎样的规律？
们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足
两个函数的关系式．而这两个关系式可以看成关于x、y 的两个方程，所
以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解．
根据图象回答：
y(元)
600
(甲)
(3)如果每月复印页数在1200页 400
(乙)
左右，那么应选择哪个复印社？ 200
O 200 400 600 800 1000 1200 x(页)
区别： 1.二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； 2.二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可 以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用表格或图象来表示两 个变量之间的关系． 联系：
在平面直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这 些点都在相应的一次函数的图象上．
一般步骤
①方程化成函数 ②画出函数图象 ③找出图象交点坐标 ④写出方程组的解
5x-2y=4 ① 例2 利用函数图象解方程组：
10x-4y=8 ②
x
0
2
解：列表
①中的y
-2
3
②中的y
-2
3
y
l
4
•B
2
-4 -2 O 2 4 x
-2•A
-4
所以方程①②所对应的直线都是通过A(0, -2)和B(2, 3)两点的直线l，
解：因为直线l1过点(-1,0)，(0,2) ，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y =2x+2.
y
同理可求得直线l2的解析式为y =-x+3.
y =2x+2 解方程组
y =-x+3
x= 1
3
得 y= 8
3
即直线l1与l2
的交点坐标为
1 3
,
8 3
O
x
课堂小结 一次函数与二元一次方程之间的区别和联系：
导引：对于二元一次方程x－2y＝2，当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝ 2，故直线x－2y＝2与两坐标轴的交点是(0,－1)，(2，0)，对照四个选项 中的直线，可知选C.
方法总结
直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程 y＝kx＋b中，当y＝0时x的值；直线y＝kx＋b与y轴的交点的 纵坐标即是二元一次方程y＝kx＋b中, 当x＝0时y的值．解这 类题，常运用数形结合思想．
新课引入 二元一次方程 x+y=5 可以转化为一次函数： y=5-x
思考 是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转换呢？
3x+y=5
0.8x+5y=1
任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式，所以每个二 元一次方程都对应一个一次函数.
二元一次方程3x +2y =6可以转化成一次函数的形式: y 3 x 3.
如图，这两条直线重合.显然，直线l上每一个点的坐标都是原方程组的
解，所以原方程组有无穷多组解.
例3 利用函数图象解方程组： 3x+2y=-2 6x+4y=4
l2：y=
3 2
x+1
y
解：方程3x+2y=-2对应直线
l1：y=
3 2
x
1.Leabharlann 方程6x+4y=4对应直线
4 2
-6 -4 -2 O 2 4 6 x
作一条x轴的垂线，如图，此时x的值相同，它与哪一条射线的交点
较高，就表示对应函数值较大，收费就较高；反之，它与另一条射线的
交点较低，就表示对应函数值较小，收费就较低．从图中可以看出，如
果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社收费较低．
我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同
归纳
（1）当 a1 b1 时，两直线相交，方程组有一组解；
a2 b2
（2）当
a1 a2
b1 b2
c1 c2
时，两直线重合，方程组有无穷多组解；
（3）当
a1 a2
b1 b2
c1 c2
时，两直线平行，方程组无解.
针对训练 1.已知直线 y=-x+4 与 y=x+2 的图象如图，则方程组 （B ）
y=-x+4 的解为 y=x+2
x=3 A. y=1
x=1 B. y=3
x=0 C.
y=4
x=4 D.
y=0
2．已知方程组 2x-y+3=0， 的解为 x=-1，则一次函数y＝2x＋3与
ax-y+c=0；
y=1；
y＝ax＋c的图象的交点坐标是( A )
A．(－1,1)
B．(1,－1)
C．(2,－2)
D．(－2,2)
3.如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
“乙复印社的每月承包费”指当x=0时，y的值， 从图中可以看出乙复印社的每月承包费是200元.
根据图象回答：
y(元)
600
(甲)
(2)当每月复印多少页时，两复印 400
(乙)
社实际收费相同？
200
800页
O 200 400 600 800 1000 x(页)
“收费相同”是指当x取相同的值时，y 相等，即两条射线的交点．我
时满足两个函数的关系式.而这两个关系式可以看成关于x、y的两个方
程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解.
二元一次方程组
对应
两个一次函数
对应
两条直线
即为
二元一次方程的解
两个一次函数值相等时的自变量值及函数值
即为
两条直线的交点坐标
例1
用图象法解二元一次方程组
x 2 y 2 2x y 2
x
-1
0
y
1
3
所以方程2x-y+3=0所对应的直线就是由点 (-1,1)，(0,3)确定的直线，如图.
例2 一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程 为（ A ） A．x﹣3y=3 B．x+3y=3 C．3x﹣y=1 D．3x+y=1
总结：先求表达式，再转化成二元一次方程.
例3 如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x－2y＝2的解的是( C )
按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．
y(元)
600
(甲)
400
描述图象上各点 (乙)
200
的实际意义.
O 200 400 600 800 1000 x(页)
y(元)
根据图象回答：
600
(甲)
400
(1)“乙复印社的每月承包费”
(乙)
在图象上怎样反映出来？
200
O 200 400 600 800 1000 x(页)
① ②
y=2x-2
解： 由①得 y 1 x 1
2
进而作出 y 1 x 1的图象
2
由②得 y=2x-2
进而作出y=2x-2的图象
所以方程组的解为:
x y
2 2
y 5
4
3
2
1 P(2,2)
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1
x
y 1 x1
-2 -3
2
-4
-5
归纳
运用图象法解二元一次方程组的一般步骤：
可见，二元一次方程3x +2y =6有 无数多组解，解的全体叫做二元一次 方程的解集.
以这些有序数对为坐标，在坐标平面 内描点作图，得到一条直线，这条直线就 是一次函数 y 3 x 3的图象.
2
新知学习 一、一次函数与二元一次方程
归纳
由于任意一个二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b的形式，因此有：
3.把方程 x 1 4 y x 化为 y=kx+b 的形式，正确的是（ B ） 3
A. y 1 x 1 3
B.
y
1 6
x
1 4
C.
y
1 6
x1
D.
y
1 3
x
1 4
二、一次函数与二元一次方程组
学校每个月都有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40
元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可
17.5.1 一次函数与二元一次 方程（组）
八下 数学
华师版
1 学习目标 2 新课引入 3 新知学习 4 课堂小结
学习目标
1.理解一次函数表达式也可以看成一个二元一次方程，从而建立一次函 数与二元一次方程的对应关系. 难点 2.学习用函数的观点看待方程的方法，进一步感受数形结合的思想方法. 3.理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，并能通过图象法来 求二元一次方程组的解． 重点
针对训练
1．二元一次方程3y－2x＝12有_无__数__组解，以它的解的有序数对为坐标， 可以描出_无__数__个点，这些点都在一次函数_y___23 _x__4_的图象上，这个一 次函数图象上任意一点的_坐__标__都是二元一次方程3y－2x＝12的一个解.
2．下面的有序实数对是二元一次方程3x－y＝4的解的是( C ) A．(3,2) B．(2,3) C．(1,－1) D．(2,－2)
2
对于这个函数，任意给出自变量x的一些值，可以求得对应的y值，
列表如下:
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y= 3 x 3 2
… 7.5 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 …
表中每一对x，y的值代入方程3x + 2y =6都成立，所以每组有序数对 都是方程 3x + 2y = 6的解.